第19卷第4期模 糊 系 统 与 数 学V o l . 19, N o. 4 2005年12月Fuzzy System s and M athem atics D ec . , 2005文章编号:100127402(2005) 0420125210
模糊粗糙集理论研究进展
黄正华, 胡宝清
(武汉大学数学与统计学院, 湖北武汉 430072) Ξ
摘 要:介绍模糊粗糙集的概念及发展进程. 提出了理论建立过程中, 分别以推广到模糊集、引入模糊逻辑算子、拓展到两个论域为特点的三个发展阶段; 分析、比较了各阶段代表性理论的特点, 并对模糊粗糙集的未来发展作出了预期。
关键词:粗糙集; 模糊粗糙集; 下近似; 上近似; 模糊逻辑算子; 粗糙模糊集中图分类号:O 159 文献标识码:A
1 引言
Paw lak , 是粗糙集研究的一个主要课题。模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面推广了经典集合论, 两个理论的比较和融合一直是人们感兴趣的话题[60, 62, 64]。模糊粗糙集理论模型的建立和发展, 成为粗糙集理论推广的主要方向之一。从D ubo is 和
[9]公理P rade (1990) 提出模糊粗糙集理论(下称D ubo is 模型) , 到后来的各种广义模糊粗糙集理论、
化的模糊粗糙集理论[11, 26, 35], 其中Greco , M atarazzo 和Slow in sk i (1998) 提出的模型[11](下称Greco 模型) 、特别是R adzikow ska (2002) 的模型[35], 可以说在一个论域的框架下, 已经使该理论的发展达到了一个相对完善的状态。另一方面, W u 等(2003) [51]和M i 等(2004) [22]在两个论域的范畴下进行了探索。
本文第2节回顾了Paw lak 粗糙集模型; 第3、4、5节分别以D ubo is 模型、R adzikow ska 模型及Greco 模型、M i 模型及W u 模型为代表, 介绍了模糊粗糙集发展的三个阶段; 第6节作了总结和展望。
2 粗糙集理论简介
设R 是论域U 上的等价关系(满足自反性、对称性和传递性) , 记为R ΑU ×U 1U 中所有与x 具有等价关系R 的元素的集合记为[x ]R ={y ∈U (x , y ) ∈R }。商集U R ={[x ]R x ∈U }是等价关系
表达X , 不一定R 将论域U 进行划分所得的等价类的集合。给定X ΑU , 要用U R 中的元素来描述、
能精确地进行。但常常可以用关于X 的一对下近似、上近似来界定X , 这导致粗糙集概念的产生。ϖX ) 称为X 在Paw lak 近似空间(U , 定义2. 1[31] 设R 是论域U 上的等价关系, 对X ΑU , (, R
R ) 上的一个粗糙近似, 其中
Ξ收稿日期:2004209201基金项目:教育部高等学校骨干教师资助计划资助项目作者简介:黄正华(19742) , 男, 湖北汉川人, 武汉大学助教, 研究生, 研究方向:智能计算与不确定性信息处理; 胡宝清(19622) , 男, 湖北仙桃人, 武汉大学教授, 博士生导师, 研究方向:智能计算与不确定性信息处理。
126模 糊 系 统 与 数 学 2005年
={x ∈U [x ]R ΑX }
ϖ、R X 分别称为X 的R 下近似和R 上近似。ϖR X ={x ∈U [x ]R ∩X ≠ }(1) ϖX , 则称X 为R 粗糙集; 否则X 为R 可定义集。≠R
以上是经典的Paw lak 意义下的粗糙集概念[31, 32]。另有较多的研究者常常用上下近似构成的偶ϖX ) 称为X 的粗糙集。但其核心总在于下近似、对(, R 上近似的概念。本文对粗糙集理论模型推广的讨论, 实际上是集中在下近似、上近似的定义内容、方式的推广。[9]ϖ、R X 的另一种等价定义方式可以使我们从不同的层面认识这一概念①:=∪{[x ]R [x ]R ΑX }ϖR X =∪{[x ]R [x ]R ∩X ≠ }
面入手:
①一个论域U 变为两个论域U 、W [53](2) 如果只看粗糙集的三个最基本的组成要素U 、R 、X , 那么理论的推广可以认为主要是从三个方, 即把R ΑU ×U R ②等价关系R 可以换成相似关系([18]、) [43]、任意的一般关系R ∈P (U ×U ) 、模糊关系R ∈) ;
③被近似对象X () , 比如模糊集。
, 、综合。在下面模糊粗糙集理论的介绍中, 我们。
3 模糊粗糙集
模型建立初期的代表性文献[9]、[10]是由D ubo is 和P rade (1990) 共同给出的。同时期对此问题进行讨论的文献, 比较重要的还有N akam u ra (1988) [27], N akam u ra 和Gao (1992) [61], N anda 和M ajum da (1992) [29], Kuncheva (1992) [19], Coker (1992) [5], B anerjee 和Pal (1996) [2], Bodjanova (1997) [4], Yao (1997) [52]等。从时间上看, 集中在20世纪90年代上半期。这是模糊粗糙集理论发展的第一阶段, 这个阶段的特点是引入了模糊集和模糊等价关系。
[50]D ubo is 模型起源于W illaeys 和M alvache 对模糊等价关系与模糊分类的讨论。目前文献中
所引用的模糊粗糙集概念, 大多是指D ubo is 和P rade 在[9]中的定义。与Paw lak 粗糙集相比, 其不同之处在于:①被近似对象由crisp 集X 换为模糊集F 1②等价关系R 推广为模糊等价关系R (满足自反性、对称性、传递性) 。
定义3. 1[9] 设(U , R ) 是模糊近似空间, 即R 是论域U 上的一个模糊等价关系。ΠF ∈θ上近似R F 是U 上的一对模糊集:F (U ) , F 在空间(U , R ) F 、
F (x ) =inf {m ax [ΛF (y ) , 1-ΛR (x , y ) ] y ∈U }(3)
F (x ) =sup {m in [ΛF (y ) , ΛR (x , y ) ] y ∈U }
为对方便定义式(3) 的理解, 不妨看看Paw lak 粗糙集定义式(1) 可以进行怎样的改写。注意到集合描述的特征函数表示:ΛX (y ) =1, 若y ∈X ; 否则为0。则定义式(1) 可改写为:
(x ) =inf {ΛX (y ) y ∈U , (x , y ) ∈R }
RX (x ) =sup {ΛX (y ) y ∈U , (x , y ) ∈R }
其含义是直观的:只有任一与x 具有等价关系R 的y 都在集合X 中(即ΛX (y ) =1) , 才有①若R 不是等价关系(比如不满足传递性或对称性) , 此两定义不是等价的[43]。(4)
