2.3 描述变异程度和分布形态的统计指标

第二章 定量资料的统计描述

三、描述变异程度和分布形态的统计指标

主要内容

n 描述变异程度统计指标

u 极差（range, R ）

u 四分位数间距（inter­quartile range）u 方差（variance ）

u 标准差（standard deviation）

u 变异系数（coefficient ofvariation, CV ）

n 描述分布形态统计指标

u 偏度系数（coefficient ofskewness, SKEW ）u 峰度系数（coefficient ofkurtosis, KURT ）

n 小结

同一总体中不同个体间存在的差异称为变异（variation ）。例2­10 A 组：B 组：C 组：30）

24，27，30，33，36 26，28，30，32，34 26，29，30，31，34

试观察三组数据的离散状况。（均数都是

（一）描述变异程度统计指标

1、极差（range ，R ）

R =最大值－最小值

计算简便，但仅利用了两个数据的信息

一般，样本量n 越大R 也往往会越大, 不够稳定

例2­11 计算上述三组数据的极差

A 组 R=36­24=12 B 组 R=34­26=8 C 组 R=34­26=8

2、四分位间距（inter­quartile range，Q ）

u Q= P75­P25

P25与P75之间恰好包含50%的个体

u 四分位数间距Q 是总体中数值居中的50%个体散布的范围u Q 越大意味着数据间变异越大

u 常把中位数和四分位数间距结合起来描述变量的平均水平和变异 程度。

例 利用表2­5中的数据，计算50例链球菌咽颊炎患者潜伏期（h ）的四分位数间距。

组段 （1）12～ 24～ 36～ 48～ 60～ 72～ 84～ 96～ 108～120 合计

表2­5 50例链球菌咽颊炎患者潜伏期（h ）频率分布表

组中值(X 频数（f ）频率/% 累计频数（F ）0 ) （2）（3）（4）（5）

18 1 2 1 30 7 14 8 42 11 22 19 54 11 22 30 66 7 14 37 78 5 10 42 90 4 8 46 102 2 4 48 114 2 4 50 — 50 — —

累计频率/%

（6）

2 16 38 60 74 84 92 96 100 —

12

) = 40 . 91 P 25  = 36 ( 50 × 25 % - 8 ( h )

11

12

) = 73 . 20 ( h ) P 75  = 72 ( 50 × 75 % - 37

5

四分位数间距Q=73.20­40.91= 32.29（h ）

3、方差（variance ）

又称均方差（mean square deviation）方差越大意味着数据间变异越大。

总体方差： 样本方差： N

( X - m 2

i

)

s 2 = å i = 1

N

å n

( X - )

2

i

S 2 i = 1

n - 1

2

S

2

X - ( X ) 2

/ n n - 1

或

、标准差（standard deviation，S ）

u 标准差是方差的算术平方根。 u 标准差的量纲与原变量一致。 u 标准差越大意味着个体间变异越大。 u 标准差适合用来表达对称分布的离散趋势。

u 对于对称分布资料，常把均数和标准差结合起来，描述资料的集 中趋势和离散趋势。

4

、变异系数（CV ）

应用场合：

（1）量纲不同的变量间变异程度的比较（2）均数差别较大的变量间变异程度的比较

计算公式：CV  =S ´ 100%  5

例 某年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数 为8.42kg ，标准差为0.98kg ；身高均数为72.4cm ，标准差为 3.0cm 。体重的变异大还是身高的变异大？

S CV  = ´ 100%

S 0 . 98 CV  =´ 100%  = ´ 100 % = 11 . 64 % 体重的变异系数：

8 . 42

S 3 . 0

100%  ´ 100 % = 4 . 14 % 身高的变异系数： CV  = ´ 72 . 4

结果显示，十省农村周岁女童体重的相对变异大于身高的相对变异。

（二）描述分布形态统计指标

用偏度系数和峰度系数来描述分布形态。

1. 偏度系数 (coefficient ofskewness ，SKEW )

3

SKEW = n æ X - ( n - 1 )( n - 2 ) å çö

è S ÷÷ø

其中n S 为样本标准差。u 总体偏度系数为0时，分布是对称分布；

u 取正值时，分布为正偏峰；

u 取负值时，分布为负偏峰。

11

峰度系数(coefficient of kurtosis，KURT )

4 2

KURT = n ( n + 1 ) æ X - ö 3 ( n - )

( n - 1 )( n - 2 )( n - 3 ) å çè S ÷ ÷ ø -1

( n - 2 )( n - 3 )

其中n S 为样本标准差

u 正态分布的总体峰度系数为0；

u 取负值时，其分布较正态分布的峰平阔；

u 取正值时，其分布较正态分布的峰尖峭。

122.

