马格努斯效应和“香蕉球”现象
陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明
摘要：旋转圆柱绕流后会产生升力的现象称为马格努斯（Magnus ）效应，足球比赛中的“香蕉球”现象就可以用这种原理解释。本文通过流体力学和理论力学的相关知识，讨论了在理想情况下足球运动员的出球速度，角度，转速等与球——门的方位关系间的数学表达式。最后讨论在实际情况中这个数学表达式的具体应用。
关键词： 马格努斯效应 香蕉球 雷诺数 偏心角 出球角 上挑角 正文：
现象的动力学解释
当足球运动员判罚任意球时，射手前面筑起了人墙，大家都很紧张。这时候，射手踢出一个带有旋转的球，巧妙地绕过人墙，守门员来不及反应，足球以刁钻的角度直接入网。
足球在空气中只受地心吸力的影响，所以应该沿拋物线运动。但是，足球却真的向内弯了，代表它受到一个水平方向的力，这个力从何而来呢？
（1） （2）
图一：足球在没有旋转下水平运动的情形(在此图中球正在向下运动) 图中的线代表的是空气流动的情形。足球在没有旋转下水平运动的情形，当足球向前运动，空气就相对于足球向后运动。
图二：足球只有旋转而没有水平运动的情形
足球只有旋转而没有水平运动的情形，当足球转动时，四周的空气会被足球带动，形成旋风式的流动。
（3）
图三：「香蕉球」-足球水平运动和旋转两种运动同时存在的情形
图三代表水平运动和旋转两种运动同时存在的情形，也即是“香蕉球”的情形。足球在空中的运动过程，可以视为重力场中质量均匀分布的球体在流体（空
气）中的运动过程。一般说来，在流体中运动的物体要受到浮力，升力，阻力，阻力矩等作用。流体具有粘滞性，因此，有阻力施加于物体上。研究表明：低雷诺数时阻力与速度的一次方成正比，高雷诺数时阻力与速度的二次方成正比。若足球向前飞行时不产生绕对称轴的旋转（如图一所示），则周围空气对足球运动的影响只是减慢球的飞行速度，其在空中的运动轨迹为一平面曲线，不会出现" 香蕉球" 。如果足球在空中运动时，一边向前飞行，一边绕对称轴旋转，则由于足球的旋转和空气粘性的共同作用，在足球周围的附面层内产生环流，前方来流和环流共同作用的结果，在来流和环流同方向的一侧，流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢。根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降，流速减慢的另一侧压力升高，两侧的压力差对足球产生侧向作用力称为马格努斯力，方向与足球的瞬时转轴垂直，且与足球的运动方向垂直。
因此，若足球右面空气流动的速度较左面大。根据流体力学的伯努利方程
P +ρv /2+ρgh =Const
2
，流体速度较大的地方气压会较低，因此足球右面的气
压较左面低，产生了一个向右的力。结果足球一面向前走，一面承受一个把它推向右的力，使足球运行轨道弯曲。在日常生活中我们也经常应用这个原理使物体在流体中的运动方向改变，例如飞机和帆船的运动都是基于这个原理。
对" 香蕉球" 现象的定量计算
在实际情况中，由于考虑到场地因素，空气阻力及球转速的变化，我们不可能将实际的情况完全定量计算出来，但我们可以对于一些次要因素简单化甚至完全忽略，下面我们将在理想情况下对这个过程进行定量计算，然后应用所得结论对实际情况中的现象进行讨论分析。 我们讨论的理想情况：
空气具有粘性，所以球在飞行过程中要受到阻力作用，但由于球的飞行时间很短，所以它的飞行速度变化很小，故考虑足球在飞行过程中水平分速度不改变；