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展127X (x ) =1(即x ) 。另一式的理解类似。
(4) 式还可以进一步写为:
(x ) =inf {1-ΛR (x , y ) y |X }
RX (x ) =sup {ΛR (x , y ) y ∈X }
这是因为:①等价关系R ΑU ×U 的特征函数为:ΛR (x , y ) =1, 若(x , y ) ∈R ; 否则为0。
②x Ζ(x ) =1Ζ(Πy ∈U X ) (ΛR (x , y ) =0) Ζ(Πy ∈U X ) ((x , y ) |R )
x ∈R X ΖRX (x ) =1Ζ(ϖy ∈X ) (ΛR (x , y ) =1) Ζ(ϖy ∈X ) ((x , y ) ∈R ) (5)
综合(4) 式和(5) 式得:
(x ) =inf {m ax [ΛX (y ) , 1-ΛR (x , y ) ] y ∈U }
R X (x ) =sup {m in [ΛX (y ) , ΛR (x , y ) ] y ∈U }
(6) 式的第一个式子可理解为:
x ∈ΖX (x ) =1Ζ(Πy ∈U ) (ΛX (y ) =1∨1-ΛR (x , y ) =1)
Ζ(Πy ∈U ) (ΛX (y ) =1∨ΛR (x , y ) 0)
即Πy ∈U , 要么与x 无等价关系, 要么在X 中。从而, y x , y , 即与x 等价的所有元素都在X 中。另一式的理解类似。
比照(3) 式和(6) 式, 知定义2. 1如同Paw lak 2) , D ubo is 和P rade 用等价类描述的方式定[]R 。R 将论域U 进行模糊划分, 所得的模糊等价类[x ]R Λ[x ]R (y ) =ΛR (x , y ) 来确定, 用等价类集合U R 中的元素描述给定的模糊集F , (6) 上近似R F 是U 、R 上的一对模糊集:
F ([x ]R ) =inf {m ax [ΛF (y ) , 1-Λ[X ]R (y ) ] y ∈U }(7)
R F ([x ]R ) =sup {m in [ΛF (y ) , Λ[X ]R (y ) ] y ∈U }
例如In tan 和M ukaidono (2002) [63]基于条件概率关系建立广义模糊粗糙集模型的讨论、Sarkar (2002) [40]关于模糊粗糙隶属函数的研究, 引用了定义式(7) 的描叙方式。
另外, D ubo is 和P rade 在文献[9]中还提出了粗糙模糊集的概念。与Paw lak 粗糙集相比较, 被ϖF 是一对近似对象由crisp 集X 变为模糊集F . 模糊集F 在近似空间(U , R ) 的下近似F 、上近似R
模糊集:
(x ) =inf {ΛF (y ) y ∈[x ]R }(8)
R F (x ) =sup {ΛF (y ) y ∈[x ]R }
这可以看成是从Paw lak 粗糙集到D ubo is 模糊粗糙集的一个承上启下的例子。
F 、R F 是模糊集, 那它们一定可以用Α2截集的形式来表达。这个工作主要是由Yao 来完成的。2截集研究了模糊粗糙集Yao (1997) 在文献[52]详细阐述了D ubo is 模型的背景和内涵, 基于Α
(R F ) Α=R (F Α) , 而F Α是crisp 集, 其上下近似就的构造方法。其方法的内核是令(F ) Α=(F Α) 、
回到了Paw lak 粗糙集的情形。L iu 等(2004) 的文献[65],可以认为是其后续(Yao 是作者之一) 。Srin ivasan 等(2001) 在文献[66]完整回顾和叙述了Yao 模型, 举例研究了Yao 模型在信息检索上的应用。
而Kuncheva (1992) [19]所定义的模糊粗糙集, 是在Paw lak 粗糙集的基础上, 把对论域U 的等价关系划分推广为弱模糊划分, 定义近似对象F ∈F (U ) 关于弱模糊划分A ={A 1, A 2, …, A M }的正域、负域和边界分别为:
Κ(9) ∪A i PO S A 1(F ) =I (A i , F ) ≥Κ1
128模 糊 系 统 与 数 学 2005年
N EG A 2(F ) =
B N D A 21(F ) =ΚΚΚI (A i , F ) ≤Κ1∪A
∪i (10) i ) I (A i , F ) ∈(Κ2, Κ1A (11)
其中Κ1, Κ2∈[0, 1],I (A i , F ) =是A i 包含于F 的程度。这不同于前述的模型, 其处理问ca rd (A i )
题的方式与变精度粗糙集模型[57]及概率粗糙集模型[55]相类似, 但其思想是富于创造性的。
N akam u ra 和Gao (1991) 的文献[28]定义了模糊集F ∈F (U ) 的粗糙近似是一个模糊粗糙集(R ΑF , F ) , 其隶属函数为:
ΑF (x ) =
F (x ) =Λ(x , y ) ≥ΑR
R sup inf ΛF (y ) ΛF (y ) (12) Λ(x , y ) ≥Α
其中Α∈[0, 1],y ∈U , R 为模糊等价关系。
注意到R Α={(x , y ) ΛR (x , y ) ≥Α}是普通的等价关系[56], 则上述的(12) 式可表示为:
ΑF (x ) =sup {ΛF (y ) y ∈U , (x , y ) ∈}
F (x ) =inf {ΛF (y ) U (y ) Α可见此概念可以划归到D ubo is [4]Bodjanova (1997) 了基于包含度的修正型模糊粗糙集
(m odified [57]方法是相通的。但在实际应用中会需要较M uakam i (2003) [37]进一步讨论了将变精度方法引入到模糊粗糙集。
[8[7]D em irci (2003) 分析了Genu ine 集与各类模糊集之间的关系, 认为D ubo is 模型是特殊的H azy 集
[8](first 2o rder genu ine sets 的一种) 。(13)
目前所见的关于模糊粗糙集应用的讨论, 绝大多数是基于D ubo is 模型中的粗糙模糊集和模糊粗糙集概念[12, 21, 34, 38, 40, 41, 44]。另有一定数量的文献讨论了N anda 和M ajum dar 意义下的模糊粗糙
[14]集[29]。这是与D ubo is 模型并行的另一条理论发展路线。该模糊粗糙集模型是基于I w in sk i 粗糙集
概念的。Coker 在文献[5]进一步指出, 此模糊粗糙集是A tanasso r 所定义的直觉L 2模糊集(in tu iti on istic L 2fuzzy set ) [1]。B is w as 关于粗糙集与模糊粗糙集关系的讨论[3]、X i ong 等关于模糊粗糙集的格性质的讨论[59], 使用的也是此定义。
