锁相环及其应用
所谓锁相环路，实际是指自动相位控制电路（APC），它是利用两个电信号的相位 误差，通过环路自身调整作用，实现频率准确跟踪的系统，称该系统为锁相环路，简 称环路，通常用PLL表示。
锁相环路是由鉴相器(简称 PD)、环路滤波器（简称 LPF或LF）和压控振荡器（简 称 VCO）三个部件组成闭合系统。这是一个基本环路，其各种形式均由它变化而来
PLL概念
设环路输入信号
v= V
iom
im
sin(ωit+φi)
环路输出信号
v= V
o
sin(ωot+φo)——其中ωo=ωr+△ωo
通过相位反馈控制，最终使相位保持同步，实现了受控频率准确跟踪基准信号频率的自动控制系统称为锁相环路。
PLL构成
由鉴相器（PD）环路滤波器（LPF）压控振荡器（VCO）组成的环路。
PLL原理
从捕捉过程→锁定
A.捕捉过程（是失锁的）
a. b.
φi┈φi均是随时间变化的，经相位比较产生误差相位φe=φi-φo,也是变化的。 φe(t)由鉴相器产生误差电压
v(t)=f(φ
d
e
)完成相位误差—电压的变换作用。
v(t)为交流电压。
d
c.
v(t)经环路滤波，滤除高频分量和干扰噪声得到纯净控制电压，由VCO产生
d
控制角频差△ω0,使ω0随ωi变化。
B.锁定（即相位稳定）
a. b.
一旦锁定φe(t)=φ
e∞
（很小常数）
v(t)= V（直流电压）
d
d
ω0≡ωi输出频率恒等于输入频率（无角频差，同时控制角频差为最大△ω0max, 即 ω0=ωr＋△ω0max。ωr为VCO固有振荡角频率。）
锁相基本组成和基本方程(时域)
各基本组成部件 鉴相器(PD)
数学模式
v(t)=Asinφ
d
D
e
(t)
相位模式
环路滤波器(LPF) 数学模式
v(t)=A(P) v(t)
c
F
d
相位模式
压控振荡器(VCO)
数学模式
相位模式
环路模型
相位模式：指锁相环(PLL)输入相位和输出相位的反馈调节关系。
相位模型：把鉴相器,环路滤波器和压控振荡器三个部件的相位模型依次级联起来
就构成锁相相位模型。
锁相环路基本方程(动态方程)和物理意义
方程： Pφe(t)=Pφi(t)-AOADAF(p)sinφe(t) Pφe(t)=Pφi(t)-A∑(p)sinφe(t)
方程特点：
属非线性微分方程 非线性由鉴相器决定
求解微分方程，可确定环路的性能。
方程物理意义：
它是描述输入信号和压控振荡器输出信号之间的相位误差φe(t),从环路闭合的一瞬间开始,φe(t)随着时间t变化的过程。
各项物理意义：
Pφe(t)表示环路瞬时角频差 △ω= ωi-ωo Pφi(t)表示环路的固有角频差（或起始角频差） △ωi= ωi-ωr
AOADAF(p)sinφe(t)表示环路控制角频差△ωo= ωo-ωr
环路动态过程表明:△ωi=△ω↓＋△ωo↑ 当△ω↓↓=0时, ωi=ωo环路锁定。 锁定时
※补充
二、 复频域
锁相基本方程和相位模型（复频域）
线性化条件:
环路线性化环路方程：
Pφe(t)=Pφi(t)-A∑F(p)φe(t)为线性微分方程。
复频域相位模式:
复频域环路线性化环路方程
Sφe(S)=Sφi(S)-A∑F(S)φe(t)
φe(S),φi(S)为 φe(t), φi(t)的拉氏变换 F(S)是环路滤波器的传递函数。
环路传递函数
线性系统传递函数的定义：
当初始条件为零时，响应函数的拉氏变换与驱动函数的拉氏变换之比。 环路传递函数：
开环传递函数Ho(s)
当环路反馈支路开路状态下,由输入相位 驱动所引起输出相位的响应。为
:
闭环传递函数H(s)
研究环路闭环状态下，由输入相位φi(S)驱动所引起输出相位φo(S) 的响应。为
:
误差传递函数He(s)
研究闭环状态下，由输入相位驱动，误差相位的响应。为
:
Ho(s),H(s),He(s) 是研究锁相环路跟踪（或同步）状态最常用的三个传递函数，三者之间的关系为
:
是工程中常用，应熟记。
F(S)是环路滤波器的传递函数。不同的环路，采取的环路滤波器不同，即F(S)不同，代入环路传递函数中即可得到不同环路的三种不同传递函数。
为了引入环路参量 ωn──环路固有角频率 ζ──环路阻尼系数
可描述环路的动态过程(其中ωn,ζ 均可用Ao,AD及时间常数τ或τ1,τ2表示，但各环路系统的ωn,ζ是不同的）。
分母标准化环路传递函数表示如下：
锁相环路的工作状态
一、锁定状态
锁定工作状态现象的观察(实验
)
锁定状态涵义:
它是指环路基准输入信号的频率和相位与压控振荡器输出信号的频率和相位相等,则鉴相器输出电压
v(t)为一直流电压，其大小使压控振荡器
d
频率保持着和基准输入信号频率相等。
锁定充分必要条件 说明：
