课时跟踪训练(三十八)
一、选择题
1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是(
)
A ．8 C ．16
B ．20＋2 D ．24＋82
[解析] 由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱1柱，其侧棱为4，故其表面积S 表＝2×4＋2×4＋22×4＋22×2×2＝20＋82.
[答案] B
2．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )
3
A. 126C. 12
3B. 4 6D. 4
1133
[解析] VB 1－ABC 1＝VC 1－ABB 1＝321×1×2＝12[答案] A
3．(2015·陕西卷) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A ．3π C ．2π＋4
B ．4π D ．3π＋4
[解析] 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂11
直切了一半，故该几何体的表面积为2×2π×1×2＋2×2×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.
[答案] D
4．(2016·广西武鸣摸底) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(
)
A ．12 56C. 3
B ．4 83D. 3[解析] 由三视图还原几何体，如图所示，其中它的2＋4
底面是直角梯形，其面积为2×2＝6. 又一条侧棱垂1
直于底面，高为2，所以这个几何体的体积为V ＝3×6×2＝4. 故选
B.
[答案] B
5．(2015·新课标全国卷Ⅰ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积
及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( )
A ．14斛 C ．36斛
B ．22斛 D ．66斛
⎛8×4⎫211320
×5＝[解析] 米堆的体积为43π× . 将π＝3代入上3π2π⎝⎭
320320
式，得体积为922(斛) ．
9×1.62
[答案] B
6．(2016·吉林长春二模) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
16A. 3 15C. 2
20B. 3 13D. 2
[解析]
该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体
4113
积为8－3－62故选D.
[答案] D
7．(2017·四川双流中学月考) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
3
A. 6＋π) 3
6(8＋2π)
3
B. 6(9＋2π) 3
D. 6(6
＋π)
[解析] 该几何体左侧是底面半径是13的半圆锥，右侧是底面边长是2的正方形，3的四棱锥的组合体，所以其体积V
⎫1⎛13
⎪＋2×2＝32×＝6＋π)．故选A. ⎝⎭
[答案] A
8．(2015·新课标全国卷Ⅱ) 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π C ．144π
B ．64π D ．256π
[解析] 如图，设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △OAB ＝121，要使V S △OAB ·h 最大，则OA
，OB ，O －ABC 23
OC 应两两垂直，且
11213
(V O －ABC ) max ＝3×2×R ＝6＝36，此时R ＝6，所以球O 的表面积为S 球＝4πR 2＝144π.故选C.
[答案] C
9．(2016·重庆第二次诊断) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
33A. 253C. 2B ．3 D ．3
[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB 1DC 1C ，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A －1353
A 1C 1D 的体积，即33－3×3×22[答案] C
10．(2016·安徽蚌埠一模) 如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体) 放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心
) 与蛋巢底面的距离为( )
21A. 22 3C. 261B. 2231D. 2＋2[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1. 因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝
13
1－4＝2而截面到底面的距离
131
即为三角形的高222.
[答案] D 二、填空题
11．(2016·北京卷) 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
1
[解析] 由四棱柱的三视图知，该四棱柱的底面积为2×(1＋333
2) ×1＝21，则该四棱柱的体积为2123
[答案] 212．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是
________．
[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半) 球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
1
∴该几何体的表面积为：S ＝16＋24π×12－π×12＝16＋π. [答案] 16＋π
13．(2016·河北衡水二调) 正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为__________．
[解析] 根据题意作图如右，由图可知翻折后的高AD ⊥平面BCD ，即四面体的高为AD . 在△BCD 中，BD ＝1，CD ＝1，BC ＝3，由余弦定理，得cos BD 2＋CD 2－BC 212π∠BDC ＝＝－2BDC ＝32BD ·CD
1BC 所以由正弦定理可知△BCD 的外接圆半径为2＝1. 设这个
sin ∠BDC 外接圆的圆心为O ′，半径为O ′C ，球的半径为R ，则由外接球的对称
⎛
3⎫2132222
性可得OO ′＝2＝2在△OO ′C 中，OO ′＋O ′C ＝R ，即R ＝ ⎝2⎭
7
＋1＝24πR 2＝7π.
2
[答案] 7π 三、解答题
14．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
[解] 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，
S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5) ×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，
11148V ＝V 圆台－V 圆锥＝32＋π·522·5π) ×43π×22×23π. 15．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C －MNP 的体积．
[解] (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，4＋9＝97.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如右图，
设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x ) 2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，
∴x ＝2，即PC ＝2.
PC NC 2NC
又∵NC ∥AM ，故P A AM ，即524
∴NC ＝5.
1144
(3)S △PCN ＝2×CP ×CN ＝22×55.
在三棱锥M －PCN 中，M 到面PCN 的距离， 33
即h ＝23＝2.
1133423
∴V C －MNP ＝V M －PCN ＝3·h ·S △PCN ＝3×2×55.
16．(2016·浙江卷改编) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°. 若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，求四面体P －BCD 的体积的最大值．
[解] 本题可转化为：在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，D 是边AC 上的动点，连接BD ，将△ABD 沿BD 折起构成三棱锥P －BCD ，求三棱锥P －BCD 体积的最大值．要使棱锥的体积最大，则平面PBD ⊥平面BCD 即折成直二面角．在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠BCD ＝30°，AC ＝23. 设AD ＝x (0
＝－P BCD 234＋x －2x
2
13x －x 2 . 令t ＝3x －x ，∵0
1t 1＝6＝6
4－t
t 1＝64－t
1
4t t
116
1
∵0
⎛11⎫214 t 8－16⎝⎭
11111
∴t 3t ＝3V P －BCD 2.
