数学思维训练是大脑的体操
广东省珠海市第五中学张谷
2014-5-9
“航天之父”钱学森临走前最忧心的问题——“中国的大学为何培养不出顶尖人才？”应钱老之问，教育部启动“珠峰计划”造大师，11所名校首批500名重点人才入围。这也给基础教育提个醒：我们的中学课堂，能否淡化应试，在培养创新思维上多下一些工夫，为培养顶尖人才作好储备？
反思目前我们的数学课堂，为了追求应试的高分，加大题目的训练量，“去头掐尾烧中段”，忽视知识的形成过程。这种忽略思维训练的做法，必然会制约学生创新能力的培养。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，数学教育要发挥在培养人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用；学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。下面笔者就初中数学新授课教学的三个主要环节，谈谈加强思维训练的一些探索和实践。
1 在“情境创设”环节设疑、制悬，让学生产生探究学习的内驱力 “情境创设”包括实例、情境、问题、叙述等，一般出现在课堂导入环节，目的是营造氛围、提出问题。经过几年新课程的积极推进，教师很重视对情境的创设，凭借一个或一组问题的精彩引入，激发学生的学习兴趣和参与热情，课堂气氛活跃。但也存在情境设计杂乱，媒体间切换多，留给学生的思维含量明显不足等问题，应引起我们足
够重视。
案例1：“平方差公式”的教学引入。
创设生活情境：“神机妙算”。小敏去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，小敏就说出应付99.96元，结果与售货员算出的结果完全吻合。售货员惊讶地说：“你真是个神童，怎么算得这么快？”小敏说：“过奖了，我只是利用了数学上的一个公式，”你想知道小敏用的是一个什么样的公式吗？怎么计算的呢？
剖析：创设这样的问题情境，使学生不仅饶有兴趣，而且带着疑惑和好奇进入下面的学习。待学习完平方差公式后，再来解决这个问题，前后呼应，效果很好，且用时不多。
在“情境创设”的教学中，激发学生兴趣的同时设疑、制悬，使学生产生期待心理或认知冲突，进而产生强烈的探究学习内驱力，有助于培养学生积极思维、勇于探究的学习习惯。
2 在“新知教学”环节引入“探究”元素，培养学生思维的创新性 “新知教学”环节包括新授课要学习的概念、定义、定理、法则等，侧重让学生理解“从哪里来？”暴露知识、方法的形成过程。而在实际教学中，不少教师为了加大解题训练，常常压缩知识的形成过程，或通过了增加铺垫，降低思维要求。从而出现了学生重复训练多，启迪思维少的现状，这也是我们亟待解决的问题。
2．1概念教学要增加一点“探究”的元素
案例2：华东师大版《数学》七年级（上）“三角形的三条重要
线段”一课的概念教学。
方案1：教师在黑板上画
，边画边解说，取BC 的中点D ，线段AD 就是的一条中线，作∠A 的平分线AE ，交BC 于点E ，则线段AE 就是△ABC 的一条角平分线，作AF ⊥BC ， 垂足为F ，则线段AF 就是△ABC 的一条高线。然后教师引导学生进行辨认训练。 方案2：教师请大家拿出纸尺和笔，和学生一起回顾已学过的有关角平分线、垂线的画法，再提问：如图1，点P 在△ABC 的边BC 上运动，当点P 运动到什么位置，会有一些“特殊”的线段？
经片该思考后，学生能陆续发现角平分线、垂线、中线，从而引出课题：三角形的三条重要线段，教师再补充完善概念，进行辨认训练。
方案3：教师先提出问题：给定△ABC ，能否在若BC 边上找一点D ，使得AD 将△ABC 的面积平分？若BC 上有一个动点P ，当P 运动到什么位置时，线段AP 的长度最短？
教师提出“问题串”，引导学生思考：什么情形下两个三角形的面积相等？直线外一点到直线上各点的距离何时最短？学生经过探究思考，不难得出正确结论，从而引出中线、高的概念，之后再引出角平分线的概念。
剖析：方案1形式单调，学生对学习这三类线段的价值心存茫然，只是依据老师的讲解模仿、记忆和训练，且思维要求较低；方案2是先通过师生画图复习旧知识，再提出一个精心预设的问题，引起了学生的探究欲望，因为有旧知识的铺垫，学生容易掌握，此方案适
宜数学水平中等的班级；方案3则是先创设一个几何情境，提出“面积平分”问题，侧重引出三条重要线段的必要性，适宜数学水平较高的班级。方案2和方案3都是侧重知识的发生发展过程，让学生带着问题探究思考，学生在了解知识的形成过程的同时，思维也得到了训练。
2．2结论教学要合理铺垫，给学生“发现”的机会
（我们把公式、定理、推论、法则等统称为结论）
案例3：平方差公式的推导。
教师按顺序呈现以下两个问题：
（1）计算并化简①（a+b）(x+y)= 。
②（a+5b）(a-5b)= = ;
③(x+2)(x-2)= = ;
④(x+2)(x-1)= = .