4 广义模糊粗糙集
[11]这是模糊粗糙集发展的第二个阶段, 特点是将二值逻辑推广到模糊逻辑上来。Greco 模型首
先将这一概念推广到一个高度广义的阶段。R adzikow ska (2002) 在文献[35]中对此进行了深入的讨论。M o rsi 和Yakou t (1998) 的文献[26]也是非常重要的。比较重要的还有T h iele (1998) [45]
[37](2001) [46-48]、Salido (2003) 等。
在粗糙集推广进程中, 较早就引入了逻辑运算的讨论[54]。比如用逻辑语言来书写Paw lak 上下近似定义式(1) :={x Πy ((x , y ) ∈R →y ∈X ) }ϖR X ={x ϖy ((x , y ) ∈R ∧y ∈X }(14)
这种改写是有益的, 出现在其中的二值逻辑运算, 启示着模糊逻辑运算的引入。T h iele (2001) 在文献[45]用逻辑语言表达了D ubo is&Prade 粗糙模糊集和模糊粗糙集, 并围绕此问题进行了一系列的讨论[46-48]。
下文的叙述涉及到的模糊逻辑算子, 可以参见文献[35],那里有一份完整而简洁的叙述。
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展129
先介绍R adzikow ska 模型。在引入模糊逻辑运算的同时, 其模糊等价关系R 在形式上有点变化:满足sup 2对称性不变。m in 传递性, 自反性、
定义4. 1[35] 设(U , R ) 是模糊近似空间, 即R 是论域U 上的模糊等价关系。I 是边缘蕴含算
, 子、T 是t 2模。(U , R ) 上的(I , T ) 2模糊粗糙近似是一个映射A p r I T :F (U ) →F (U ) ×F (U ) ,
ΠF ∈F (U ) , A p r I , T (F ) =(I F , R F ) 。Πx ∈U ,
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) ΛR I F (x ) =y inf ∈U I (15)
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) ΛR T F (x ) =sup y ∈U T
I F (R T F ) 称为F 在(U , R ) 中的I 2下模糊粗糙近似(T 2上模糊粗糙近似) 。
由定义4. 1可见, R adzikow ska 模型的重要特点在于模糊逻辑算子的引进。对应于模糊逻辑算子的常见类型, 文献[35]给出了模糊粗糙近似的三种类型:
①S 2FRA 由(I S , T S ) 给定, 其中I S 是连续的S 2蕴含算子(基于连续的s 2模S 和对合的否算子N ) , T S 与S 关于N 对偶。
②R 2FRA 由(I , T ) 给定, 这里I 是连续的R 2(T ) 。
③Q 2FRA 由(I , T ) 给定, I 是QL 2蕴含算子(t N ) 。并深入讨论了(I , T ) 2) 。可以看到, 性质对于R 2FRA , 、Q 2。这也许是大家常常用R 2蕴含算子, 、M i 模型。
看看R 。
是重要的, 该模型讨论了广义的模糊粗糙上下近似运算。
①ΠF ∈定义4. 2[26] 设R 是U 上的T 2等价关系(满足自反性、对称性、T 2传递性) 。F (U ) ,
定义下近似、F 、R F 为:t (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) (x ) =y ∧∈U I (16) M o rsi 模型[26]
R F (x ) =y ∈U ∨T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) )
容易得到形式与(15) 式一致的定义式:ΠF ∈F (U ) , F 在近似空间(U , R ) 的下近似F 、上近似R F 是定义在U 上的一对模糊集, 其隶属函数为:
(x ) =inf I t (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) y ∈U (17)
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) R F (x ) =sup y ∈U T
是基于T 的R 2蕴含算子。可见(17) 是(15) 的一个特例。
D ubo is 模型也是R adzikow ska 模型的特例。在定义式(15) 中令蕴含算子I 为:I (x , y ) =S (N (x ) , y ) , 即S 2蕴含算子。又取s 2模为m ax 运算, 取N (x ) =1-x 为标准否算子, 得I (x , y )
[35]=m ax {1-x , y },即K leene 2D ienes 蕴含算子I KD (S 2蕴含算子的一种) 。从而I (ΛR (x , y ) , t 其中, T 是某个t 2模, I
又令t 2模为m in 运算, 得T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) =m in {ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) =m ax {1-ΛR (x , y ) , ΛF (y ) }。
ΛF (y ) }。由此得到D ubo is 模型定义3. 1。
要特别提及的是Greco 模型[11]。该模型定义了模糊集基于模糊自反关系的粗糙近似。文献
[11]中没有明确提出模糊粗糙集的概念, 与R adzikow ska 模型相比, 却具有另一番深度。从提出问题的时间先后上看, 也更具开创性。
定义4. 3[11] 设F 是论域U 上的模糊集, R 是定义在U 上的一个模糊自反关系, F ①由m in 运算是最大的t 2模知, 任意关系R 满足sup 2m in 传递性, 必满足T 2传递性。因此, 这里的T 2等价关系是定义4. 1所述模糊等价关系的特例。
130模 糊 系 统 与 数 学 2005年上近似F 、R F 是U 上的模糊集, 其隶属函数分别定义为:
F (x ) =T y ∈U (S (N (ΛR (x , y ) ) , ΛF (y ) ) )
F (x ) =(18) S y ∈U (T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) )
其中S 与T 关于否算子N 满足对偶关系。
与R adzikow ska 模型相比较, Greco 模型的特征是明显的。
5 两个论域的尝试
前述的模型在一个论域的范畴下, 把理论推进到了新的高度。把理论推向两个或多个论域, 是
[51][22]此研究领域一个新的期待。W u 等(2003) 和M i 等(2004) 等对此进行了探索。其特点是, 论域
这可能是一个新的理论阶段的W 中的模糊集X 的上下近似是由另一个论域U 中的元素来表述的。
开始。来看M i 模型。
设T 是某t 2模, S 是与T 对偶的s 2模。令
) ≤y }∈[0, 1] T (x , ΚΗ(x , y ) =sup {Κ(19)
) ≥y (20) ∈[0, 1](x Ρ(x , y ) =inf {Κ
(21) S (x , y ) =1-)
定义5. 1[22] 设模糊关系(×) , , ) 是一个广义模糊近似空间。定义, R :F (W ) ) , , ΠF ∈F (W ) , x ∈U ,
Η(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) (x ) =y ∧∈W (22)
R F (x ) =∨Ρ(1-ΛR (x , y ) , Λ(y ) )
(20) 式所定义其中Η、上近似算子, (F 、Ρ如(19) 、R 为广义模糊下近似、R F ) 为F y ∈W F
的广义
模糊粗糙集。
此模型与M o rsi 模型较为接近。①该定义也引入了模糊逻辑算子。由模糊逻辑理论知, S (x , y ) =N (T (N (x ) , N (y ) ) ) 总是与T (x , y ) 是对偶的, 其中N 取标准否算子N s (x ) =1-x , 即为(21) 式。②(19) 式中的Η(x , y ) 即基于t 2模的R 2蕴含算子, 这和定义4. 1尤为相似。
而W u 模型[51], 其建立两个论域上的模糊粗糙集的思路, 与前述的几个模型则完全不同。其核心是使用了分解定理和表现定理。
定义5. 2[51] 设模糊二元关系R ∈F (U ×W ) , (U , W , R ) 为广义模糊近似空间, 任意F ∈F (W ) , 其下近似、上近似分别定义为:
(F ) =∨(Α(F ) )
R (F ) =∨(Α∧R (F ) ) Α∈[0, 1]1-ΑΑ+(23) (24) Α∈[0, 1]ΑΑ
现以(24) 式为例分析其含义, (23) 式的理解类似。
(x ) (x ) 依文[51]所述知, R Α(F Α) ={x ∈U R Α∩F Α},其中R Α={y ∈W ΛR (x , y ) ≥Α},x ∈U , y ∈
W 1而R (F ) 既然是模糊集, 由分解定理有,
(25) R (F ) =∨(Α∧(R (F ) ) Α) Α∈[0, 1]
要得到(24) 式, 相当于在式(25) 中令(R (F ) ) Α=
集与模糊集的联合[52]的思想, 是相一致的。R (F ΑΑ) 。2截集, 讨论粗糙这一点, 与Yao 基于Α
6 结束语
用一个表格来总结前文的表述(见表1) 。表中的内容是, 各个代表性理论模型与前一模型相比,
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展131所呈现的新特点。
表1 模糊粗糙集代表性理论模型特征比较第一阶段
D ubo is (1990) M o rsi (1998) 第二阶段R adzikow ska (2002) Greco (1998) 第三阶段M i (2004)
一个论域U
模糊等价关系R
(标准传递性) 模型T 2等价关系(T 2传递性)
R 2蕴含算子 模糊等价关系(sup 2m in 传递性) 模糊自反关系
两个论域U ×W F ∈目标F ∈R (U ) F (W ) 二值逻辑运算模糊逻辑算子 R 2蕴含算子F , ∈(U ) F , F ∈(U )
由前文的分析可以看到, R adzikow ska 模型、Greco 模型, 度广义的状态, M i 模型在把论域推向两个上做了探索, W u 系会受阻于传递性的给出, 是可能的。相信理。
, 、应用两个方面的核心问题, 模糊粗糙集在。目前的讨论, 可以参看文献[15]、[16]。
[23-为了减少数据噪声干扰, Salido 和M u rakam i (2003) [27]、M ieszkow icz 2Ro lka (2004) 25]将变
精度方法引入到模糊粗糙集进行了探讨; 另一方面, In tan 和M ukaidono (2002) [63]、W ei 和Zhang (2003) [58]把概率粗糙集模型方法引入到了模糊粗糙集模型的推广。要运用到大数据集的分析, 上述方法还有待进一步的深入研究。
理论应用的讨论正在日新月异。比如, 数据库分类[12, 40, 41], 信息挖掘[13, 44], 信息检索[36, 41], 神经网络[21, 38], 工程应用[34], 系统控制[6, 33], 股票价格预测[49], 文字识别[17], 语音识别[39]等等。
和单纯地使用粗糙集相比, 模糊粗糙集在应用的效果上有更好的表现。例如Kasem siri 讨论了粗糙模糊集在泰文字识别上的应用[17], 分别用了10535个7号字体、6880个4号字体进行了比较实验, 与粗糙集相比, 识别精度分别由68. 73%、98. 45%提高到88. 62%、99. 81%。这些应用对汉字识别的研究具有很大的吸引力。
文献[18]对粗糙集理论进行了介绍和全面的回顾, Zdzislaw Paw lak 是文章作者之一, 文中罗列的参考文献有544篇之多。文章指出了粗糙集理论在9个大类、101个小方向的应用的研究。模糊粗糙集在相类似问题上的应用研究, 是值得尝试的。
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The Stud ies of Fuzzy Rough Sets Theory :A Survey
HUAN G Zheng 2hua , HU B ao 2qing
(Schoo l of M athem atics and Statistics , W uhan U niversity , W uhan 430072, Ch ina )
Abstract :T h is p ap er in troduces the basic ideas of fuzzy rough sets theo ry and the recen t studies fo r th is theo ry . T he review of ex isting resu lts show s that there are th ree distingu ish ing featu res du ring the theo ry developm en t :ex tending to fuzzy set , b ringing in fuzzy logic , and generalizing to tw o un iverses .
