学号：2010310749
哈尔滨师范大学
学士学位论文
题 目 生活中常见的概率分布
学 生
指导教师
年 级 2010级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
学 士 学 位 论 文
题 目 生活中常见的概率分布
学 生
指导教师
年 级 2010级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
哈尔滨师范大学
2013年4月
生活中常见的概率分布
摘要：概率是和日常生活、生产实践最紧密的一门学科。本文介绍了概率与日常生活相关的一些随机现象, 从生活中融合概率问题, 揭示了相关概率规律性的问题, 并讨论了概率知识在解决现实生活问题的一些应用。
关键词：概率；随机现象；规律性
一、概率的起源
三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大呢？
17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。
这便是概率的最早起源，后来惠更斯经过多年的潜心研究，解决
了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。
二、概率的定义及性质定理
（一）、概率的定义
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小，是事件本身所固有的不随人的主观
意愿而改变的一种属性，它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。
我们把在一定的条件下，对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验称为一个试验，如试验满足以下条件：
（1）在相同的条件下可以重复进行；
（2）试验的所有可能结果是预先知道的，且不止一个。
（3）每做一次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能预言会出现哪个结果。
那么，就称这样的试验为随机试验，也常简称随机试验为试验。 试验的每一个可能结果，称为基本事件，若干基本事件复合而成的结果称为复杂事件，试验下必然会发生的结果称为必然事件必然不会出现的结果称为不可能事件，上述事件统称为随机事件，简称事件，
古典概率定义：在包含N 个等可能样本点的样本空间Ω里，如果某一事件A 包含其中的M 个本点（每个样本点出现的可能性
都是相等的），则事件A 发生的概率为：
P (A )=事件A 所含样本点的个数M = Ω中所有样本点的个数N
概率的统计定义：在一定的条件下, 重复做n 次试验, n A 为n 次试验中事件发生A 的次数，如果随着n 逐渐增大，频率n A 逐渐n 稳定在某一数值p 附近，则数值p 称为事件A 在该条件下发生的概率，记做P (A ) =p
（二）、概率基本性质 ①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0~1之间，从而任何事件的概率在0~1之间，即0≤P (A )≤1.
②每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为1，如，在掷骰子试验中，由于出现的点数最大是6，因此P (E )=1
③每次试验中，不可能事件一定不出现，因此他的频率为0，从而不可能事件的概率为0. 如，在掷骰子试验中，P (F )=0
④当事件A 与B 互斥时，A B 发生的频数等于A 发生的频数与B
发生的频数之和，
从而A B 的频率Fn （A B ） =Fn(A）+Fn (B )由此得到概率的加法公式：
P （A B) =P (A )+P (B )
⑤特别的，若事件B 与事件A 互为对立事件，则A B 为必然事件，P （A B ）=1. 在由加法公式得到P(A)=1-P(B)
定理 2 不可能事件的概率为零： P (∅)=0
定理 3 如果若干事件 A 1, A 2, A n ∈S 每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和：
P (A 1 A n )=∑P (A j )
j =1n
注意针对这一定理有效性的决定因素是 A 1, A 2, A n 事件不能
同时发生。
定理 4 (乘法法则) 事件 A ，B 同时发生的概率是：
P (A B )=P (A )⋅P (B |A ) =P (B )⋅P (A |B )
公式中的 P (A |B ) 是指在 B 条件下 A 发生的概率，又称作条件概率。
定理 5 （全概率公式）设事件A 当且仅当互不相容的事件
B 1, B 2, , B n 中的任一事件发生时才可能发生，已知事件B i 的概率p (B i )
及事件A 在B i 已发生的条件下的条件概率为P (A |B i )(i =1,2, , n )，我们要计算事件A 发生的概率，这时，我们有下面的公式：
P (A )=∑p (B i )P (A |B i )
i =1n
这个公式叫做全概率公式，事件B 1, B 2, , B n 叫做关于事件A 的假设。
三、生活中的概率问题
在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力。在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等，我们常遇见一些概率问题。下面我就我们现实生活中常见的 一些概率问题进行一些简单的分析
（一）、彩票中奖
彩票玩法比较简单，例如2元买一注，每一注填写一张彩票．每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成．每位数字均可填写0、1、2⋯、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、、23、4中的一个． 每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号─个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同─特等奖；6位数完全相同─等奖；有5个连续数字相同二等奖；有4个连续数字相同三等奖；有3个连续数字相同─四等奖；有2个连续数字相同五等奖．