（2）观察上述结果，你有什么发现吗？（友情提醒：可以从项数分析）
学生从结果中不难得出以下结论：（1）化简结果有四项、三项和两项的；（2）两个数的和与这两个数的差的积只有两项的；从而进一步得出平方差公式。
剖析：如果直接让学生通过计算（a+b）(a-b)=a2-b 2得到平方差公式，显然缺乏知识的形成过程。学生在教师指定的框架内机械操作，思维得不到训练。而案例3，教师是先通过一组问题情境合理，辅之必要的引导，学生是完全可以发现规律的。
譬如“多边形的内角和公式”的推导过程，教师引导学生从特殊到一般，从三角形、四边形、„到n 边形，得出内角和公式。而对于学习比较高的班级，教师可依次提出由远及近的问题串：①还有其他思考方法吗？不妨换个角度尝试；②从一般多边形入手，将其分割成若干个三角形；③如何分割？即动点P 如何选取？给学生几分钟时间分组讨论问题③，再交流。学生得出点P 可以在某一边上，也可在多边形的内部或外部。经过“问题—思考—讨论—交流”的探究程序，学生不仅习得新知，运用了分类讨论、从特殊到一般的思想，还培养了思维的广阔性，也体会到探究的乐趣。
3 在“数学应用”环节优化设计，培养学生思维的敛散性和严谨性
“数学应用”是一般意义上的例题、练习环节，包括辩别、解释问题等。目的是巩固新知，学以致用。
如今数学课堂主要存在两个问题：（1）设置问题时，重视“例题”而忽视“练习。教师设置、处理例题能注意”一题多用、一题多变“，有助于学生的发散性思维培养。而在巩固练习环节，给学生提供完全类似的习题，学生不用动脑，只需模仿，看似答对，实际上学生并没有理解；（2）设置例题的“度”难以把握，有的教师问题设置偏难、偏多，有的则太过简单而不能引起学生思考。其实，例题、习题是“数学应用”的一个整体，设计时应从整体出发，根据学生的不同水平，进行“多元”设置。
3．1例题、习题要“多元”设置，适当增加思维含量
案例4：在“平方差公式”一课的巩固新知环节，教师先后呈
现一道例题和两道练习题。
例题：利用平方差公式计算：
（1）（2x+y）（2x-y ）；（2）（a-6b ）（a+6b）；
（3）（3mn+1）（－3mn+1）。
练习1：下列公式中能用平方差公式计算的序号是：
（1）（2a-b ）（a-2b ）；（2）（a-b ）（－a+b）；（3）（a-b ）（－a-b ）；
（4）（2a-3b ）（－3b-2a ）。
练习2：仔细填一填：（1）（x+3）（ ）＝x 2-9；
（2）（m+n）；（ ）＝n 2-m 2；（3）（ ）（－y-1）＝1-y 2；
（4）（－3a 2+2b2）（ ）＝（9a 4-4b 4）。
剖析：例题是对平方差公式的正向运用，给学生一个示例；练习1是对公式结构的进一步辩析，难度不大，但能训练思维的严谨性；练习2是平方差公式的逆向应用，能训练逆向思维。这样，促使学生从正向、逆向、侧面多角度思考，从辩析训练中获得对平方差公式的本质，找准公式中第一个数，获得对新知识的完整印象。
其实，在教学一些思维含量不高的内容时，可以增加其思维含量。通常有设置字母问题，如在熟练进行有理数加减混合运算：（1）-1+2-3+4-99+100；（2）1-2+3-4+„+97-98+99。让学生从对特殊到一般的探索中，寻求规律，渗透配对思想。在“一元一次方程的概念”教学中，可以给出一道“拓展提高”性问题：若（a 2-1）χ2+ （a-1）χ+2=0是关于χ的一元一次方程，求a 的值。让学生依据一元一次方程的概念观察、判断，得出结论再进行反思、检验，有助于培养学
生思维的严谨性。
3．2例题、习题的解答要充分暴露思维过程
案例5：在“完全平方”教学中教师出示问题：要给一张边长为a m 的正方形桌子铺正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1 m,问需要多大面积的桌布?