Key words :Rough Sets ; Fuzzy Rough Sets ; L ow er A pp rox i m ati on ; U pper A pp rox i m ati on ; Fuzzy L ogical Op erato r ; Rough Fuzzy Sets
第19卷第4期模 糊 系 统 与 数 学V o l . 19, N o. 4 2005年12月Fuzzy System s and M athem atics D ec . , 2005文章编号:100127402(2005) 0420125210
模糊粗糙集理论研究进展
黄正华, 胡宝清
(武汉大学数学与统计学院, 湖北武汉 430072) Ξ
摘 要:介绍模糊粗糙集的概念及发展进程. 提出了理论建立过程中, 分别以推广到模糊集、引入模糊逻辑算子、拓展到两个论域为特点的三个发展阶段; 分析、比较了各阶段代表性理论的特点, 并对模糊粗糙集的未来发展作出了预期。
关键词:粗糙集; 模糊粗糙集; 下近似; 上近似; 模糊逻辑算子; 粗糙模糊集中图分类号:O 159 文献标识码:A
1 引言
Paw lak , 是粗糙集研究的一个主要课题。模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面推广了经典集合论, 两个理论的比较和融合一直是人们感兴趣的话题[60, 62, 64]。模糊粗糙集理论模型的建立和发展, 成为粗糙集理论推广的主要方向之一。从D ubo is 和
[9]公理P rade (1990) 提出模糊粗糙集理论(下称D ubo is 模型) , 到后来的各种广义模糊粗糙集理论、
化的模糊粗糙集理论[11, 26, 35], 其中Greco , M atarazzo 和Slow in sk i (1998) 提出的模型[11](下称Greco 模型) 、特别是R adzikow ska (2002) 的模型[35], 可以说在一个论域的框架下, 已经使该理论的发展达到了一个相对完善的状态。另一方面, W u 等(2003) [51]和M i 等(2004) [22]在两个论域的范畴下进行了探索。
本文第2节回顾了Paw lak 粗糙集模型; 第3、4、5节分别以D ubo is 模型、R adzikow ska 模型及Greco 模型、M i 模型及W u 模型为代表, 介绍了模糊粗糙集发展的三个阶段; 第6节作了总结和展望。
2 粗糙集理论简介
设R 是论域U 上的等价关系(满足自反性、对称性和传递性) , 记为R ΑU ×U 1U 中所有与x 具有等价关系R 的元素的集合记为[x ]R ={y ∈U (x , y ) ∈R }。商集U R ={[x ]R x ∈U }是等价关系
表达X , 不一定R 将论域U 进行划分所得的等价类的集合。给定X ΑU , 要用U R 中的元素来描述、
能精确地进行。但常常可以用关于X 的一对下近似、上近似来界定X , 这导致粗糙集概念的产生。ϖX ) 称为X 在Paw lak 近似空间(U , 定义2. 1[31] 设R 是论域U 上的等价关系, 对X ΑU , (, R
R ) 上的一个粗糙近似, 其中
Ξ收稿日期:2004209201基金项目:教育部高等学校骨干教师资助计划资助项目作者简介:黄正华(19742) , 男, 湖北汉川人, 武汉大学助教, 研究生, 研究方向:智能计算与不确定性信息处理; 胡宝清(19622) , 男, 湖北仙桃人, 武汉大学教授, 博士生导师, 研究方向:智能计算与不确定性信息处理。
126模 糊 系 统 与 数 学 2005年
={x ∈U [x ]R ΑX }
ϖ、R X 分别称为X 的R 下近似和R 上近似。ϖR X ={x ∈U [x ]R ∩X ≠ }(1) ϖX , 则称X 为R 粗糙集; 否则X 为R 可定义集。≠R
以上是经典的Paw lak 意义下的粗糙集概念[31, 32]。另有较多的研究者常常用上下近似构成的偶ϖX ) 称为X 的粗糙集。但其核心总在于下近似、对(, R 上近似的概念。本文对粗糙集理论模型推广的讨论, 实际上是集中在下近似、上近似的定义内容、方式的推广。[9]ϖ、R X 的另一种等价定义方式可以使我们从不同的层面认识这一概念①:=∪{[x ]R [x ]R ΑX }ϖR X =∪{[x ]R [x ]R ∩X ≠ }
面入手:
①一个论域U 变为两个论域U 、W [53](2) 如果只看粗糙集的三个最基本的组成要素U 、R 、X , 那么理论的推广可以认为主要是从三个方, 即把R ΑU ×U R ②等价关系R 可以换成相似关系([18]、) [43]、任意的一般关系R ∈P (U ×U ) 、模糊关系R ∈) ;
③被近似对象X () , 比如模糊集。
, 、综合。在下面模糊粗糙集理论的介绍中, 我们。
3 模糊粗糙集
模型建立初期的代表性文献[9]、[10]是由D ubo is 和P rade (1990) 共同给出的。同时期对此问题进行讨论的文献, 比较重要的还有N akam u ra (1988) [27], N akam u ra 和Gao (1992) [61], N anda 和M ajum da (1992) [29], Kuncheva (1992) [19], Coker (1992) [5], B anerjee 和Pal (1996) [2], Bodjanova (1997) [4], Yao (1997) [52]等。从时间上看, 集中在20世纪90年代上半期。这是模糊粗糙集理论发展的第一阶段, 这个阶段的特点是引入了模糊集和模糊等价关系。
[50]D ubo is 模型起源于W illaeys 和M alvache 对模糊等价关系与模糊分类的讨论。目前文献中
所引用的模糊粗糙集概念, 大多是指D ubo is 和P rade 在[9]中的定义。与Paw lak 粗糙集相比, 其不同之处在于:①被近似对象由crisp 集X 换为模糊集F 1②等价关系R 推广为模糊等价关系R (满足自反性、对称性、传递性) 。
定义3. 1[9] 设(U , R ) 是模糊近似空间, 即R 是论域U 上的一个模糊等价关系。ΠF ∈θ上近似R F 是U 上的一对模糊集:F (U ) , F 在空间(U , R ) F 、
F (x ) =inf {m ax [ΛF (y ) , 1-ΛR (x , y ) ] y ∈U }(3)
F (x ) =sup {m in [ΛF (y ) , ΛR (x , y ) ] y ∈U }
为对方便定义式(3) 的理解, 不妨看看Paw lak 粗糙集定义式(1) 可以进行怎样的改写。注意到集合描述的特征函数表示:ΛX (y ) =1, 若y ∈X ; 否则为0。则定义式(1) 可改写为:
(x ) =inf {ΛX (y ) y ∈U , (x , y ) ∈R }
RX (x ) =sup {ΛX (y ) y ∈U , (x , y ) ∈R }