假设基准输入信号频率和初相位是不变。开环时ωi≠ωr，存在固有角频差Δωi，当环路闭合后，通过环路的调节作用，使VCO产生一个控制频差Δωo=ωo-ωr，在锁定时，任何时刻Δωi=Δωo。
锁定条件：
ωi=ωo φe(t)=φ
二、跟踪状态
e∞
跟踪工作状态现象的观察
用信号发生器代替基准输入信号fi，当改变fi频率，在一定范围内变化时，观察发现VCO的频率fo将随着信号发生器的频率作线性变化。在环路锁定情况下二个频率计的频率读数始终是相等的。
跟踪过程可表示为:
ωi↑→φi↑→φe↑→Vd↑→Vc↑→Cj↓→ωo↑→φo↑ 同样跟踪过程也是锁定的一种形式:
ωo↑→φo↑→φe↓→Vd↓→Vc↓→Cj↑→ωo↓→φo↓
可见锁相环是一个相位反馈系统，环路锁定没有频差，但仍然存在相位误差φe,否则不可能再控制频率变化了。
同步带：
指环路本身是失锁状态，使环路能保持跟踪和同步的最大固有角频差Δωimax=ΔωH称为环路的同步带。
三、失锁状态
失锁涵义：表示环路既不锁定，也不跟踪，环路所处的工作状态。 失锁通过环路调节作用可能有两种不同结果：
其一：可能使环路无法再锁定。
其二：可能使环路再锁定。(这是通常失锁状态总是指这种情况)
环路从失锁到环路再次锁定的过程称为捕捉过程。 捕捉过程
包含两个阶段，一是频率牵引阶段(或称频率捕捉过程)；一是相位牵引阶段（或称相位捕捉过程）。
捕捉过程鉴相器输出电压
v(t) 呈现波形就不再是正弦波，而是一
d
串非周期性的“叶尖”波。
频率捕捉过程是由于φe(t)产生2π周期跳跃,产生上下不对称的差拍波，产生一个直流分量，随差拍波的周期愈来愈长，使这直流分量值也愈来愈大，这直流的增长过程，就是环路滤波器的积分过程，将VCO的频率从ωi牵引ωr，完成频率牵引过程。
相位捕捉过程是使VCO频率已接近了ωi，认为只进行相位的调整，这过程已不再发生2π周期的跳跃，所以是快捕入锁的过程。使φe(t)趋于稳态的相位差φ
e∞
，由于
v经过环路滤波器后产生 v
d
e∞
c
信号，控制VCO，才能保持ωi＝ωo，若无φ存在,环路也无法锁定。
环路锁定后，若输入信号是随时间发生变化，加至鉴相器后，通过环路调节作用，使压控振荡器的频率也不断地跟随输入信号频率和相位而变，只要满足 ωi－ωo=(ωi-ωr)-(ωo-ωr)，这时环路工作状态就是跟踪(或同步)状态。
※补充
环路频响特性
“频率特性”是对输入信号的相位频谱而言
输入信号 vi(t)=Vimsin[ωc(t)＋misin(Ωt＋φi)] 输入相位 φi(t)=misin(Ωt＋φi') 输出相位 φo(t)=mosin(Ωt＋φo') 误差相位 φe(t)=msin(Ωt＋φe')
将环路传递函数中S,令S=jΩ即分别得到不同环路闭环频率响应和误差的频率响应。
一阶环
二阶环（以理想二阶环为例）
结论
无论何种滤波器的二阶环其闭环频响特性应都具有低通性质，误差频响特性都具有高通性质。这两种响应在环路应用中有极重要的作用。
闭环幅频具有低通滤波特性即：只要输入信号的相位调制频率Ω低于环路的自然频率ωn（严格地说是截止角频率），则环路就可以良好地传递相位调制，VCO的输出相位φo(t)可以良好跟踪输入相位φi(t)的变化，环路误差相位很 小。
误差频响具有高通滤波特性即：当相位调制频率Ω远高于环路自然频率ωn，那么环路不能传递相位调制，VCO的输出相位Φo(t)不能跟踪输入相位φi(t)变化，环路误差相位φe(t)几乎与输入相位φi(t)一样变化。
调制跟踪与载波跟踪
调制跟踪
指当Ω＜ωn，处于闭环低通特性的通带内，使环内的VCO的输出电压 跟踪了Vo(t)的相位调制。称它为调制跟踪状态。
v(t)
o
调制跟踪型应用实例框图──锁相鉴频
载波跟踪型
是指当Ω>ωn，调制频率处于闭环低通特性的通带外，φi(t)不能跟踪φo(t)，此时VCO输出无相位调制的载波
v(t)=V
o
om
cosωot，当输入信号的载频产生缓慢
的漂移时，由于环路要维持稳定，所以输出载频也会跟着漂移，这种跟踪状态称为载波跟踪型。
φo(t)没有跟踪 φi(t)，却反映了φe(t)较大，即φe(t)跟踪了φi(t)的相位调制，这就是误差频率响应的高通特性。
载波跟踪环可用于提取输入已调波中的载波等。应用实例框图──载波跟踪环用作同步检波。
v(t)与 v(t)在载波相位上相差90°，所以 v(t)经π/2移相可得到与原载
i
o
o
波同频同相的参考信号。
环路暂态(瞬态)响应和稳态相位（一）
暂态相位差和稳态相位差 稳态相位差
锁相环路处于锁定状态时，输出频率与输入频率相等，两者之间只有φ称φ
e∞
e∞
，
相差为稳态相位差。
不同环路，不同的输入信号形式，有不同的稳态相位差。
暂态相位差
环路在锁定条件下，若输入信号的频率或相位发生了变化,通过环路自身调整，如果是理想的跟踪，跟踪的过程φe(t)变化较小，最后使环路重新入锁。这过程称暂态过程，暂态过程的相位差φe(t)称为暂态相位差。