为使足球旋转，球员给足球的力的方向不能通过球心，这样才能让足球产生旋转。实际上球的转轴在X-Y-Z 方向上都有分量，由于马格努斯效应产生的使足球前冲的力和下坠的力对球速影响很小，所以我们考虑球在竖直方向只受重力的
作用，球的转轴只有Z 方向，即垂直于地面方向，这样才会只产生垂直于运动方向的水平升力。
球员通过脚背给足球的力实际上是复杂多变的，在这里我们把这个力理想成作用在一个点上的均匀力，它可以分解为使球向上和向前的冲力和使球旋转的切向力。
在上述假设的基础上，我们可以设出球员出球时的几个变量：
L :足球与落点之间的距离F :出球的平均作用力
∆t :脚背与足球的接触时间α:出球力的偏心角（力F 的方向与作用点和球心连线的夹角）β:水平出球方向与L 的夹角即出球角（球的初速度在水平方向的投影与L 的夹
角）θ:上挑角（球的初速度与地面的夹角）
几个不变量分别为：
m :足球的质量 m =0.45Kg
r :足球的半径 r =0.11m
3
ρ:空气的密度ρ=1.293Kg /m
g :重力加速度 g =9.81m /s
2
足球的水平切向力为 F sin α，上挑力为F cos α
水平切向力所产生的水平旋转，根据动量矩定理有rF sin α=I 将足球看成是均匀的球壳，则它的转动惯量为I =可得球的转动角速度为Ω=
3F sin α∆t 2
m r
23m r
2
Ω∆t
3F sin αcos θ∆t 2
m r
因为我们只考虑球在z 轴方向的角速度，故ω=Ωcos θ=根据动量定理，球的初速度为则球的水平初速度为V 1=
F cos α∆t
m cos θ
①
，竖直初速度为V 2=
F cos α∆t
m
sin θ
F cos α∆t
m
由于我们已经假设足球在飞行过程中水平分速度不改变，也就是说在球的飞行轨迹上切向速度始终为V1。由于竖直方向上只考虑重力作用，所以球的飞行时间也就确定了，即
T =
2V 2g
=
2F cos α∆t
m g
sin θ
②
r ω2
如果足球自转的表面线速度在足球前进方向上的有效值为
π
R
, 证明如下:
⎰ωr sin αd α
(0
2
(-R
⎰
πr πR
) dh
=
12
ωR , 在这里,r 是任意一小圆的半径,R 是球的半径, 被积
函数里的那个积分是平面上一个圆带动起周围空气转动在某一方向上的有效值, 外面的积分是对球带动起周围空气转动在某一方向上的有效值的积分) 则足球两侧的气流速度分别为V ω左=V1+
r 2
， V ω右=V
1-
r 2
根据伯努力方程有两侧的压强差
∆p =
ρ
22
2
(V 左-V 右) =ρV 1ωr
则足球所受到的偏转力为f =∆p πr 2=πρV 1ωr 3
2
此偏转力提供足球做圆周运动的向心力，即f =∆p πr 2
=πρV 1
1ωr 3
=m
V R
其中R 为偏转半径，其大小为R =
L 2sin β
球运动轨迹的水平投影为V 1T =2R β ④
③
联立 ① ② ③ ④
通过水平升力提供向心力这个等量关系得出cot αsin β=
sin β
3πρr L 4m
22
⑤
通过路程等于弧长这个等量关系得出cos 2α
1
β
sin 2θ(F ∆t ) =m gL
2
⑥
两式合并削去L ，最终得到关系式
β
sin 2θsin 2α(F ∆t ) =
2
8m g 3πρr
2
3
=48.6 ⑦
可见在我们所讨论的理想情况下, 球员出球时的几个变量之间要满足⑦式, 才能保证足球落到指定位置, 与L 没有关系. 通过⑤式可以看出L 只决定了偏心角和出球角之间的关系, 也就是说,L 一旦确定下来, 偏心角和出球角之间的关系也就定下来了, 在此基础上再满足⑦式即可.
