初三数学
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1．一元二次方程x 2－9＝0的根是( )
A.x ＝3 B.x
＝x 1=3. x 2=-3 D. x
1 x
22．二次函数y =x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y =x 2+3 B. y =x 2-3 C. y =(x +3) 2
D. y =(x -3) 2
3．有一个盛水的容器．现匀速地向容器内注水，最后把容器注满：在注水过程 的任何时刻，容器中水面的高度如图所示，图中PQ 为一线段，这个容器的形状 是 ( )
C 、
B 、
4．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）．
A 、小明的影子比小强的影子长 B 、小明的影子比小强的影子短
C 、小明的影子和小强的影子一样长 D 、无法判断谁的影子长 5．二次函数y=ax +bx+c的图象图所示，则下列结论： ①a ＞0，②b ＞0，③ c＞0，其中正确的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6．点P (2,3)关于x 轴的对称点为Q （m,n ）, 点Q 关于 Y 轴的对称点为M(x,y)，则点M 关于原点的对称点是（ ）
2
A 、
D 、
A ．(－2,3) B ．(2,－3) C．(－2, －3) D ．（2，3）
7．将分别标有数字1，4，8的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成两位数恰好是“18”的概率为（ ）。A. 1/2 B.1/4 C.1/6 D.1/8
8. 如图，在同一坐标系中，正比例函数y=(a-1)x与反比例函数y=
5a x
的图象的大致位置不可能是（ ）
9. 已知(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3) 是反比例函数y =
大小关系是（ ）
A. y 10>y 2>y 3 C. y 10>y 3>y 2
10．把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长
等于( )
（A ）25 （B ）23 （C ）32 （D ）5 二、仔细填一填（本小题共10小题，每小题2分，共20分） 11．抛物线 y =-x -3的顶点坐标为2
-4x
的图象上三点，且x 1
D
M B
12. 在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E ，F ，G ，H 构成一个新的四边形。请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形。这个条件是 . 13. 若ab ＞0、ac ＜0，那么y=
b a
c a
x －的图象经过 象限。
14. 3本小说，5本科技书和2本诗集，分类放在书架上，任意抽取紧挨着的2本书，这2本书是同一类的概率等于_________
15. 已知二次函数y= a （x －2）2+1，请你补充一个条件： ，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小.
16. 在平行四边形中，一个内角的平分线将对边分成2cm 和3cm ，则这个平行四边形的周长为 . 17. 如图，已知双曲线y =为2，则K= . 18. 已知等腰三角形面积为4为2
㎝，一腰上的高
2
k x
(k>0)经过矩形OABC 边 AB的中点F ，交BC 于点E ，且四边形 OEBF的面积
㎝，则这条高与底边的夹角为 。
2
m -m -7
2
19. 已知y =（m -5）x 是y 关于x 的反比例函数，且图象在第二、四象限，
则m= .
20．小说《达. 芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8„„，则这列数的第10个数是
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
21 .（每小题5分，共10分）
（1）解方程 x－2x －2 = 0 （2）计算(cos45－1) －
22. 已知：如图，矩形ABCD 中，AE=DE,BE的延长线与CD 的延长线相交于点F. 求证：S 矩形ABCD =S△FBC
2
00
43 1
+(sin30) +3tan60
0-20
F
23. 一海上巡逻艇在A 处巡逻, 突然接到上级命令, 在北偏西30°方向且距离A 处20海里的B 港口, 有一艘走私艇沿着正东方方向以每小时50海里的速度驶向公海, 务必进行拦截. 巡逻艇马上沿北偏东45°的方向快速追击, 恰好在临近公海的P 处将走私快艇拦截住. 如图7所示, 试求巡逻艇的速度(结果取整数, 参考数据:2=1.414,3=1.732,6=2.499).
