相似三角形奥数题
如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF
．
考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC 是△ABC 与△DBC 的公共边，且AB ∥EF ∥CD ，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF ．解答：解：在△ABC 中，因为EF ∥AB ，
所以EF ：AB=CF：CB ①，
同样，在△DBC 中有EF ：CD=BF：CB ②，
①+②得EF ：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
x ：6+x：9=1，
解得x= ．
故EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算． 答题：HLing 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮2、如图所示．▱ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE ．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：本题所给出的已知长的线段AB ，BC ，BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ，构造出△FEB ∽△FOG ，进而求解．解答：解：过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ． 显然，OG 是△ABC 的中位线，
∴OG= BC= ，GB= AB= ．
在△FOG 中，由于GO ∥EB ，
∴△FOG ∽△FEB ， = ，
∴BE= •OG= • = ．
答：BE 的长为 ．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB ∽△FOG ．
答题：fxx 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮
3、如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证： ．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D 引DE ∥AB ，交AC 于E ，因为AD 平分∠BAC （=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE ∥AB ，交AC 于E ，则△ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED ∽△CAB ，可实现求证的目标．解答：证明：过D 引DE ∥AB ，交AC 于E ．
∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE 是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE ∥AB ，所以△CED ∽△CAB ，
∴ = = =1- ．②
由①，②得 =1- ，
从而 + = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED ∽△CAB 是解题的关键．
答题：499807835老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮4、如图所示，▱ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F ，EO 延长线交AB 于G ．求证： ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB 与EG ，其延长线交于H ，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．在△EIH 中，由于DF ∥IH ，
∴ = ．
∵IH=AB，∴ = ，
从而， - = - = = =1+ ．①
在△OED 与△OBH 中，
∠DOE=∠BOH ，∠OED=∠OHB ，OD=OB，
∴△OED ≌△OBH （AAS ）．
从而DE=BH=AI，
∴ =1．②
由①，②得 - =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB 与EG ，其延长线交于H ，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．
答题：fxx 老师 显示解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮5、一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB （或其延长线）分别交于D ，E ，F 如图所示）．
求证： 考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过B 引BG ∥EF ，交AC 于G ，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC 上进行求证．解答：证明：过B 引BG ∥EF ，交AC 于G ．由平行线分线段成比例性质知
= ， = ，
∴ × × = × × =1．点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C 引CG ∥EF 交AB 延长线于G ，将求证中所述诸线段“集中”到边AB 所在直线上进行求证．
答题：HLing 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮6、如图所示．P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE ，FG ，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG ∥BC ，HI ∥CA ，ED ∥AB ，易证四边形AIPE 、四边形BDPF 、四边形CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，于是 = ， = ，再结合 = ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2，从而有 + + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：
解：∵FG ∥BC ，HI ∥CA ，ED ∥AB ，
∴四边形AIPE 、四边形BDPF 、四边形CGPH 均是平行四边形，
∴△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，
∴ = ， = ，
∴ + + = ，
又∵DE=PE+PD=AI+FB，
AF=AI+FI，
BI=IF+FB，
∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，
∴ + + = =2，
∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，
∴ + + = + + =2，
∴ + + =2，
解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．
答题：wangcen 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮7、如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF ．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得 = = = ，得出OE 与BC ，OF 与AD 的关系，进而即可求解EF 的长．解答：解：∵AD ∥BC ，EF ∥BC ，
∴ = = = ，
又 = = ， = = ，
∴OE= BC= ，OF= AD= ，
∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮8、已知：P 为▱ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证： 考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将 转化为 ，再由平行线的性质可得 = ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD 中，则AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴ = =
∴ - = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮9、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN ∥BC ，且MN 与对角线BD 交于O ．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN ．
考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN 的长．解答：解：∵MN ∥BC ，∴在△ABD 中， = ，即OM= = ，
同理ON= = ，
∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握． 答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮10、P 为△ABC 内一点，过P 点作DE ，FG ，IH 分别平行于AB ，BC ，CA （如图所示）．
求证：
考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF ∽△CAB ，得
出对应线段成比例，即 = = ，同理得出 = = ，即可证明结论；
（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE ∥AB ，IH ∥AC ，FG ∥BC ， ∴可得△PIF ∽△CAB ，
∴ = = ，
同理 = = ，
+ + = + + =1．
（2）仿（1）可得 = = ， = = = ，
∴ + + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮11、如图所示．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＜CD ．一条直线交BA 延长线于E ，交DC 延长线于J ，交AD 于F ，交BD 于G ，交AC 于H ，交BC 于I ．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC ：AB ． 考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB 、CD 与AE 、CJ 的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB ∥CD ，EF=FG=CH=HI=HJ，
∴ = = ，
∴ = = ， = = ，
∴DJ=4AE，又 = ，
解得AB= AE，
又AE= CJ，
∴AB= CJ，EB=4CJ，
= = ，
CD=5CJ，
∴AB ：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮12、已知P 为△ABC 内任意一点，连AP ，BP ，CP 并延长分别交对边于D ，E ，F ．
求证：（1）
三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC ，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．
（2）由（1）中得出 ，则其中至少有一个不大于 ，可设 ≤ ，即3AD ≤PD ，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：
S △PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC ①
整理等式得：
+ + =1，②
由面积概念得：
= ， = ，
∴ = ，
即 = ③
同理得：
= ④
= ⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：
；
（2）由 ，知 ， ， 中至少有一个不大于 ， 不妨设 ≤ 即3AD ≤PD ．
而AD=AP+PD，
∴AP ≥2PD ，
∴ ≥2，即 不小于2，
同理可证三式中至少有一个不大于2．
相似三角形奥数题
