§5—4 广义积分
一、无穷区间上的广义积分
11
为曲顶、[，A]为底的
2x2
单曲边梯形的面积S(A)，则是一个典型的定积分问题，
A11
S(A)=12dx=2－．
Ax
例1 如图，若求以y=
现在若要求由x=
11， y=2和x轴所“界定”的区
2x2
1 域的“面积”S，则因为面积累积区域是[，+]，它已 2
经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S(A)，即定积分的极限来得到S：
A11
S=lim12dxlimS(A)lim(2)=2．
AxAAA
定义1 设函数f(x)在 [a，+)内有定义，对任意A[a，+)，f(x)在[a，A]上可积(即定积分
A a
f(x)dx存在)，称极限lim
A a
A
f(x)dx为函数f(x)在[a，+)上的无穷区间广义积
分(简称无穷积分)，记作
a
f(x)dx，即
A
a
f(x)dx=lim
A a
f(x)dx． (1)
若(1)右边的极限存在，则称无穷积分
a
f(x)dx收敛；否则就称为发散．
例1的问题可以用无穷积分表示为S=1 同样可以定义
1
dx，而且这个无穷积分是收敛的． 2x
f(x)dxlim f(x)dx=lim
b
A A
a
b
f(x)dx (极限号下的积分存在
);
A
Af(x)dxlim
B a
B
f(x)dx (2)
(两个极限号下的积分都存在，a(－，+))
他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．
2 11 1
例2 计算无穷广义积分：(1)xexdx；(2)；(3)dxdx． 3 0
x1x2
22 A1 A212 A1
解 (1)xexdx=－exd(x2)=－ex 0(eA1)，
222 0
(2)
0
1
xexdx=lim
2
A
1 A
0
A
xexdx=－
2
21
lim(eA1)=1. 2A2
11
dx23 Ax2x11
，
22A2
111111
limlim==()=－； dxdx x32A Ax3A22A2
B 0 B111 (3)dxdxdx=arctanA+arctanB， A A 0
1x21x21x2
B 0111
limlim =+dxdxdx 222 A 0AB1x1x1x
1
=limarctanA+limarctanB=
A
B
B
+=． 22
在(3)中我们取0来分割 例3 证明：无穷积分 证明 （１）当p=1， 所以
1
1
为两个积分，取任意a(－，+)分割会改变结果吗？
A1x2
dx
，(p>0)，当p>1时收敛；当0
A
1
Adxdxlnxxp 1x
=lnA，
1
dxx=lim
A
1
A
dx
=limlnA=+， xA
1
dx
发散； x
A
（２）当p>0，p1时，
1
dxx1p A1(A 1－p－1)，
()
1 11xA
（３）若0
0，所以lim发散；
（４）若p>1，则1－p
1
A
dx1lim(A 1－p－1)= +，即 dx= 1xp
xA
A
1
A
dx1lim(A 1－p－1)=1，即 dx= 1x1pAp1
dx1． =
1
xpp1 dx
综合可知当p>1时收敛于1；当0
xp1
二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y=
1为曲顶、[，2](>0)为底的单曲边梯形的面积S()，这是一
个典型的定积分问题，
212
S()==2(2)． dx(2)
1
现在若要求由x=2， y=，x轴和y轴所“界定”的区域
1
的“面积”S，则因为函数y=在x=0处无定义，且在(0，2)无
界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S()，
即定积分的极限来得到S：
S=lim
2
0
1
dxlimS()lim2(2)22． 2
00x
xa
b
定义2 设函数f(x)在(a，b]上定义，limf(x)=；对任意 (b－a>>0)，f(x)在[a+， b]上可积，即界函数f(x)在(a，b]上的广义积分，即
f(x)dx存在，则称极限lim
a
0
af(x)dx为无
b
b
a
f(x)dx=lim
0
af(x)dx (3)
b a
b
若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分 例4的“面积”S可以表示成S= 无界函数广义积分
b
2
f(x)dx收敛，否则为发散．
1
dx，而且无界函数广义积分收敛于22． 2 0x
a
f(x)dx也称为暇积分，且称使f(x)的极限为无穷的那个点a为暇
点．
暇点也可以是区间的右端点b或[a，b]中间点，并且可以类似于(1)定义暇积分：
b
a
f(x)dx=lim
0
a a
b-
f(x)dx
(b为暇点，极限号下的积分存在)，
af(x)dx=lim
10
b
c-1
f(x)dx+lim
20
c
b
f(x)dx (4)
2
(c(a，b)为暇点，两个极限号下的积分都存在)．
这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)
1
dxx
2
．
解 这是一个以x=1为暇点的暇积分．
1
dxxdxx2
2
arcsinx
10
=arcsin(1－)，
1
=lim
0
1
0
1
dxx2
=limarcsin(1－)=
0
． 2
例6 当p>0时，时发散．
证明 当p=1，
dx
是以x=0为暇点的暇积分．证明它在0
1
dx 1dx 1
==－ln(>0)， (lnx) xx 1dxdx
=lim=lim[－ln]=+. x0 x0
1
当p>0，p1，
1
dxx1p
=x1p
1
1
1(1－ 1－p).