北
A D
B
C
B
P
24. （1）已知反比例函数y =
k x
当x=－
13
时，y=－6，求出这个解析式；（4分）
（2）若一次函数y=mx－4的图象与（1）中的反比例函数y =分）
k x
的图象有交点，求m 的取值范围。（6
25. 阅读理解：在一次数学兴趣小组活动课上，师生有下面一段对话。
老师：今天我们来探索如下方程(x2－1) 2－5(x2－1) ＋4＝0的解法。 学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项不就行了吗？
老师：这样，原方程就整理为x 4-7x 2 +10=0变成了4次方程，用现在的知识我们能解答吗？请同学们注意观察方程的特点。
学生乙：我发现可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1＝y „„①，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2，∴x ＝±∴x ＝±
5
25
；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5，
，故原方程的解为x 1＝
2
，x 2＝-
2
，x 3＝
5
，x 4＝-．
老师：你的解法很好，上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。（2分）
学生丙：老师，我发现用你所讲的方法去解方程x 4-7x 2 +10=0也行。
同学们，你们掌握了这种方法吗？下面这个方程你能解吗？x －x －6＝0．（8分）
4
2
26. 某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售y 件之间有如下关系：
根据表中提供的数据
(1) 在右图直角坐标系中描出实数对(x，y) 的对应点(2分) (2) 猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元 之间的函数关系式, 并在右图中画出图象;(4分)
(3) 设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素) 为P 元, 根据日 销售规律，试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数关 系式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润。(4分)
27. 如图，在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，C A 平分∠B C D ，∠B =2∠E ．
（1）求证：A B =D C ；（5分） （2）若tg B =
2，AB =B C 的长．（5分）
D E ∥AC ，交B C 的延长线于点E ，
28. 如图，在直角坐标平面内，函数y =
m x
x >0，的图象经过A (1，其中a >1．过m 是常数）4) ，B (a ，b ) ，
点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结A D ，D C ，C B ． （1）若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；（4分） （2）求证：D C ∥A B ；（2分） （3）当A D =B C 时，求直线A B 的函数解析式．（4分）
答案
一． 选择题（每小题4分）
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.A 二． 填空题（每小题3分）
11．（0，-3） 12. 对角线相等 13. 一、 二、三 14.
79
15.a
16. 14cm,16cm 17. 2 18. 30°,60° 19.-2 20.55 三．解答题（每小题10分） 21．（1）x 1=1+
x 2=1- （2）3+
22．略 23. 45（46）海里/小时 24.(1) y=
2x
(2) m ≥-2, 且m ≠0
25. 换元 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
设x 2＝y ，那么原方程可化为y 2－y －6＝0. ···························································· 1分 解得y 1＝3，y 2 =-2． „„„„„„„„„„„„„„2分 当y ＝3时，x 2＝3， ∴x ＝±
； „„„„„„„„„„„„„„„„2分
2
当y ＝-2时，x ＝-2，
∴x 此时无实数解， „„„„„„„„„„„„„„„„2分 故原方程的解为x 1＝
3
，x 2＝-3，„„„„„„„„„„„ 1分
26．（1）略 （2）y=24-2x (3) 7
27．（1）证明： D E ∥A C ， ∴∠BC A =∠E ． ········································································································ 1分 C A 平分∠B C D ，
∴∠BC D =2∠BC A ， ································································································· 1分 ∴∠B C D =2∠E ， ······································································································ 1分
又 ∠B =2∠E ，
∴∠B =∠B C D ． ········································································································ 1分
································································· 1分 ∴梯形A B C D 是等腰梯形，即A B =D C ．·
（2）解：如图3，作AF ⊥BC ，D G ⊥BC ， 垂足分别为F ，G ，则A F ∥D G ．
在R t △AFB 中，tg B =2，∴AF =2BF ．„„„„1分
又 AB =
2
AB 2=AF 2+BF 2，
2
∴5=4BF +BF ，得B F =1．„„„„„„„„1分
B F G E
图3
同理可知，在R t △D G C 中，C G =1．„„„„„1分
A D ∥B C ，∴∠D AC =∠AC B ．
又 ∠AC B =∠AC D ，∴∠D A C =∠A C D ，∴A D =D C ．
DC =AB =
