时间序列课后习题答案(书面)

时间序列课后习题答案（书面）

第二章P34

1、（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数：

nk

ˆk

(k)(0)





t1

(xt)(xtk)

n

(xt)

2



t1



1n

n



t1

xt

120

(1220)10.5

(0)

1201191

20



t119

(xt)

2

35

(1)



t118

(xt)(xt1)29.75

(2)

18117



t117

(xt)(xt2)25.9167

(3)



t1

(xt)(xt3)21.75

(4)=17.25 (5)=12.4167 (6)=7.25 1=0.85（0.85） 2=0.7405（0.702） 3=0.6214（0.556） 4=0.4929（0.415） 5=0.3548（0.280） 6=0.2071（0.153） 注：括号内的结果为近似公式所计算。

（3）样本自相关图：

. |*******| . |***** | . |**** | . |*** | . |**. | . |* . | . | . | . *| . | . *| . | .**| . |

. |*******| . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . |

1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.076 28.761 0.000 3 0.556 -0.076 36.762 0.000 4 0.415 -0.077 41.500 0.000 5 0.280 -0.077 43.800 0.000 6 0.153 -0.078 44.533 0.000 7 0.034 -0.077 44.572 0.000 8 -0.074 -0.077 44.771 0.000 9 -0.170 -0.075 45.921 0.000 10 -0.252 -0.072 48.713 0.000

.**| . | ***| . |

. *| . | . *| . |

11 -0.319 -0.067 53.693 0.000 12 -0.370 -0.060 61.220 0.000

m

4、LBn(n2)

k1

ˆknk

2

LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895



20.05

(6)=12.59



20.05

(12)=21.0

显然，LB统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P97

1、解：E(xt) (1 (1 xt Var 2

0.7*E(xt1)E(t)

0.7)E(xt)0

E(xt)

0

0.7B）xt

1

t

t

(10.7B)(10.7B0.7B

22

)

t

(xt)1

2

110.49



2



1.9608

2



0.49

22

0

2、解：对于AR（2）模型：

110211210.5



211201120.3

解得：

17/1521/15

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(xt) 原模型可变为：xt

Var(xt)

0.8xt10.15xt2

t

0

12

(12)(112)(112)



2



(10.15)

(10.15)(10.80.15)(10.80.15)



2

=1.98232

11/(12)0.6957

211200.40660.2209

122131110.6957



2220.15

330

4、解：原模型可变形为： (1

BcB

2

)xt

t

|1，211且211时，模型平稳。

由其平稳域判别条件知：当|2 由此可知c应满足：|c|1，c

11且c11

即当－1

1



1/(1c)

k1ck2

k0k1k2

k

5、证明：已知原模型可变形为： (1BcB

2

cB

3

)xt



2

t

2

其特征方程为：3

cc(1)(c)0

不论c取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

6、解：（1）错，

Var(xt)

2



/(1

2

1

)。

2

（2）错，E[(xt)(xt1)]11

ˆT(l)1xT。 （3）错，x

l

1



/(11)

2

。

（4）错，eT(l)TlG1Tl1G2Tl2Gl1T1 Tl1Tl11Tl21T1

ˆT(l)]limVar[eT(l)]lim （5）错，limVar[xTlx

l

l

2l1

1[11]11

2

2l



2

l





111

2



2



。

2

7、解：11



411

12

1

1

1

21

MA(1)模型的表达式为：xt

t



t1

。

8、解：E(xt)

0/(11)10/(10.5)20

原模型可变为：(10.5B)(x2

t20)(10.8BCB

3

)t

x(10.8B

2

CB

3

)

t20(10.5B)

t

显然，当10.8B2

CB

3

能够整除1－0.5B时，模型为MA(2)模型，由此

得B＝2是10.8B

2

CB

3

＝0的根，故C＝0.275。

9、解：：E(xt)

0

Var(x2

2t)(112

)

