第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法 如多项式am +bm +cm =m (a +b +c ),
其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
a 2-b 2=(a +b )(a -b ),
a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2,
a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) 写出结果．
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l 的二次三项式x 2+px +q , 寻找满足ab=q，a+b=p的a ，b ，如有，则x 2+px +q =(x +a )(x +b ); 对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0), 寻找满足
a 1a 2=a，c 1c 2=c,a1c 2+a2c 1=b的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则
ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2). (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果ax 2+bx +c =0(a ≠0), 有两个根X 1，X 2，那么
ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（
121(A) 1- = (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2 44
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y 2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
11112 (3 ) 2 ,(4 )x + 2－2－（ x －2 2 － x –y ( x + y) (x – y ) x x
从左到是因式分解的个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
(A)20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x 2＋mx ＋n 能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x 2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x 2+kx－6有一个因式是(x－2) ，则k 的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a 2－2a (2)4m2－9n 2－4m+1
(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x 2+2xy－y 2
8．在实数范围内因式分解：
(1)2x2－3x －1 (2)－2x 2+5xy+2y2
考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y) 2－5b(y－x) (2).an+1－4a n ＋4a n-1
(3).x3(2x－y) －2x ＋y (4).x(6x－1) －1
1(5).2ax－10ay ＋5by ＋6x (6).1－a 2－ab －2 4
*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x －3) ＋2
(9).x5y －9xy 5 (10).－4x 2＋3xy ＋2y 2
(11).4a－a 5 (12).2x2－4x ＋1
(13).4y2＋4y －5 (14)3X2－7X+2
解题指导：
1．下列运算:(1) (a－3) 2＝a 2－6a ＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
1211(3) ax＋a xy ＋a ＝a(x＋ax) (4) － x＋ ＝x 2－4x ＋4＝(x－2) 2其中1644222
是因式分解，且运算正确的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5值（ ）
（A ）大于或等于0 （B ）0 （C ）大于0 （D ）小于0
3．若x 2＋2（m －3）x ＋16 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
（A ）－5 （B ）7 （C ）－1 （D ）7或－1
4．(x2＋y 2)(x2－1＋y 2) －12＝0, 则x 2＋y 2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y) －2(y－x) 3 ＊(2).x6－y 6
(3).x3＋2xy －x －xy 2 ＊(4).(x＋y)(x＋y －1) －12
(5).4ａｂ－（1－ａ2）（1－ｂ2） (6).－3m 2－2m ＋4
＊4。已知a ＋b ＝1, 求a 3＋3ab ＋b 3的值
5．ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC 三边，利用因式分解说明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符号
6．0＜ａ≤5，ａ为整数，若2ｘ2＋3ｘ＋ａ能用十字相乘法分解因式，求符合条件的ａ
独立训练：
1．多项式x －y , x－2xy ＋y , x－y 的公因式是 。
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
1(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( － y), (2).5x2＋6xy －8y 2＝(x )( －4y). 5
3．矩形的面积为6x 2＋13x ＋5 (x>0),其中一边长为2x ＋1, 则另为 。
4．把a 2－a －6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1) －6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
15．多项式a 2＋4ab ＋2b 2,a 2－4ab ＋16b 2,a 2＋a ＋2－12ab ＋4b 2中，能用完全平4
方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6．设(x＋y)(x＋2＋y) －15＝0, 则x ＋y 的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5 222233
7．关于的二次三项式x 2－4x ＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么c 可取下面四个值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x 2－mx ＋n ＝(x－4)(x＋3) 则m,n 的值为（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n ＝12 (C) m＝1,n ＝－12 (D) m＝1,n ＝12.