，∴AD = ·············································································· 1分
A D ∥B C ，A F ∥D G ，∴四边形A F G D
是平行四边形，∴FG =AD =． ···· 1分
∴BC =BF +FG +G C =2+．
28．（1）解： 函数y =
m x
············ 1分 (x >0，m 是常数）图象经过A (1，4) ，∴m =4． ·
⎛⎝
4⎫
⎛⎝
4⎫
设B D ，A C 交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为 a ⎪，D 点的坐标为 0⎪，
a ⎭
a ⎭
⎛4⎫
································································································ 1分 E 点的坐标为 1⎪， ·
⎝a ⎭ a >1，∴D B =a ，A E =4-
4a
．
由△ABD 的面积为4，即
1
4⎫⎛
······························································· 1分 a 4-⎪=4，·
2⎝a ⎭⎛⎝
4⎫3⎭
得a =3，∴点B 的坐标为 3⎪． ············································································· 1分 （2）证明：据题意，点C 的坐标为(1，0) ，D E =1，
a >1，易得E C =
4a
，BE =a -1，
4-=
4a 4
=a -1．······························································ 1分
∴
B E D E BE D E
=
a -11AE C E
=a -1，
AE C E
∴=
∴D C ∥A B ． ············································································································· 1分
（3）解： D C ∥A B ，∴当A D =B C 时，有两种情况：
①当AD ∥BC 时，四边形A D C B 是平行四边形， 由（2）得，
B E D E
=A E C E
=a -1，∴a -1=1，得a =2．
．···························································································· 1分 ∴点B 的坐标是（2，2）
设直线A B 的函数解析式为y =kx +b ，把点A ，B 的坐标代入，
⎧4=k +b ，⎧k =-2，得⎨解得⎨ ∴直线A B 的函数解析式是y =-2x +6． ··············· 1分
b =6. 2=2k +b ⎩⎩
②当A D 与B C 所在直线不平行时，四边形A D C B 是等腰梯形，
则B D =A C ，∴a =4，∴点B 的坐标是（4，1）． ···················································· 1分 设直线A B 的函数解析式为y =kx +b ，把点A ，B 的坐标代入，
得⎨
⎧4=k +b ，⎩1=4k +b .
解得⎨
⎧k =-1，⎩b =5
∴直线A B 的函数解析式是y =-x +5．················ 1分
综上所述，所求直线A B 的函数解析式是y =-2x +6或y =-x +5．
初三数学
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1．一元二次方程x 2－9＝0的根是( )
A.x ＝3 B.x
＝x 1=3. x 2=-3 D. x
1 x
22．二次函数y =x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y =x 2+3 B. y =x 2-3 C. y =(x +3) 2
D. y =(x -3) 2
3．有一个盛水的容器．现匀速地向容器内注水，最后把容器注满：在注水过程 的任何时刻，容器中水面的高度如图所示，图中PQ 为一线段，这个容器的形状 是 ( )
C 、
B 、
4．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）．
A 、小明的影子比小强的影子长 B 、小明的影子比小强的影子短
C 、小明的影子和小强的影子一样长 D 、无法判断谁的影子长 5．二次函数y=ax +bx+c的图象图所示，则下列结论： ①a ＞0，②b ＞0，③ c＞0，其中正确的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6．点P (2,3)关于x 轴的对称点为Q （m,n ）, 点Q 关于 Y 轴的对称点为M(x,y)，则点M 关于原点的对称点是（ ）
2
A 、
D 、
A ．(－2,3) B ．(2,－3) C．(－2, －3) D ．（2，3）
7．将分别标有数字1，4，8的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成两位数恰好是“18”的概率为（ ）。A. 1/2 B.1/4 C.1/6 D.1/8
8. 如图，在同一坐标系中，正比例函数y=(a-1)x与反比例函数y=
5a x
的图象的大致位置不可能是（ ）
9. 已知(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3) 是反比例函数y =
大小关系是（ ）
A. y 10>y 2>y 3 C. y 10>y 3>y 2
10．把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长
等于( )
（A ）25 （B ）23 （C ）32 （D ）5 二、仔细填一填（本小题共10小题，每小题2分，共20分） 11．抛物线 y =-x -3的顶点坐标为2
-4x
的图象上三点，且x 1
D
M B
12. 在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E ，F ，G ，H 构成一个新的四边形。请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形。这个条件是 . 13. 若ab ＞0、ac ＜0，那么y=
b a
c a
x －的图象经过 象限。
14. 3本小说，5本科技书和2本诗集，分类放在书架上，任意抽取紧挨着的2本书，这2本书是同一类的概率等于_________
15. 已知二次函数y= a （x －2）2+1，请你补充一个条件： ，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小.