课时跟踪训练(三十八)
一、选择题
1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是(
)
A ．8 C ．16
B ．20＋2 D ．24＋82
[解析] 由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱1柱，其侧棱为4，故其表面积S 表＝2×4＋2×4＋22×4＋22×2×2＝20＋82.
[答案] B
2．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )
3
A. 126C. 12
3B. 4 6D. 4
1133
[解析] VB 1－ABC 1＝VC 1－ABB 1＝321×1×2＝12[答案] A
3．(2015·陕西卷) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A ．3π C ．2π＋4
B ．4π D ．3π＋4
[解析] 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂11
直切了一半，故该几何体的表面积为2×2π×1×2＋2×2×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.
[答案] D
4．(2016·广西武鸣摸底) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(
)
A ．12 56C. 3
B ．4 83D. 3[解析] 由三视图还原几何体，如图所示，其中它的2＋4
底面是直角梯形，其面积为2×2＝6. 又一条侧棱垂1
直于底面，高为2，所以这个几何体的体积为V ＝3×6×2＝4. 故选
B.
[答案] B
5．(2015·新课标全国卷Ⅰ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积
及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( )
A ．14斛 C ．36斛
B ．22斛 D ．66斛
⎛8×4⎫211320
×5＝[解析] 米堆的体积为43π× . 将π＝3代入上3π2π⎝⎭
320320
式，得体积为922(斛) ．
9×1.62
[答案] B
6．(2016·吉林长春二模) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
16A. 3 15C. 2
20B. 3 13D. 2
[解析]
该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体
4113
积为8－3－62故选D.
[答案] D
7．(2017·四川双流中学月考) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
3
A. 6＋π) 3
6(8＋2π)
3
B. 6(9＋2π) 3
D. 6(6
＋π)
[解析] 该几何体左侧是底面半径是13的半圆锥，右侧是底面边长是2的正方形，3的四棱锥的组合体，所以其体积V
⎫1⎛13
⎪＋2×2＝32×＝6＋π)．故选A. ⎝⎭
[答案] A
8．(2015·新课标全国卷Ⅱ) 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π C ．144π
B ．64π D ．256π
[解析] 如图，设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △OAB ＝121，要使V S △OAB ·h 最大，则OA
，OB ，O －ABC 23
OC 应两两垂直，且
11213
(V O －ABC ) max ＝3×2×R ＝6＝36，此时R ＝6，所以球O 的表面积为S 球＝4πR 2＝144π.故选C.
[答案] C
9．(2016·重庆第二次诊断) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
33A. 253C. 2B ．3 D ．3
[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB 1DC 1C ，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A －1353
A 1C 1D 的体积，即33－3×3×22[答案] C
10．(2016·安徽蚌埠一模) 如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体) 放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心
) 与蛋巢底面的距离为( )
21A. 22 3C. 261B. 2231D. 2＋2[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1. 因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝
13
1－4＝2而截面到底面的距离
131
即为三角形的高222.
[答案] D 二、填空题
11．(2016·北京卷) 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
1
[解析] 由四棱柱的三视图知，该四棱柱的底面积为2×(1＋333
2) ×1＝21，则该四棱柱的体积为2123
[答案] 212．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是
________．
[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半) 球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
1
∴该几何体的表面积为：S ＝16＋24π×12－π×12＝16＋π. [答案] 16＋π
13．(2016·河北衡水二调) 正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为__________．
[解析] 根据题意作图如右，由图可知翻折后的高AD ⊥平面BCD ，即四面体的高为AD . 在△BCD 中，BD ＝1，CD ＝1，BC ＝3，由余弦定理，得cos BD 2＋CD 2－BC 212π∠BDC ＝＝－2BDC ＝32BD ·CD
1BC 所以由正弦定理可知△BCD 的外接圆半径为2＝1. 设这个
sin ∠BDC 外接圆的圆心为O ′，半径为O ′C ，球的半径为R ，则由外接球的对称
⎛
3⎫2132222
性可得OO ′＝2＝2在△OO ′C 中，OO ′＋O ′C ＝R ，即R ＝ ⎝2⎭
7
＋1＝24πR 2＝7π.
2
[答案] 7π 三、解答题
14．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
[解] 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，
S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5) ×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，
11148V ＝V 圆台－V 圆锥＝32＋π·522·5π) ×43π×22×23π. 15．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C －MNP 的体积．
[解] (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，4＋9＝97.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如右图，
设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x ) 2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，
∴x ＝2，即PC ＝2.
PC NC 2NC
又∵NC ∥AM ，故P A AM ，即524
∴NC ＝5.
1144
(3)S △PCN ＝2×CP ×CN ＝22×55.
在三棱锥M －PCN 中，M 到面PCN 的距离， 33
即h ＝23＝2.
1133423
∴V C －MNP ＝V M －PCN ＝3·h ·S △PCN ＝3×2×55.
16．(2016·浙江卷改编) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°. 若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，求四面体P －BCD 的体积的最大值．
[解] 本题可转化为：在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，D 是边AC 上的动点，连接BD ，将△ABD 沿BD 折起构成三棱锥P －BCD ，求三棱锥P －BCD 体积的最大值．要使棱锥的体积最大，则平面PBD ⊥平面BCD 即折成直二面角．在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠BCD ＝30°，AC ＝23. 设AD ＝x (0
＝－P BCD 234＋x －2x
2
13x －x 2 . 令t ＝3x －x ，∵0
1t 1＝6＝6
4－t
t 1＝64－t
1
4t t
116
1
∵0
⎛11⎫214 t 8－16⎝⎭
11111
∴t 3t ＝3V P －BCD 2.