《切线的判定》教案
陈鸿
一、教学目标
1. 知识与技能
⑴理解切线的判定定理，并能解决有关的简单问题；
⑵了解判定切线的三种方法，并能根据实际问题选择正确的判定方法； ⑶掌握在解决切线问题中常用的辅助线作法.
2. 过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理.
3. 情感态度与价值观
⑴经历旧知到新知的同化过程，提高学生的迁移能力；
⑵通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点
切线的判定定理的理解及应用
三、教学难点
并掌握切线判定定理中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径.
四、教学方法：谈论法、启发法
五、学习方法：联系学习法、归纳学习法
六、教学工具：多媒体
七、教学过程
㈠ 温故而知新 复习提问：直线与圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？(学生回答，并展示相应的位置关系，完成表格)
教师强调：从上面表格反映出，我们可以通过上述两种方法来判断直线与圆的位置关系，这两种判断方法都是通过“数量”的角度说明圆的切线的判定方法，并且，通过寻找直线与圆的交点个数的判定方法在实际问题中用起来很不方便，也难以操作，还有没有其他判定方法呢？
思考：能否从“位置”的角度来判定直线是圆的切线呢？
㈡启发学生，探究新知
1.. 待学生思考后，有部分学生可能会想到位置关系中的“垂直”关系，但是，缺乏一定的表达和理解能力。我们可以通过作图让学生观察发现圆的切线的判定定理.
2. 观察：如图(1)，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过点A 作直线l ⊥OA . 观察并说明此时直线l 与圆的位置关系，说出你的判断理由.
图(1)
学生分组讨论：直线l 与⊙O 相切，判断依据是圆心到直线的距离等于半径. A
教师指导：过圆上一点作圆的切线的方法.
3.发现：①直线l 经过半径OA 的外端点A ；
②直线l 垂直于半径OA .
结论：直线l 与⊙O 相切.
教师总结：这样，我们就得到了从“位置”角度来判定圆的切线的方法——切线的判定定理(板书)
4.归纳总结(学生总结，教师校正) ：切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
5.透彻定理：分析命题的题设与结论，并能将其转化成几何语言(学生分组讨论).
条件有两个：①经过半径的外端；②垂直于这条半径.
结论：这条直线是圆的切线.
几何语言：如图(1)，∵直线l ⊥OA ，直线l 经过OA 的外端.
∴直线l 是⊙O 的切线.
6.学生思考：这两个条件是否可以缺少其中任意一个呢？举例说明
图(2) 图(3)
图(2)直线l 经过半径OA 的外端，但不垂直于半径OA . 图(3)直线l 垂直于半径OA ，但没有经过半径OA 的外端，它们都不是圆的切线.
教师强调：判断圆的切线时，两个条件缺一不可.
㈢师生总动员
例1. 如图(4)，AB 是⊙O 的直径，∠B =∠CAD . 求证：AC 是⊙O 的切线.
分析：AB 是直径，则OA 是半径，只需证明AB ⊥
AC .
证明：∵AB 是直径
∴∠BDA =90º
∴∠B +∠BAD =90º
∵∠B =∠CAD
∴∠BAD +∠CAD =90º
∴AB ⊥AC
∵点A 在圆上
∴A C 是⊙O 的切线. 图(4)
教师点评：知道半径的情况下，证垂直.
例2. 如图(5)所示，在△ABC 中，∠C =90º，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BE 交AB 于点D ，⊙O 是△BDE 的外接圆，证明：AC 是⊙O 的切线.
分析：已知点E 在AC 上，所以连结
OE ，证明OE ⊥AC 即可.