我们举个例子来看, 通常对于技术很高的球员来说, 他在出球时的偏心角, 出球角和上挑角基本都在一定的范围内, 很少出现技术性的失误. 我们取:
L =30m , 出球角β=45
o
根据⑤式得出偏心角为α=16.1o ,也就是说球员根据与球门的距离以及为绕过人墙所要踢出的出球角来控制偏心角. 通常来说上挑角在25--35度左右, 这里取θ=30o , 代入⑦式可得:
F ∆t =9.1Kg m s 则出球速度为V =20.21m /s
若脚背与足球接触的时间为∆t =0.1s , 则力的大小为91N.
上面所说的都是在理想情况下推导出的结果, 实际情况中球员的发力要比理想情况下大一些, 因为在本文前半部分已经提到了足球在运行过程中还要受到变化的阻力影响, 所以必须发大力产生更大的初速度, 像大家熟悉的罗纳儿迪尼奥(小罗), 通常他将球以 35m/s 的速度踢出, 足球在空中的平均时速也有25m s 左右. 同时足球的旋转角速度不可能始终平行于z 轴, 实际情况中足球在X,Y,Z 方向上都有升力作用, 像大家比较喜爱的贝克汉姆(小贝), 他的任意球的特点就是在门前的下坠特别的明显, 这一点足可以使他成为任意球的大师了.
球场上的具体情况又都是瞬息万变的．一个足球运动员在倾刻之间是不可能先行作详尽计算而后按计算的正确结果来踢球的 所以这就需要队员应有敏捷的反应速度, 果断的判断能力, 具备丰富的实践经验, 这样才能踢出美妙有具有威胁的" 香蕉球" 。
参考文献:
> 吴望一 北京大学出版社 > 周衍柏 高等教育出版社 > 黄国桥
小组成员分工： 论文发起：陈朝晖
资料收集与整理：李明杰 万凯 王智峰 刘俊明 定性讨论：刘天然 王智峰 定量计算：陈朝晖 万凯
论文整理：陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明 幻灯片讲稿制作： 陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明
马格努斯效应和“香蕉球”现象
陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明
摘要：旋转圆柱绕流后会产生升力的现象称为马格努斯（Magnus ）效应，足球比赛中的“香蕉球”现象就可以用这种原理解释。本文通过流体力学和理论力学的相关知识，讨论了在理想情况下足球运动员的出球速度，角度，转速等与球——门的方位关系间的数学表达式。最后讨论在实际情况中这个数学表达式的具体应用。
关键词： 马格努斯效应 香蕉球 雷诺数 偏心角 出球角 上挑角 正文：
现象的动力学解释
当足球运动员判罚任意球时，射手前面筑起了人墙，大家都很紧张。这时候，射手踢出一个带有旋转的球，巧妙地绕过人墙，守门员来不及反应，足球以刁钻的角度直接入网。
足球在空气中只受地心吸力的影响，所以应该沿拋物线运动。但是，足球却真的向内弯了，代表它受到一个水平方向的力，这个力从何而来呢？
（1） （2）
图一：足球在没有旋转下水平运动的情形(在此图中球正在向下运动) 图中的线代表的是空气流动的情形。足球在没有旋转下水平运动的情形，当足球向前运动，空气就相对于足球向后运动。
图二：足球只有旋转而没有水平运动的情形
足球只有旋转而没有水平运动的情形，当足球转动时，四周的空气会被足球带动，形成旋风式的流动。
（3）
图三：「香蕉球」-足球水平运动和旋转两种运动同时存在的情形
图三代表水平运动和旋转两种运动同时存在的情形，也即是“香蕉球”的情形。足球在空中的运动过程，可以视为重力场中质量均匀分布的球体在流体（空
