函数的表示方法(一)
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 2、图像法：如果图形F 是函数y =f (x ) 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上. 这种由图形表示函数的方法叫做图像法. 3、如果在函数y =f (x ) (x ∈A ) 中，f (x ) 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法
4、讨论分别用x -a ，y -a 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
5、讨论分别用-x ，-y 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
7、讨论分别用|x |，|f (x ) |分别替换函数y =f (x ) 中的x ，f (x ) 以后函数的图像会发生哪些变化？
8、试作出下列函数的图像： （1）y =
x +3x -4
（2）y =
1x -1
11、若f (3-x ) =f (3+x ) ，那么函数f (x ) 的图像有何性质？ 12、y =f (3-x ) 与f (3+x ) 的图像之间有何关系
函数的表示方法(二)
1．例题：
例1．（1）已知一次函数f (x ) 满足f (0)=5，图象过点(-2,1) ，求f (x ) ；
（2）已知二次函数h (x ) 与x 轴的两交点为(-2, 0) ，(3,0) ，且h (0)=-3，求h (x ) ； （3）已知二次函数F (x ) ，其图象的顶点是(-1, 2) ，且经过原点，F (x ) ．
例2．（1）已知f (x ) =x 2-4x +3，f (x +1) ； （2）已知f (x +1) =x 2-2x ，求f (x ) ．
例3．函数在闭区间[-
1, 2]
例4．某人开汽车以60km /h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km /h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程x (km )表示为时间t (h )（从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km /h 表示为时间t (h )的函数，并画出函数的图象．
例5．已知一个函数的解析式为y =x 2-2x ，它的值域为[-1, 3]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
2．练习：
（1）练习：（1）已知f (3x ) =2x 2-1，求f (x ) ； （答案：f (x ) =
1x
2
29
x -1）
2
（2）已知f (x -) =x +
1x
2
+1，求f (x ) ．（答案：f (x ) =x +3）
2
3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函
数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知f (x ) 的解析式，求f [g (x )]时，把x 用g (x ) 代替；已知f [g (x )]的解析式，求f (x ) 时，常用配凑法或换元法；
3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
4．课后练习（1）已知f (x ) =
1x
，求f ；
（2）已知f (x ) =3x -1，g (x ) =2x +3，求f [g (x )]，g [f (x )]； （3）已知f (x ) 是一次函数，若f [f (x )]=9x +3，求f (x ) ； （4）已知二次函数y =f (x ) ，满足当x =
平方和为13，求y =f (x ) 的解析式。
12
时有最大值25，且与x 轴交点横坐标的
函数的表示方法(三)
1、 分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
若设信函的重量为x （克）应支付的资费为y 元，能否建立函数y =f (x ) 的解析式？导出分段函数的概念。
例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式。
2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，
沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过x 秒后，所构成的△ABP 面积为y m2，求函数y =f (x ) 的解析式。
2、 补充综合例题
例1根据下列条件分别求出函数f (x ) 的解析式 (1)f (x +
1x ) =x +
2
1x
2
2
(2) f (x ) +2f () =3x （3）f (x -2) =x +3x +1
1
x
注：（1）观察法 （2）方程法 （3）换元法
例2设二次函数f (x ) 满足：f (x -2) =f (-x -2) 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数f (x ) 的解析式
例3设f (x ) 为定义在R 上的偶函数，当x ≤-1时，y =f (x ) 得图像经过(-2, 0) ，斜
率为1的射线，又在y =f (x ) 的图像中有一部分是顶点为(0, 2) ，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f (x ) 的表达式，并作出函数f (x ) 的图像
例4用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式.