（三）小 结

n 描述变异程度的指标：

u 极差，仅利用2个数据，同时不够稳定。

u 四分位间距，对于偏峰资料，常和中位数结合使用。

u 标准差，是方差算数平方根，对于对称分布资料，常和均数结合 使用。

u 变异系数，用于量纲不同或均数差距过大的指标。

n 描述分布形态指标：

u 偏度系数

u 峰度系数

13

第二章 定量资料的统计描述

三、描述变异程度和分布形态的统计指标

主要内容

n 描述变异程度统计指标

u 极差（range, R ）

u 四分位数间距（inter­quartile range）u 方差（variance ）

u 标准差（standard deviation）

u 变异系数（coefficient ofvariation, CV ）

n 描述分布形态统计指标

u 偏度系数（coefficient ofskewness, SKEW ）u 峰度系数（coefficient ofkurtosis, KURT ）

n 小结

同一总体中不同个体间存在的差异称为变异（variation ）。例2­10 A 组：B 组：C 组：30）

24，27，30，33，36 26，28，30，32，34 26，29，30，31，34

试观察三组数据的离散状况。（均数都是

（一）描述变异程度统计指标

1、极差（range ，R ）

R =最大值－最小值

计算简便，但仅利用了两个数据的信息

一般，样本量n 越大R 也往往会越大, 不够稳定

例2­11 计算上述三组数据的极差

A 组 R=36­24=12 B 组 R=34­26=8 C 组 R=34­26=8

2、四分位间距（inter­quartile range，Q ）

u Q= P75­P25

P25与P75之间恰好包含50%的个体

u 四分位数间距Q 是总体中数值居中的50%个体散布的范围u Q 越大意味着数据间变异越大

u 常把中位数和四分位数间距结合起来描述变量的平均水平和变异 程度。

例 利用表2­5中的数据，计算50例链球菌咽颊炎患者潜伏期（h ）的四分位数间距。

组段 （1）12～ 24～ 36～ 48～ 60～ 72～ 84～ 96～ 108～120 合计

表2­5 50例链球菌咽颊炎患者潜伏期（h ）频率分布表

组中值(X 频数（f ）频率/% 累计频数（F ）0 ) （2）（3）（4）（5）

18 1 2 1 30 7 14 8 42 11 22 19 54 11 22 30 66 7 14 37 78 5 10 42 90 4 8 46 102 2 4 48 114 2 4 50 — 50 — —

累计频率/%

（6）

2 16 38 60 74 84 92 96 100 —

12

) = 40 . 91 P 25  = 36 ( 50 × 25 % - 8 ( h )

11

12

) = 73 . 20 ( h ) P 75  = 72 ( 50 × 75 % - 37

5

四分位数间距Q=73.20­40.91= 32.29（h ）

3、方差（variance ）

又称均方差（mean square deviation）方差越大意味着数据间变异越大。

总体方差： 样本方差： N

( X - m 2

i

)

s 2 = å i = 1

N

å n

( X - )

2

i

S 2 i = 1

n - 1

2

S

2

X - ( X ) 2

/ n n - 1

或

、标准差（standard deviation，S ）

u 标准差是方差的算术平方根。 u 标准差的量纲与原变量一致。 u 标准差越大意味着个体间变异越大。 u 标准差适合用来表达对称分布的离散趋势。

u 对于对称分布资料，常把均数和标准差结合起来，描述资料的集 中趋势和离散趋势。

4

、变异系数（CV ）

应用场合：

（1）量纲不同的变量间变异程度的比较（2）均数差别较大的变量间变异程度的比较

计算公式：CV  =S ´ 100%  5

例 某年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数 为8.42kg ，标准差为0.98kg ；身高均数为72.4cm ，标准差为 3.0cm 。体重的变异大还是身高的变异大？

S CV  = ´ 100%

S 0 . 98 CV  =´ 100%  = ´ 100 % = 11 . 64 % 体重的变异系数：

8 . 42

S 3 . 0

100%  ´ 100 % = 4 . 14 % 身高的变异系数： CV  = ´ 72 . 4

结果显示，十省农村周岁女童体重的相对变异大于身高的相对变异。

（二）描述分布形态统计指标

用偏度系数和峰度系数来描述分布形态。

1. 偏度系数 (coefficient ofskewness ，SKEW )

3

SKEW = n æ X - ( n - 1 )( n - 2 ) å çö

è S ÷÷ø

其中n S 为样本标准差。u 总体偏度系数为0时，分布是对称分布；

u 取正值时，分布为正偏峰；

u 取负值时，分布为负偏峰。

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峰度系数(coefficient of kurtosis，KURT )

4 2

KURT = n ( n + 1 ) æ X - ö 3 ( n - )

( n - 1 )( n - 2 )( n - 3 ) å çè S ÷ ÷ ø -1

( n - 2 )( n - 3 )

其中n S 为样本标准差

u 正态分布的总体峰度系数为0；

u 取负值时，其分布较正态分布的峰平阔；

u 取正值时，其分布较正态分布的峰尖峭。

122.

（三）小 结

n 描述变异程度的指标：

u 极差，仅利用2个数据，同时不够稳定。

u 四分位间距，对于偏峰资料，常和中位数结合使用。

u 标准差，是方差算数平方根，对于对称分布资料，常和均数结合 使用。

u 变异系数，用于量纲不同或均数差距过大的指标。

n 描述分布形态指标：

u 偏度系数

u 峰度系数

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