教师用多媒体呈现示意图(如图2), 请学生求解. 学生不难得到:( a+0.2) 2= a2+2×0.2a+0.22= a2+0.4a+0.04(m2) 。
剖析：案例5的问题情境接近生活，但是教师直接给出示意图，学生没有亲历建模过程，不利于学生思维能力的培养。可考虑如下改进：学生读题教师做引导性问题：本题如何求解？请学生思考。可能有一些学生能联想到“图形”，让他们尝试画图，师生一同点评、强化，再由学生独立计算，解决总题。
如在推导“同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角一半”的结论时，某教师直接给出圆周角与圆心角的三种情况，再引导学生证明。其实，“为什么有三种情况？”才是关键，这时可提出问题“当圆心角一定，圆周角的位置如何？”让学生先独立思考、再与同伴交流，最后得出“有三种位置关系”。这样，渗透了分类讨论思想，对学生思维能力的培养是大有益处的。
3．3给“尖子生”增开思维“小灶”
案例6：在“行程应用问题”教学中，在相遇问题、追及问题后，可提出问题：甲、乙两在400米环行跑道上练习跑步。甲每秒跑
5.5米, 乙每秒跑4.5米。若甲、乙同时背向出发，经过多长时间两
人首次相遇？
解答后，教师建议几位“尖子生”思考：你还能提出其他问题吗？
学生1：甲、乙同时同向出发，经过多长时间两人首次相遇？ 学生2：乙先跑10米，甲再与乙同时、同向出发，经过多长时间两人首次相遇？
„„
学生积极参加与其中，成功与兴奋之情溢于言表。
上述加强学生思维训练的一些做法，在考虑教材特点和学生实际的基础上，做必要的调整与完善，对初中数学教学有效性的提高有积极的作用。
数学思维训练是大脑的体操
广东省珠海市第五中学张谷
2014-5-9
“航天之父”钱学森临走前最忧心的问题——“中国的大学为何培养不出顶尖人才？”应钱老之问，教育部启动“珠峰计划”造大师，11所名校首批500名重点人才入围。这也给基础教育提个醒：我们的中学课堂，能否淡化应试，在培养创新思维上多下一些工夫，为培养顶尖人才作好储备？
反思目前我们的数学课堂，为了追求应试的高分，加大题目的训练量，“去头掐尾烧中段”，忽视知识的形成过程。这种忽略思维训练的做法，必然会制约学生创新能力的培养。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，数学教育要发挥在培养人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用；学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。下面笔者就初中数学新授课教学的三个主要环节，谈谈加强思维训练的一些探索和实践。
1 在“情境创设”环节设疑、制悬，让学生产生探究学习的内驱力 “情境创设”包括实例、情境、问题、叙述等，一般出现在课堂导入环节，目的是营造氛围、提出问题。经过几年新课程的积极推进，教师很重视对情境的创设，凭借一个或一组问题的精彩引入，激发学生的学习兴趣和参与热情，课堂气氛活跃。但也存在情境设计杂乱，媒体间切换多，留给学生的思维含量明显不足等问题，应引起我们足
够重视。
案例1：“平方差公式”的教学引入。
创设生活情境：“神机妙算”。小敏去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，小敏就说出应付99.96元，结果与售货员算出的结果完全吻合。售货员惊讶地说：“你真是个神童，怎么算得这么快？”小敏说：“过奖了，我只是利用了数学上的一个公式，”你想知道小敏用的是一个什么样的公式吗？怎么计算的呢？
剖析：创设这样的问题情境，使学生不仅饶有兴趣，而且带着疑惑和好奇进入下面的学习。待学习完平方差公式后，再来解决这个问题，前后呼应，效果很好，且用时不多。
在“情境创设”的教学中，激发学生兴趣的同时设疑、制悬，使学生产生期待心理或认知冲突，进而产生强烈的探究学习内驱力，有助于培养学生积极思维、勇于探究的学习习惯。