每一期彩票以收入的50%作为奖金．三、四、五等奖的奖金固定，特、一、二等奖的奖金浮动．例如，如果一等奖号码是123456，特别号为0，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表所列： 中奖概率：
以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率．
特等奖──前6位数有106种可能，特别号码有5种可能，共有106⨯5＝5000000种选择，而特等奖号码只有一个，因此，一注中特等奖的概率为：
P(0)＝1/5000000＝0.0000002；
一等奖──前6位数相同的，只有一种可能，故中一等奖的概率为：
P(1)＝1/1000000＝0.000001；
二等奖──有20个号码可以选择，故中二等奖的概率为：
P(2)＝20/1000000＝0.00002；
三等奖──有300个号码可以选择，故中三等奖的概率为：
P(3)＝300/1000000＝0.0003；
四等奖──有4000个号码可以选择，故中四等奖的概率为：
P(4)＝4000/1000000＝0.004；
五等奖──有50000个号码可以选择，故中五等奖的概率为：
P(5)＝50000/1000000＝0.05;
合起来，每一注总的中奖率为：
P ＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝0.0543212≈5.4%，
这就是说，每1000注彩票，约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)
（二）、抓阄的公平性
从古代流传下来的抓阄的方法一直被人们认为是一种比较公平的解决问题的方法，下面我们构造一个概率模型来说明它的公平性。
例：一个宿舍有10名学生，他们采用抓阄的方法来分一张电影票，各位同学
获得这一张电影票是否相等？
设A = “第i 名学生抓到电影票” （i=1、2、3 10） 则P (A 1) =
若A 21 10发生则A 1就不发生 则
P (A 2) =P (A 1A 2) =P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) =1 10
同理第i 个人抓到这张电影票，前面i-1就没有抓到这张电影票 则P(Ai )=P(A A ⋅⋅⋅A A i )=12i -11 10
所以各位同学获得这张电影票是相等的。
（三）、生日相同问题
生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人) 中，存在两人生日相同的可能性更高，对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生
日问题。
例： 以1年365天计(不考虑闰年因素) ，在某人群中至少要有两人的生日相同（可以不同年），那么需要多少人呢? 只要人数超过365人，就必然会有人的生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人相同的概率是多少?
分析：你可能会猜测，大概20%到30%吧. 错，有97%的可能！我们来算一下，
50个人可能的生日组合是36050
5050个人生日都不重复的组合是A 365;
50A 36550个人生日全不相同的概率是50≈0.03 365
50A 36550个人生日有重复的概率是1-50≈0.97=97% 365
通过计算我们可以很明显的看出当一个班的人数超过50人时，则出现相同生日的学生的可能性为0.97，几乎接近于1。
另外，经过简单计算，我们也可以归纳出现相同生日（可以
不同年）的概率情况，
见表2
表2 20-60人相同生日概率统计表（n 为人数，p 为概率）
所以如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人) 中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
这说明，面对一个貌似简单的概率问题时，如果我们主观臆断，有时可能与实际情况完全不同了。
（四）概率在体育比赛的应用
小王和小李两人都是乒乓球爱好者，两者都经常打乒乓球，一次小王想找小李进行一次乒乓球挑战，两人约定这次乒乓球挑战赛谁输了谁就要请对方吃饭，而根据以往小李与小王打过的比赛估计，小李每局比赛战胜小王的概率为0.4，而小王战胜小李的概率却为0.6，那么选择哪一种比赛场次对小李更有利一些呢？是三战两胜，五战三胜，还是七战四胜？
对于小李而言，如果他选择了三局两胜，事件A 表示小李前两局均获胜，事件B 表示前两局比赛中小李和小王各胜一局，第三局小李获胜从而小李取得最终胜利.
则 P (A ) =(0. 4) 2=0. 16，
1P (B ) =C 2(0. 4)(0. 6) ⨯0. 4=0. 192
所以采取三局两胜制时，小李获胜的概率为P =0.16+0.192=0.352 如果小李选择了五战三胜的话，设事件A 表示小李前三局全胜；事件B 表示小李前三局赢了两局，第四局战胜了小王，最终获胜；事
件C 表示小李和小王前四局各赢两场，第五局小李获胜.
则 P (A ) =(0. 4) 3=0. 064
3P (B ) =C 5(0. 4) 2(0. 6) ⨯0. 4=0. 1152,
2P (C ) =C 4(0. 4) 2(0. 6) 2⨯0. 4=0. 13824
所以选择五局三胜制时小李获胜的概率为
P =0. 064+0. 1152+0. 13824=0. 31744
如果小李选择了七战四胜制的话，设事件A 表示小李前四局全胜；事件B 表示小李前四局赢了三局，第五局获胜；事件C 表示小李前五局赢了三局，第六局战胜了小王，；事件D 表示小李和小王前六局各自赢了三局，第七局小李胜利.
