第１４卷第１期２０１１年１月
ＳＴＵＤＩＥＳ１ＮＣ（）ＬＬＥＧＥ
高等数学研究
ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳ
Ｖｂｌ．１４．Ｎｏ．１Ｊａｎ．．２０１１
三角函数有理式积分技巧
魏章志，陈浩
（宿州学院数学与统计学院。安徽宿州２３４０００）
摘要结合实际例子给出四种处理三角有理式积分的技巧与方法，即利用对称性积分法、递推公式法、组合
积分法、利用留数法．
关键词
积分；对称性；组合积分；留数
０１７２．２
中图分类号
文献标识码Ａ
文章编号
１００８一１３９９（２０１１）Ｏｌ—００７７一０３
三角函数有理式的积分计算方法与技巧丰富多彩，一般可以通过万能代换法来求解，但有时化成的代数有理式的积分非常难求．本文介绍几种计算方
法和技巧，利用这些技巧，可以提高对三角有理式的
－：Ｊ．：；娑如＋专．ｆ：羔如，
而由命题２，因为
积分计算能力．
１
（一号）Ｓｉ眦一（玎一一号）Ｓｉ岫一）
ｌ＋ｃｏｓ２ｚ
利用对称性积分
设函数，（ｚ）是［一口，口］（口＞ｏ）上的奇函数，则有
Ｉ厂（ｚ）ｄｚ＝ｏ．
设函数厂（ｚ）是［一ｎ，ｎ］（口＞ｏ）上的偶函数，则有
Ｊ—ａ
一。１＋ｃｏｓ２（７ｒ：二ｊ）
’
也即．—ｊ÷关于ｚ一罢反对称，故有
（工一要）ｓｉ眦
ｌ十ＣＯＳ。．ｚ
广厂（ｚ）如：２ｆ：厂（ｚ）妇．
Ｊ口
Ｊ。１可ｉ万吡２¨
所以
；
ｆ一害如乩
Ｚ
将以上的对称性加以推广，可得如下命题［１・２１．命题ｌ
设函数厂（ｚ）在［ｏ，口］（（￡＞ｏ）上可积，且
厂（ｚ）＝，（口一ｚ），
即函数关于直线ｚ＝昙对称，则有
例２
ＪＯ
队ｚ）如：２ｆ号，（ｚ№
ＪＯ
。卜我焘ｄ一一号ａｒｃｔａｎｃｃ。ｓｚ，Ｋ＝手．
计算Ｊ—ｒ忐（口为任意实数）．
不妨令ｚ
解
命题２设函数厂（ｚ）在［ｏ，口］（口＞ｏ）上可积，且
厂（ｚ）＝一，（口一ｚ），
即函数关于直线ｚ＝昙反对称，则有
ｌ厂（ｚ）如＝ｏ．
２
例１计算Ｊ：ｒ＿；兰堑旦｝ｄｚ．例１计算Ｊ
若记Ｊ＝ｒ忐，显然有Ｊ＝，．又因为
一再杀＝・一再三，１＋舭一１＋ｔａ开ｚ’———————ｊｉ—一ｌ＋ｔａ疗（专一力
ｚ＝￡志一ｒ志．
２号一ｔ，那么
ｊ。ｒ畿ｄｚ・
解显然有
也即再ｂ一专关于ｚ２号墨对称．由命题２知
－一Ｃ（
收稿日期：２００８一ｌｌ—０４Ｉ修改日期１２０１０—１１—２８．
基金项目：宿州学院自然科学基金项目（２００８”ｋ０１）ｌ安徽省教育厅
高校优秀青年人才基金项目（２００９ＳＱＲＺｌ６９）｝省级精品课程（安徽省教育厅秘高［２００６］５３号）．
作者简介：魏章志（１９７７一），男，安徽桐城人．硕士．讲师ｔ从事数学教
育Ｔ作和泛函微分方程研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｚｚｈ６１０＠１６３．ｃｏｎ
－一志
专＿［ｒ（志～专）出＋ｒ｛卟＝专．
ｒ・如一ｒ矗而出＝
万方数据
７８高等数学研究２０１１年１月
２
递推公式法
伟
一
为了计算ｌ，。（ｚ）ｄｚ，将其化成与Ｉ＾（ｚ）妇有
Ｊ口
Ｊ
４
关的表达式，其中志＜挖，以∈Ｎ＋，如此继续下去，将问题转化为求最后的一个或几个积分，这种计算定积分的方法称为递推公式法‘２１．
例３寸算Ｌ＝ｒｓｉ？ｋ如．
解
利用分部积分可得
Ｊ。：ｒｓｉｎ，ｒ－ｚｄ（一ｃ。ｓｚ）：
ＪＯ
ｓｉｎ”ｌｚｃ。ｓｚ
ｌ；＋ｆ：ｃ。ｓｚｄｃｓｉｎ”１．ｚ，＝
（扎－１）胁ｎ科一ｓ２ｚ如一
（７ｚ一１）ｆ詈（ｓｉｎ，ｒｌｚ—ｓｉｎ。ｚ）ｄ２：
（ｎ一１）ｊ，ｒｚ一（７ｌ一１）Ｊ。，
移项得递推公式
Ｉ。一竺ｌＪ，ｒ２（竹≥２）．
重复上述公式，结合