气）中的运动过程。一般说来，在流体中运动的物体要受到浮力，升力，阻力，阻力矩等作用。流体具有粘滞性，因此，有阻力施加于物体上。研究表明：低雷诺数时阻力与速度的一次方成正比，高雷诺数时阻力与速度的二次方成正比。若足球向前飞行时不产生绕对称轴的旋转（如图一所示），则周围空气对足球运动的影响只是减慢球的飞行速度，其在空中的运动轨迹为一平面曲线，不会出现" 香蕉球" 。如果足球在空中运动时，一边向前飞行，一边绕对称轴旋转，则由于足球的旋转和空气粘性的共同作用，在足球周围的附面层内产生环流，前方来流和环流共同作用的结果，在来流和环流同方向的一侧，流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢。根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降，流速减慢的另一侧压力升高，两侧的压力差对足球产生侧向作用力称为马格努斯力，方向与足球的瞬时转轴垂直，且与足球的运动方向垂直。
因此，若足球右面空气流动的速度较左面大。根据流体力学的伯努利方程
P +ρv /2+ρgh =Const
2
，流体速度较大的地方气压会较低，因此足球右面的气
压较左面低，产生了一个向右的力。结果足球一面向前走，一面承受一个把它推向右的力，使足球运行轨道弯曲。在日常生活中我们也经常应用这个原理使物体在流体中的运动方向改变，例如飞机和帆船的运动都是基于这个原理。
对" 香蕉球" 现象的定量计算
在实际情况中，由于考虑到场地因素，空气阻力及球转速的变化，我们不可能将实际的情况完全定量计算出来，但我们可以对于一些次要因素简单化甚至完全忽略，下面我们将在理想情况下对这个过程进行定量计算，然后应用所得结论对实际情况中的现象进行讨论分析。 我们讨论的理想情况：
空气具有粘性，所以球在飞行过程中要受到阻力作用，但由于球的飞行时间很短，所以它的飞行速度变化很小，故考虑足球在飞行过程中水平分速度不改变；
为使足球旋转，球员给足球的力的方向不能通过球心，这样才能让足球产生旋转。实际上球的转轴在X-Y-Z 方向上都有分量，由于马格努斯效应产生的使足球前冲的力和下坠的力对球速影响很小，所以我们考虑球在竖直方向只受重力的
作用，球的转轴只有Z 方向，即垂直于地面方向，这样才会只产生垂直于运动方向的水平升力。
球员通过脚背给足球的力实际上是复杂多变的，在这里我们把这个力理想成作用在一个点上的均匀力，它可以分解为使球向上和向前的冲力和使球旋转的切向力。
在上述假设的基础上，我们可以设出球员出球时的几个变量：
L :足球与落点之间的距离F :出球的平均作用力
∆t :脚背与足球的接触时间α:出球力的偏心角（力F 的方向与作用点和球心连线的夹角）β:水平出球方向与L 的夹角即出球角（球的初速度在水平方向的投影与L 的夹
角）θ:上挑角（球的初速度与地面的夹角）
几个不变量分别为：
m :足球的质量 m =0.45Kg
r :足球的半径 r =0.11m
3
ρ:空气的密度ρ=1.293Kg /m
g :重力加速度 g =9.81m /s
2
足球的水平切向力为 F sin α，上挑力为F cos α
水平切向力所产生的水平旋转，根据动量矩定理有rF sin α=I 将足球看成是均匀的球壳，则它的转动惯量为I =可得球的转动角速度为Ω=
3F sin α∆t 2
m r
23m r
2
Ω∆t
3F sin αcos θ∆t 2
m r
因为我们只考虑球在z 轴方向的角速度，故ω=Ωcos θ=根据动量定理，球的初速度为则球的水平初速度为V 1=
F cos α∆t
m cos θ
①
，竖直初速度为V 2=
F cos α∆t
m
sin θ
F cos α∆t
m
由于我们已经假设足球在飞行过程中水平分速度不改变，也就是说在球的飞行轨迹上切向速度始终为V1。由于竖直方向上只考虑重力作用，所以球的飞行时间也就确定了，即
T =
2V 2g
=