证明：连结OE
∵∠BED =90º
∴BD 是⊙O 的直径
1 ∴OE =BD =OB =OD 2
∴∠OEB =∠OBE 图(5) O
∵BE 是∠ABC 的平分线
∴∠OBE =∠EBC
∴∠OEB =∠EBC
∴BC ∥OE
∵∠C =90º
∴OE ⊥AC
∵OE 为半径
∴AC 是⊙O 的切线
教师点评：要说明一条直线是圆的切线，当这条直线与圆有公共点时，常连结这个点和圆心，说明这条直线与半径垂直，即经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例3. 如图(6)所示，在△ABC 中，AB =AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点E . 求证：AC 与⊙O 相切.
分析：由于不知道AC 上的某个点在圆上，
所以应采取过点O 作AC 的垂线段OD ，证OD
等于半径即可.
证明; 过点O 作OD ⊥AC 于点D ，连结OA ，
OE
∵AB 与⊙O 相切于点E
∴OE ⊥AB ，OE 是⊙O 的半径
∵AB =AC ，O 是BC 的中点
∴OE=OD
∴AC 与⊙O 相切 O 图(6)
教师点评：要说明一条直线是圆的切线，当不知道这条直线与圆是否有公共点时，常过圆心O 作垂直于直线的垂线段，然后说明这条垂线段等于半径，即到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
㈣小试牛刀
1.如图(7)所示，BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90º，E 是AC 的中点，AB 交⊙O 于点D . 求证：DE 是⊙O 的切线.
图(7)
2.如图(8)所示，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . 求证：直线PB 与⊙O 相切.
图(8)
㈤课堂小结
本节课，我们主要学习了什么内容呢？（学生回答后再展示完善）
1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.判定一条直线是圆的切线的方法
⑴定义：与圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；
⑵到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
⑶切线的判定定理.
3.辅助线的作法
⑴有公共点，作半径证垂直；
⑵无公共点，作垂线段证明等于半径.
㈥大显身手
习题27.2 第11题
能力与提升题：如图(9)所示，在RT △ABC 中，∠B =90º，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 为半径作⊙D . 求证：(1)AC 是⊙D 的切线；
(2)AB +EB =AC
图(9)
八、板书设计
九、教学后记
《切线的判定》教案
陈鸿
一、教学目标
1. 知识与技能
⑴理解切线的判定定理，并能解决有关的简单问题；
⑵了解判定切线的三种方法，并能根据实际问题选择正确的判定方法； ⑶掌握在解决切线问题中常用的辅助线作法.
2. 过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理.
3. 情感态度与价值观
⑴经历旧知到新知的同化过程，提高学生的迁移能力；
⑵通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点
切线的判定定理的理解及应用
三、教学难点
并掌握切线判定定理中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径.
四、教学方法：谈论法、启发法
五、学习方法：联系学习法、归纳学习法
六、教学工具：多媒体
七、教学过程
㈠ 温故而知新 复习提问：直线与圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？(学生回答，并展示相应的位置关系，完成表格)
教师强调：从上面表格反映出，我们可以通过上述两种方法来判断直线与圆的位置关系，这两种判断方法都是通过“数量”的角度说明圆的切线的判定方法，并且，通过寻找直线与圆的交点个数的判定方法在实际问题中用起来很不方便，也难以操作，还有没有其他判定方法呢？
思考：能否从“位置”的角度来判定直线是圆的切线呢？
㈡启发学生，探究新知
1.. 待学生思考后，有部分学生可能会想到位置关系中的“垂直”关系，但是，缺乏一定的表达和理解能力。我们可以通过作图让学生观察发现圆的切线的判定定理.
2. 观察：如图(1)，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过点A 作直线l ⊥OA . 观察并说明此时直线l 与圆的位置关系，说出你的判断理由.
图(1)
学生分组讨论：直线l 与⊙O 相切，判断依据是圆心到直线的距离等于半径. A
教师指导：过圆上一点作圆的切线的方法.
3.发现：①直线l 经过半径OA 的外端点A ；
②直线l 垂直于半径OA .
结论：直线l 与⊙O 相切.