2 在“新知教学”环节引入“探究”元素，培养学生思维的创新性 “新知教学”环节包括新授课要学习的概念、定义、定理、法则等，侧重让学生理解“从哪里来？”暴露知识、方法的形成过程。而在实际教学中，不少教师为了加大解题训练，常常压缩知识的形成过程，或通过了增加铺垫，降低思维要求。从而出现了学生重复训练多，启迪思维少的现状，这也是我们亟待解决的问题。
2．1概念教学要增加一点“探究”的元素
案例2：华东师大版《数学》七年级（上）“三角形的三条重要
线段”一课的概念教学。
方案1：教师在黑板上画
，边画边解说，取BC 的中点D ，线段AD 就是的一条中线，作∠A 的平分线AE ，交BC 于点E ，则线段AE 就是△ABC 的一条角平分线，作AF ⊥BC ， 垂足为F ，则线段AF 就是△ABC 的一条高线。然后教师引导学生进行辨认训练。 方案2：教师请大家拿出纸尺和笔，和学生一起回顾已学过的有关角平分线、垂线的画法，再提问：如图1，点P 在△ABC 的边BC 上运动，当点P 运动到什么位置，会有一些“特殊”的线段？
经片该思考后，学生能陆续发现角平分线、垂线、中线，从而引出课题：三角形的三条重要线段，教师再补充完善概念，进行辨认训练。
方案3：教师先提出问题：给定△ABC ，能否在若BC 边上找一点D ，使得AD 将△ABC 的面积平分？若BC 上有一个动点P ，当P 运动到什么位置时，线段AP 的长度最短？
教师提出“问题串”，引导学生思考：什么情形下两个三角形的面积相等？直线外一点到直线上各点的距离何时最短？学生经过探究思考，不难得出正确结论，从而引出中线、高的概念，之后再引出角平分线的概念。
剖析：方案1形式单调，学生对学习这三类线段的价值心存茫然，只是依据老师的讲解模仿、记忆和训练，且思维要求较低；方案2是先通过师生画图复习旧知识，再提出一个精心预设的问题，引起了学生的探究欲望，因为有旧知识的铺垫，学生容易掌握，此方案适
宜数学水平中等的班级；方案3则是先创设一个几何情境，提出“面积平分”问题，侧重引出三条重要线段的必要性，适宜数学水平较高的班级。方案2和方案3都是侧重知识的发生发展过程，让学生带着问题探究思考，学生在了解知识的形成过程的同时，思维也得到了训练。
2．2结论教学要合理铺垫，给学生“发现”的机会
（我们把公式、定理、推论、法则等统称为结论）
案例3：平方差公式的推导。
教师按顺序呈现以下两个问题：
（1）计算并化简①（a+b）(x+y)= 。
②（a+5b）(a-5b)= = ;
③(x+2)(x-2)= = ;
④(x+2)(x-1)= = .
（2）观察上述结果，你有什么发现吗？（友情提醒：可以从项数分析）
学生从结果中不难得出以下结论：（1）化简结果有四项、三项和两项的；（2）两个数的和与这两个数的差的积只有两项的；从而进一步得出平方差公式。
剖析：如果直接让学生通过计算（a+b）(a-b)=a2-b 2得到平方差公式，显然缺乏知识的形成过程。学生在教师指定的框架内机械操作，思维得不到训练。而案例3，教师是先通过一组问题情境合理，辅之必要的引导，学生是完全可以发现规律的。
譬如“多边形的内角和公式”的推导过程，教师引导学生从特殊到一般，从三角形、四边形、„到n 边形，得出内角和公式。而对于学习比较高的班级，教师可依次提出由远及近的问题串：①还有其他思考方法吗？不妨换个角度尝试；②从一般多边形入手，将其分割成若干个三角形；③如何分割？即动点P 如何选取？给学生几分钟时间分组讨论问题③，再交流。学生得出点P 可以在某一边上，也可在多边形的内部或外部。经过“问题—思考—讨论—交流”的探究程序，学生不仅习得新知，运用了分类讨论、从特殊到一般的思想，还培养了思维的广阔性，也体会到探究的乐趣。
3 在“数学应用”环节优化设计，培养学生思维的敛散性和严谨性
“数学应用”是一般意义上的例题、练习环节，包括辩别、解释问题等。目的是巩固新知，学以致用。