16. 在平行四边形中，一个内角的平分线将对边分成2cm 和3cm ，则这个平行四边形的周长为 . 17. 如图，已知双曲线y =为2，则K= . 18. 已知等腰三角形面积为4为2
㎝，一腰上的高
2
k x
(k>0)经过矩形OABC 边 AB的中点F ，交BC 于点E ，且四边形 OEBF的面积
㎝，则这条高与底边的夹角为 。
2
m -m -7
2
19. 已知y =（m -5）x 是y 关于x 的反比例函数，且图象在第二、四象限，
则m= .
20．小说《达. 芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8„„，则这列数的第10个数是
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
21 .（每小题5分，共10分）
（1）解方程 x－2x －2 = 0 （2）计算(cos45－1) －
22. 已知：如图，矩形ABCD 中，AE=DE,BE的延长线与CD 的延长线相交于点F. 求证：S 矩形ABCD =S△FBC
2
00
43 1
+(sin30) +3tan60
0-20
F
23. 一海上巡逻艇在A 处巡逻, 突然接到上级命令, 在北偏西30°方向且距离A 处20海里的B 港口, 有一艘走私艇沿着正东方方向以每小时50海里的速度驶向公海, 务必进行拦截. 巡逻艇马上沿北偏东45°的方向快速追击, 恰好在临近公海的P 处将走私快艇拦截住. 如图7所示, 试求巡逻艇的速度(结果取整数, 参考数据:2=1.414,3=1.732,6=2.499).
北
A D
B
C
B
P
24. （1）已知反比例函数y =
k x
当x=－
13
时，y=－6，求出这个解析式；（4分）
（2）若一次函数y=mx－4的图象与（1）中的反比例函数y =分）
k x
的图象有交点，求m 的取值范围。（6
25. 阅读理解：在一次数学兴趣小组活动课上，师生有下面一段对话。
老师：今天我们来探索如下方程(x2－1) 2－5(x2－1) ＋4＝0的解法。 学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项不就行了吗？
老师：这样，原方程就整理为x 4-7x 2 +10=0变成了4次方程，用现在的知识我们能解答吗？请同学们注意观察方程的特点。
学生乙：我发现可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1＝y „„①，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2，∴x ＝±∴x ＝±
5
25
；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5，
，故原方程的解为x 1＝
2
，x 2＝-
2
，x 3＝
5
，x 4＝-．
老师：你的解法很好，上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。（2分）
学生丙：老师，我发现用你所讲的方法去解方程x 4-7x 2 +10=0也行。
同学们，你们掌握了这种方法吗？下面这个方程你能解吗？x －x －6＝0．（8分）
4
2
26. 某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售y 件之间有如下关系：
根据表中提供的数据
(1) 在右图直角坐标系中描出实数对(x，y) 的对应点(2分) (2) 猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元 之间的函数关系式, 并在右图中画出图象;(4分)
(3) 设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素) 为P 元, 根据日 销售规律，试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数关 系式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润。(4分)
27. 如图，在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，C A 平分∠B C D ，∠B =2∠E ．
（1）求证：A B =D C ；（5分） （2）若tg B =
2，AB =B C 的长．（5分）
D E ∥AC ，交B C 的延长线于点E ，
28. 如图，在直角坐标平面内，函数y =
m x
x >0，的图象经过A (1，其中a >1．过m 是常数）4) ，B (a ，b ) ，
点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结A D ，D C ，C B ． （1）若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；（4分） （2）求证：D C ∥A B ；（2分） （3）当A D =B C 时，求直线A B 的函数解析式．（4分）
答案
一． 选择题（每小题4分）
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.A 二． 填空题（每小题3分）
11．（0，-3） 12. 对角线相等 13. 一、 二、三 14.