其含义是直观的:只有任一与x 具有等价关系R 的y 都在集合X 中(即ΛX (y ) =1) , 才有①若R 不是等价关系(比如不满足传递性或对称性) , 此两定义不是等价的[43]。(4)
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展127X (x ) =1(即x ) 。另一式的理解类似。
(4) 式还可以进一步写为:
(x ) =inf {1-ΛR (x , y ) y |X }
RX (x ) =sup {ΛR (x , y ) y ∈X }
这是因为:①等价关系R ΑU ×U 的特征函数为:ΛR (x , y ) =1, 若(x , y ) ∈R ; 否则为0。
②x Ζ(x ) =1Ζ(Πy ∈U X ) (ΛR (x , y ) =0) Ζ(Πy ∈U X ) ((x , y ) |R )
x ∈R X ΖRX (x ) =1Ζ(ϖy ∈X ) (ΛR (x , y ) =1) Ζ(ϖy ∈X ) ((x , y ) ∈R ) (5)
综合(4) 式和(5) 式得:
(x ) =inf {m ax [ΛX (y ) , 1-ΛR (x , y ) ] y ∈U }
R X (x ) =sup {m in [ΛX (y ) , ΛR (x , y ) ] y ∈U }
(6) 式的第一个式子可理解为:
x ∈ΖX (x ) =1Ζ(Πy ∈U ) (ΛX (y ) =1∨1-ΛR (x , y ) =1)
Ζ(Πy ∈U ) (ΛX (y ) =1∨ΛR (x , y ) 0)
即Πy ∈U , 要么与x 无等价关系, 要么在X 中。从而, y x , y , 即与x 等价的所有元素都在X 中。另一式的理解类似。
比照(3) 式和(6) 式, 知定义2. 1如同Paw lak 2) , D ubo is 和P rade 用等价类描述的方式定[]R 。R 将论域U 进行模糊划分, 所得的模糊等价类[x ]R Λ[x ]R (y ) =ΛR (x , y ) 来确定, 用等价类集合U R 中的元素描述给定的模糊集F , (6) 上近似R F 是U 、R 上的一对模糊集:
F ([x ]R ) =inf {m ax [ΛF (y ) , 1-Λ[X ]R (y ) ] y ∈U }(7)
R F ([x ]R ) =sup {m in [ΛF (y ) , Λ[X ]R (y ) ] y ∈U }
例如In tan 和M ukaidono (2002) [63]基于条件概率关系建立广义模糊粗糙集模型的讨论、Sarkar (2002) [40]关于模糊粗糙隶属函数的研究, 引用了定义式(7) 的描叙方式。
另外, D ubo is 和P rade 在文献[9]中还提出了粗糙模糊集的概念。与Paw lak 粗糙集相比较, 被ϖF 是一对近似对象由crisp 集X 变为模糊集F . 模糊集F 在近似空间(U , R ) 的下近似F 、上近似R
模糊集:
(x ) =inf {ΛF (y ) y ∈[x ]R }(8)
R F (x ) =sup {ΛF (y ) y ∈[x ]R }
这可以看成是从Paw lak 粗糙集到D ubo is 模糊粗糙集的一个承上启下的例子。
F 、R F 是模糊集, 那它们一定可以用Α2截集的形式来表达。这个工作主要是由Yao 来完成的。2截集研究了模糊粗糙集Yao (1997) 在文献[52]详细阐述了D ubo is 模型的背景和内涵, 基于Α
(R F ) Α=R (F Α) , 而F Α是crisp 集, 其上下近似就的构造方法。其方法的内核是令(F ) Α=(F Α) 、
回到了Paw lak 粗糙集的情形。L iu 等(2004) 的文献[65],可以认为是其后续(Yao 是作者之一) 。Srin ivasan 等(2001) 在文献[66]完整回顾和叙述了Yao 模型, 举例研究了Yao 模型在信息检索上的应用。
而Kuncheva (1992) [19]所定义的模糊粗糙集, 是在Paw lak 粗糙集的基础上, 把对论域U 的等价关系划分推广为弱模糊划分, 定义近似对象F ∈F (U ) 关于弱模糊划分A ={A 1, A 2, …, A M }的正域、负域和边界分别为:
Κ(9) ∪A i PO S A 1(F ) =I (A i , F ) ≥Κ1
128模 糊 系 统 与 数 学 2005年
N EG A 2(F ) =
B N D A 21(F ) =ΚΚΚI (A i , F ) ≤Κ1∪A
∪i (10) i ) I (A i , F ) ∈(Κ2, Κ1A (11)
其中Κ1, Κ2∈[0, 1],I (A i , F ) =是A i 包含于F 的程度。这不同于前述的模型, 其处理问ca rd (A i )
题的方式与变精度粗糙集模型[57]及概率粗糙集模型[55]相类似, 但其思想是富于创造性的。
N akam u ra 和Gao (1991) 的文献[28]定义了模糊集F ∈F (U ) 的粗糙近似是一个模糊粗糙集(R ΑF , F ) , 其隶属函数为:
ΑF (x ) =
F (x ) =Λ(x , y ) ≥ΑR
R sup inf ΛF (y ) ΛF (y ) (12) Λ(x , y ) ≥Α
其中Α∈[0, 1],y ∈U , R 为模糊等价关系。
注意到R Α={(x , y ) ΛR (x , y ) ≥Α}是普通的等价关系[56], 则上述的(12) 式可表示为:
ΑF (x ) =sup {ΛF (y ) y ∈U , (x , y ) ∈}
F (x ) =inf {ΛF (y ) U (y ) Α可见此概念可以划归到D ubo is [4]Bodjanova (1997) 了基于包含度的修正型模糊粗糙集
(m odified [57]方法是相通的。但在实际应用中会需要较M uakam i (2003) [37]进一步讨论了将变精度方法引入到模糊粗糙集。
[8[7]D em irci (2003) 分析了Genu ine 集与各类模糊集之间的关系, 认为D ubo is 模型是特殊的H azy 集
[8](first 2o rder genu ine sets 的一种) 。(13)
目前所见的关于模糊粗糙集应用的讨论, 绝大多数是基于D ubo is 模型中的粗糙模糊集和模糊粗糙集概念[12, 21, 34, 38, 40, 41, 44]。另有一定数量的文献讨论了N anda 和M ajum dar 意义下的模糊粗糙
[14]集[29]。这是与D ubo is 模型并行的另一条理论发展路线。该模糊粗糙集模型是基于I w in sk i 粗糙集
概念的。Coker 在文献[5]进一步指出, 此模糊粗糙集是A tanasso r 所定义的直觉L 2模糊集(in tu iti on istic L 2fuzzy set ) [1]。B is w as 关于粗糙集与模糊粗糙集关系的讨论[3]、X i ong 等关于模糊粗糙集的格性质的讨论[59], 使用的也是此定义。