2



1.65

2



1121

12

2

0.980.5939

1

2

1.65



2

2

12

2



0.4 k

0，k3

12

1.65

0.2424

10、解：（1）xtt

C(

t1



t2

)

xt1

t1

C(

t2



t3

)

xt

xt1t1

tCt1xt1t(C1)Ct1

 即 (1

B)xt[1(C1)B]

t

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2） yt

xtxt1

t

(C1)

t1

为MA(1)模型，平稳。

1



111

2

C

C1

2

2C2

11、解：（1）|2 1



|1.21，模型非平稳；



1.3738 2

-0.8736

，2

11.41，模型平稳。

（2）|2 1



|0.31，210.81

0.6 2

|0.31，

2



0.5

2

（3）|2 1



10.61，



11.21，模型可逆。

0.45＋0.2693i 2

|0.41，

2

0.45－0.2693i

2

（4）|2 1



10.91，



11.71

，模型不可逆。

0.2569 2

-1.5569 0.7 0.6

（5）|1 |1 （6）|2 1 |1



|0.71，模型平稳；1|0.61，模型可逆；1

|0.51，210.31，211.31，模型非平稳。

0.4124 2



-1.2124 1.1

|1.11，模型不可逆；1

12、解：(10.6B)xt xt

(10.3B)t

2

2

(10.3B)(10.6B0.6B(10.3B0.3*0.6B



2

)t

2

3

 

0.3*0.6B

)t

t



j1

0.3*0.6

j1

tj

G0

1

，Gj

0.3*0.6

j1

13、解：E[(B)xt] E(xt)

14、证明：0 1 k

12

E[3(B)t](10.5)E(xt)3

2

(0)/(0)1

；



0.25(10.5*0.25)10.25

2



(1)(0)



(11)(111)11211

2

2*0.5*0.25

0.27

1k10.5k1

k

2

15、解：（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

16、解：（1）xt

ˆT(1) xˆT(2) x

100.3*(xt110)t

， xT

9.6

E(xt1)E[100.3*(xT10)T1]9.88

E(xt2)E[100.3*(xT110)T2]9.964E(xt3)E[100.3*(xT210)T3]9.9892

ˆT(3) x

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj eT(3) Var

1

j

，

j1，2，

2

G0t3G1t2G2t1t31t21t1

2

2

[eT(3)](10.30.09

)*99.8829

xt3的95％的置信区间：

即[3.8275,16.1509]

[9.9892-1.96*9.8829，9.9892＋1.96*9.8829]

ˆT(1)10.59.880.62 （2）T1xT1x

ˆT1(1)E(xt2)0.3*0.629.96410.15 xˆT1(2) x

E(xt3)0.09*0.629.9892

2

10.045

Var

[eT2(2)](10.3)*99.81

xt3的95％的置信区间：

[10.045-1.96×9.81，10.045＋1.96*9.81]

即[3.9061,16.1839]

时间序列课后习题答案（书面）

第二章P34

1、（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数：

nk

ˆk

(k)(0)





t1

(xt)(xtk)

n

(xt)

2



t1



1n

n



t1

xt

120

(1220)10.5

(0)

1201191

20



t119

(xt)

2

35

(1)



t118

(xt)(xt1)29.75

(2)

18117



t117

(xt)(xt2)25.9167

(3)



t1

(xt)(xt3)21.75

(4)=17.25 (5)=12.4167 (6)=7.25 1=0.85（0.85） 2=0.7405（0.702） 3=0.6214（0.556） 4=0.4929（0.415） 5=0.3548（0.280） 6=0.2071（0.153） 注：括号内的结果为近似公式所计算。

（3）样本自相关图：

. |*******| . |***** | . |**** | . |*** | . |**. | . |* . | . | . | . *| . | . *| . | .**| . |

. |*******| . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . |

1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.076 28.761 0.000 3 0.556 -0.076 36.762 0.000 4 0.415 -0.077 41.500 0.000 5 0.280 -0.077 43.800 0.000 6 0.153 -0.078 44.533 0.000 7 0.034 -0.077 44.572 0.000 8 -0.074 -0.077 44.771 0.000 9 -0.170 -0.075 45.921 0.000 10 -0.252 -0.072 48.713 0.000

.**| . | ***| . |

. *| . | . *| . |

11 -0.319 -0.067 53.693 0.000 12 -0.370 -0.060 61.220 0.000

m

4、LBn(n2)

k1

ˆknk

2

LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895



20.05

(6)=12.59



20.05

(12)=21.0

显然，LB统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P97

1、解：E(xt) (1 (1 xt Var 2

0.7*E(xt1)E(t)

0.7)E(xt)0

E(xt)

0

0.7B）xt

1

t

t

(10.7B)(10.7B0.7B

22

)

t

(xt)1

2

110.49



2



1.9608

2



0.49

22

0

2、解：对于AR（2）模型：

110211210.5



211201120.3

解得：

17/1521/15

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(xt) 原模型可变为：xt

Var(xt)

0.8xt10.15xt2

t

0

12

(12)(112)(112)



2



(10.15)

(10.15)(10.80.15)(10.80.15)