例5．设f (x +x
-1
) =x +x
3-3
, g (x +x
1
-1
) =x +x
2-2
求f[g(x)]。
f (x +
1x
) =(x +
1x
) -3(x +
3
解：
x ∴f (x ) =x -3x
)
3
g (x +
1x
) =(x +
1x
) -2
2
∴
g (x ) =x -2
2
642
∴f [g (x ) ]=x -6x +9x -2
例6．已知 f () =x ++x (x >0) 求f (x )
x
1
2
例7 已知 f (2x +1) =x -2x 求f (x )
2
函数的表示方法(一)
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 2、图像法：如果图形F 是函数y =f (x ) 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上. 这种由图形表示函数的方法叫做图像法. 3、如果在函数y =f (x ) (x ∈A ) 中，f (x ) 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法
4、讨论分别用x -a ，y -a 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
5、讨论分别用-x ，-y 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数y =f (x ) 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？
7、讨论分别用|x |，|f (x ) |分别替换函数y =f (x ) 中的x ，f (x ) 以后函数的图像会发生哪些变化？
8、试作出下列函数的图像： （1）y =
x +3x -4
（2）y =
1x -1
11、若f (3-x ) =f (3+x ) ，那么函数f (x ) 的图像有何性质？ 12、y =f (3-x ) 与f (3+x ) 的图像之间有何关系
函数的表示方法(二)
1．例题：
例1．（1）已知一次函数f (x ) 满足f (0)=5，图象过点(-2,1) ，求f (x ) ；
（2）已知二次函数h (x ) 与x 轴的两交点为(-2, 0) ，(3,0) ，且h (0)=-3，求h (x ) ； （3）已知二次函数F (x ) ，其图象的顶点是(-1, 2) ，且经过原点，F (x ) ．
例2．（1）已知f (x ) =x 2-4x +3，f (x +1) ； （2）已知f (x +1) =x 2-2x ，求f (x ) ．
例3．函数在闭区间[-
1, 2]
例4．某人开汽车以60km /h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km /h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程x (km )表示为时间t (h )（从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km /h 表示为时间t (h )的函数，并画出函数的图象．
例5．已知一个函数的解析式为y =x 2-2x ，它的值域为[-1, 3]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
2．练习：
（1）练习：（1）已知f (3x ) =2x 2-1，求f (x ) ； （答案：f (x ) =
1x
2
29
x -1）
2
（2）已知f (x -) =x +
1x
2
+1，求f (x ) ．（答案：f (x ) =x +3）
2
3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函
数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知f (x ) 的解析式，求f [g (x )]时，把x 用g (x ) 代替；已知f [g (x )]的解析式，求f (x ) 时，常用配凑法或换元法；
3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
4．课后练习（1）已知f (x ) =
1x
，求f ；
（2）已知f (x ) =3x -1，g (x ) =2x +3，求f [g (x )]，g [f (x )]； （3）已知f (x ) 是一次函数，若f [f (x )]=9x +3，求f (x ) ； （4）已知二次函数y =f (x ) ，满足当x =
平方和为13，求y =f (x ) 的解析式。
12
时有最大值25，且与x 轴交点横坐标的
函数的表示方法(三)
1、 分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
若设信函的重量为x （克）应支付的资费为y 元，能否建立函数y =f (x ) 的解析式？导出分段函数的概念。
例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式。
2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，
沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过x 秒后，所构成的△ABP 面积为y m2，求函数y =f (x ) 的解析式。
2、 补充综合例题
例1根据下列条件分别求出函数f (x ) 的解析式 (1)f (x +
1x ) =x +
2
1x
2
2
(2) f (x ) +2f () =3x （3）f (x -2) =x +3x +1
1
x
注：（1）观察法 （2）方程法 （3）换元法
例2设二次函数f (x ) 满足：f (x -2) =f (-x -2) 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数f (x ) 的解析式
例3设f (x ) 为定义在R 上的偶函数，当x ≤-1时，y =f (x ) 得图像经过(-2, 0) ，斜
率为1的射线，又在y =f (x ) 的图像中有一部分是顶点为(0, 2) ，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f (x ) 的表达式，并作出函数f (x ) 的图像
例4用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式.
例5．设f (x +x
-1
) =x +x
3-3
, g (x +x
1
-1
) =x +x
2-2
求f[g(x)]。
f (x +
1x
) =(x +
1x
) -3(x +
3
解：
x ∴f (x ) =x -3x
)
3
g (x +
1x
) =(x +
1x
) -2
2
∴
g (x ) =x -2
2
642
∴f [g (x ) ]=x -6x +9x -2
例6．已知 f () =x ++x (x >0) 求f (x )
x
1
2
例7 已知 f (2x +1) =x -2x 求f (x )
2