1p
1dxdx1(1－ 1－p)=1；
==limlim 0xp0 xp01p1p 1dx 1dx1(1－ 1－p)= +．
若p1，则1－p
1dx1，当p1时发散
所以p当0
0x若p0，
练习5－4
1. 下面的运算对吗？ (1)因为f(x)=
xx
2
是(－，+)内的奇函数，所以
xx
2
=0；
(2)
1
1 1xx12
()dxdxdxlimlnAlimln(1B)ln2， 1x 11x2AB2x1x2
1 x1x
， 均发散，所以(dx 1x1x2)dx发散； 1 1
x1x2
2 2dx33
(x1)3(1－1)=0．
2 012
由于 (3)
2 02. 计算下列广义积分：
1 0 11 (1)； (2)； (3)dxdx． 1
1xx2x22x2
§5—4 广义积分
一、无穷区间上的广义积分
11
为曲顶、[，A]为底的
2x2
单曲边梯形的面积S(A)，则是一个典型的定积分问题，
A11
S(A)=12dx=2－．
Ax
例1 如图，若求以y=
现在若要求由x=
11， y=2和x轴所“界定”的区
2x2
1 域的“面积”S，则因为面积累积区域是[，+]，它已 2
经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S(A)，即定积分的极限来得到S：
A11
S=lim12dxlimS(A)lim(2)=2．
AxAAA
定义1 设函数f(x)在 [a，+)内有定义，对任意A[a，+)，f(x)在[a，A]上可积(即定积分
A a
f(x)dx存在)，称极限lim
A a
A
f(x)dx为函数f(x)在[a，+)上的无穷区间广义积
分(简称无穷积分)，记作
a
f(x)dx，即
A
a
f(x)dx=lim
A a
f(x)dx． (1)
若(1)右边的极限存在，则称无穷积分
a
f(x)dx收敛；否则就称为发散．
例1的问题可以用无穷积分表示为S=1 同样可以定义
1
dx，而且这个无穷积分是收敛的． 2x
f(x)dxlim f(x)dx=lim
b
A A
a
b
f(x)dx (极限号下的积分存在
);
A
Af(x)dxlim
B a
B
f(x)dx (2)
(两个极限号下的积分都存在，a(－，+))
他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．
2 11 1
例2 计算无穷广义积分：(1)xexdx；(2)；(3)dxdx． 3 0
x1x2
22 A1 A212 A1
解 (1)xexdx=－exd(x2)=－ex 0(eA1)，
222 0
(2)
0
1
xexdx=lim
2
A
1 A
0
A
xexdx=－
2
21
lim(eA1)=1. 2A2
11
dx23 Ax2x11
，
22A2
111111
limlim==()=－； dxdx x32A Ax3A22A2
B 0 B111 (3)dxdxdx=arctanA+arctanB， A A 0
1x21x21x2
B 0111
limlim =+dxdxdx 222 A 0AB1x1x1x
1
=limarctanA+limarctanB=
A
B
B
+=． 22
在(3)中我们取0来分割 例3 证明：无穷积分 证明 （１）当p=1， 所以
1
1
为两个积分，取任意a(－，+)分割会改变结果吗？
A1x2
dx
，(p>0)，当p>1时收敛；当0
A
1
Adxdxlnxxp 1x
=lnA，
1
dxx=lim
A
1
A
dx
=limlnA=+， xA
1
dx
发散； x
A
（２）当p>0，p1时，
1
dxx1p A1(A 1－p－1)，
()