教师总结：这样，我们就得到了从“位置”角度来判定圆的切线的方法——切线的判定定理(板书)
4.归纳总结(学生总结，教师校正) ：切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
5.透彻定理：分析命题的题设与结论，并能将其转化成几何语言(学生分组讨论).
条件有两个：①经过半径的外端；②垂直于这条半径.
结论：这条直线是圆的切线.
几何语言：如图(1)，∵直线l ⊥OA ，直线l 经过OA 的外端.
∴直线l 是⊙O 的切线.
6.学生思考：这两个条件是否可以缺少其中任意一个呢？举例说明
图(2) 图(3)
图(2)直线l 经过半径OA 的外端，但不垂直于半径OA . 图(3)直线l 垂直于半径OA ，但没有经过半径OA 的外端，它们都不是圆的切线.
教师强调：判断圆的切线时，两个条件缺一不可.
㈢师生总动员
例1. 如图(4)，AB 是⊙O 的直径，∠B =∠CAD . 求证：AC 是⊙O 的切线.
分析：AB 是直径，则OA 是半径，只需证明AB ⊥
AC .
证明：∵AB 是直径
∴∠BDA =90º
∴∠B +∠BAD =90º
∵∠B =∠CAD
∴∠BAD +∠CAD =90º
∴AB ⊥AC
∵点A 在圆上
∴A C 是⊙O 的切线. 图(4)
教师点评：知道半径的情况下，证垂直.
例2. 如图(5)所示，在△ABC 中，∠C =90º，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BE 交AB 于点D ，⊙O 是△BDE 的外接圆，证明：AC 是⊙O 的切线.
分析：已知点E 在AC 上，所以连结
OE ，证明OE ⊥AC 即可.
证明：连结OE
∵∠BED =90º
∴BD 是⊙O 的直径
1 ∴OE =BD =OB =OD 2
∴∠OEB =∠OBE 图(5) O
∵BE 是∠ABC 的平分线
∴∠OBE =∠EBC
∴∠OEB =∠EBC
∴BC ∥OE
∵∠C =90º
∴OE ⊥AC
∵OE 为半径
∴AC 是⊙O 的切线
教师点评：要说明一条直线是圆的切线，当这条直线与圆有公共点时，常连结这个点和圆心，说明这条直线与半径垂直，即经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例3. 如图(6)所示，在△ABC 中，AB =AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点E . 求证：AC 与⊙O 相切.
分析：由于不知道AC 上的某个点在圆上，
所以应采取过点O 作AC 的垂线段OD ，证OD
等于半径即可.
证明; 过点O 作OD ⊥AC 于点D ，连结OA ，
OE
∵AB 与⊙O 相切于点E
∴OE ⊥AB ，OE 是⊙O 的半径
∵AB =AC ，O 是BC 的中点
∴OE=OD
∴AC 与⊙O 相切 O 图(6)
教师点评：要说明一条直线是圆的切线，当不知道这条直线与圆是否有公共点时，常过圆心O 作垂直于直线的垂线段，然后说明这条垂线段等于半径，即到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
㈣小试牛刀
1.如图(7)所示，BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90º，E 是AC 的中点，AB 交⊙O 于点D . 求证：DE 是⊙O 的切线.
图(7)
2.如图(8)所示，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . 求证：直线PB 与⊙O 相切.
图(8)
㈤课堂小结
本节课，我们主要学习了什么内容呢？（学生回答后再展示完善）
1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.判定一条直线是圆的切线的方法
⑴定义：与圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；
⑵到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
⑶切线的判定定理.
3.辅助线的作法
⑴有公共点，作半径证垂直；
⑵无公共点，作垂线段证明等于半径.
㈥大显身手
习题27.2 第11题
能力与提升题：如图(9)所示，在RT △ABC 中，∠B =90º，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 为半径作⊙D . 求证：(1)AC 是⊙D 的切线；
(2)AB +EB =AC
图(9)
八、板书设计
九、教学后记