反比例函数与图形面积
中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。
一. 反比例函数与矩形面积 例1. （01年山东荷泽）如图（1），P 是反比例函图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ）
图1
6 x 3
C. y =-
x
A. y =-
6 x 3
D. y =
x
解：设点P 的坐标为（x ，y ），则|x ||y |=6
B. y =
又 点P 在第四象限，∴-xy =6，∴y =-
6 x
评析：如图（2），若A 点是反比例函上的任意一点，且A B 垂直于x 轴，垂足为B ，A C 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积 象S ABOC =|k |
。
图2
例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =是函数y =
k
(k >0，x >0) 的图象上，点P （m ，n ）x
k
(k >0，x >0) 的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足x
分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1）求B 点坐标和k 的值； （2）当S = （3）略
9
时，求点P 的坐标； 2
图3
解：（1）依题意，得|OA |=|OB |=3，∴B 点的坐标为（3，3） 依题意易得|k |=9，又 点P 在第一象限 ∴k >0，∴k =9
（2）由题意易得S OABC =S OEPF =9 ∴mn =9 ①
9
，S =(m -3) n 2
9
∴(m -3) n = ②
2
S =
联立①②解，得m =6，n = ∴点P 的坐标为（6，详解）
二. 反比例函数与三角形面积
1. 反比例函数与直角三角形面积
3 2
33
）或（，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再22
图 例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A 在反比例函象上，A B 垂直于x 轴，若S ∆AOB =4，那么这个反比例函数的解析式为_____________
。
图4
解：设A 点坐标为（x ，y ），则S ∆AOB = 点A 在第二象限，∴x 0 ∴-xy =8 ∴y =-
11
OB ⨯AB =|x ||y |=4 22
8
x
k
图象上的任意一点，x
评析：如图（5），由上述例题可知，若点A 是反比例函数y =且AB 垂直于x 轴（或y 轴），垂足为B ，则S ∆AOB =
1|k | 2
图5
1
(x >0) 的图象上任意两点A 、B x
分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。设AC 与OB 的交点为E ，∆AOE
例4. （02年青海）如图（6），过反比例函数y =
与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S 1>S 2 B. S 1=S 2 C. S 1
D. 大小关系不能确定
图6
解：依题意，得S ∆AOC =S ∆BOD = 即S 1=S 2，∴选B
例5. 如图（7），A 、B 是函数y =
1
2
∴S ∆AOC -S ∆COE =S ∆BOD -S ∆COE
1
的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行x
D. S >2
于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S＝1 B. 1
图7
解：设AC 交x 轴于D 点，易得S ∆AOD = 所以S =4S ∆AOD =2 故选取C
1
，又∆ABC ~∆AOD ，且AO =BO 2
2. 反比例函数与斜三角形面积
例6. （03年重庆市）如图（8），函数y =-kx (k ≠0) 与y =-
4
的图象交于A 、B x
两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则∆BOC 的面积为__________。
图8
解：由题意易知S ∆AOC = ∴S ∆BOC =S ∆AOC =2
例7. （00年天津市）如图（9），正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =
1
|k |=2，而∆AOC 与∆BOC 以OC 为底时等高 2
1
的图x
象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则（ ）
A. S＝1 B. S＝2 C. S＝3 D. S的值不能确定
图9
解：此题的解法与例6类似，S =2S ∆AOB =2⨯ ∴选A
例8. （03年四川）如图（10），已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =-的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求： （1）一次函数的解析式 （2）∆AOB 的面积
1
|k |=1 2
8x
图10
略解：（1）易得A 、B 的坐标分别为（－2，4），（4，－2） ∴⎨
⎧-2k +b =4
⎩4k +b =-2
解得k =-1，b =2
∴所求一次函数的解析式为y =-x +2
（2）易得直线y =-x +2与x 轴的交点C 的坐标为（2，0） ∴S ∆AOB =S ∆AOC +S ∆BOC =
11
⨯2⨯4+⨯2⨯2=6 22
评析：反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角形面积类似，解题时要
注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。
三. 反比例函数与平行四边形面积
例9. 如图（11），正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =
2
的图象相交于A 、C x
两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。
图11
解：由题意易得，四边形ABCD 为平行四边形，而S ∆AOB =1，所以四边形ABCD 的面积=4S ∆AOB =4
例10. 如图（12），A 、C 是双曲线上关于原点O 对称的任意两点，AB 垂直y 轴于B ，CD 垂直y 轴于D ，且四边形ABCD 的面积为6，则这个函数的解析式为________。
图12
解：略
评析：此类题的思路是要将平行四边形的问题转化为三角形来做。
练习题：
1. 如图1，乙知反比例函数y =
12
的图象与一次函数y =kx +4的图象相交于点P 和Q ，x
并且点P 的纵坐标为6。
①求这个一次函数的解析式； ②求∆POQ 的面积
图1
2. 如图2，已知一次函数y =kx +b (k ≠0) 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y =
m
(m ≠0) 的图象在第一象限交于点C ，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，x
OA =OB =OD =1
①求点A 、B 、D 的坐标；
②求这一次函数和反比例函数的解析式； ③求S BODC :S ∆
ADC
图2
参考答案：
1. ①y =x +4；②16
2. ①A （－1，0），B （0，1），D （1，0） ②y =x +1；y = ③3：4
2 x
反比例函数与图形面积
中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。
一. 反比例函数与矩形面积 例1. （01年山东荷泽）如图（1），P 是反比例函图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ）
图1
6 x 3
C. y =-
x
A. y =-
6 x 3
D. y =
x
解：设点P 的坐标为（x ，y ），则|x ||y |=6
B. y =
又 点P 在第四象限，∴-xy =6，∴y =-
6 x
评析：如图（2），若A 点是反比例函上的任意一点，且A B 垂直于x 轴，垂足为B ，A C 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积 象S ABOC =|k |
。
图2
例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =是函数y =
k
(k >0，x >0) 的图象上，点P （m ，n ）x
k
(k >0，x >0) 的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足x
分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1）求B 点坐标和k 的值； （2）当S = （3）略
9
时，求点P 的坐标； 2
图3
解：（1）依题意，得|OA |=|OB |=3，∴B 点的坐标为（3，3） 依题意易得|k |=9，又 点P 在第一象限 ∴k >0，∴k =9
（2）由题意易得S OABC =S OEPF =9 ∴mn =9 ①
9
，S =(m -3) n 2
9
∴(m -3) n = ②
2
S =
联立①②解，得m =6，n = ∴点P 的坐标为（6，详解）
二. 反比例函数与三角形面积
1. 反比例函数与直角三角形面积
3 2
33
）或（，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再22
图 例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A 在反比例函象上，A B 垂直于x 轴，若S ∆AOB =4，那么这个反比例函数的解析式为_____________
。
图4
解：设A 点坐标为（x ，y ），则S ∆AOB = 点A 在第二象限，∴x 0 ∴-xy =8 ∴y =-
11
OB ⨯AB =|x ||y |=4 22
8
x
k
图象上的任意一点，x
评析：如图（5），由上述例题可知，若点A 是反比例函数y =且AB 垂直于x 轴（或y 轴），垂足为B ，则S ∆AOB =
1|k | 2
图5
1
(x >0) 的图象上任意两点A 、B x
分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。设AC 与OB 的交点为E ，∆AOE
例4. （02年青海）如图（6），过反比例函数y =
与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S 1>S 2 B. S 1=S 2 C. S 1
D. 大小关系不能确定
图6
解：依题意，得S ∆AOC =S ∆BOD = 即S 1=S 2，∴选B
例5. 如图（7），A 、B 是函数y =
1
2
∴S ∆AOC -S ∆COE =S ∆BOD -S ∆COE
1
的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行x
D. S >2
于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S＝1 B. 1
图7
解：设AC 交x 轴于D 点，易得S ∆AOD = 所以S =4S ∆AOD =2 故选取C
1
，又∆ABC ~∆AOD ，且AO =BO 2
2. 反比例函数与斜三角形面积
例6. （03年重庆市）如图（8），函数y =-kx (k ≠0) 与y =-
4
的图象交于A 、B x
两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则∆BOC 的面积为__________。
图8
解：由题意易知S ∆AOC = ∴S ∆BOC =S ∆AOC =2
例7. （00年天津市）如图（9），正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =
1
|k |=2，而∆AOC 与∆BOC 以OC 为底时等高 2
1
的图x
象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则（ ）
A. S＝1 B. S＝2 C. S＝3 D. S的值不能确定
图9
解：此题的解法与例6类似，S =2S ∆AOB =2⨯ ∴选A
例8. （03年四川）如图（10），已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =-的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求： （1）一次函数的解析式 （2）∆AOB 的面积
1
|k |=1 2
8x
图10
略解：（1）易得A 、B 的坐标分别为（－2，4），（4，－2） ∴⎨
⎧-2k +b =4
⎩4k +b =-2
解得k =-1，b =2
∴所求一次函数的解析式为y =-x +2
（2）易得直线y =-x +2与x 轴的交点C 的坐标为（2，0） ∴S ∆AOB =S ∆AOC +S ∆BOC =
11
⨯2⨯4+⨯2⨯2=6 22
评析：反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角形面积类似，解题时要
注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。
三. 反比例函数与平行四边形面积
例9. 如图（11），正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =
2
的图象相交于A 、C x
两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。
图11
解：由题意易得，四边形ABCD 为平行四边形，而S ∆AOB =1，所以四边形ABCD 的面积=4S ∆AOB =4
例10. 如图（12），A 、C 是双曲线上关于原点O 对称的任意两点，AB 垂直y 轴于B ，CD 垂直y 轴于D ，且四边形ABCD 的面积为6，则这个函数的解析式为________。
图12
解：略
评析：此类题的思路是要将平行四边形的问题转化为三角形来做。
练习题：
1. 如图1，乙知反比例函数y =
12
的图象与一次函数y =kx +4的图象相交于点P 和Q ，x
并且点P 的纵坐标为6。
①求这个一次函数的解析式； ②求∆POQ 的面积
图1
2. 如图2，已知一次函数y =kx +b (k ≠0) 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y =
m
(m ≠0) 的图象在第一象限交于点C ，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，x
OA =OB =OD =1
①求点A 、B 、D 的坐标；
②求这一次函数和反比例函数的解析式； ③求S BODC :S ∆
ADC
图2
参考答案：
1. ①y =x +4；②16
2. ①A （－1，0），B （0，1），D （1，0） ②y =x +1；y = ③3：4
2 x