暂态相位差不仅与环路参数有关，还与输入信号的变化形式有关。
暂态过程是环路跟踪过程，环路可视为线性系统，系统的特性可用传递函数表示。
典型输入信号形式
输入相位阶跃
输入频率阶跃
频率斜升
研究暂态响应的方法
写出输入信号的拉氏变换φi(s) 写出环路传递函数H(s)和He(s)
求出φo(s)＝H(s)φi(s),φe(s)=He(s)φi(s) 求φo(s)、φe(s)拉氏反变换φo(t)、φe(t) 即φo(t)=L-1[φo(s)]，φe(t)=L-1[φe(s)]
典型信号输入环路的暂态（瞬态）响应
环路稳定性
锁相环是一个反馈控制系统，稳定是反馈控制系统的重要性能，关系到系统能够 正常发挥效能的前提条件。 线性环路系统稳定充要条件
闭环传递函数的全部极点都应位于S平面的左半平面上，否则为不稳定系统。 线性环路系统判断方法
根轨迹法
根轨迹：锁相环的闭环极点随Ａ∑值的变化(从O→∞)而在S平面(复数S平面)上描绘出的轨迹,称作根的轨迹，简称根轨迹。 ★稳态相位差φ
e∞
根轨迹法：
根据锁相环开环传递函数零,极点的数值，通过根轨迹曲线求出闭环传递函数H(S)的极点，来判断环路稳定性的方法。
根轨迹主要特性： ※
根轨迹的数目等于闭环特征方程的阶数。也就是根轨迹的数目与闭环极点数目相同，并与环路阶数相等。
※
根轨迹的起点起始于开环的极点，而终止于开环零点或无穷远处。也就是根轨迹上相应于Ａ∑＝O的点是开环极点；相应于Ａ∑＝∞的点是开环零点或无穷远处。
※ 根轨迹均为连续的，并对称于实轴的曲线。
根轨迹法判断举例：
闭环传递函数与开环传递函数之间关系为
环路闭环特征方程1+G(S)=O ※ 对一阶环稳定性判断
(F(S)=1)
极点数n=1 所以根轨迹只有一条，并且连续的。所以一阶环开环传递函数具有一个零极点，而无零点。
由右图可见
从开环的极点是在原点开始，向Ａ
∑
→∞变化时，根轨迹终止于无穷远处。实
际上，一阶环的根轨迹就是S平面的负实轴。
可见：一阶环传递函数的极点位于S平面的左侧，所以是无条件稳定。
※有源RC比例积分二阶2型环的稳定判断
闭环极点数n=2即阶数为2，所以根轨迹有两条，并且连续的而对称于实轴的曲线。
二条根轨迹均位于S平面的左半平面内，所以二阶2型环是无条件稳定。
波得准则法
用开环频域特性，来判断闭环时系统的极点是否都落在S平面的左半平面内，若是，则为就是稳定，若有一个或一个以上处在右半平面或虚轴上，则系统就是不稳定的。波得准则在工程上是常用的，即波得图可根据开环传递函数绘出，也可通过实验方法得出。
波得图：
※ 包括幅频特性和相频特性，频率都用对数分度表示。 ※
实际应用时，不但要求稳定，而且要求远离临界稳定的条件，即相位余量和增益余量。
※ 开环增益达到0dB时的频率称增益临界频率ωT。
开环相移达到π时的频率称相位临界频率ωK。
环路非线性相图分析
锁相环路是一个非线性的自动控制系统。其非线性主要来源于鉴相器。在作
环路跟踪性能的分析中，是假定环路已经工作在锁定状态。在跟踪过程中认为相位误差φe(t)始终是很小，故允许对环路作线性化处理。但在实际工作过程中环路相位误差并不是很小，如捕获的过程其相位误差即可能大大超过此线性化允许的范围。因此，研究环路的捕捉过程、捕捉带以及捕捉时间等，就不能再做线性化处理，而必须解出高阶非线性微分方程，即必须对环路作非线性分析。
试图求解二阶以上的非线性微分方程，目前是较困难的。只有有限的特定形式的低阶非线性微分方程能够直接求解。这样在工程上对非线性系统只能根据其具体非线性、工作状态、输入量的大小，采用不同的方法进行分析。目前采用下述一些方法：
１.相图法 ２.描述函数法 ３.李雅普诺夫法 ４.空间状态变量法
相图法和描述函数法是属于比较成熟的经典方法，而李雅普诺夫法和空间状态变量法属于现代控制理论的范畴。但是对于我们目前广泛采用的一些系统，相图法与描述函数法仍然能够给出卓有成效的分析，现仅就相图法来分析一阶、二阶环路，定性或定量的描述环路在同步与捕捉过程中的一些现象。
基本概念
相图法是一种图解分析方法，可用于分析一阶、二阶非线性微分方程的动态过程，取得稳定性、时间响应等有关的信息。在现代计算机模拟计算下，可比较迅速与精确的获得相轨迹图形，用于系统的分析与设计。但相图法只适合一阶和二阶系统，三阶系统相轨迹将处于三维空间，无论绘制与分析都是困难的。固而，三阶和三阶以上可采用描述函数法、李雅普诺夫法和空间状态变量法等。
相图特点
线性系统相图的特点
设二阶线性系统基本方程为
对应的相轨迹方程为：
如下图，图中对应六种情况下的六种奇点，同时还相应的做出了对应某一起始相差φe(0)的变量φe随时间变化的图形，以便于对奇点性质的理解。特点如下：
