GM_1_1_模型的改进及其适用范围

第27卷第1期(总第181期)　　　　　　系　统　工　程2009年1月　　　　　　　　　　　　SystemsEngineering文章编号:100124098(2009)0120103205

Vol.27,No.1Jan.,2009

GM(1,1)模型的改进及其适用范围

曾祥艳1,肖新平2

(1.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林　541004;

21武汉理工大学理学院,湖北武汉　430063)

摘　要:基于GM(1,1)模型的建模机理,本文同时改进了模型的背景值构造方法和预测值的计算公式,提出了新的改进模型。a∈(-4,2)有意义的范围(-2,2);,而且不管是短期还是长期预测都具有相当高的预测精度。1,1关键词:GM(1,1)模型;累积法;;中图分类号:N1　引言

GM(1,1)模型是灰色系统理论应用中的重要内容,是

从而形成了累积法GM(1,1)模型。但是对背景值和白化响应式这两个方面并没有改变,所以模型的预测精度和适用范围并没有显著的提高。下面首先介绍累积法GM(1,

1)模型的建模过程,再对这两方面继续进行改进。

()

GM(1,1)建模的一般过程是:设原始序列X0=

灰色预测模型中应用最广泛的模型。但是对此模型的适用范围的研究表明当原始序列为高增长序列,或者序列数据变化急剧时,模型就存在预测偏差过大,预测精度偏低的情况。文献[1]、[2]、[5]、[6]、[7]的研究表明导致此种情况产生的原因主要在于传统GM(1,1)模型的建模机理存在一些问题,主要有两方面:一是其背景值构造方法对高增长序列往往产生较大的滞后误差;二是其用来计算拟合与预测值的白化响应式是GM(1,1)模型的白化模型的解,并不是GM(1,1)模型的定义型推导出来的,而是借用的近似解——当发展系数较低时,误差较小,而当发展系数较高,或者说原始序列的数据变化急剧时,则误差偏大。这就是为什么传统GM(1,1)模型不适用于对高增长序列建模的两个主要原因。因此,本文将从这两方面同时对模型进行改进,并从理论分析和数值模拟实验中研究改进模型的适用范围,结果表明改进后模型的预测精度和适用范围得到显著提高。

{x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)},其一次累加生成序列X(1)

为:x

(1)

(k)=

∑x

i=1

(0)

(i),k=1,2,…,N.由X

(1)

构造背

景值序列Z(1):z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=

2,3,…,N.GM(1,1)模型的定义型,即灰微分方程为:

(0)

(k)+az(1)(k)=b(1)

　　GM(1,1)模型参数估计的传统方法是最小二乘法,累积法GM(1,1)模型是将参数估计方法改进为累积法。先对灰微分方程(1)两边施加累积算子,假设累积算子的最高阶数为r,由于模型参数有2个,因此r一定不小于2。实践中一般可取r=2:　

∑

k=2N

(1)

(0)

(k)+a(k)+a

∑

k=2N

(1)

(k)=b(k)=b

(1)

∑

k=2N

(1)

∑

k=2

(2)

(0)

∑

k=2

(2)

(1)

∑

k=2

(2)

2　累积法GM(1,1)模型

本文作者在文献[4]中,用累积法代替最小二乘法对

GM(1,1)模型的两个参数(发展系数与灰作用量)进行估

T　　如果记λa=(a,b);Xr=

∑

k=2N

(k)(k)

∑

k=2N

(1)

;

(2)

∑

k=2

(2)

(1)

∑

k=2

计,提出了新的参数估计公式,弥补了最小二乘法的不足,

Ξ收稿日期:2008207210;修订日期:2008211217

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471019)

作者简介:曾祥艳(19782),女,湖北宜昌人,桂林电子科技大学数学与计算科学学院讲师,研究方向:系统优化与控制;肖新平(19642),男,湖北洪湖人,武汉理工大学理学院教授,博士生导师,研究方向:系统优化与控制。

104

系　统　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年

∑

k=2N

(1)

(0)

(k)

,那么方程可以写成矩阵形式:(k)