如今数学课堂主要存在两个问题：（1）设置问题时，重视“例题”而忽视“练习。教师设置、处理例题能注意”一题多用、一题多变“，有助于学生的发散性思维培养。而在巩固练习环节，给学生提供完全类似的习题，学生不用动脑，只需模仿，看似答对，实际上学生并没有理解；（2）设置例题的“度”难以把握，有的教师问题设置偏难、偏多，有的则太过简单而不能引起学生思考。其实，例题、习题是“数学应用”的一个整体，设计时应从整体出发，根据学生的不同水平，进行“多元”设置。
3．1例题、习题要“多元”设置，适当增加思维含量
案例4：在“平方差公式”一课的巩固新知环节，教师先后呈
现一道例题和两道练习题。
例题：利用平方差公式计算：
（1）（2x+y）（2x-y ）；（2）（a-6b ）（a+6b）；
（3）（3mn+1）（－3mn+1）。
练习1：下列公式中能用平方差公式计算的序号是：
（1）（2a-b ）（a-2b ）；（2）（a-b ）（－a+b）；（3）（a-b ）（－a-b ）；
（4）（2a-3b ）（－3b-2a ）。
练习2：仔细填一填：（1）（x+3）（ ）＝x 2-9；
（2）（m+n）；（ ）＝n 2-m 2；（3）（ ）（－y-1）＝1-y 2；
（4）（－3a 2+2b2）（ ）＝（9a 4-4b 4）。
剖析：例题是对平方差公式的正向运用，给学生一个示例；练习1是对公式结构的进一步辩析，难度不大，但能训练思维的严谨性；练习2是平方差公式的逆向应用，能训练逆向思维。这样，促使学生从正向、逆向、侧面多角度思考，从辩析训练中获得对平方差公式的本质，找准公式中第一个数，获得对新知识的完整印象。
其实，在教学一些思维含量不高的内容时，可以增加其思维含量。通常有设置字母问题，如在熟练进行有理数加减混合运算：（1）-1+2-3+4-99+100；（2）1-2+3-4+„+97-98+99。让学生从对特殊到一般的探索中，寻求规律，渗透配对思想。在“一元一次方程的概念”教学中，可以给出一道“拓展提高”性问题：若（a 2-1）χ2+ （a-1）χ+2=0是关于χ的一元一次方程，求a 的值。让学生依据一元一次方程的概念观察、判断，得出结论再进行反思、检验，有助于培养学
生思维的严谨性。
3．2例题、习题的解答要充分暴露思维过程
案例5：在“完全平方”教学中教师出示问题：要给一张边长为a m 的正方形桌子铺正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1 m,问需要多大面积的桌布?
教师用多媒体呈现示意图(如图2), 请学生求解. 学生不难得到:( a+0.2) 2= a2+2×0.2a+0.22= a2+0.4a+0.04(m2) 。
剖析：案例5的问题情境接近生活，但是教师直接给出示意图，学生没有亲历建模过程，不利于学生思维能力的培养。可考虑如下改进：学生读题教师做引导性问题：本题如何求解？请学生思考。可能有一些学生能联想到“图形”，让他们尝试画图，师生一同点评、强化，再由学生独立计算，解决总题。
如在推导“同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角一半”的结论时，某教师直接给出圆周角与圆心角的三种情况，再引导学生证明。其实，“为什么有三种情况？”才是关键，这时可提出问题“当圆心角一定，圆周角的位置如何？”让学生先独立思考、再与同伴交流，最后得出“有三种位置关系”。这样，渗透了分类讨论思想，对学生思维能力的培养是大有益处的。
3．3给“尖子生”增开思维“小灶”
案例6：在“行程应用问题”教学中，在相遇问题、追及问题后，可提出问题：甲、乙两在400米环行跑道上练习跑步。甲每秒跑
5.5米, 乙每秒跑4.5米。若甲、乙同时背向出发，经过多长时间两
人首次相遇？
解答后，教师建议几位“尖子生”思考：你还能提出其他问题吗？
学生1：甲、乙同时同向出发，经过多长时间两人首次相遇？ 学生2：乙先跑10米，甲再与乙同时、同向出发，经过多长时间两人首次相遇？
„„
学生积极参加与其中，成功与兴奋之情溢于言表。
上述加强学生思维训练的一些做法，在考虑教材特点和学生实际的基础上，做必要的调整与完善，对初中数学教学有效性的提高有积极的作用。