上半平面φe'>0，故相点随时间增加向右移动；下半平面φe'
除相点外，相轨迹和横轴总是正交的，因为该点dφe/dφe＝∞。 原点可能有几条相轨迹相交也可能一条也没有通过，相轨迹在原点的斜率dφe'/φe＝0/0为不定值，称这样的点为奇点（平衡点）。 由于奇点附近相轨迹走向不同，决定奇点性质也不相同，可分为稳定焦点、不稳定焦点、稳定结点、不稳定结点、中心点与鞍点。
'
对应二阶不稳定系统相图如右图
:
非线性系统相图的特点
非线性系统相轨迹除了有和前面类似地方以外还有其自己的特点。最重要的特点是相图上可能出现一些闭合曲线――极限环。
所有极限环附近的相轨迹都趋向于极限环,或从极限环离开,因此极限环将相平面分成内平面和外部平面。极限环外部的相轨迹不能穿过极限环到达极限环内部；反之，极限环内部的相轨迹也不能穿过极限环到达它的外部。 根据极限环内外相轨迹的运动轨迹情况，极限环可分以下几种：
稳定极限环、不稳定极限环、多个极限环和半稳定极限环
环路相图及其捕获性能 基本概念 捕捉时间
环路从某个起始频差开始，经历频率捕获与相位捕获过程所需时间之和称为捕捉时间，用tp表示。
捕捉带
环路原先失锁，在外界因素影响下，输入固有角频差逐渐减小，环路
开始能够锁定，因此环路由失锁进入锁定允许最大固有角频差称为捕捉带，用△ωP表示。
同步带
环路原先锁定，在外界因素影响下，环路偏离原锁定状态，又使环路入锁的允许的最大输入固有角频差称为同步带，用△ωH表示。
快捕带
环路不经过周期（2π）跳跃而能捕获的最大固有角频差称为快捕带，用△ωL表示。
具体环路相图分析
一阶环路相图分析
理想积分滤波器（二阶2型）在固定频率输入时环路相图分析 无源比例积分滤波器（二阶1型）在固定频率输入时环路相图分
析
理想积分滤波器（二阶2型）在频率斜升输入时环路相图分析
一阶环路相图分析
由于一阶环路中没有环路滤波器，因此，AF(s)=1 所以相轨迹方程如下：
结论：
环路入锁条件为： △ωi≢AOAD 稳定平衡点为：
对于一阶锁相环：同步带、捕捉带和快捕带是一样的。 即：△ωH＝△ωP＝△ωL 捕捉时间
当△ωi
当△ωi>AOAD时,环路处于失锁状态，从而产生频率牵引现象
环路噪声和等效噪声带宽
噪声概念
噪声是杂乱无章的起伏噪声，是平稳的随机过程，满足统计特性。 功率谱密度S(f)
单位带宽，单位电阻所得到的平均功率称为功率谱密度；用S(f)表示。 大量事实已证明，噪声在单位电阻上消耗的平均功率是确定的。 噪声脉冲f(t)的振幅谱密度为
并求得
为抽样函数（其中令τ＝10-13s）
说明单个窄脉冲在BW=1013Hz范围内为均匀的振幅谱密度G(f)≈τ（常数）
起伏噪声的功率谱密度也是均匀的。
高斯噪声和白噪声
白噪声指在0～1013Hz 频带内功率谱密度是均匀的。
白高斯噪声指在0～10Hz频带内功率谱密度是均匀的，并且概率密度满足高斯分布的噪声。
13
锁相环噪声和环路等效噪声带宽
在实际应用中，锁相环路的输入信号总是伴随着噪声和干扰的，其影响很大，甚至可以完全破坏环路的工作。
在有噪声的条件下，整个捕获的跟踪问题本身都只有概率的意义。因此分析中使用了随机过程的统计特性。
在有输入噪声的情况下，环路方程为：
其中
N(t)为环路的等效噪声N(t)
nc(t) 、ns(t) 为两个正交分量，分别写为
有噪声环路输出误差电压信号
有噪声环路相位模式
在弱噪声作用下，φe(t)较小，这时sinφe(t)≈φe(t)可得到线性化噪声模型，因而，可用线性电路的各种方法来分析。
环路输入及输出相位噪声的功率谱密度
环路输入及输出相位噪声方差
说明环路等效噪声带宽BL愈窄，环路对输入噪声抑制能力愈强。 环路单边噪声带宽
宽度为BL 的理想低通滤波器
环路单边噪声带宽
（如图中虚线所示），环路等效噪声带宽BL也就是保证矩形面积与环路低通功率响应曲线下面面积相等。
环路输入信噪比及环路信噪比
锁相环及其应用
所谓锁相环路，实际是指自动相位控制电路（APC），它是利用两个电信号的相位 误差，通过环路自身调整作用，实现频率准确跟踪的系统，称该系统为锁相环路，简 称环路，通常用PLL表示。
锁相环路是由鉴相器(简称 PD)、环路滤波器（简称 LPF或LF）和压控振荡器（简 称 VCO）三个部件组成闭合系统。这是一个基本环路，其各种形式均由它变化而来
PLL概念
设环路输入信号
v= V
iom
im
sin(ωit+φi)
环路输出信号
v= V
o
sin(ωot+φo)——其中ωo=ωr+△ωo
通过相位反馈控制，最终使相位保持同步，实现了受控频率准确跟踪基准信号频率的自动控制系统称为锁相环路。
PLL构成
由鉴相器（PD）环路滤波器（LPF）压控振荡器（VCO）组成的环路。
PLL原理
从捕捉过程→锁定
A.捕捉过程（是失锁的）
a. b.
