2 如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
x2y2
解析 如图所示，设椭圆的方程为1 (a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，ab∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，
|AF1|＝2c·sin 60°＝3c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)c.
c2∴e＝3－1. a3＋1答案 3－1
点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
x2y2
例2 椭圆1 (a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果ab
F1到直线ABb，则椭圆的离心率e＝________. 7
xy解析 如图所示，直线AB的方程为＋1， －ab
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线ABbb|－bc＋ab|，∴， 7a＋b∴7|a－c|＝a＋b，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
c两边同除以a2并由e＝8e2－14e＋5＝0， a
15
解得e或e＝
舍去)． 24
1答案 2
3．利用数形结合求离心率
x2y2
例3 在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点abaPc0作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________. 解析 如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB. 又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝2OA，
a2c2即＝2a，∴e＝. ca2
答案 2224．综合类
x2y2
例4 设M为椭圆1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1ab
＝15°，求椭圆的离心率．
2c|MF||MF|解 由正弦定理得＝＝sin 90°sin 15°sin 75°
＝|MF|＋|MF|2a， sin 15°＋sin 75°sin 15°＋sin 75°
c116∴e＝＝＝asin 15°＋cos 15°3
α＋βcos 2点评 此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e. α－β
cos 2
2 如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
x2y2
解析 如图所示，设椭圆的方程为1 (a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，ab∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，
|AF1|＝2c·sin 60°＝3c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)c.
c2∴e＝3－1. a3＋1答案 3－1
点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
x2y2
例2 椭圆1 (a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果ab
F1到直线ABb，则椭圆的离心率e＝________. 7
xy解析 如图所示，直线AB的方程为＋1， －ab
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线ABbb|－bc＋ab|，∴， 7a＋b∴7|a－c|＝a＋b，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
c两边同除以a2并由e＝8e2－14e＋5＝0， a
15
解得e或e＝
舍去)． 24
1答案 2
3．利用数形结合求离心率
x2y2
例3 在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点abaPc0作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________. 解析 如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB. 又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝2OA，
a2c2即＝2a，∴e＝. ca2
答案 2224．综合类
x2y2
例4 设M为椭圆1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1ab
＝15°，求椭圆的离心率．
2c|MF||MF|解 由正弦定理得＝＝sin 90°sin 15°sin 75°
＝|MF|＋|MF|2a， sin 15°＋sin 75°sin 15°＋sin 75°
c116∴e＝＝＝asin 15°＋cos 15°3
α＋βcos 2点评 此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e. α－β
cos 2