Ｊ０＝ｒ如；号，－，；ｒｓｉ眦如＝・，
可得
，咒一２是＋１，五∈Ｎ＋，
一一川一一川
号，咒。２志，五∈Ｎ＋．
例４计算Ｌ＝ｒｔａｎ孙ｚｄｚ．
解
先使用凑微分可得
，王
Ｊ。＝ｌ
４
ｔａｎ２，ｒ２ｚ（ｓｅｃ２工一１）ｄｚ＝
ＪＯ
ｒｔａｎ２卅删ｔａ眦，一卜ｎ２棚础＝
南驴１ｚＩ；一。。＝嘉一ｈ
因为Ｉ。＝
手，所以，
Ｌ＝
罚一Ｉ诵１
，
１
一Ｊ川）＝…＝
瓦三一一瓦』一十瓦三一一…＋（－１）一Ｊ０２靠一１２，ｌ一３‘２咒一５
。、“”
卜驴［｛一（，一÷＋｛…＋器）］．
万方数据
３
组合积分法
求积分Ｊ＝ｌ，（ｚ）ｄｚ时，根据Ｊ的特点，构造一
个与Ｊ结构相似的积分
Ｊ—Ｉｇ（ｚ）如，
或将１分解为两个相似的积分Ｉ。和Ｉ：，使得
Ｊ＝Ｊｌ十Ｊ２，
最后将Ｊ和Ｊ或Ｊ。和Ｉ。两个积分组合起来，通过解Ｊ和．厂或Ｉ。和Ｉ：形成的方程组来求毹积分的方法称
为组合积分法‘３１．
例５计算积分ｒ萱—・』斗出（（１６≠ｏ）．计算积分Ｉ。—・型旦毫出（（１６≠ｏ）．
Ｊ
ｏ
ｎＳｌｎＺ—ＤＣＯＳｚ
解
不妨设
Ｊ＝Ｉ．．ｊ塑｝妇，
Ｊ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣＯＳ二Ｃ
Ｊ＝ｌ—』堕兰一ｄｚ，Ｊ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣｏ
Ｓ＇ｒ
则有
ｎＪ—Ｗ＝ｚ＋ｆ１．
６Ｊ＋皿－ｒ＝ＩｎＩ口ｓｉｎｏ一６ｃｏｓｚＩ＋ｆ２．
解之得
Ｊ—ｎ二ｒ＋６ｌｎＩ口ｓｉｎ．ｒ一６ｃｏｓｚ
口２＋６２
＋ｃ，
从而有
』ｉ蕊警赢如＝’
Ｊ
Ｏ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣＯＳＺ
位ｚ＋６ｌｎｎｓｉｎ二ｃ＋６ｃｏｓｚ
口２＋６２卜
垒
．互牟
垒
口２＋６２２。４２＋６２
詈Ｉ．
例６计算积分ｒ
１
ＪＯ
ＴＦ丽而们・
３ｃｏｓｚ＋２ｓｉｎｚ
解
不妨令
．，＝，讦‰如．Ｊ＝Ｊ．再‰妣则有
Ｈ．，＝，笄慧如＝
２Ｊ磐监苫鲁＝
岩－ｎ
厢＋ｓｉ眦一ｃｏｓｚ
卜Ｊ＝Ｊ－舞蒜如；
厢一ｓｉ眦＋ｃｏｓｚ
＋ｆｌ，
第１４卷第１期
薮＇章志．陈ｊｌ｝：三角函数有理式积分技巧
７９
２，簿篆等斋＝
ＲｅＳ（聂可急丽，一吾）＝吉．
２ａｒｃｔａｎ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｚ）十ｃ２，
解之得
．
，－＝专圳譬等篆｜＋
例８．２ａｒｃｔａｎ（ｃ。ｓｚ＋ｓｉ吡）］＋ｃｌ’
计算Ｊ＝Ｊ．：。ｒＦ历‰（夕≠１）．
计算Ｊ。Ｊ。ｒＦ历意§再７（夕≠１）・
解
不妨设ｚ＝ｅ廿，类似例７得
’
卜丢圳筹慧惹卜
Ｊ；哥㈨。，矿瓦寿硪再
２ａｒｃｔａｎ（ｃ。ｓｚ＋ｓｉ∞）］＋∞
孰。。面南．
故可求得
当Ｉ夕ｌ＞１时，
Ｊ。丁再悉五品血一
ｐ
３ｃｏｓｚ＋２ｓｉｎｚ
１
，＝２丌ｉ÷Ｒｅｓ（石夏ｊ］而，一古）＝
ｊ‘
２７ｒ，，（３Ｊ捌）卜学ｌｎ（２＋风
由２—１’
当Ｉ乡Ｉ＜ｌ时，
‘．
４
利用留数法
ｋ
有些积分中的被积函数不能或者不易用初等函
２玎ｉ÷胝（石再南，一ｐ）＝数表示出来，这时候可以利用留数定理，将要求的积卫
１一痧２。
分转化为复变函数沿闭路曲线的积分，从而将积分计从而可得
算转换为留数计算，此方法也称围道积分法‘引．
，
２，ｒ
例７计算ｊ
删，，
扎智Ｔ２Ｊ。手彘・
ｒｈ，
∞
卢丌＝丌‘
以上是对三角函数有理式积分计算的常见的技解不妨令ｚ＝ｅ４，那么，
巧总结，掌握这些技巧有利于减少积分计算步骤和
ｄ８：三ｄ２，
复杂程度．
参考文献
３ｃｏ卯＝要（ｚ＋ｚ一１），