与预测值的公式:白化响应式(3)是GM(1,1)模型的白化模型的解,并不是由GM(1,1)模型的定义型,即灰微分方程(1)推导出来的——这一点邓聚龙教授所著的《灰理论基础》中也提出来了,指出“实质上GM(1,1)模型的白化模型及其白化响应式,均不属于灰模型的范畴,而是借

(2)

Yr=

∑

k=2

(2)

(0)

λXra=Yr,则得到新的参数估计公式:

-1λa=XY

用的”。不仅如此,当用白化响应式(3)进行预测时,式中的参数a、b却是由GM(1,1)模型的定义型(1)通过累积法估计得出的,在文献[6]中本文作者深入分析了GM(1,1)模型的白化响应式(3)和定义型(1)中所含的参数a、b的关系,得出这两种形式下的参数是有差异的,所以先用定义型(1)估计参数,再将其代入白化响应式(3)中进行拟合与预测值计算,显然只是借用的近似解。进一步分析得出

GM(1,1)这是运用累积法对GM(1,1)模型的参数a、b估计过程。由文献《累积法引论》知用累积法对参数进行估计弥补了最小二乘法的不足,而且计算更加简单,病态性也可以解决,这些在文献[4]中也体现出来。

由GM(1,1)的白化模型+ax(1)=b和初始条

dt()

件x(0)(1),解得预测值θx1并还原得到的预测值计算公

()

式,即白化响应式为:

()

　θx0(k+1)

()θ()

=θx1(k+1)-x1(k)

()

=(1-ea)0)

-ak

推,)。文献(1,1,得出白化响应式和内涵型解是有差别的,而且其差值与发展系数a的取值有关。当

第27卷第1期(总第181期)　　　　　　系　统　工　程2009年1月　　　　　　　　　　　　SystemsEngineering文章编号:100124098(2009)0120103205

Vol.27,No.1Jan.,2009

GM(1,1)模型的改进及其适用范围

曾祥艳1,肖新平2

(1.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林　541004;

21武汉理工大学理学院,湖北武汉　430063)

GM(1,1)模型是灰色系统理论应用中的重要内容,是

1)模型的建模过程,再对这两方面继续进行改进。

()

GM(1,1)建模的一般过程是:设原始序列X0=

{x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)},其一次累加生成序列X(1)

为:x

(1)

(k)=

∑x

i=1

(0)

(i),k=1,2,…,N.由X

(1)

构造背

景值序列Z(1):z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=

2,3,…,N.GM(1,1)模型的定义型,即灰微分方程为:

(0)

(k)+az(1)(k)=b(1)

∑

k=2N

(1)

(0)

(k)+a(k)+a

∑

k=2N

(1)

(k)=b(k)=b

(1)

∑

k=2N

(1)

∑

k=2

(2)

(0)

∑

k=2

(2)

(1)

∑

k=2

(2)

2　累积法GM(1,1)模型

本文作者在文献[4]中,用累积法代替最小二乘法对

GM(1,1)模型的两个参数(发展系数与灰作用量)进行估

T　　如果记λa=(a,b);Xr=

∑

k=2N

(k)(k)

∑

k=2N

(1)

;

(2)

∑

k=2

(2)

(1)

∑

k=2

计,提出了新的参数估计公式,弥补了最小二乘法的不足,

Ξ收稿日期:2008207210;修订日期:2008211217

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471019)

104

系　统　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年

∑

k=2N

(1)

(0)

(k)

,那么方程可以写成矩阵形式:(k)

(2)

Yr=

∑

k=2

(2)

(0)

λXra=Yr,则得到新的参数估计公式:

-1λa=XY

由GM(1,1)的白化模型+ax(1)=b和初始条

dt()

件x(0)(1),解得预测值θx1并还原得到的预测值计算公

()

式,即白化响应式为:

()

　θx0(k+1)

()θ()

=θx1(k+1)-x1(k)

()

=(1-ea)0)

-ak

推,)。文献(1,1,得出白化响应式和内涵型解是有差别的,而且其差值与发展系数a的取值有关。当

GM_1_1_模型的改进及其适用范围

相关内容

热门内容

标签