φi┈φi均是随时间变化的，经相位比较产生误差相位φe=φi-φo,也是变化的。 φe(t)由鉴相器产生误差电压
v(t)=f(φ
d
e
)完成相位误差—电压的变换作用。
v(t)为交流电压。
d
c.
v(t)经环路滤波，滤除高频分量和干扰噪声得到纯净控制电压，由VCO产生
d
控制角频差△ω0,使ω0随ωi变化。
B.锁定（即相位稳定）
a. b.
一旦锁定φe(t)=φ
e∞
（很小常数）
v(t)= V（直流电压）
d
d
ω0≡ωi输出频率恒等于输入频率（无角频差，同时控制角频差为最大△ω0max, 即 ω0=ωr＋△ω0max。ωr为VCO固有振荡角频率。）
锁相基本组成和基本方程(时域)
各基本组成部件 鉴相器(PD)
数学模式
v(t)=Asinφ
d
D
e
(t)
相位模式
环路滤波器(LPF) 数学模式
v(t)=A(P) v(t)
c
F
d
相位模式
压控振荡器(VCO)
数学模式
相位模式
环路模型
相位模式：指锁相环(PLL)输入相位和输出相位的反馈调节关系。
相位模型：把鉴相器,环路滤波器和压控振荡器三个部件的相位模型依次级联起来
就构成锁相相位模型。
锁相环路基本方程(动态方程)和物理意义
方程： Pφe(t)=Pφi(t)-AOADAF(p)sinφe(t) Pφe(t)=Pφi(t)-A∑(p)sinφe(t)
方程特点：
属非线性微分方程 非线性由鉴相器决定
求解微分方程，可确定环路的性能。
方程物理意义：
它是描述输入信号和压控振荡器输出信号之间的相位误差φe(t),从环路闭合的一瞬间开始,φe(t)随着时间t变化的过程。
各项物理意义：
Pφe(t)表示环路瞬时角频差 △ω= ωi-ωo Pφi(t)表示环路的固有角频差（或起始角频差） △ωi= ωi-ωr
AOADAF(p)sinφe(t)表示环路控制角频差△ωo= ωo-ωr
环路动态过程表明:△ωi=△ω↓＋△ωo↑ 当△ω↓↓=0时, ωi=ωo环路锁定。 锁定时
※补充
二、 复频域
锁相基本方程和相位模型（复频域）
线性化条件:
环路线性化环路方程：
Pφe(t)=Pφi(t)-A∑F(p)φe(t)为线性微分方程。
复频域相位模式:
复频域环路线性化环路方程
Sφe(S)=Sφi(S)-A∑F(S)φe(t)
φe(S),φi(S)为 φe(t), φi(t)的拉氏变换 F(S)是环路滤波器的传递函数。
环路传递函数
线性系统传递函数的定义：
当初始条件为零时，响应函数的拉氏变换与驱动函数的拉氏变换之比。 环路传递函数：
开环传递函数Ho(s)
当环路反馈支路开路状态下,由输入相位 驱动所引起输出相位的响应。为
:
闭环传递函数H(s)
研究环路闭环状态下，由输入相位φi(S)驱动所引起输出相位φo(S) 的响应。为
:
误差传递函数He(s)
研究闭环状态下，由输入相位驱动，误差相位的响应。为
:
Ho(s),H(s),He(s) 是研究锁相环路跟踪（或同步）状态最常用的三个传递函数，三者之间的关系为
:
是工程中常用，应熟记。
F(S)是环路滤波器的传递函数。不同的环路，采取的环路滤波器不同，即F(S)不同，代入环路传递函数中即可得到不同环路的三种不同传递函数。
为了引入环路参量 ωn──环路固有角频率 ζ──环路阻尼系数
可描述环路的动态过程(其中ωn,ζ 均可用Ao,AD及时间常数τ或τ1,τ2表示，但各环路系统的ωn,ζ是不同的）。
分母标准化环路传递函数表示如下：
锁相环路的工作状态
一、锁定状态
锁定工作状态现象的观察(实验
)
锁定状态涵义:
它是指环路基准输入信号的频率和相位与压控振荡器输出信号的频率和相位相等,则鉴相器输出电压
v(t)为一直流电压，其大小使压控振荡器
d
频率保持着和基准输入信号频率相等。
锁定充分必要条件 说明：
假设基准输入信号频率和初相位是不变。开环时ωi≠ωr，存在固有角频差Δωi，当环路闭合后，通过环路的调节作用，使VCO产生一个控制频差Δωo=ωo-ωr，在锁定时，任何时刻Δωi=Δωo。
锁定条件：
ωi=ωo φe(t)=φ
二、跟踪状态
e∞
跟踪工作状态现象的观察
用信号发生器代替基准输入信号fi，当改变fi频率，在一定范围内变化时，观察发现VCO的频率fo将随着信号发生器的频率作线性变化。在环路锁定情况下二个频率计的频率读数始终是相等的。