则 P (A ) =(0. 4) 4=0. 0256
3 P (B ) =C 4(0. 4) 3(0. 6) ⨯0. 4=0. 06144
P (C ) =C 53(0. 4) 3(0. 6) 2⨯0. 4=0. 0921，6
3 P (D ) =C 6 (0. 6) 3(0. 4) 3⨯0. 4=0. 110592
那么选择七战四胜制时小李获胜的概率为
P =0. 256+0. 6144+0. 9216+0. 110592=0. 289792
所以由上述三种情况可以看到，比赛的局数越少，小李获胜的概率就越大，所以小李选择三局两胜制更有利于他自己. 同时从上面这三种情况我们也可以总结出一种比赛设置的局数越多越有利于实力占优势的选手或者队伍，从而也就越公平公正，而比赛局数设置的过少，则有利于实力稍弱的选手或队伍，这种情况下往往容易出现爆冷的情况，因此一种体育比赛设置合理的局数是十分重要的. 所以我们可以看到在一些大型重要比赛的决赛中设置的局数都相对较多：比如
NBA 总决赛的七战四胜制；斯诺克台球世锦赛决赛的35局18胜制等. 这样设置的目的都是有利于实力强的一方，从而保证了比赛的公平和公正.
(五) 概率在其他方面的体现
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A 、B 、C 、D 四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗? 答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。 概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。
太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
现代的概率已经被非常全面的深入到各个科学分支和各个生产部门。尤其是经济方面发挥着举足轻重的作用。就像美籍华人数学家
钟开莱先生所说的那样:“在过去半个世纪中, 概率论从一个较小的、孤立的课程发展成为一个与数学许多其它分支相互影响, 内容宽广而深入的学科。” 因此，如果我们想要更好的学好这些学科, 就必须要把概率统计作为一个必须的工具, 这是一种发展的必然现象, 也是现代科学研究与应用的需求。更是为我们以后在生活中更好的处理关于经济，决策等一些事情做下良好的地基作用
参考文献：
[1] 雒志江：概率在生活中的应用，梁高等专科学校学报，2008(2):18-20。
[2] 沈恒范：概率论与数理统计教程[J]，高等教育出版社，2003(4)：19。
[3] 刘长波：生活中的概率问题距离，沈阳师范大学学报，2007(4)：531-533。
[4] 张芳：概率的应用，山西财经大学学报，2007(1)：243。
[5] 王东妹：概率在生活中的简单应用[J]，济南师范学院学报，2008(2)：535-534。
[6].张奠宙, 过伯祥：数学方法论稿[M]，上海教育出版社，1999(2)：10。
学号：2010310749
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题 目 生活中常见的概率分布
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指导教师
年 级 2010级
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2013年4月
生活中常见的概率分布
摘要：概率是和日常生活、生产实践最紧密的一门学科。本文介绍了概率与日常生活相关的一些随机现象, 从生活中融合概率问题, 揭示了相关概率规律性的问题, 并讨论了概率知识在解决现实生活问题的一些应用。
关键词：概率；随机现象；规律性
一、概率的起源
三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大呢？
17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。
这便是概率的最早起源，后来惠更斯经过多年的潜心研究，解决
了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。
二、概率的定义及性质定理
（一）、概率的定义
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小，是事件本身所固有的不随人的主观
意愿而改变的一种属性，它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。
我们把在一定的条件下，对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验称为一个试验，如试验满足以下条件：
（1）在相同的条件下可以重复进行；
（2）试验的所有可能结果是预先知道的，且不止一个。
（3）每做一次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能预言会出现哪个结果。
那么，就称这样的试验为随机试验，也常简称随机试验为试验。 试验的每一个可能结果，称为基本事件，若干基本事件复合而成的结果称为复杂事件，试验下必然会发生的结果称为必然事件必然不会出现的结果称为不可能事件，上述事件统称为随机事件，简称事件，
古典概率定义：在包含N 个等可能样本点的样本空间Ω里，如果某一事件A 包含其中的M 个本点（每个样本点出现的可能性
都是相等的），则事件A 发生的概率为：
P (A )=事件A 所含样本点的个数M = Ω中所有样本点的个数N
概率的统计定义：在一定的条件下, 重复做n 次试验, n A 为n 次试验中事件发生A 的次数，如果随着n 逐渐增大，频率n A 逐渐n 稳定在某一数值p 附近，则数值p 称为事件A 在该条件下发生的概率，记做P (A ) =p
（二）、概率基本性质 ①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0~1之间，从而任何事件的概率在0~1之间，即0≤P (A )≤1.