2

=1.98232

11/(12)0.6957

211200.40660.2209

122131110.6957



2220.15

330

4、解：原模型可变形为： (1

BcB

2

)xt

t

|1，211且211时，模型平稳。

由其平稳域判别条件知：当|2 由此可知c应满足：|c|1，c

11且c11

即当－1

1



1/(1c)

k1ck2

k0k1k2

k

5、证明：已知原模型可变形为： (1BcB

2

cB

3

)xt



2

t

2

其特征方程为：3

cc(1)(c)0

不论c取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

6、解：（1）错，

Var(xt)

2



/(1

2

1

)。

2

（2）错，E[(xt)(xt1)]11

ˆT(l)1xT。 （3）错，x

l

1



/(11)

2

。

（4）错，eT(l)TlG1Tl1G2Tl2Gl1T1 Tl1Tl11Tl21T1

ˆT(l)]limVar[eT(l)]lim （5）错，limVar[xTlx

l

l

2l1

1[11]11

2

2l



2

l





111

2



2



。

2

7、解：11



411

12

1

1

1

21

MA(1)模型的表达式为：xt

t



t1

。

8、解：E(xt)

0/(11)10/(10.5)20

原模型可变为：(10.5B)(x2

t20)(10.8BCB

3

)t

x(10.8B

2

CB

3

)

t20(10.5B)

t

显然，当10.8B2

CB

3

能够整除1－0.5B时，模型为MA(2)模型，由此

得B＝2是10.8B

2

CB

3

＝0的根，故C＝0.275。

9、解：：E(xt)

0

Var(x2

2t)(112

)

2



1.65

2



1121

12

2

0.980.5939

1

2

1.65



2

2

12

2



0.4 k

0，k3

12

1.65

0.2424

10、解：（1）xtt

C(

t1



t2

)

xt1

t1

C(

t2



t3

)

xt

xt1t1

tCt1xt1t(C1)Ct1

 即 (1

B)xt[1(C1)B]

t

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2） yt

xtxt1

t

(C1)

t1

为MA(1)模型，平稳。

1



111

2

C

C1

2

2C2

11、解：（1）|2 1



|1.21，模型非平稳；



1.3738 2

-0.8736

，2

11.41，模型平稳。

（2）|2 1



|0.31，210.81

0.6 2

|0.31，

2



0.5

2

（3）|2 1



10.61，



11.21，模型可逆。

0.45＋0.2693i 2

|0.41，

2

0.45－0.2693i

2

（4）|2 1



10.91，



11.71

，模型不可逆。

0.2569 2

-1.5569 0.7 0.6

（5）|1 |1 （6）|2 1 |1



|0.71，模型平稳；1|0.61，模型可逆；1

|0.51，210.31，211.31，模型非平稳。

0.4124 2



-1.2124 1.1

|1.11，模型不可逆；1

12、解：(10.6B)xt xt

(10.3B)t

2

2

(10.3B)(10.6B0.6B(10.3B0.3*0.6B



2

)t

2

3

 

0.3*0.6B

)t

t



j1

0.3*0.6

j1

tj

G0

1

，Gj

0.3*0.6

j1

13、解：E[(B)xt] E(xt)

14、证明：0 1 k

12

E[3(B)t](10.5)E(xt)3

2

(0)/(0)1

；



0.25(10.5*0.25)10.25

2



(1)(0)



(11)(111)11211

2

2*0.5*0.25

0.27

1k10.5k1

k

2

15、解：（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

16、解：（1）xt

ˆT(1) xˆT(2) x

100.3*(xt110)t

， xT

9.6

E(xt1)E[100.3*(xT10)T1]9.88

E(xt2)E[100.3*(xT110)T2]9.964E(xt3)E[100.3*(xT210)T3]9.9892

ˆT(3) x

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj eT(3) Var

1

j

，

j1，2，

2

G0t3G1t2G2t1t31t21t1

2

2

[eT(3)](10.30.09

)*99.8829

xt3的95％的置信区间：

即[3.8275,16.1509]

[9.9892-1.96*9.8829，9.9892＋1.96*9.8829]

ˆT(1)10.59.880.62 （2）T1xT1x

ˆT1(1)E(xt2)0.3*0.629.96410.15 xˆT1(2) x

E(xt3)0.09*0.629.9892

2

10.045

Var

[eT2(2)](10.3)*99.81

xt3的95％的置信区间：

[10.045-1.96×9.81，10.045＋1.96*9.81]

即[3.9061,16.1839]