跟踪过程可表示为:
ωi↑→φi↑→φe↑→Vd↑→Vc↑→Cj↓→ωo↑→φo↑ 同样跟踪过程也是锁定的一种形式:
ωo↑→φo↑→φe↓→Vd↓→Vc↓→Cj↑→ωo↓→φo↓
可见锁相环是一个相位反馈系统，环路锁定没有频差，但仍然存在相位误差φe,否则不可能再控制频率变化了。
同步带：
指环路本身是失锁状态，使环路能保持跟踪和同步的最大固有角频差Δωimax=ΔωH称为环路的同步带。
三、失锁状态
失锁涵义：表示环路既不锁定，也不跟踪，环路所处的工作状态。 失锁通过环路调节作用可能有两种不同结果：
其一：可能使环路无法再锁定。
其二：可能使环路再锁定。(这是通常失锁状态总是指这种情况)
环路从失锁到环路再次锁定的过程称为捕捉过程。 捕捉过程
包含两个阶段，一是频率牵引阶段(或称频率捕捉过程)；一是相位牵引阶段（或称相位捕捉过程）。
捕捉过程鉴相器输出电压
v(t) 呈现波形就不再是正弦波，而是一
d
串非周期性的“叶尖”波。
频率捕捉过程是由于φe(t)产生2π周期跳跃,产生上下不对称的差拍波，产生一个直流分量，随差拍波的周期愈来愈长，使这直流分量值也愈来愈大，这直流的增长过程，就是环路滤波器的积分过程，将VCO的频率从ωi牵引ωr，完成频率牵引过程。
相位捕捉过程是使VCO频率已接近了ωi，认为只进行相位的调整，这过程已不再发生2π周期的跳跃，所以是快捕入锁的过程。使φe(t)趋于稳态的相位差φ
e∞
，由于
v经过环路滤波器后产生 v
d
e∞
c
信号，控制VCO，才能保持ωi＝ωo，若无φ存在,环路也无法锁定。
环路锁定后，若输入信号是随时间发生变化，加至鉴相器后，通过环路调节作用，使压控振荡器的频率也不断地跟随输入信号频率和相位而变，只要满足 ωi－ωo=(ωi-ωr)-(ωo-ωr)，这时环路工作状态就是跟踪(或同步)状态。
※补充
环路频响特性
“频率特性”是对输入信号的相位频谱而言
输入信号 vi(t)=Vimsin[ωc(t)＋misin(Ωt＋φi)] 输入相位 φi(t)=misin(Ωt＋φi') 输出相位 φo(t)=mosin(Ωt＋φo') 误差相位 φe(t)=msin(Ωt＋φe')
将环路传递函数中S,令S=jΩ即分别得到不同环路闭环频率响应和误差的频率响应。
一阶环
二阶环（以理想二阶环为例）
结论
无论何种滤波器的二阶环其闭环频响特性应都具有低通性质，误差频响特性都具有高通性质。这两种响应在环路应用中有极重要的作用。
闭环幅频具有低通滤波特性即：只要输入信号的相位调制频率Ω低于环路的自然频率ωn（严格地说是截止角频率），则环路就可以良好地传递相位调制，VCO的输出相位φo(t)可以良好跟踪输入相位φi(t)的变化，环路误差相位很 小。
误差频响具有高通滤波特性即：当相位调制频率Ω远高于环路自然频率ωn，那么环路不能传递相位调制，VCO的输出相位Φo(t)不能跟踪输入相位φi(t)变化，环路误差相位φe(t)几乎与输入相位φi(t)一样变化。
调制跟踪与载波跟踪
调制跟踪
指当Ω＜ωn，处于闭环低通特性的通带内，使环内的VCO的输出电压 跟踪了Vo(t)的相位调制。称它为调制跟踪状态。
v(t)
o
调制跟踪型应用实例框图──锁相鉴频
载波跟踪型
是指当Ω>ωn，调制频率处于闭环低通特性的通带外，φi(t)不能跟踪φo(t)，此时VCO输出无相位调制的载波
v(t)=V
o
om
cosωot，当输入信号的载频产生缓慢
的漂移时，由于环路要维持稳定，所以输出载频也会跟着漂移，这种跟踪状态称为载波跟踪型。
φo(t)没有跟踪 φi(t)，却反映了φe(t)较大，即φe(t)跟踪了φi(t)的相位调制，这就是误差频率响应的高通特性。
载波跟踪环可用于提取输入已调波中的载波等。应用实例框图──载波跟踪环用作同步检波。
v(t)与 v(t)在载波相位上相差90°，所以 v(t)经π/2移相可得到与原载
i
o
o
波同频同相的参考信号。
环路暂态(瞬态)响应和稳态相位（一）
暂态相位差和稳态相位差 稳态相位差
锁相环路处于锁定状态时，输出频率与输入频率相等，两者之间只有φ称φ
e∞
e∞
，
相差为稳态相位差。
不同环路，不同的输入信号形式，有不同的稳态相位差。
暂态相位差
环路在锁定条件下，若输入信号的频率或相位发生了变化,通过环路自身调整，如果是理想的跟踪，跟踪的过程φe(t)变化较小，最后使环路重新入锁。这过程称暂态过程，暂态过程的相位差φe(t)称为暂态相位差。
