专题一：旋转中的不变量（１）
目标：１．掌握旋转变换形成的基本图形，并会证明.
２．能在旋转变换中找到不变量，并能够类比迁移解决问题．
第一课时
旋转基本图形
A B
O
D
A 1
B B 1
C
E B
B A
E
F
C
G
A
四边形ABCD 与四边
⊿OAA 1与⊿OBB 1是 ⊿ABC 与⊿ADE 是 ⊿AOB 与⊿EOF 是
形EDGF 是正方形
等腰三角形且顶角 等边三角形 等腰直角三角形
则 ≌
∠AOA 1= ∠BOB 1则 则 ≌ 则 ≌
理由（ ）
理由（ ） 理由（ ） ≌
理由（ ）
例1．如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，B 、C 、D
和CE 相交于点N ． （1）求证：AD=BE．
（2）求BE 和AD 的所成的角的大小． (3)证明：MN//BD
（４）当 ECD 绕点C 在平面内转动时，线段BE 和AD 有何关系．（相等，夹角为旋转角）
A B
D
1 / 16
作业．1. 如图1，已知等边△ABC 和菱形BDEF ，其中DF =DB ，连接AF 、CD ．
（1）观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；
（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．
图1 图2
2.( 2014期末海淀区) 已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB>CE． （1）如图1，连接BG 、DE ．求证：BG =DE ；
（2）如图2，如果正方形ABCD CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG //BD ，BG=BD.
①求 BDE 的度数；
②请直接写出正方形CEFG 的边长的值.
2 / 16
A
D
A
F
D
B
图2
B
图1
C
C
F
第二课时
例2．如图(1)，已知两个正方形ABCD 与正方形OEFG ，O 点是正方形ABCD 的中心，正方形OEFG 绕着点O 旋转（旋转角α满足0︒
①在旋转的过程中OM 与ON 有怎样的数量关系？四边形OMCN 的面积有何变化，为什么？
（1）
②如图（2）当正方形OEFG 的旋转中心不再是正方形ABCD 的中心时，而是在AC 的对角线上，且OE 过点D ，当OG 与BC 交于N 时，OD 与ON 的数量关系是否发生改变？为什么？
③如图（3）当OG 交BC 的延长线与N 时，OD 与ON 还有上面的结论成立吗？为什么？
G
（2）
G
3 / 16
(3)
作业:
，．将一个最短边长大于2的1.(07北京) 在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)
直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．
⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为；
⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
2．操作：在△ABC 中，AC =BC =2,∠C =90,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC , CB 于D , E 两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种。
探究：(1)三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为___________；（不必写出证明过程）
(2)三角板绕点P 旋转，△PBE 能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE 为等腰三角形时线段CE 的长）；若不能，请说明理由。
C
E
D
P
D
B
C
E
B
C D
B
E
A
图① 图② 图③
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专题二：利用旋转解决问题
第一课时
一、引例：如图，F 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADF 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 作法： 结论：
二、例题讲解
例1：已知：正方形ABCD ，∠EAF ＝45°, ∠EAF 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点E , F ．
（1）当∠EAF 绕点A 旋转到如图1的位置时，线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
图1 （2）当∠EAF 绕点A 旋转到如图2的位置时，线段BE ，DF 和EF 之间又有怎样的数量关系？写出猜
想，并加以证明．
图2
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变式1：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠EAF=
1
∠BAD ”2
∠EAF 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点E , F ．如下图所示线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式
变式2：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是直线BC 、CD 上的点，且∠EAF=
1
∠BAD” ∠EAF 绕点A 旋转，它的两边分别交直线BC 、DC 于点E , F ． 2
线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式
备用图
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例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF =45°． 求证：BE 2+CF 2=EF 2．
练习：
1、如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O . （1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且
∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系． 请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且
∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系， 并证明.