79
15.a
16. 14cm,16cm 17. 2 18. 30°,60° 19.-2 20.55 三．解答题（每小题10分） 21．（1）x 1=1+
x 2=1- （2）3+
22．略 23. 45（46）海里/小时 24.(1) y=
2x
(2) m ≥-2, 且m ≠0
25. 换元 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
设x 2＝y ，那么原方程可化为y 2－y －6＝0. ···························································· 1分 解得y 1＝3，y 2 =-2． „„„„„„„„„„„„„„2分 当y ＝3时，x 2＝3， ∴x ＝±
； „„„„„„„„„„„„„„„„2分
2
当y ＝-2时，x ＝-2，
∴x 此时无实数解， „„„„„„„„„„„„„„„„2分 故原方程的解为x 1＝
3
，x 2＝-3，„„„„„„„„„„„ 1分
26．（1）略 （2）y=24-2x (3) 7
27．（1）证明： D E ∥A C ， ∴∠BC A =∠E ． ········································································································ 1分 C A 平分∠B C D ，
∴∠BC D =2∠BC A ， ································································································· 1分 ∴∠B C D =2∠E ， ······································································································ 1分
又 ∠B =2∠E ，
∴∠B =∠B C D ． ········································································································ 1分
································································· 1分 ∴梯形A B C D 是等腰梯形，即A B =D C ．·
（2）解：如图3，作AF ⊥BC ，D G ⊥BC ， 垂足分别为F ，G ，则A F ∥D G ．
在R t △AFB 中，tg B =2，∴AF =2BF ．„„„„1分
又 AB =
2
AB 2=AF 2+BF 2，
2
∴5=4BF +BF ，得B F =1．„„„„„„„„1分
B F G E
图3
同理可知，在R t △D G C 中，C G =1．„„„„„1分
A D ∥B C ，∴∠D AC =∠AC B ．
又 ∠AC B =∠AC D ，∴∠D A C =∠A C D ，∴A D =D C ．
DC =AB =
，∴AD = ·············································································· 1分
A D ∥B C ，A F ∥D G ，∴四边形A F G D
是平行四边形，∴FG =AD =． ···· 1分
∴BC =BF +FG +G C =2+．
28．（1）解： 函数y =
m x
············ 1分 (x >0，m 是常数）图象经过A (1，4) ，∴m =4． ·
⎛⎝
4⎫
⎛⎝
4⎫
设B D ，A C 交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为 a ⎪，D 点的坐标为 0⎪，
a ⎭
a ⎭
⎛4⎫
································································································ 1分 E 点的坐标为 1⎪， ·
⎝a ⎭ a >1，∴D B =a ，A E =4-
4a
．
由△ABD 的面积为4，即
1
4⎫⎛
······························································· 1分 a 4-⎪=4，·
2⎝a ⎭⎛⎝
4⎫3⎭
得a =3，∴点B 的坐标为 3⎪． ············································································· 1分 （2）证明：据题意，点C 的坐标为(1，0) ，D E =1，
a >1，易得E C =
4a
，BE =a -1，
4-=
4a 4
=a -1．······························································ 1分
∴
B E D E BE D E
=
a -11AE C E
=a -1，
AE C E
∴=
∴D C ∥A B ． ············································································································· 1分
（3）解： D C ∥A B ，∴当A D =B C 时，有两种情况：
①当AD ∥BC 时，四边形A D C B 是平行四边形， 由（2）得，
B E D E
=A E C E
=a -1，∴a -1=1，得a =2．
．···························································································· 1分 ∴点B 的坐标是（2，2）
设直线A B 的函数解析式为y =kx +b ，把点A ，B 的坐标代入，
⎧4=k +b ，⎧k =-2，得⎨解得⎨ ∴直线A B 的函数解析式是y =-2x +6． ··············· 1分
b =6. 2=2k +b ⎩⎩
②当A D 与B C 所在直线不平行时，四边形A D C B 是等腰梯形，
则B D =A C ，∴a =4，∴点B 的坐标是（4，1）． ···················································· 1分 设直线A B 的函数解析式为y =kx +b ，把点A ，B 的坐标代入，
得⎨
⎧4=k +b ，⎩1=4k +b .
解得⎨
⎧k =-1，⎩b =5
∴直线A B 的函数解析式是y =-x +5．················ 1分
综上所述，所求直线A B 的函数解析式是y =-2x +6或y =-x +5．