［１］陈纪修．於崇华，金路．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出
所以
Ｊ—ｎ。厩‰，
版社，２００４：３０８—３１２．
［２］谢惠民，恽自求．数学分析题课讲义［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，２００３：３２３－３２４．
而在Ｉ２
Ｉ＜１内，３≯＋１０ｚ＋３只有一级极点
［３］朱永银。郭文秀．组合积分法［Ｍ］．武汉：华中科技大学出
１
版社，２００２：１—８．
２
２一了’
［４］龚冬保．复变函数典型题［Ｍ］．西安：西安交通大学出版
从而
社。２００２：１４２—１４３．
ＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆＥＶａＩｕａｔｉｎｇＤｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓｏｆ
ＲａｔｉｏｎａｌＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎＳ
ＷＥＩＺｈａｎｇ—ｚｈｉ，
ＣＨＥＮＨａｏ
（ＳｃｈｏｏＩｏｆ
ＭａｔｈｅｍａｔｊｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ．ＳｕｚｈｏｕＵｎｊｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ２３４０００，ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ？
Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｆｏｕｒｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆｅｖａｌｕａｔｉｎｇｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｏｆｒａｔｉｏｎａｌ
ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｎａｍｅｌｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｂｙｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｂｙｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ，
ｂｙｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ，ａｎｄ
ｂｙｒｅｓｉｄｕｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ，ｒｅｓｉｄｕｅ
万方数据
三角函数有理式积分技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
魏章志， 陈浩， WEI Zhang-zhi， CHEN Hao宿州学院数学与统计学院,安徽,宿州,234000高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(4条)
1. 龚冬保 复变函数典型题 20022. 朱永银;郭文秀 组合积分法 20023. 谢惠民;恽自求 数学分析题课讲义 20034. 陈纪修;於崇华;金路 数学分析 2004
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101031.aspx