4 广义模糊粗糙集
[11]这是模糊粗糙集发展的第二个阶段, 特点是将二值逻辑推广到模糊逻辑上来。Greco 模型首
先将这一概念推广到一个高度广义的阶段。R adzikow ska (2002) 在文献[35]中对此进行了深入的讨论。M o rsi 和Yakou t (1998) 的文献[26]也是非常重要的。比较重要的还有T h iele (1998) [45]
[37](2001) [46-48]、Salido (2003) 等。
在粗糙集推广进程中, 较早就引入了逻辑运算的讨论[54]。比如用逻辑语言来书写Paw lak 上下近似定义式(1) :={x Πy ((x , y ) ∈R →y ∈X ) }ϖR X ={x ϖy ((x , y ) ∈R ∧y ∈X }(14)
这种改写是有益的, 出现在其中的二值逻辑运算, 启示着模糊逻辑运算的引入。T h iele (2001) 在文献[45]用逻辑语言表达了D ubo is&Prade 粗糙模糊集和模糊粗糙集, 并围绕此问题进行了一系列的讨论[46-48]。
下文的叙述涉及到的模糊逻辑算子, 可以参见文献[35],那里有一份完整而简洁的叙述。
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展129
先介绍R adzikow ska 模型。在引入模糊逻辑运算的同时, 其模糊等价关系R 在形式上有点变化:满足sup 2对称性不变。m in 传递性, 自反性、
定义4. 1[35] 设(U , R ) 是模糊近似空间, 即R 是论域U 上的模糊等价关系。I 是边缘蕴含算
, 子、T 是t 2模。(U , R ) 上的(I , T ) 2模糊粗糙近似是一个映射A p r I T :F (U ) →F (U ) ×F (U ) ,
ΠF ∈F (U ) , A p r I , T (F ) =(I F , R F ) 。Πx ∈U ,
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) ΛR I F (x ) =y inf ∈U I (15)
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) ΛR T F (x ) =sup y ∈U T
I F (R T F ) 称为F 在(U , R ) 中的I 2下模糊粗糙近似(T 2上模糊粗糙近似) 。
由定义4. 1可见, R adzikow ska 模型的重要特点在于模糊逻辑算子的引进。对应于模糊逻辑算子的常见类型, 文献[35]给出了模糊粗糙近似的三种类型:
①S 2FRA 由(I S , T S ) 给定, 其中I S 是连续的S 2蕴含算子(基于连续的s 2模S 和对合的否算子N ) , T S 与S 关于N 对偶。
②R 2FRA 由(I , T ) 给定, 这里I 是连续的R 2(T ) 。
③Q 2FRA 由(I , T ) 给定, I 是QL 2蕴含算子(t N ) 。并深入讨论了(I , T ) 2) 。可以看到, 性质对于R 2FRA , 、Q 2。这也许是大家常常用R 2蕴含算子, 、M i 模型。
看看R 。
是重要的, 该模型讨论了广义的模糊粗糙上下近似运算。
①ΠF ∈定义4. 2[26] 设R 是U 上的T 2等价关系(满足自反性、对称性、T 2传递性) 。F (U ) ,
定义下近似、F 、R F 为:t (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) (x ) =y ∧∈U I (16) M o rsi 模型[26]
R F (x ) =y ∈U ∨T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) )
容易得到形式与(15) 式一致的定义式:ΠF ∈F (U ) , F 在近似空间(U , R ) 的下近似F 、上近似R F 是定义在U 上的一对模糊集, 其隶属函数为:
(x ) =inf I t (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) y ∈U (17)
(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) R F (x ) =sup y ∈U T
是基于T 的R 2蕴含算子。可见(17) 是(15) 的一个特例。
D ubo is 模型也是R adzikow ska 模型的特例。在定义式(15) 中令蕴含算子I 为:I (x , y ) =S (N (x ) , y ) , 即S 2蕴含算子。又取s 2模为m ax 运算, 取N (x ) =1-x 为标准否算子, 得I (x , y )
[35]=m ax {1-x , y },即K leene 2D ienes 蕴含算子I KD (S 2蕴含算子的一种) 。从而I (ΛR (x , y ) , t 其中, T 是某个t 2模, I
又令t 2模为m in 运算, 得T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) =m in {ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) =m ax {1-ΛR (x , y ) , ΛF (y ) }。
ΛF (y ) }。由此得到D ubo is 模型定义3. 1。
要特别提及的是Greco 模型[11]。该模型定义了模糊集基于模糊自反关系的粗糙近似。文献
[11]中没有明确提出模糊粗糙集的概念, 与R adzikow ska 模型相比, 却具有另一番深度。从提出问题的时间先后上看, 也更具开创性。
定义4. 3[11] 设F 是论域U 上的模糊集, R 是定义在U 上的一个模糊自反关系, F ①由m in 运算是最大的t 2模知, 任意关系R 满足sup 2m in 传递性, 必满足T 2传递性。因此, 这里的T 2等价关系是定义4. 1所述模糊等价关系的特例。
130模 糊 系 统 与 数 学 2005年上近似F 、R F 是U 上的模糊集, 其隶属函数分别定义为:
F (x ) =T y ∈U (S (N (ΛR (x , y ) ) , ΛF (y ) ) )
F (x ) =(18) S y ∈U (T (ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) )
其中S 与T 关于否算子N 满足对偶关系。
与R adzikow ska 模型相比较, Greco 模型的特征是明显的。
5 两个论域的尝试
前述的模型在一个论域的范畴下, 把理论推进到了新的高度。把理论推向两个或多个论域, 是
[51][22]此研究领域一个新的期待。W u 等(2003) 和M i 等(2004) 等对此进行了探索。其特点是, 论域