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A
B E F C
A
B E F C
图 1
图 2
2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． （1）求证：CE ＝CF ；
（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．
A D
B C 图1 图2
3、已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°, ∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．
（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与AB 的数 量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长． （可利用（2）得到的结论）
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第二课时
复习引入： 1、 复习旋转的三要素和基本性质。 2、 如图，△ABC 为等边三角形，M 是△ABC 内一点，若将△ABM 后到△ACP 位置，则旋转中心是__________，旋转角等于_________度，△AMP 是___________三角形.
例题．请阅读下列材料
问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．
练习1、如图，P 为等边三角形ABC 内部一点，且P 到三角形的三角形顶点A,B,C 的长分别 为3，4，5，求∠APB 的度数.
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2、（1）如图，△BCM 中，∠BMC ＝120°，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置. 若BM ＝2，MC ＝3. 求：①∠ AMB的度数；②求AM 的长.
（2）如图，△ABC 中BM=2，CM=3，以BC 为边的△ABC 是等边三角形，求AM 的最大值、最小值.
3. 如图，已知等腰直角∆ABC , ∠ABC =90︒, AB =BC (1)点D 是∆ABC 内一点.
1, BD =2, CD =3, 求∠ADB 的度数. ①若AD ＝
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②若点D 是∆ABC 内任意一点. 求证：AD +CD >2BD
（2）若点D 为AC 上任意一点，（1）中②的结论是否成立？若成立给出证明，若不成立，说明理由.
(3)当点D 为∆ABC 外任意一点时，（1）中②的结论是否发生改变？直接写出你的结论.
备用图
备用图 备用图
4．已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接P A 、PB 、PC . （1）如图１，若P A =2，PB =4，∠APB =135°，求PC 的长.
图１
（2）如图2，若点P 在对角线AC 上. 求证：若P A 2+PC 2=2PB 2
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =DC . 证明：BD 2=AB 2+BC 2.
7．如图，已知：如图，四边形ABCD 中，AD=CD， ∠ABC =75︒，∠ADC =60︒， AB
＝2，BC
（1）以线段BD ，AB ，BC 作为三角形的三边，
①则这个三角形为； ②求BD 边所对的角的度数； （2）求四边形ABCD 的面积．
A
B
C
D
专题三. 与中点有关的旋转
例1：在等腰直角△ABC 中，D 是AB 中点，∠EDF=90°， 求证：（１）DE=DF.
（2）AE +BF >EF
（3）AE +BF
2
2
=EF 2
（４）若△DEF 绕着顶点D 旋转，点E 、点F 分别运动到CA 、BC 的延长线上，请自己画出图形，并说明(1)(2)(3)的结论是否成立。
A
例2 （09宣武一模）如图， 已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若
（图1） （图2） （ 图3）
作业：
1. （北京2011）第24题．(7分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
(1) 在图1中，证明：CE ＝CF ； (2) 若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点(如图2) ，直接写出∠BDG 的度数； (3) 若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG (如图3) ，求∠BDG 的度数．
图1
图2
C F
图3
2. （北京2008）第25题．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC ．若∠ABC =∠BEF =60，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D
F P
F
A E
B
图1 图2
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；
变式：如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．
（1）探究PG 与PC 的关系：
（2）如图2，将图1中的正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使正方形BEFG 的边BG 恰好与正方形ABCD 的边AB 在同一条直线上，问题（1）中的其他条件不变．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
PG
=． PC
D
C
G 0
A
F E
3、（08东城二模）已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF , EF =BE , ∠BEF =90, 按图1放置，使点F
在
BC 上，取DF 的中点G ，连EG 、CG.
(1)探索EG 、CG 的数量关系，并说明理由；
（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45得图2，连结DF, 取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0到90之间）得图3，连结DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；
C
B F
图1
F
C
C
F
图3
4、已知：在Rt △ABC 中，AB=BC，在Rt △ADE 中，AD=DE，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
B
A C D A
图①
C
图②
专题一：旋转中的不变量（１）
目标：１．掌握旋转变换形成的基本图形，并会证明.