第１４卷第１期２０１１年１月
ＳＴＵＤＩＥＳ１ＮＣ（）ＬＬＥＧＥ
高等数学研究
ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳ
Ｖｂｌ．１４．Ｎｏ．１Ｊａｎ．．２０１１
三角函数有理式积分技巧
魏章志，陈浩
（宿州学院数学与统计学院。安徽宿州２３４０００）
摘要结合实际例子给出四种处理三角有理式积分的技巧与方法，即利用对称性积分法、递推公式法、组合
积分法、利用留数法．
关键词
积分；对称性；组合积分；留数
０１７２．２
中图分类号
文献标识码Ａ
文章编号
１００８一１３９９（２０１１）Ｏｌ—００７７一０３
三角函数有理式的积分计算方法与技巧丰富多彩，一般可以通过万能代换法来求解，但有时化成的代数有理式的积分非常难求．本文介绍几种计算方
法和技巧，利用这些技巧，可以提高对三角有理式的
－：Ｊ．：；娑如＋专．ｆ：羔如，
而由命题２，因为
积分计算能力．
１
（一号）Ｓｉ眦一（玎一一号）Ｓｉ岫一）
ｌ＋ｃｏｓ２ｚ
利用对称性积分
设函数，（ｚ）是［一口，口］（口＞ｏ）上的奇函数，则有
Ｉ厂（ｚ）ｄｚ＝ｏ．
设函数厂（ｚ）是［一ｎ，ｎ］（口＞ｏ）上的偶函数，则有
Ｊ—ａ
一。１＋ｃｏｓ２（７ｒ：二ｊ）
’
也即．—ｊ÷关于ｚ一罢反对称，故有
（工一要）ｓｉ眦
ｌ十ＣＯＳ。．ｚ
广厂（ｚ）如：２ｆ：厂（ｚ）妇．
Ｊ口
Ｊ。１可ｉ万吡２¨
所以
；
ｆ一害如乩
Ｚ
将以上的对称性加以推广，可得如下命题［１・２１．命题ｌ
设函数厂（ｚ）在［ｏ，口］（（￡＞ｏ）上可积，且
厂（ｚ）＝，（口一ｚ），
即函数关于直线ｚ＝昙对称，则有
例２
ＪＯ
队ｚ）如：２ｆ号，（ｚ№
ＪＯ
。卜我焘ｄ一一号ａｒｃｔａｎｃｃ。ｓｚ，Ｋ＝手．
计算Ｊ—ｒ忐（口为任意实数）．
不妨令ｚ
解
命题２设函数厂（ｚ）在［ｏ，口］（口＞ｏ）上可积，且
厂（ｚ）＝一，（口一ｚ），
即函数关于直线ｚ＝昙反对称，则有
ｌ厂（ｚ）如＝ｏ．
２
例１计算Ｊ：ｒ＿；兰堑旦｝ｄｚ．例１计算Ｊ
若记Ｊ＝ｒ忐，显然有Ｊ＝，．又因为
一再杀＝・一再三，１＋舭一１＋ｔａ开ｚ’———————ｊｉ—一ｌ＋ｔａ疗（专一力
ｚ＝￡志一ｒ志．
２号一ｔ，那么
ｊ。ｒ畿ｄｚ・
解显然有
也即再ｂ一专关于ｚ２号墨对称．由命题２知
－一Ｃ（
收稿日期：２００８一ｌｌ—０４Ｉ修改日期１２０１０—１１—２８．
基金项目：宿州学院自然科学基金项目（２００８”ｋ０１）ｌ安徽省教育厅
高校优秀青年人才基金项目（２００９ＳＱＲＺｌ６９）｝省级精品课程（安徽省教育厅秘高［２００６］５３号）．
作者简介：魏章志（１９７７一），男，安徽桐城人．硕士．讲师ｔ从事数学教
育Ｔ作和泛函微分方程研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｚｚｈ６１０＠１６３．ｃｏｎ
－一志
专＿［ｒ（志～专）出＋ｒ｛卟＝专．
ｒ・如一ｒ矗而出＝
万方数据
７８高等数学研究２０１１年１月
２
递推公式法
伟
一
为了计算ｌ，。（ｚ）ｄｚ，将其化成与Ｉ＾（ｚ）妇有
Ｊ口
Ｊ
４
关的表达式，其中志＜挖，以∈Ｎ＋，如此继续下去，将问题转化为求最后的一个或几个积分，这种计算定积分的方法称为递推公式法‘２１．
例３寸算Ｌ＝ｒｓｉ？ｋ如．
解
利用分部积分可得
Ｊ。：ｒｓｉｎ，ｒ－ｚｄ（一ｃ。ｓｚ）：
ＪＯ
ｓｉｎ”ｌｚｃ。ｓｚ
ｌ；＋ｆ：ｃ。ｓｚｄｃｓｉｎ”１．ｚ，＝
（扎－１）胁ｎ科一ｓ２ｚ如一
（７ｚ一１）ｆ詈（ｓｉｎ，ｒｌｚ—ｓｉｎ。ｚ）ｄ２：
（ｎ一１）ｊ，ｒｚ一（７ｌ一１）Ｊ。，
移项得递推公式
Ｉ。一竺ｌＪ，ｒ２（竹≥２）．