9．代数式y 2＋my ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是 。 4
x y 10．已知2x 2－3xy ＋y 2＝0（x,y 均不为零），则 ＋ 的值为 。 y x
11．分解因式:
(1).x2(y－z) ＋81(z－y) (2).9m2－6m ＋2n －n 2
＊(3).ab(c2＋d 2) ＋cd(a2＋b 2) (4).a4－3a 2－4
＊(5).x4＋4y 4 ＊(6).a2＋2ab ＋b 2－2a －2b ＋1
12．实数范围内因式分解
（1）ｘ2－2ｘ－4 （2）4ｘ2＋8ｘ－1 （3）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ2
第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法 如多项式am +bm +cm =m (a +b +c ),
其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
a 2-b 2=(a +b )(a -b ),
a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2,
a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) 写出结果．
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l 的二次三项式x 2+px +q , 寻找满足ab=q，a+b=p的a ，b ，如有，则x 2+px +q =(x +a )(x +b ); 对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0), 寻找满足
a 1a 2=a，c 1c 2=c,a1c 2+a2c 1=b的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则
ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2). (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果ax 2+bx +c =0(a ≠0), 有两个根X 1，X 2，那么
ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（
121(A) 1- = (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2 44
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y 2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
11112 (3 ) 2 ,(4 )x + 2－2－（ x －2 2 － x –y ( x + y) (x – y ) x x
从左到是因式分解的个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
(A)20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x 2＋mx ＋n 能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x 2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x 2+kx－6有一个因式是(x－2) ，则k 的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a 2－2a (2)4m2－9n 2－4m+1
(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x 2+2xy－y 2
8．在实数范围内因式分解：
(1)2x2－3x －1 (2)－2x 2+5xy+2y2
考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y) 2－5b(y－x) (2).an+1－4a n ＋4a n-1
(3).x3(2x－y) －2x ＋y (4).x(6x－1) －1
1(5).2ax－10ay ＋5by ＋6x (6).1－a 2－ab －2 4
*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x －3) ＋2
(9).x5y －9xy 5 (10).－4x 2＋3xy ＋2y 2
(11).4a－a 5 (12).2x2－4x ＋1
(13).4y2＋4y －5 (14)3X2－7X+2
解题指导：
1．下列运算:(1) (a－3) 2＝a 2－6a ＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
1211(3) ax＋a xy ＋a ＝a(x＋ax) (4) － x＋ ＝x 2－4x ＋4＝(x－2) 2其中1644222
是因式分解，且运算正确的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5值（ ）
（A ）大于或等于0 （B ）0 （C ）大于0 （D ）小于0
3．若x 2＋2（m －3）x ＋16 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
（A ）－5 （B ）7 （C ）－1 （D ）7或－1
4．(x2＋y 2)(x2－1＋y 2) －12＝0, 则x 2＋y 2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y) －2(y－x) 3 ＊(2).x6－y 6
(3).x3＋2xy －x －xy 2 ＊(4).(x＋y)(x＋y －1) －12
(5).4ａｂ－（1－ａ2）（1－ｂ2） (6).－3m 2－2m ＋4
＊4。已知a ＋b ＝1, 求a 3＋3ab ＋b 3的值
5．ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC 三边，利用因式分解说明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符号
6．0＜ａ≤5，ａ为整数，若2ｘ2＋3ｘ＋ａ能用十字相乘法分解因式，求符合条件的ａ
独立训练：
1．多项式x －y , x－2xy ＋y , x－y 的公因式是 。
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
1(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( － y), (2).5x2＋6xy －8y 2＝(x )( －4y). 5
3．矩形的面积为6x 2＋13x ＋5 (x>0),其中一边长为2x ＋1, 则另为 。
4．把a 2－a －6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1) －6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
15．多项式a 2＋4ab ＋2b 2,a 2－4ab ＋16b 2,a 2＋a ＋2－12ab ＋4b 2中，能用完全平4
方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6．设(x＋y)(x＋2＋y) －15＝0, 则x ＋y 的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5 222233
7．关于的二次三项式x 2－4x ＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么c 可取下面四个值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x 2－mx ＋n ＝(x－4)(x＋3) 则m,n 的值为（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n ＝12 (C) m＝1,n ＝－12 (D) m＝1,n ＝12.
9．代数式y 2＋my ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是 。 4
x y 10．已知2x 2－3xy ＋y 2＝0（x,y 均不为零），则 ＋ 的值为 。 y x
11．分解因式:
(1).x2(y－z) ＋81(z－y) (2).9m2－6m ＋2n －n 2
＊(3).ab(c2＋d 2) ＋cd(a2＋b 2) (4).a4－3a 2－4
＊(5).x4＋4y 4 ＊(6).a2＋2ab ＋b 2－2a －2b ＋1
12．实数范围内因式分解
（1）ｘ2－2ｘ－4 （2）4ｘ2＋8ｘ－1 （3）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ2