2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ,2s ,5s 的正弦信号,问幅值误差将是多少?
解:τ=0.35s ,
11
A (ω) ===
把T =1代入上式,得A (ω) =0.41误差为1-A (ω) =0.59=59%同理,T =2s 时,误差为33%T =5s 时,误差为8%
1
2.3求周期信号
()(
)
x t =0. 5cos 10t +0. 2cos 100t -45
通过传递函数为
H (s )=
1
0. 005s +1
的装置后所得到的稳态响应。
解: 利用叠加原理及频率保持性解题
,
x 1(t ) =0.5cos10t , 对于x 1(t ) =0.5cos10t , A (ω) =
1=
x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )
由H (s ) =1/(0.005s +1),
τ=0.005ω=10
1
=0.99875
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯10)=-2.86ο
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为y 1(t ) =0.5cos(10t -2.86)
ο
0.5⨯0.99875=0.50-2.86=-2.86︒
同理
对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45),
ω=100
A (ω) =
1=
1=0.89
ο
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯100) =-26.57
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为
y 2(t ) =0.18cos(100t -71.57︒) 故原信号对应的输出稳态响应为
y (t ) =0.5cos(10t -2.86︒) +0.18cos(100t -71.57︒)
0.2⨯0.89=0.18-45︒-26.57︒=-71.57︒
2.5 想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,则时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz 正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?
解: 由振幅误差
|A 0-A I |A 0
E ==1-=1-A (ω)≤5%
A I A I
∴
A (ω)≥95%
A (ω)=
1+(τω)
2
即
=95%
,
1+(2π⨯100t )
2
=0. 95
,
τ=5. 23⨯10s
-4
-4
ω=2πf =2π⨯50=100π当,且τ=5. 23⨯10s 时
A (ω)=
1
+5. 23⨯10
-4
⨯100π
2
≈98. 7%
∴ 此时振幅误差
=1-98.7%=1.3%
-4
φ(ω)=-arctg (5. 23⨯10⨯100π)≈-9. 3
3-7 一个电容测微仪,其传感器的圆形极板的半径 r = 4mm,工作初始间隙δ=0.3mm, 空气介质。问: 1) 2)
工作时,如果传感器与工件的间隙变化量∆δ=±1μm 时,电容变化量是多少?
如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ,读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ,在∆δ=±1μm 时,读数仪表的指示
值变化多少格? 解: 1) 因为
εεA dC
=-02 d δδ
所以
ε0εA 8.85⨯10-12⨯1⨯π⨯(4⨯10-3) 2-6∆C =-2∆δ=-⨯(±1⨯10) -32
δ(0.3⨯10)
= 10-14F = 0.005pF
2) 如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ,读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ,在∆δ=±2μm 时,读数仪表的指示值
变化
∆C ⨯S 1⨯S 2
=(0.005pF ) ⨯(100mV /pF ) ⨯(5格/mV ) =2.5格
3-11 一压电式压力传感器的灵敏度S =90pC/MPa,把它和一台灵敏度调到0.005V/pC的电荷放大器连接,放大器的输出又接到一灵敏度已调到20mm/V的光线示波器上记录,试绘出这个测试系统的框图,并计算其总的灵敏度。 解:框图如下
各装置串联,如果忽略负载效应,则总灵敏度S 等于各装置灵敏度相乘,即 S =∆x /∆P=90⨯0.005⨯20=9mm/MPa。
3-13 何谓霍尔效应?其物理本质是什么?用霍尔元件可测哪些物理量? 解答:
霍尔(Hall )效应:金属或半导体薄片置于磁场中,当有电流流过薄片时,则在垂直于电流和磁场方向的两侧面上将产生电位差,这种现象称为霍尔效应,产生的电位差称为霍尔电势。
霍尔效应产生的机理(物理本质):在磁场中运动的电荷受到磁场力F L (称为洛仑兹力)作用,而向垂直于磁场和运动方向的方向移动,在两侧面产生正、负电荷积累。
应用举例:电流的测量,位移测量,磁感应强度测量,力测量;计数装置,转速测量(如计程表等),流量测量,位置检测与控制,电子点火器,制做霍尔电机—无刷电机等。
3-21 选用传感器的基本原则是什么?试举一例说明。
解答:灵敏度、响应特性、线性范围、可靠性、精确度、测量方法、体积、重量、价格等各方面综合考虑。
4-1 以阻值R =120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V ,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2με和2000με时,分别求出单臂、双臂电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。 解 : 由S g =
∆R /R 0
ε
ε=2μ时,
单臂, 双臂,
ε=2000μ时,
单臂,
∆R 12⨯2000⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-3(V )
4R 044∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-6(V )
4R 044
∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-6(V )
2R 022
∆R 12⨯2000⨯10-6
U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-3(V ) 双臂,U 0=2R 022
根据电桥的灵敏度S =
U 0,双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 ∆R /R
4-10 已知某RC 低通滤波器,R=1000Ω, C=1μF,
1) 确定各函数式H(s), H(ω), A(ω), φ(ω)
2) 当输入信号u i =10sin1000t时,求输出信号u o 。
解:
1)
τ=RC =1000⨯1⨯10-6=0.001s
11=1+τs 1+0.001s
11H (ω) ==1+j τω1+j 0.001ω
A (ω) ==H (s ) =
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω)
11
2)当输入信号u i =10sin1000t时,ω
=1000
A (ω) ===0.707
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω) =-arctan1=-45︒
输出信号的幅值为 0.707⨯10=7.07
输出信号u o =7.07sin(1000t-45︒)
4-11 已知低通滤波器的频率响应函数
H (ω) =1
1+j τω
式中 τ=0.05s, 当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45o ) 时,求输出有何区别。
解: 利用叠加原理及频率保持性解题
12 y(t),并比较y(t)与x(t)的幅值与相位
x 1(t ) =0.5cos10t , x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )由题意, τ=0.05
对于x 1(t ) =0.5cos10t , ω=10
A (ω) ===0.8944
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯10)=-26.56ο输出信号的幅值为0.8944⨯0.5=0.45输出信号的相位为0-26.56=-26.56︒输出的稳态响应为
y 1(t ) =0.45cos(10t -26.56ο)
同理对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 ), ω=100A (ω) ===0.196ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯100) =-78.69ο输出信号的幅值为0.2⨯0.196=0.04输出信号的相位为-45︒-78.69︒=-123.69︒输出的稳态响应为y 2(t ) =0.04cos(100t -123.69︒) 故原信号对应的输出稳态响应为y (t ) =0.45cos(10t -26.56ο) +0.04cos(100t -123.69︒) 13
2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ,2s ,5s 的正弦信号,问幅值误差将是多少?
解:τ=0.35s ,
11
A (ω) ===
把T =1代入上式,得A (ω) =0.41误差为1-A (ω) =0.59=59%同理,T =2s 时,误差为33%T =5s 时,误差为8%
1
2.3求周期信号
()(
)
x t =0. 5cos 10t +0. 2cos 100t -45
通过传递函数为
H (s )=
1
0. 005s +1
的装置后所得到的稳态响应。
解: 利用叠加原理及频率保持性解题
,
x 1(t ) =0.5cos10t , 对于x 1(t ) =0.5cos10t , A (ω) =
1=
x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )
由H (s ) =1/(0.005s +1),
τ=0.005ω=10
1
=0.99875
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯10)=-2.86ο
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为y 1(t ) =0.5cos(10t -2.86)
ο
0.5⨯0.99875=0.50-2.86=-2.86︒
同理
对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45),
ω=100
A (ω) =
1=
1=0.89
ο
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.005⨯100) =-26.57
输出信号的幅值为输出信号的相位为输出的稳态响应为
y 2(t ) =0.18cos(100t -71.57︒) 故原信号对应的输出稳态响应为
y (t ) =0.5cos(10t -2.86︒) +0.18cos(100t -71.57︒)
0.2⨯0.89=0.18-45︒-26.57︒=-71.57︒
2.5 想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,则时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz 正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?
解: 由振幅误差
|A 0-A I |A 0
E ==1-=1-A (ω)≤5%
A I A I
∴
A (ω)≥95%
A (ω)=
1+(τω)
2
即
=95%
,
1+(2π⨯100t )
2
=0. 95
,
τ=5. 23⨯10s
-4
-4
ω=2πf =2π⨯50=100π当,且τ=5. 23⨯10s 时
A (ω)=
1
+5. 23⨯10
-4
⨯100π
2
≈98. 7%
∴ 此时振幅误差
=1-98.7%=1.3%
-4
φ(ω)=-arctg (5. 23⨯10⨯100π)≈-9. 3
3-7 一个电容测微仪,其传感器的圆形极板的半径 r = 4mm,工作初始间隙δ=0.3mm, 空气介质。问: 1) 2)
工作时,如果传感器与工件的间隙变化量∆δ=±1μm 时,电容变化量是多少?