2F cos α∆t
m g
sin θ
②
r ω2
如果足球自转的表面线速度在足球前进方向上的有效值为
π
R
, 证明如下:
⎰ωr sin αd α
(0
2
(-R
⎰
πr πR
) dh
=
12
ωR , 在这里,r 是任意一小圆的半径,R 是球的半径, 被积
函数里的那个积分是平面上一个圆带动起周围空气转动在某一方向上的有效值, 外面的积分是对球带动起周围空气转动在某一方向上的有效值的积分) 则足球两侧的气流速度分别为V ω左=V1+
r 2
， V ω右=V
1-
r 2
根据伯努力方程有两侧的压强差
∆p =
ρ
22
2
(V 左-V 右) =ρV 1ωr
则足球所受到的偏转力为f =∆p πr 2=πρV 1ωr 3
2
此偏转力提供足球做圆周运动的向心力，即f =∆p πr 2
=πρV 1
1ωr 3
=m
V R
其中R 为偏转半径，其大小为R =
L 2sin β
球运动轨迹的水平投影为V 1T =2R β ④
③
联立 ① ② ③ ④
通过水平升力提供向心力这个等量关系得出cot αsin β=
sin β
3πρr L 4m
22
⑤
通过路程等于弧长这个等量关系得出cos 2α
1
β
sin 2θ(F ∆t ) =m gL
2
⑥
两式合并削去L ，最终得到关系式
β
sin 2θsin 2α(F ∆t ) =
2
8m g 3πρr
2
3
=48.6 ⑦
可见在我们所讨论的理想情况下, 球员出球时的几个变量之间要满足⑦式, 才能保证足球落到指定位置, 与L 没有关系. 通过⑤式可以看出L 只决定了偏心角和出球角之间的关系, 也就是说,L 一旦确定下来, 偏心角和出球角之间的关系也就定下来了, 在此基础上再满足⑦式即可.
我们举个例子来看, 通常对于技术很高的球员来说, 他在出球时的偏心角, 出球角和上挑角基本都在一定的范围内, 很少出现技术性的失误. 我们取:
L =30m , 出球角β=45
o
根据⑤式得出偏心角为α=16.1o ,也就是说球员根据与球门的距离以及为绕过人墙所要踢出的出球角来控制偏心角. 通常来说上挑角在25--35度左右, 这里取θ=30o , 代入⑦式可得:
F ∆t =9.1Kg m s 则出球速度为V =20.21m /s
若脚背与足球接触的时间为∆t =0.1s , 则力的大小为91N.
上面所说的都是在理想情况下推导出的结果, 实际情况中球员的发力要比理想情况下大一些, 因为在本文前半部分已经提到了足球在运行过程中还要受到变化的阻力影响, 所以必须发大力产生更大的初速度, 像大家熟悉的罗纳儿迪尼奥(小罗), 通常他将球以 35m/s 的速度踢出, 足球在空中的平均时速也有25m s 左右. 同时足球的旋转角速度不可能始终平行于z 轴, 实际情况中足球在X,Y,Z 方向上都有升力作用, 像大家比较喜爱的贝克汉姆(小贝), 他的任意球的特点就是在门前的下坠特别的明显, 这一点足可以使他成为任意球的大师了.
球场上的具体情况又都是瞬息万变的．一个足球运动员在倾刻之间是不可能先行作详尽计算而后按计算的正确结果来踢球的 所以这就需要队员应有敏捷的反应速度, 果断的判断能力, 具备丰富的实践经验, 这样才能踢出美妙有具有威胁的" 香蕉球" 。
参考文献:
> 吴望一 北京大学出版社 > 周衍柏 高等教育出版社 > 黄国桥
小组成员分工： 论文发起：陈朝晖
资料收集与整理：李明杰 万凯 王智峰 刘俊明 定性讨论：刘天然 王智峰 定量计算：陈朝晖 万凯
论文整理：陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明 幻灯片讲稿制作： 陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明