习题演练 控制系统实验 控制理论教程 学生作业档案 教师办公室 典型作业展示 常见问题
第一章 自动控制的基本概念
第二章 控制系统的数学描述
第三章 控制系统的时域分析
第四章 控制系统的频域分析
第五章 过程控制
2.3 控制系统的典型环节
2.3 控制系统的典型环节
自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互之间差别很大，似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们都认为是同一环节。所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。这些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。
2.3.1 比例环节
比例环节是最常见、最简单的一种环节。
比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系
(2.24)
比例环节的传递函数为
(2.25)
式中K 为放大系数或增益。
杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。
例10 图2.10 是一个集成运算放大电路，
输入电压为
为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。
解 从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是
，
输出电压为，为输入电阻，
(2.26)
按传递函数的定义，可以得到
(2.27)
式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数
(2.28) 式中为常量。
当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11 所示。比例环节将原信号放大了K 倍。
图2.10 比例器
图2.11 比例环节的阶跃响应
（a ）阶跃输入；（b ）阶跃输出
2.3.2 惯性环节
惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述
(2.29)
惯性环节的传递函数为
(2.30)
式中，T 称为惯性环节的时间常数，K 称为惯性环节的放大系数。
惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都具有（2.30）式的形式。都属惯性环节。
当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图2.12所示。
图2.12 惯性环节的单位阶跃响应
(a)输入函数；(b)惯性环节的输出
从图2.12中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。
2.3.3 微分环节
理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系
(2.31）
理想微分环节的传递函数为
(2.32)
式中为微分时间常数。
微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。
例11 图2.13
式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数
。
解 本节例1
中的比例放大器，如把输入电阻运算放大电路的传递函数
和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型
(2.33)
式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（2.33）式
令，则有
(2.34)
这是一个微分环节，所以图2.13所示的电路称为微分器。
由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为
(2.35)
式中、为时间常数。
图 2.13 微分器
2.3.4 积分环节
积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分，即
(2.36)
积分环节的传递函数为
(2.37)
式中K 为放大系数。
例12 图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。
解 设气体流量为Q ，贮罐内气体压力为P ，气罐容积为V,R 为气体常数，T 为气体的绝对温度，则有
(2.38)
其传递函数为
(2.39)
式中。
图2.14 气体贮罐
2.3.5 振荡环节
振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。
(2.40)
按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为：
（2.41） 上两式中，
称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（2.40）是振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。
本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC 电路都是振荡环节的例子。
例13 把2.2节的例7RLC 电路的传递函数化为标准形式。
解 已知
上式可以写为
(2.42)
式中, ，K 为放大系数。
区间时，对单位阶跃输入函数的输出曲线如图2.15所振荡环节在阻尼比
的值处于
示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。
振荡环节和惯性环节一样，是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节所表示的特性。
图2.15 振荡环节的单位阶跃响应
2.3.6 延时环节（滞后环节）
延时环节的输出变量y(t）与输入变量x(t)之间的关系为
(2.43)
延时环节的传递函数为
(2.44) 式中为延迟时间。
图2.16表示了延时环节输入与输出的关系：
图2.16 延时环节的输入与输出 信号通过延时环节，不改变其性质，仅仅在发生时间上延迟了时间。
在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可以用延时环节表示。
延时环节的传递函数是关于s 的无理函数，在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行近似。一种近似方法是将其表示为
(2.45)
式中n 1,n 越大，精度越高，但计算也越复杂，一般取n>4即可得到较满意的结果。另一种方法是把指数函数展开成泰勒级数
略去高次项后可得到
(2.46)
或
(2.47)
这种方法在输入变量变化较缓时比较适用，如果输入中含有变化迅速的成分（如阶跃函数），精度就比较差。
以上我们介绍了6种典型环节。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。我们将在下一节讨论环节的组合方法。
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第一章 自动控制的基本概念
第二章 控制系统的数学描述
第三章 控制系统的时域分析
第四章 控制系统的频域分析
第五章 过程控制
2.3 控制系统的典型环节
2.3 控制系统的典型环节
自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互之间差别很大，似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们都认为是同一环节。所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。这些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。
2.3.1 比例环节
比例环节是最常见、最简单的一种环节。
比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系
(2.24)
比例环节的传递函数为
(2.25)
式中K 为放大系数或增益。
杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。
例10 图2.10 是一个集成运算放大电路，
输入电压为
为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。
解 从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是
，
输出电压为，为输入电阻，
(2.26)
按传递函数的定义，可以得到
(2.27)
式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数
(2.28) 式中为常量。
当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11 所示。比例环节将原信号放大了K 倍。
图2.10 比例器
图2.11 比例环节的阶跃响应
（a ）阶跃输入；（b ）阶跃输出
2.3.2 惯性环节
惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述
(2.29)
惯性环节的传递函数为
(2.30)
式中，T 称为惯性环节的时间常数，K 称为惯性环节的放大系数。
惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都具有（2.30）式的形式。都属惯性环节。
当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图2.12所示。
图2.12 惯性环节的单位阶跃响应
(a)输入函数；(b)惯性环节的输出
从图2.12中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。
2.3.3 微分环节
理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系
(2.31）
理想微分环节的传递函数为
(2.32)
式中为微分时间常数。
微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。
例11 图2.13
式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数
。
解 本节例1
中的比例放大器，如把输入电阻运算放大电路的传递函数
和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型
(2.33)
式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（2.33）式
令，则有
(2.34)
这是一个微分环节，所以图2.13所示的电路称为微分器。
由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为
(2.35)
式中、为时间常数。
图 2.13 微分器
2.3.4 积分环节
积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分，即
(2.36)
积分环节的传递函数为
(2.37)
式中K 为放大系数。
例12 图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。
解 设气体流量为Q ，贮罐内气体压力为P ，气罐容积为V,R 为气体常数，T 为气体的绝对温度，则有
(2.38)
其传递函数为
(2.39)
式中。
图2.14 气体贮罐
2.3.5 振荡环节
振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。
(2.40)
按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为：
（2.41） 上两式中，
称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（2.40）是振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。
本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC 电路都是振荡环节的例子。
例13 把2.2节的例7RLC 电路的传递函数化为标准形式。
解 已知
上式可以写为
(2.42)
式中, ，K 为放大系数。
区间时，对单位阶跃输入函数的输出曲线如图2.15所振荡环节在阻尼比
的值处于
示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。
振荡环节和惯性环节一样，是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节所表示的特性。
图2.15 振荡环节的单位阶跃响应
2.3.6 延时环节（滞后环节）
延时环节的输出变量y(t）与输入变量x(t)之间的关系为
(2.43)
延时环节的传递函数为
(2.44) 式中为延迟时间。
图2.16表示了延时环节输入与输出的关系：
图2.16 延时环节的输入与输出 信号通过延时环节，不改变其性质，仅仅在发生时间上延迟了时间。
在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可以用延时环节表示。
延时环节的传递函数是关于s 的无理函数，在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行近似。一种近似方法是将其表示为
(2.45)
式中n 1,n 越大，精度越高，但计算也越复杂，一般取n>4即可得到较满意的结果。另一种方法是把指数函数展开成泰勒级数
略去高次项后可得到
(2.46)
或
(2.47)
这种方法在输入变量变化较缓时比较适用，如果输入中含有变化迅速的成分（如阶跃函数），精度就比较差。
以上我们介绍了6种典型环节。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。我们将在下一节讨论环节的组合方法。
地址：山东大学千佛山校区东院（济南市历下区经十路17513号）高层1号楼1402 邮政编码：250061
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