4.1.1 分数指数幂
【明确目标】
1. 理解分数指数幂的概念. 2. 会对根式、分数指数幂进行互化. 3．培养学生用联系观点看问题. 【自主学习】 1．根式 (1)定义：若
（
，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根．
当n=2，n=3时．X 2
=4,则x 的平方根是 算术平方根是 x 3
=8则x 的立方根是
若n 为奇数，用符号 表示a 的n 次方根，这时
．
若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号 表示a 的n 次方根． (2)性质
①当n 为任意正整数时，(a ) n =
②当n 为奇数时，a n ；当n 为偶数时，a n .
③当a ≠0时， a0= a-n
=
3．观察当a ＞0时
10①(a 2) 5=a 10⇒a 10=a 2=a 5
12②(a 4) 3=a 12⇒a 12=a 4=a 3
2．正数的正分数指数幂的意义
m a n
=a m (m , n ∈N *, 且n ＞注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；
⑵根式与分数指数幂可以进行互化.
⑶当n 是奇数时a ∈R ； 当n 是偶数时a ≧0
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2. 规定： m (1)a
-n
=
1*
m (a ≠0，m , n ∈N , 且n ＞a
n
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 【合作探究】
例1用根式的形式表示下列各式： ① ② a3 ③ a35
-
2
例2用分数指数幂的形式表示下列各式： ①x 2 ②a 4 ③1a
3
【拓展训练】 1. 填空.
① (a +b ) 3(式中a ＞0)
=
②
(-7)5
=
-7)4
=③ a_45
写成根式的形式为 ④ 根式化a -a 为分数指数幂为 ⑤ 计算3-π21⑥ 若a ∈R 则① a
-n
=13
2a
n
②a =a ③a =a ④a =a 3
⑤ a0
=1
恒成立的有
2． 求下列各式的值： ① 823
②100_12
③ (-27)-43
④
3. 解下列方程 ⑴ 342x 4
-1=15 ⑵ x 3
=16
4．①(a-b)0
=1,(a-b)-1
=1
a -b
恒成立吗？
(16) _34
81
②如何将根式写成分数指数幂的形式？
【要点归纳】： 1.(1)若
（
，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根． 若n 为奇数，用符号
表示a 的n 次方根，这时
．
若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号表示a 的n 次方根．
(2)性质：①当n 为任意正整数时，(a ) n =a. ②当n 为奇数时，a n
=a；当n 为偶数时，
a n
=|a|=⎧⎨
a (a ≥0)
⎩
-a (a
=
1
a n
m 2．正数的正分数指数幂的意义：a n
=a m (m , n ∈N *
, 且n ＞1)
3. 规定：(1)a
-
m n
=
1m (a ≠0，m , n ∈N *
, 且n ＞1)
a
n
4.1.1 分数指数幂
【明确目标】
1. 理解分数指数幂的概念. 2. 会对根式、分数指数幂进行互化. 3．培养学生用联系观点看问题. 【自主学习】 1．根式 (1)定义：若
（
，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根．
当n=2，n=3时．X 2
=4,则x 的平方根是 算术平方根是 x 3
=8则x 的立方根是
若n 为奇数，用符号 表示a 的n 次方根，这时
．
若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号 表示a 的n 次方根． (2)性质
①当n 为任意正整数时，(a ) n =
②当n 为奇数时，a n ；当n 为偶数时，a n .
③当a ≠0时， a0= a-n
=
3．观察当a ＞0时
10①(a 2) 5=a 10⇒a 10=a 2=a 5
12②(a 4) 3=a 12⇒a 12=a 4=a 3
2．正数的正分数指数幂的意义
m a n
=a m (m , n ∈N *, 且n ＞注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；
⑵根式与分数指数幂可以进行互化.
⑶当n 是奇数时a ∈R ； 当n 是偶数时a ≧0
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2. 规定： m (1)a
-n
=
1*
m (a ≠0，m , n ∈N , 且n ＞a
n
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 【合作探究】
例1用根式的形式表示下列各式： ① ② a3 ③ a35
-
2
例2用分数指数幂的形式表示下列各式： ①x 2 ②a 4 ③1a
3
【拓展训练】 1. 填空.
① (a +b ) 3(式中a ＞0)
=
②
(-7)5
=
-7)4
=③ a_45
写成根式的形式为 ④ 根式化a -a 为分数指数幂为 ⑤ 计算3-π21⑥ 若a ∈R 则① a
-n
=13
2a
n
②a =a ③a =a ④a =a 3
⑤ a0
=1
恒成立的有
2． 求下列各式的值： ① 823
②100_12
③ (-27)-43
④
3. 解下列方程 ⑴ 342x 4
-1=15 ⑵ x 3
=16
4．①(a-b)0
=1,(a-b)-1
=1
a -b
恒成立吗？
(16) _34
81
②如何将根式写成分数指数幂的形式？
【要点归纳】： 1.(1)若
（
，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根． 若n 为奇数，用符号
表示a 的n 次方根，这时
．
若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号表示a 的n 次方根．
(2)性质：①当n 为任意正整数时，(a ) n =a. ②当n 为奇数时，a n
=a；当n 为偶数时，
a n
=|a|=⎧⎨
a (a ≥0)
⎩
-a (a
=
1
a n
m 2．正数的正分数指数幂的意义：a n
=a m (m , n ∈N *
, 且n ＞1)
3. 规定：(1)a
-
m n
=
1m (a ≠0，m , n ∈N *
, 且n ＞1)
a
n