如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ,读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ,在∆δ=±1μm 时,读数仪表的指示
值变化多少格? 解: 1) 因为
εεA dC
=-02 d δδ
所以
ε0εA 8.85⨯10-12⨯1⨯π⨯(4⨯10-3) 2-6∆C =-2∆δ=-⨯(±1⨯10) -32
δ(0.3⨯10)
= 10-14F = 0.005pF
2) 如果测量电路的灵敏度S 1=100mV /pF ,读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ,在∆δ=±2μm 时,读数仪表的指示值
变化
∆C ⨯S 1⨯S 2
=(0.005pF ) ⨯(100mV /pF ) ⨯(5格/mV ) =2.5格
3-11 一压电式压力传感器的灵敏度S =90pC/MPa,把它和一台灵敏度调到0.005V/pC的电荷放大器连接,放大器的输出又接到一灵敏度已调到20mm/V的光线示波器上记录,试绘出这个测试系统的框图,并计算其总的灵敏度。 解:框图如下
各装置串联,如果忽略负载效应,则总灵敏度S 等于各装置灵敏度相乘,即 S =∆x /∆P=90⨯0.005⨯20=9mm/MPa。
3-13 何谓霍尔效应?其物理本质是什么?用霍尔元件可测哪些物理量? 解答:
霍尔(Hall )效应:金属或半导体薄片置于磁场中,当有电流流过薄片时,则在垂直于电流和磁场方向的两侧面上将产生电位差,这种现象称为霍尔效应,产生的电位差称为霍尔电势。
霍尔效应产生的机理(物理本质):在磁场中运动的电荷受到磁场力F L (称为洛仑兹力)作用,而向垂直于磁场和运动方向的方向移动,在两侧面产生正、负电荷积累。
应用举例:电流的测量,位移测量,磁感应强度测量,力测量;计数装置,转速测量(如计程表等),流量测量,位置检测与控制,电子点火器,制做霍尔电机—无刷电机等。
3-21 选用传感器的基本原则是什么?试举一例说明。
解答:灵敏度、响应特性、线性范围、可靠性、精确度、测量方法、体积、重量、价格等各方面综合考虑。
4-1 以阻值R =120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V ,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2με和2000με时,分别求出单臂、双臂电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。 解 : 由S g =
∆R /R 0
ε
ε=2μ时,
单臂, 双臂,
ε=2000μ时,
单臂,
∆R 12⨯2000⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-3(V )
4R 044∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=3⨯10-6(V )
4R 044
∆R 12⨯2⨯10-6
U 0=U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-6(V )
2R 022
∆R 12⨯2000⨯10-6
U i =⨯S g ⨯ε⨯U i =⨯3=6⨯10-3(V ) 双臂,U 0=2R 022
根据电桥的灵敏度S =
U 0,双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 ∆R /R
4-10 已知某RC 低通滤波器,R=1000Ω, C=1μF,
1) 确定各函数式H(s), H(ω), A(ω), φ(ω)
2) 当输入信号u i =10sin1000t时,求输出信号u o 。
解:
1)
τ=RC =1000⨯1⨯10-6=0.001s
11=1+τs 1+0.001s
11H (ω) ==1+j τω1+j 0.001ω
A (ω) ==H (s ) =
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω)
11
2)当输入信号u i =10sin1000t时,ω
=1000
A (ω) ===0.707
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.001ω) =-arctan1=-45︒
输出信号的幅值为 0.707⨯10=7.07
输出信号u o =7.07sin(1000t-45︒)
4-11 已知低通滤波器的频率响应函数
H (ω) =1
1+j τω
式中 τ=0.05s, 当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45o ) 时,求输出有何区别。
解: 利用叠加原理及频率保持性解题
12 y(t),并比较y(t)与x(t)的幅值与相位
x 1(t ) =0.5cos10t , x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 )由题意, τ=0.05
对于x 1(t ) =0.5cos10t , ω=10
A (ω) ===0.8944
ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯10)=-26.56ο输出信号的幅值为0.8944⨯0.5=0.45输出信号的相位为0-26.56=-26.56︒输出的稳态响应为
y 1(t ) =0.45cos(10t -26.56ο)
同理对于x 2(t ) =0.2cos (
100t -45 ), ω=100A (ω) ===0.196ϕ(ω) =-arctan(τω) =-arctan(0.05⨯100) =-78.69ο输出信号的幅值为0.2⨯0.196=0.04输出信号的相位为-45︒-78.69︒=-123.69︒输出的稳态响应为y 2(t ) =0.04cos(100t -123.69︒) 故原信号对应的输出稳态响应为y (t ) =0.45cos(10t -26.56ο) +0.04cos(100t -123.69︒) 13