２．能在旋转变换中找到不变量，并能够类比迁移解决问题．
第一课时
旋转基本图形
A B
O
D
A 1
B B 1
C
E B
B A
E
F
C
G
A
四边形ABCD 与四边
⊿OAA 1与⊿OBB 1是 ⊿ABC 与⊿ADE 是 ⊿AOB 与⊿EOF 是
形EDGF 是正方形
等腰三角形且顶角 等边三角形 等腰直角三角形
则 ≌
∠AOA 1= ∠BOB 1则 则 ≌ 则 ≌
理由（ ）
理由（ ） 理由（ ） ≌
理由（ ）
例1．如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，B 、C 、D
和CE 相交于点N ． （1）求证：AD=BE．
（2）求BE 和AD 的所成的角的大小． (3)证明：MN//BD
（４）当 ECD 绕点C 在平面内转动时，线段BE 和AD 有何关系．（相等，夹角为旋转角）
A B
D
1 / 16
作业．1. 如图1，已知等边△ABC 和菱形BDEF ，其中DF =DB ，连接AF 、CD ．
（1）观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；
（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．
图1 图2
2.( 2014期末海淀区) 已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB>CE． （1）如图1，连接BG 、DE ．求证：BG =DE ；
（2）如图2，如果正方形ABCD CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG //BD ，BG=BD.
①求 BDE 的度数；
②请直接写出正方形CEFG 的边长的值.
2 / 16
A
D
A
F
D
B
图2
B
图1
C
C
F
第二课时
例2．如图(1)，已知两个正方形ABCD 与正方形OEFG ，O 点是正方形ABCD 的中心，正方形OEFG 绕着点O 旋转（旋转角α满足0︒
①在旋转的过程中OM 与ON 有怎样的数量关系？四边形OMCN 的面积有何变化，为什么？
（1）
②如图（2）当正方形OEFG 的旋转中心不再是正方形ABCD 的中心时，而是在AC 的对角线上，且OE 过点D ，当OG 与BC 交于N 时，OD 与ON 的数量关系是否发生改变？为什么？
③如图（3）当OG 交BC 的延长线与N 时，OD 与ON 还有上面的结论成立吗？为什么？
G
（2）
G
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(3)
作业:
，．将一个最短边长大于2的1.(07北京) 在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)
直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．
⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为；
⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
2．操作：在△ABC 中，AC =BC =2,∠C =90,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC , CB 于D , E 两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种。
探究：(1)三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为___________；（不必写出证明过程）
(2)三角板绕点P 旋转，△PBE 能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE 为等腰三角形时线段CE 的长）；若不能，请说明理由。
C
E
D
P
D
B
C
E
B
C D
B
E
A
图① 图② 图③
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专题二：利用旋转解决问题
第一课时
一、引例：如图，F 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADF 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 作法： 结论：
二、例题讲解
例1：已知：正方形ABCD ，∠EAF ＝45°, ∠EAF 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点E , F ．
（1）当∠EAF 绕点A 旋转到如图1的位置时，线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
图1 （2）当∠EAF 绕点A 旋转到如图2的位置时，线段BE ，DF 和EF 之间又有怎样的数量关系？写出猜
想，并加以证明．
图2
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变式1：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠EAF=
1
∠BAD ”2
∠EAF 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点E , F ．如下图所示线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式
变式2：若把例题中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是直线BC 、CD 上的点，且∠EAF=
1
∠BAD” ∠EAF 绕点A 旋转，它的两边分别交直线BC 、DC 于点E , F ． 2
线段BE ，DF 和EF 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式
备用图
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例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF =45°． 求证：BE 2+CF 2=EF 2．
练习：
1、如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O . （1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且
∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系． 请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且
∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系， 并证明.