暂态相位差不仅与环路参数有关，还与输入信号的变化形式有关。
暂态过程是环路跟踪过程，环路可视为线性系统，系统的特性可用传递函数表示。
典型输入信号形式
输入相位阶跃
输入频率阶跃
频率斜升
研究暂态响应的方法
写出输入信号的拉氏变换φi(s) 写出环路传递函数H(s)和He(s)
求出φo(s)＝H(s)φi(s),φe(s)=He(s)φi(s) 求φo(s)、φe(s)拉氏反变换φo(t)、φe(t) 即φo(t)=L-1[φo(s)]，φe(t)=L-1[φe(s)]
典型信号输入环路的暂态（瞬态）响应
环路稳定性
锁相环是一个反馈控制系统，稳定是反馈控制系统的重要性能，关系到系统能够 正常发挥效能的前提条件。 线性环路系统稳定充要条件
闭环传递函数的全部极点都应位于S平面的左半平面上，否则为不稳定系统。 线性环路系统判断方法
根轨迹法
根轨迹：锁相环的闭环极点随Ａ∑值的变化(从O→∞)而在S平面(复数S平面)上描绘出的轨迹,称作根的轨迹，简称根轨迹。 ★稳态相位差φ
e∞
根轨迹法：
根据锁相环开环传递函数零,极点的数值，通过根轨迹曲线求出闭环传递函数H(S)的极点，来判断环路稳定性的方法。
根轨迹主要特性： ※
根轨迹的数目等于闭环特征方程的阶数。也就是根轨迹的数目与闭环极点数目相同，并与环路阶数相等。
※
根轨迹的起点起始于开环的极点，而终止于开环零点或无穷远处。也就是根轨迹上相应于Ａ∑＝O的点是开环极点；相应于Ａ∑＝∞的点是开环零点或无穷远处。
※ 根轨迹均为连续的，并对称于实轴的曲线。
根轨迹法判断举例：
闭环传递函数与开环传递函数之间关系为
环路闭环特征方程1+G(S)=O ※ 对一阶环稳定性判断
(F(S)=1)
极点数n=1 所以根轨迹只有一条，并且连续的。所以一阶环开环传递函数具有一个零极点，而无零点。
由右图可见
从开环的极点是在原点开始，向Ａ
∑
→∞变化时，根轨迹终止于无穷远处。实
际上，一阶环的根轨迹就是S平面的负实轴。
可见：一阶环传递函数的极点位于S平面的左侧，所以是无条件稳定。
※有源RC比例积分二阶2型环的稳定判断
闭环极点数n=2即阶数为2，所以根轨迹有两条，并且连续的而对称于实轴的曲线。
二条根轨迹均位于S平面的左半平面内，所以二阶2型环是无条件稳定。
波得准则法
用开环频域特性，来判断闭环时系统的极点是否都落在S平面的左半平面内，若是，则为就是稳定，若有一个或一个以上处在右半平面或虚轴上，则系统就是不稳定的。波得准则在工程上是常用的，即波得图可根据开环传递函数绘出，也可通过实验方法得出。
波得图：
※ 包括幅频特性和相频特性，频率都用对数分度表示。 ※
实际应用时，不但要求稳定，而且要求远离临界稳定的条件，即相位余量和增益余量。
※ 开环增益达到0dB时的频率称增益临界频率ωT。
开环相移达到π时的频率称相位临界频率ωK。
环路非线性相图分析
锁相环路是一个非线性的自动控制系统。其非线性主要来源于鉴相器。在作
环路跟踪性能的分析中，是假定环路已经工作在锁定状态。在跟踪过程中认为相位误差φe(t)始终是很小，故允许对环路作线性化处理。但在实际工作过程中环路相位误差并不是很小，如捕获的过程其相位误差即可能大大超过此线性化允许的范围。因此，研究环路的捕捉过程、捕捉带以及捕捉时间等，就不能再做线性化处理，而必须解出高阶非线性微分方程，即必须对环路作非线性分析。
试图求解二阶以上的非线性微分方程，目前是较困难的。只有有限的特定形式的低阶非线性微分方程能够直接求解。这样在工程上对非线性系统只能根据其具体非线性、工作状态、输入量的大小，采用不同的方法进行分析。目前采用下述一些方法：
１.相图法 ２.描述函数法 ３.李雅普诺夫法 ４.空间状态变量法
相图法和描述函数法是属于比较成熟的经典方法，而李雅普诺夫法和空间状态变量法属于现代控制理论的范畴。但是对于我们目前广泛采用的一些系统，相图法与描述函数法仍然能够给出卓有成效的分析，现仅就相图法来分析一阶、二阶环路，定性或定量的描述环路在同步与捕捉过程中的一些现象。
基本概念
相图法是一种图解分析方法，可用于分析一阶、二阶非线性微分方程的动态过程，取得稳定性、时间响应等有关的信息。在现代计算机模拟计算下，可比较迅速与精确的获得相轨迹图形，用于系统的分析与设计。但相图法只适合一阶和二阶系统，三阶系统相轨迹将处于三维空间，无论绘制与分析都是困难的。固而，三阶和三阶以上可采用描述函数法、李雅普诺夫法和空间状态变量法等。