如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF
．
考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC 是△ABC 与△DBC 的公共边，且AB ∥EF ∥CD ，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF ．解答：解：在△ABC 中，因为EF ∥AB ，
所以EF ：AB=CF：CB ①，
同样，在△DBC 中有EF ：CD=BF：CB ②，
①+②得EF ：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
x ：6+x：9=1，
解得x= ．
故EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算． 答题：HLing 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮2、如图所示．▱ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE ．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：本题所给出的已知长的线段AB ，BC ，BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ，构造出△FEB ∽△FOG ，进而求解．解答：解：过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ． 显然，OG 是△ABC 的中位线，
∴OG= BC= ，GB= AB= ．
在△FOG 中，由于GO ∥EB ，
∴△FOG ∽△FEB ， = ，
∴BE= •OG= • = ．
答：BE 的长为 ．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB ∽△FOG ．
答题：fxx 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮
3、如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证： ．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D 引DE ∥AB ，交AC 于E ，因为AD 平分∠BAC （=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE ∥AB ，交AC 于E ，则△ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED ∽△CAB ，可实现求证的目标．解答：证明：过D 引DE ∥AB ，交AC 于E ．
∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE 是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE ∥AB ，所以△CED ∽△CAB ，
∴ = = =1- ．②
由①，②得 =1- ，
从而 + = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED ∽△CAB 是解题的关键．
答题：499807835老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮4、如图所示，▱ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F ，EO 延长线交AB 于G ．求证： ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB 与EG ，其延长线交于H ，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．在△EIH 中，由于DF ∥IH ，
∴ = ．
∵IH=AB，∴ = ，
从而， - = - = = =1+ ．①
在△OED 与△OBH 中，
∠DOE=∠BOH ，∠OED=∠OHB ，OD=OB，
∴△OED ≌△OBH （AAS ）．
从而DE=BH=AI，
∴ =1．②
由①，②得 - =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB 与EG ，其延长线交于H ，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．
答题：fxx 老师 显示解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮5、一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB （或其延长线）分别交于D ，E ，F 如图所示）．
求证： 考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过B 引BG ∥EF ，交AC 于G ，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC 上进行求证．解答：证明：过B 引BG ∥EF ，交AC 于G ．由平行线分线段成比例性质知
= ， = ，
∴ × × = × × =1．点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C 引CG ∥EF 交AB 延长线于G ，将求证中所述诸线段“集中”到边AB 所在直线上进行求证．
答题：HLing 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮6、如图所示．P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE ，FG ，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG ∥BC ，HI ∥CA ，ED ∥AB ，易证四边形AIPE 、四边形BDPF 、四边形CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，于是 = ， = ，再结合 = ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2，从而有 + + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：
解：∵FG ∥BC ，HI ∥CA ，ED ∥AB ，
∴四边形AIPE 、四边形BDPF 、四边形CGPH 均是平行四边形，
∴△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，
∴ = ， = ，
∴ + + = ，
又∵DE=PE+PD=AI+FB，
AF=AI+FI，
BI=IF+FB，
∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，
∴ + + = =2，
∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，
∴ + + = + + =2，
∴ + + =2，
解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．
答题：wangcen 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮7、如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF ．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得 = = = ，得出OE 与BC ，OF 与AD 的关系，进而即可求解EF 的长．解答：解：∵AD ∥BC ，EF ∥BC ，
∴ = = = ，
又 = = ， = = ，
∴OE= BC= ，OF= AD= ，
∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮8、已知：P 为▱ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证： 考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将 转化为 ，再由平行线的性质可得 = ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD 中，则AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴ = =
∴ - = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮9、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN ∥BC ，且MN 与对角线BD 交于O ．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN ．
考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN 的长．解答：解：∵MN ∥BC ，∴在△ABD 中， = ，即OM= = ，
同理ON= = ，
∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握． 答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮10、P 为△ABC 内一点，过P 点作DE ，FG ，IH 分别平行于AB ，BC ，CA （如图所示）．
求证：
考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF ∽△CAB ，得
出对应线段成比例，即 = = ，同理得出 = = ，即可证明结论；
（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE ∥AB ，IH ∥AC ，FG ∥BC ， ∴可得△PIF ∽△CAB ，
∴ = = ，
同理 = = ，
+ + = + + =1．
（2）仿（1）可得 = = ， = = = ，
∴ + + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮11、如图所示．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＜CD ．一条直线交BA 延长线于E ，交DC 延长线于J ，交AD 于F ，交BD 于G ，交AC 于H ，交BC 于I ．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC ：AB ． 考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB 、CD 与AE 、CJ 的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB ∥CD ，EF=FG=CH=HI=HJ，
∴ = = ，
∴ = = ， = = ，
∴DJ=4AE，又 = ，
解得AB= AE，
又AE= CJ，
∴AB= CJ，EB=4CJ，
= = ，
CD=5CJ，
∴AB ：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．
答题：yeyue 老师 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮12、已知P 为△ABC 内任意一点，连AP ，BP ，CP 并延长分别交对边于D ，E ，F ．
求证：（1）
三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC ，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．
（2）由（1）中得出 ，则其中至少有一个不大于 ，可设 ≤ ，即3AD ≤PD ，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：
S △PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC ①
整理等式得：
+ + =1，②
由面积概念得：
= ， = ，
∴ = ，
即 = ③
同理得：
= ④
= ⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：
；
（2）由 ，知 ， ， 中至少有一个不大于 ， 不妨设 ≤ 即3AD ≤PD ．
而AD=AP+PD，
∴AP ≥2PD ，
∴ ≥2，即 不小于2，
同理可证三式中至少有一个不大于2．