这可能是一个新的理论阶段的W 中的模糊集X 的上下近似是由另一个论域U 中的元素来表述的。
开始。来看M i 模型。
设T 是某t 2模, S 是与T 对偶的s 2模。令
) ≤y }∈[0, 1] T (x , ΚΗ(x , y ) =sup {Κ(19)
) ≥y (20) ∈[0, 1](x Ρ(x , y ) =inf {Κ
(21) S (x , y ) =1-)
定义5. 1[22] 设模糊关系(×) , , ) 是一个广义模糊近似空间。定义, R :F (W ) ) , , ΠF ∈F (W ) , x ∈U ,
Η(ΛR (x , y ) , ΛF (y ) ) (x ) =y ∧∈W (22)
R F (x ) =∨Ρ(1-ΛR (x , y ) , Λ(y ) )
(20) 式所定义其中Η、上近似算子, (F 、Ρ如(19) 、R 为广义模糊下近似、R F ) 为F y ∈W F
的广义
模糊粗糙集。
此模型与M o rsi 模型较为接近。①该定义也引入了模糊逻辑算子。由模糊逻辑理论知, S (x , y ) =N (T (N (x ) , N (y ) ) ) 总是与T (x , y ) 是对偶的, 其中N 取标准否算子N s (x ) =1-x , 即为(21) 式。②(19) 式中的Η(x , y ) 即基于t 2模的R 2蕴含算子, 这和定义4. 1尤为相似。
而W u 模型[51], 其建立两个论域上的模糊粗糙集的思路, 与前述的几个模型则完全不同。其核心是使用了分解定理和表现定理。
定义5. 2[51] 设模糊二元关系R ∈F (U ×W ) , (U , W , R ) 为广义模糊近似空间, 任意F ∈F (W ) , 其下近似、上近似分别定义为:
(F ) =∨(Α(F ) )
R (F ) =∨(Α∧R (F ) ) Α∈[0, 1]1-ΑΑ+(23) (24) Α∈[0, 1]ΑΑ
现以(24) 式为例分析其含义, (23) 式的理解类似。
(x ) (x ) 依文[51]所述知, R Α(F Α) ={x ∈U R Α∩F Α},其中R Α={y ∈W ΛR (x , y ) ≥Α},x ∈U , y ∈
W 1而R (F ) 既然是模糊集, 由分解定理有,
(25) R (F ) =∨(Α∧(R (F ) ) Α) Α∈[0, 1]
要得到(24) 式, 相当于在式(25) 中令(R (F ) ) Α=
集与模糊集的联合[52]的思想, 是相一致的。R (F ΑΑ) 。2截集, 讨论粗糙这一点, 与Yao 基于Α
6 结束语
用一个表格来总结前文的表述(见表1) 。表中的内容是, 各个代表性理论模型与前一模型相比,
第4期 黄正华, 胡宝清:模糊粗糙集理论研究进展131所呈现的新特点。
表1 模糊粗糙集代表性理论模型特征比较第一阶段
D ubo is (1990) M o rsi (1998) 第二阶段R adzikow ska (2002) Greco (1998) 第三阶段M i (2004)
一个论域U
模糊等价关系R
(标准传递性) 模型T 2等价关系(T 2传递性)
R 2蕴含算子 模糊等价关系(sup 2m in 传递性) 模糊自反关系
两个论域U ×W F ∈目标F ∈R (U ) F (W ) 二值逻辑运算模糊逻辑算子 R 2蕴含算子F , ∈(U ) F , F ∈(U )
由前文的分析可以看到, R adzikow ska 模型、Greco 模型, 度广义的状态, M i 模型在把论域推向两个上做了探索, W u 系会受阻于传递性的给出, 是可能的。相信理。
, 、应用两个方面的核心问题, 模糊粗糙集在。目前的讨论, 可以参看文献[15]、[16]。
[23-为了减少数据噪声干扰, Salido 和M u rakam i (2003) [27]、M ieszkow icz 2Ro lka (2004) 25]将变
精度方法引入到模糊粗糙集进行了探讨; 另一方面, In tan 和M ukaidono (2002) [63]、W ei 和Zhang (2003) [58]把概率粗糙集模型方法引入到了模糊粗糙集模型的推广。要运用到大数据集的分析, 上述方法还有待进一步的深入研究。
理论应用的讨论正在日新月异。比如, 数据库分类[12, 40, 41], 信息挖掘[13, 44], 信息检索[36, 41], 神经网络[21, 38], 工程应用[34], 系统控制[6, 33], 股票价格预测[49], 文字识别[17], 语音识别[39]等等。
和单纯地使用粗糙集相比, 模糊粗糙集在应用的效果上有更好的表现。例如Kasem siri 讨论了粗糙模糊集在泰文字识别上的应用[17], 分别用了10535个7号字体、6880个4号字体进行了比较实验, 与粗糙集相比, 识别精度分别由68. 73%、98. 45%提高到88. 62%、99. 81%。这些应用对汉字识别的研究具有很大的吸引力。
文献[18]对粗糙集理论进行了介绍和全面的回顾, Zdzislaw Paw lak 是文章作者之一, 文中罗列的参考文献有544篇之多。文章指出了粗糙集理论在9个大类、101个小方向的应用的研究。模糊粗糙集在相类似问题上的应用研究, 是值得尝试的。
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The Stud ies of Fuzzy Rough Sets Theory :A Survey
HUAN G Zheng 2hua , HU B ao 2qing
(Schoo l of M athem atics and Statistics , W uhan U niversity , W uhan 430072, Ch ina )
Abstract :T h is p ap er in troduces the basic ideas of fuzzy rough sets theo ry and the recen t studies fo r th is theo ry . T he review of ex isting resu lts show s that there are th ree distingu ish ing featu res du ring the theo ry developm en t :ex tending to fuzzy set , b ringing in fuzzy logic , and generalizing to tw o un iverses .
Key words :Rough Sets ; Fuzzy Rough Sets ; L ow er A pp rox i m ati on ; U pper A pp rox i m ati on ; Fuzzy L ogical Op erato r ; Rough Fuzzy Sets