相图特点
线性系统相图的特点
设二阶线性系统基本方程为
对应的相轨迹方程为：
如下图，图中对应六种情况下的六种奇点，同时还相应的做出了对应某一起始相差φe(0)的变量φe随时间变化的图形，以便于对奇点性质的理解。特点如下：
上半平面φe'>0，故相点随时间增加向右移动；下半平面φe'
除相点外，相轨迹和横轴总是正交的，因为该点dφe/dφe＝∞。 原点可能有几条相轨迹相交也可能一条也没有通过，相轨迹在原点的斜率dφe'/φe＝0/0为不定值，称这样的点为奇点（平衡点）。 由于奇点附近相轨迹走向不同，决定奇点性质也不相同，可分为稳定焦点、不稳定焦点、稳定结点、不稳定结点、中心点与鞍点。
'
对应二阶不稳定系统相图如右图
:
非线性系统相图的特点
非线性系统相轨迹除了有和前面类似地方以外还有其自己的特点。最重要的特点是相图上可能出现一些闭合曲线――极限环。
所有极限环附近的相轨迹都趋向于极限环,或从极限环离开,因此极限环将相平面分成内平面和外部平面。极限环外部的相轨迹不能穿过极限环到达极限环内部；反之，极限环内部的相轨迹也不能穿过极限环到达它的外部。 根据极限环内外相轨迹的运动轨迹情况，极限环可分以下几种：
稳定极限环、不稳定极限环、多个极限环和半稳定极限环
环路相图及其捕获性能 基本概念 捕捉时间
环路从某个起始频差开始，经历频率捕获与相位捕获过程所需时间之和称为捕捉时间，用tp表示。
捕捉带
环路原先失锁，在外界因素影响下，输入固有角频差逐渐减小，环路
开始能够锁定，因此环路由失锁进入锁定允许最大固有角频差称为捕捉带，用△ωP表示。
同步带
环路原先锁定，在外界因素影响下，环路偏离原锁定状态，又使环路入锁的允许的最大输入固有角频差称为同步带，用△ωH表示。
快捕带
环路不经过周期（2π）跳跃而能捕获的最大固有角频差称为快捕带，用△ωL表示。
具体环路相图分析
一阶环路相图分析
理想积分滤波器（二阶2型）在固定频率输入时环路相图分析 无源比例积分滤波器（二阶1型）在固定频率输入时环路相图分
析
理想积分滤波器（二阶2型）在频率斜升输入时环路相图分析
一阶环路相图分析
由于一阶环路中没有环路滤波器，因此，AF(s)=1 所以相轨迹方程如下：
结论：
环路入锁条件为： △ωi≢AOAD 稳定平衡点为：
对于一阶锁相环：同步带、捕捉带和快捕带是一样的。 即：△ωH＝△ωP＝△ωL 捕捉时间
当△ωi
当△ωi>AOAD时,环路处于失锁状态，从而产生频率牵引现象
环路噪声和等效噪声带宽
噪声概念
噪声是杂乱无章的起伏噪声，是平稳的随机过程，满足统计特性。 功率谱密度S(f)
单位带宽，单位电阻所得到的平均功率称为功率谱密度；用S(f)表示。 大量事实已证明，噪声在单位电阻上消耗的平均功率是确定的。 噪声脉冲f(t)的振幅谱密度为
并求得
为抽样函数（其中令τ＝10-13s）
说明单个窄脉冲在BW=1013Hz范围内为均匀的振幅谱密度G(f)≈τ（常数）
起伏噪声的功率谱密度也是均匀的。
高斯噪声和白噪声
白噪声指在0～1013Hz 频带内功率谱密度是均匀的。
白高斯噪声指在0～10Hz频带内功率谱密度是均匀的，并且概率密度满足高斯分布的噪声。
13
锁相环噪声和环路等效噪声带宽
在实际应用中，锁相环路的输入信号总是伴随着噪声和干扰的，其影响很大，甚至可以完全破坏环路的工作。
在有噪声的条件下，整个捕获的跟踪问题本身都只有概率的意义。因此分析中使用了随机过程的统计特性。
在有输入噪声的情况下，环路方程为：
其中
N(t)为环路的等效噪声N(t)
nc(t) 、ns(t) 为两个正交分量，分别写为
有噪声环路输出误差电压信号
有噪声环路相位模式
在弱噪声作用下，φe(t)较小，这时sinφe(t)≈φe(t)可得到线性化噪声模型，因而，可用线性电路的各种方法来分析。
环路输入及输出相位噪声的功率谱密度
环路输入及输出相位噪声方差
说明环路等效噪声带宽BL愈窄，环路对输入噪声抑制能力愈强。 环路单边噪声带宽
宽度为BL 的理想低通滤波器
环路单边噪声带宽
（如图中虚线所示），环路等效噪声带宽BL也就是保证矩形面积与环路低通功率响应曲线下面面积相等。
环路输入信噪比及环路信噪比