②每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为1，如，在掷骰子试验中，由于出现的点数最大是6，因此P (E )=1
③每次试验中，不可能事件一定不出现，因此他的频率为0，从而不可能事件的概率为0. 如，在掷骰子试验中，P (F )=0
④当事件A 与B 互斥时，A B 发生的频数等于A 发生的频数与B
发生的频数之和，
从而A B 的频率Fn （A B ） =Fn(A）+Fn (B )由此得到概率的加法公式：
P （A B) =P (A )+P (B )
⑤特别的，若事件B 与事件A 互为对立事件，则A B 为必然事件，P （A B ）=1. 在由加法公式得到P(A)=1-P(B)
定理 2 不可能事件的概率为零： P (∅)=0
定理 3 如果若干事件 A 1, A 2, A n ∈S 每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和：
P (A 1 A n )=∑P (A j )
j =1n
注意针对这一定理有效性的决定因素是 A 1, A 2, A n 事件不能
同时发生。
定理 4 (乘法法则) 事件 A ，B 同时发生的概率是：
P (A B )=P (A )⋅P (B |A ) =P (B )⋅P (A |B )
公式中的 P (A |B ) 是指在 B 条件下 A 发生的概率，又称作条件概率。
定理 5 （全概率公式）设事件A 当且仅当互不相容的事件
B 1, B 2, , B n 中的任一事件发生时才可能发生，已知事件B i 的概率p (B i )
及事件A 在B i 已发生的条件下的条件概率为P (A |B i )(i =1,2, , n )，我们要计算事件A 发生的概率，这时，我们有下面的公式：
P (A )=∑p (B i )P (A |B i )
i =1n
这个公式叫做全概率公式，事件B 1, B 2, , B n 叫做关于事件A 的假设。
三、生活中的概率问题
在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力。在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等，我们常遇见一些概率问题。下面我就我们现实生活中常见的 一些概率问题进行一些简单的分析
（一）、彩票中奖
彩票玩法比较简单，例如2元买一注，每一注填写一张彩票．每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成．每位数字均可填写0、1、2⋯、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、、23、4中的一个． 每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号─个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同─特等奖；6位数完全相同─等奖；有5个连续数字相同二等奖；有4个连续数字相同三等奖；有3个连续数字相同─四等奖；有2个连续数字相同五等奖．
每一期彩票以收入的50%作为奖金．三、四、五等奖的奖金固定，特、一、二等奖的奖金浮动．例如，如果一等奖号码是123456，特别号为0，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表所列： 中奖概率：
以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率．
特等奖──前6位数有106种可能，特别号码有5种可能，共有106⨯5＝5000000种选择，而特等奖号码只有一个，因此，一注中特等奖的概率为：
P(0)＝1/5000000＝0.0000002；
一等奖──前6位数相同的，只有一种可能，故中一等奖的概率为：
P(1)＝1/1000000＝0.000001；
二等奖──有20个号码可以选择，故中二等奖的概率为：
P(2)＝20/1000000＝0.00002；
三等奖──有300个号码可以选择，故中三等奖的概率为：
P(3)＝300/1000000＝0.0003；
四等奖──有4000个号码可以选择，故中四等奖的概率为：
P(4)＝4000/1000000＝0.004；
五等奖──有50000个号码可以选择，故中五等奖的概率为：
P(5)＝50000/1000000＝0.05;
合起来，每一注总的中奖率为：
P ＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝0.0543212≈5.4%，
这就是说，每1000注彩票，约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)
（二）、抓阄的公平性
从古代流传下来的抓阄的方法一直被人们认为是一种比较公平的解决问题的方法，下面我们构造一个概率模型来说明它的公平性。
例：一个宿舍有10名学生，他们采用抓阄的方法来分一张电影票，各位同学
获得这一张电影票是否相等？
设A = “第i 名学生抓到电影票” （i=1、2、3 10） 则P (A 1) =
若A 21 10发生则A 1就不发生 则
P (A 2) =P (A 1A 2) =P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) =1 10
同理第i 个人抓到这张电影票，前面i-1就没有抓到这张电影票 则P(Ai )=P(A A ⋅⋅⋅A A i )=12i -11 10
所以各位同学获得这张电影票是相等的。
（三）、生日相同问题
生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人) 中，存在两人生日相同的可能性更高，对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生
日问题。
例： 以1年365天计(不考虑闰年因素) ，在某人群中至少要有两人的生日相同（可以不同年），那么需要多少人呢? 只要人数超过365人，就必然会有人的生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人相同的概率是多少?