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A
B E F C
A
B E F C
图 1
图 2
2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． （1）求证：CE ＝CF ；
（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．
A D
B C 图1 图2
3、已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°, ∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．
（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与AB 的数 量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长． （可利用（2）得到的结论）
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第二课时
复习引入： 1、 复习旋转的三要素和基本性质。 2、 如图，△ABC 为等边三角形，M 是△ABC 内一点，若将△ABM 后到△ACP 位置，则旋转中心是__________，旋转角等于_________度，△AMP 是___________三角形.
例题．请阅读下列材料
问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．
练习1、如图，P 为等边三角形ABC 内部一点，且P 到三角形的三角形顶点A,B,C 的长分别 为3，4，5，求∠APB 的度数.
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2、（1）如图，△BCM 中，∠BMC ＝120°，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置. 若BM ＝2，MC ＝3. 求：①∠ AMB的度数；②求AM 的长.
（2）如图，△ABC 中BM=2，CM=3，以BC 为边的△ABC 是等边三角形，求AM 的最大值、最小值.
3. 如图，已知等腰直角∆ABC , ∠ABC =90︒, AB =BC (1)点D 是∆ABC 内一点.
1, BD =2, CD =3, 求∠ADB 的度数. ①若AD ＝
10 / 16
②若点D 是∆ABC 内任意一点. 求证：AD +CD >2BD
（2）若点D 为AC 上任意一点，（1）中②的结论是否成立？若成立给出证明，若不成立，说明理由.
(3)当点D 为∆ABC 外任意一点时，（1）中②的结论是否发生改变？直接写出你的结论.
备用图
备用图 备用图
4．已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接P A 、PB 、PC . （1）如图１，若P A =2，PB =4，∠APB =135°，求PC 的长.
图１
（2）如图2，若点P 在对角线AC 上. 求证：若P A 2+PC 2=2PB 2
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =DC . 证明：BD 2=AB 2+BC 2.
7．如图，已知：如图，四边形ABCD 中，AD=CD， ∠ABC =75︒，∠ADC =60︒， AB
＝2，BC
（1）以线段BD ，AB ，BC 作为三角形的三边，
①则这个三角形为； ②求BD 边所对的角的度数； （2）求四边形ABCD 的面积．
A
B
C
D
专题三. 与中点有关的旋转
例1：在等腰直角△ABC 中，D 是AB 中点，∠EDF=90°， 求证：（１）DE=DF.
（2）AE +BF >EF
（3）AE +BF
2
2
=EF 2
（４）若△DEF 绕着顶点D 旋转，点E 、点F 分别运动到CA 、BC 的延长线上，请自己画出图形，并说明(1)(2)(3)的结论是否成立。
A
例2 （09宣武一模）如图， 已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若
（图1） （图2） （ 图3）
作业：
1. （北京2011）第24题．(7分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
(1) 在图1中，证明：CE ＝CF ； (2) 若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点(如图2) ，直接写出∠BDG 的度数； (3) 若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG (如图3) ，求∠BDG 的度数．
图1
图2
C F
图3
2. （北京2008）第25题．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC ．若∠ABC =∠BEF =60，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D
F P
F
A E
B
图1 图2
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；
变式：如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．
（1）探究PG 与PC 的关系：
（2）如图2，将图1中的正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使正方形BEFG 的边BG 恰好与正方形ABCD 的边AB 在同一条直线上，问题（1）中的其他条件不变．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
PG
=． PC
D
C
G 0
A
F E
3、（08东城二模）已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF , EF =BE , ∠BEF =90, 按图1放置，使点F
在
BC 上，取DF 的中点G ，连EG 、CG.
(1)探索EG 、CG 的数量关系，并说明理由；
（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45得图2，连结DF, 取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0到90之间）得图3，连结DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；
C
B F
图1
F
C
C
F
图3
4、已知：在Rt △ABC 中，AB=BC，在Rt △ADE 中，AD=DE，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
B
A C D A
图①
C
图②