重复上述公式，结合
Ｊ０＝ｒ如；号，－，；ｒｓｉ眦如＝・，
可得
，咒一２是＋１，五∈Ｎ＋，
一一川一一川
号，咒。２志，五∈Ｎ＋．
例４计算Ｌ＝ｒｔａｎ孙ｚｄｚ．
解
先使用凑微分可得
，王
Ｊ。＝ｌ
４
ｔａｎ２，ｒ２ｚ（ｓｅｃ２工一１）ｄｚ＝
ＪＯ
ｒｔａｎ２卅删ｔａ眦，一卜ｎ２棚础＝
南驴１ｚＩ；一。。＝嘉一ｈ
因为Ｉ。＝
手，所以，
Ｌ＝
罚一Ｉ诵１
，
１
一Ｊ川）＝…＝
瓦三一一瓦』一十瓦三一一…＋（－１）一Ｊ０２靠一１２，ｌ一３‘２咒一５
。、“”
卜驴［｛一（，一÷＋｛…＋器）］．
万方数据
３
组合积分法
求积分Ｊ＝ｌ，（ｚ）ｄｚ时，根据Ｊ的特点，构造一
个与Ｊ结构相似的积分
Ｊ—Ｉｇ（ｚ）如，
或将１分解为两个相似的积分Ｉ。和Ｉ：，使得
Ｊ＝Ｊｌ十Ｊ２，
最后将Ｊ和Ｊ或Ｊ。和Ｉ。两个积分组合起来，通过解Ｊ和．厂或Ｉ。和Ｉ：形成的方程组来求毹积分的方法称
为组合积分法‘３１．
例５计算积分ｒ萱—・』斗出（（１６≠ｏ）．计算积分Ｉ。—・型旦毫出（（１６≠ｏ）．
Ｊ
ｏ
ｎＳｌｎＺ—ＤＣＯＳｚ
解
不妨设
Ｊ＝Ｉ．．ｊ塑｝妇，
Ｊ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣＯＳ二Ｃ
Ｊ＝ｌ—』堕兰一ｄｚ，Ｊ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣｏ
Ｓ＇ｒ
则有
ｎＪ—Ｗ＝ｚ＋ｆ１．
６Ｊ＋皿－ｒ＝ＩｎＩ口ｓｉｎｏ一６ｃｏｓｚＩ＋ｆ２．
解之得
Ｊ—ｎ二ｒ＋６ｌｎＩ口ｓｉｎ．ｒ一６ｃｏｓｚ
口２＋６２
＋ｃ，
从而有
』ｉ蕊警赢如＝’
Ｊ
Ｏ口Ｓｌｎ．Ｚ—ＤＣＯＳＺ
位ｚ＋６ｌｎｎｓｉｎ二ｃ＋６ｃｏｓｚ
口２＋６２卜
垒
．互牟
垒
口２＋６２２。４２＋６２
詈Ｉ．
例６计算积分ｒ
１
ＪＯ
ＴＦ丽而们・
３ｃｏｓｚ＋２ｓｉｎｚ
解
不妨令
．，＝，讦‰如．Ｊ＝Ｊ．再‰妣则有
Ｈ．，＝，笄慧如＝
２Ｊ磐监苫鲁＝
岩－ｎ
厢＋ｓｉ眦一ｃｏｓｚ
卜Ｊ＝Ｊ－舞蒜如；
厢一ｓｉ眦＋ｃｏｓｚ
＋ｆｌ，
第１４卷第１期
薮＇章志．陈ｊｌ｝：三角函数有理式积分技巧
７９
２，簿篆等斋＝
ＲｅＳ（聂可急丽，一吾）＝吉．
２ａｒｃｔａｎ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｚ）十ｃ２，
解之得
．
，－＝专圳譬等篆｜＋
例８．２ａｒｃｔａｎ（ｃ。ｓｚ＋ｓｉ吡）］＋ｃｌ’
计算Ｊ＝Ｊ．：。ｒＦ历‰（夕≠１）．
计算Ｊ。Ｊ。ｒＦ历意§再７（夕≠１）・
解
不妨设ｚ＝ｅ廿，类似例７得
’
卜丢圳筹慧惹卜
Ｊ；哥㈨。，矿瓦寿硪再
２ａｒｃｔａｎ（ｃ。ｓｚ＋ｓｉ∞）］＋∞
孰。。面南．
故可求得
当Ｉ夕ｌ＞１时，
Ｊ。丁再悉五品血一
ｐ
３ｃｏｓｚ＋２ｓｉｎｚ
１
，＝２丌ｉ÷Ｒｅｓ（石夏ｊ］而，一古）＝
ｊ‘
２７ｒ，，（３Ｊ捌）卜学ｌｎ（２＋风
由２—１’
当Ｉ乡Ｉ＜ｌ时，
‘．
４
利用留数法
ｋ
有些积分中的被积函数不能或者不易用初等函
２玎ｉ÷胝（石再南，一ｐ）＝数表示出来，这时候可以利用留数定理，将要求的积卫
１一痧２。
分转化为复变函数沿闭路曲线的积分，从而将积分计从而可得
算转换为留数计算，此方法也称围道积分法‘引．
，
２，ｒ
例７计算ｊ
删，，
扎智Ｔ２Ｊ。手彘・
ｒｈ，
∞
卢丌＝丌‘
以上是对三角函数有理式积分计算的常见的技解不妨令ｚ＝ｅ４，那么，
巧总结，掌握这些技巧有利于减少积分计算步骤和
ｄ８：三ｄ２，
复杂程度．
参考文献
３ｃｏ卯＝要（ｚ＋ｚ一１），
［１］陈纪修．於崇华，金路．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出