分析：你可能会猜测，大概20%到30%吧. 错，有97%的可能！我们来算一下，
50个人可能的生日组合是36050
5050个人生日都不重复的组合是A 365;
50A 36550个人生日全不相同的概率是50≈0.03 365
50A 36550个人生日有重复的概率是1-50≈0.97=97% 365
通过计算我们可以很明显的看出当一个班的人数超过50人时，则出现相同生日的学生的可能性为0.97，几乎接近于1。
另外，经过简单计算，我们也可以归纳出现相同生日（可以
不同年）的概率情况，
见表2
表2 20-60人相同生日概率统计表（n 为人数，p 为概率）
所以如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人) 中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
这说明，面对一个貌似简单的概率问题时，如果我们主观臆断，有时可能与实际情况完全不同了。
（四）概率在体育比赛的应用
小王和小李两人都是乒乓球爱好者，两者都经常打乒乓球，一次小王想找小李进行一次乒乓球挑战，两人约定这次乒乓球挑战赛谁输了谁就要请对方吃饭，而根据以往小李与小王打过的比赛估计，小李每局比赛战胜小王的概率为0.4，而小王战胜小李的概率却为0.6，那么选择哪一种比赛场次对小李更有利一些呢？是三战两胜，五战三胜，还是七战四胜？
对于小李而言，如果他选择了三局两胜，事件A 表示小李前两局均获胜，事件B 表示前两局比赛中小李和小王各胜一局，第三局小李获胜从而小李取得最终胜利.
则 P (A ) =(0. 4) 2=0. 16，
1P (B ) =C 2(0. 4)(0. 6) ⨯0. 4=0. 192
所以采取三局两胜制时，小李获胜的概率为P =0.16+0.192=0.352 如果小李选择了五战三胜的话，设事件A 表示小李前三局全胜；事件B 表示小李前三局赢了两局，第四局战胜了小王，最终获胜；事
件C 表示小李和小王前四局各赢两场，第五局小李获胜.
则 P (A ) =(0. 4) 3=0. 064
3P (B ) =C 5(0. 4) 2(0. 6) ⨯0. 4=0. 1152,
2P (C ) =C 4(0. 4) 2(0. 6) 2⨯0. 4=0. 13824
所以选择五局三胜制时小李获胜的概率为
P =0. 064+0. 1152+0. 13824=0. 31744
如果小李选择了七战四胜制的话，设事件A 表示小李前四局全胜；事件B 表示小李前四局赢了三局，第五局获胜；事件C 表示小李前五局赢了三局，第六局战胜了小王，；事件D 表示小李和小王前六局各自赢了三局，第七局小李胜利.
则 P (A ) =(0. 4) 4=0. 0256
3 P (B ) =C 4(0. 4) 3(0. 6) ⨯0. 4=0. 06144
P (C ) =C 53(0. 4) 3(0. 6) 2⨯0. 4=0. 0921，6
3 P (D ) =C 6 (0. 6) 3(0. 4) 3⨯0. 4=0. 110592
那么选择七战四胜制时小李获胜的概率为
P =0. 256+0. 6144+0. 9216+0. 110592=0. 289792
所以由上述三种情况可以看到，比赛的局数越少，小李获胜的概率就越大，所以小李选择三局两胜制更有利于他自己. 同时从上面这三种情况我们也可以总结出一种比赛设置的局数越多越有利于实力占优势的选手或者队伍，从而也就越公平公正，而比赛局数设置的过少，则有利于实力稍弱的选手或队伍，这种情况下往往容易出现爆冷的情况，因此一种体育比赛设置合理的局数是十分重要的. 所以我们可以看到在一些大型重要比赛的决赛中设置的局数都相对较多：比如
NBA 总决赛的七战四胜制；斯诺克台球世锦赛决赛的35局18胜制等. 这样设置的目的都是有利于实力强的一方，从而保证了比赛的公平和公正.
(五) 概率在其他方面的体现
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A 、B 、C 、D 四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗? 答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。 概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。
太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
现代的概率已经被非常全面的深入到各个科学分支和各个生产部门。尤其是经济方面发挥着举足轻重的作用。就像美籍华人数学家
钟开莱先生所说的那样:“在过去半个世纪中, 概率论从一个较小的、孤立的课程发展成为一个与数学许多其它分支相互影响, 内容宽广而深入的学科。” 因此，如果我们想要更好的学好这些学科, 就必须要把概率统计作为一个必须的工具, 这是一种发展的必然现象, 也是现代科学研究与应用的需求。更是为我们以后在生活中更好的处理关于经济，决策等一些事情做下良好的地基作用
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