1 11xA
（３）若0
0，所以lim发散；
（４）若p>1，则1－p
1
A
dx1lim(A 1－p－1)= +，即 dx= 1xp
xA
A
1
A
dx1lim(A 1－p－1)=1，即 dx= 1x1pAp1
dx1． =
1
xpp1 dx
综合可知当p>1时收敛于1；当0
xp1
二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y=
1为曲顶、[，2](>0)为底的单曲边梯形的面积S()，这是一
个典型的定积分问题，
212
S()==2(2)． dx(2)
1
现在若要求由x=2， y=，x轴和y轴所“界定”的区域
1
的“面积”S，则因为函数y=在x=0处无定义，且在(0，2)无
界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S()，
即定积分的极限来得到S：
S=lim
2
0
1
dxlimS()lim2(2)22． 2
00x
xa
b
定义2 设函数f(x)在(a，b]上定义，limf(x)=；对任意 (b－a>>0)，f(x)在[a+， b]上可积，即界函数f(x)在(a，b]上的广义积分，即
f(x)dx存在，则称极限lim
a
0
af(x)dx为无
b
b
a
f(x)dx=lim
0
af(x)dx (3)
b a
b
若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分 例4的“面积”S可以表示成S= 无界函数广义积分
b
2
f(x)dx收敛，否则为发散．
1
dx，而且无界函数广义积分收敛于22． 2 0x
a
f(x)dx也称为暇积分，且称使f(x)的极限为无穷的那个点a为暇
点．
暇点也可以是区间的右端点b或[a，b]中间点，并且可以类似于(1)定义暇积分：
b
a
f(x)dx=lim
0
a a
b-
f(x)dx
(b为暇点，极限号下的积分存在)，
af(x)dx=lim
10
b
c-1
f(x)dx+lim
20
c
b
f(x)dx (4)
2
(c(a，b)为暇点，两个极限号下的积分都存在)．
这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)
1
dxx
2
．
解 这是一个以x=1为暇点的暇积分．
1
dxxdxx2
2
arcsinx
10
=arcsin(1－)，
1
=lim
0
1
0
1
dxx2
=limarcsin(1－)=
0
． 2
例6 当p>0时，时发散．
证明 当p=1，
dx
是以x=0为暇点的暇积分．证明它在0
1
dx 1dx 1
==－ln(>0)， (lnx) xx 1dxdx
=lim=lim[－ln]=+. x0 x0
1
当p>0，p1，
1
dxx1p
=x1p
1
1
1(1－ 1－p).
1p
1dxdx1(1－ 1－p)=1；
==limlim 0xp0 xp01p1p 1dx 1dx1(1－ 1－p)= +．
若p1，则1－p
1dx1，当p1时发散
所以p当0
0x若p0，
练习5－4
1. 下面的运算对吗？ (1)因为f(x)=
xx
2
是(－，+)内的奇函数，所以
xx
2
=0；
(2)
1
1 1xx12
()dxdxdxlimlnAlimln(1B)ln2， 1x 11x2AB2x1x2
1 x1x
， 均发散，所以(dx 1x1x2)dx发散； 1 1
x1x2
2 2dx33
(x1)3(1－1)=0．
2 012
由于 (3)
2 02. 计算下列广义积分：
1 0 11 (1)； (2)； (3)dxdx． 1
1xx2x22x2