所以
Ｊ—ｎ。厩‰，
版社，２００４：３０８—３１２．
［２］谢惠民，恽自求．数学分析题课讲义［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，２００３：３２３－３２４．
而在Ｉ２
Ｉ＜１内，３≯＋１０ｚ＋３只有一级极点
［３］朱永银。郭文秀．组合积分法［Ｍ］．武汉：华中科技大学出
１
版社，２００２：１—８．
２
２一了’
［４］龚冬保．复变函数典型题［Ｍ］．西安：西安交通大学出版
从而
社。２００２：１４２—１４３．
ＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆＥＶａＩｕａｔｉｎｇＤｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓｏｆ
ＲａｔｉｏｎａｌＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎＳ
ＷＥＩＺｈａｎｇ—ｚｈｉ，
ＣＨＥＮＨａｏ
（ＳｃｈｏｏＩｏｆ
ＭａｔｈｅｍａｔｊｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ．ＳｕｚｈｏｕＵｎｊｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ２３４０００，ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ？
Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｆｏｕｒｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆｅｖａｌｕａｔｉｎｇｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｏｆｒａｔｉｏｎａｌ
ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｎａｍｅｌｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｂｙｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｂｙｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ，
ｂｙｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ，ａｎｄ
ｂｙｒｅｓｉｄｕｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ，ｒｅｓｉｄｕｅ
万方数据
三角函数有理式积分技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
魏章志， 陈浩， WEI Zhang-zhi， CHEN Hao宿州学院数学与统计学院,安徽,宿州,234000高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(4条)
1. 龚冬保 复变函数典型题 20022. 朱永银;郭文秀 组合积分法 20023. 谢惠民;恽自求 数学分析题课讲义 20034. 陈纪修;於崇华;金路 数学分析 2004
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101031.aspx