须要求博弈方互相认识彼此的决策行为，即每个参与者都能预见其他参与者的均衡策略。当一个博弈中的参与者达到纳什均衡状态时，任何一个参与者都不能独自的改变本身的策略行为以增大自身的收益而不影响其他参与者的策略行为。因此，纳什均衡表示的是博弈的稳态性，一旦达到纳什均衡状态，表明该博弈各个参与者之间达到均衡状态，不再进行策略行为的选择。而纳什均衡也存在不足之处，纳什均衡的状态并不一定是唯一的，在有些实际问题中会存在多个纳什均衡。
2.2.6 帕累托最优
帕累托最优(Pareto Optimality)，也称为帕累托效率(Pareto Efficiency, PE)。这个概念是由
意大利经济学家维弗雷多·帕累托在关于经济效率和收入分配的一篇论文中提出，在经济学、
工程学和社会科学中有着广泛的应用。帕累托最优是博弈论中非常重要的概念，指的是资源
分配的一种最优的状态，在不使任何参与者情况变坏的情况下，不可能再使某些参与者的处
境变好。
在一个基本的博弈 { }
1 1
, , ; , ,
n n
G = s s u u中，由每个博弈方的策略行为组成的策略集合
( )
1 1
1
, ,
n
s s ，如果不存在任何的策略行为集合
( )
2
1 2
, ,
n
s s 使得：
( ) ( )
2 2 1 1
1 1
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U s s ≥ U s s i ∈ N（2.2）
则称策略集合
( )
1 1
1
, ,
n
s s 为该博弈的帕累托最优。
当在某个博弈中，博弈参与者达到帕累托最优状态后，不可能再有更多的帕累托改进的
余地，帕累托最优是公平与效率的“理想王国”。与纳什均衡不同的是，帕累托最优是从合作的角度出发，各博弈参与者互相交换各自的信息，从而获得整体最优的效益；而纳什均衡只是表示一种均衡状态，各博弈参与者只从自己的角度出发，选择自己的最优行策略，而并不考虑其他参与者策略行为的选择，是一种自私的行为策略选择。由此可见，纳什均衡只是博弈参与者达到平衡的一种状态，而并不是一种帕累托最优，不是一种完美的结局。
2.2.7 超模博弈
托普基斯(Topkis)在 1979 年提出了超模博弈模型(Supermodel Games)思[23] ，指出若博弈参与者的效益函数是超模的，则该博弈过程为超模博弈。超模博弈的定义：如果任意两个博弈参与者
i
a 和
j
a ，
i j
a ≥ a，他们的效用函数满足南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 功率控制技术及博弈论
18
参与者的效率、公平和公正。研究的是博弈参与者通过合作的方式在一定的约束条件下如何分配所获得收益，合作博弈论也可称为联盟博弈，其存在的两个基本条件是：
（1）通过联盟的方式，系统所获得收益多于参与者单独所获得的收益和。
（2）在联盟内部，应存在具有帕累托改进性质的分配规则，即每个参与者都能获得比不加入联盟时多一些的收益。
合作博弈所包含的本身特性决定了这两个基本条件是否可以顺利满足并实现，即在联盟结构中各参与者的信息是可以互换的，必须遵循共同的约束协议。而在非合作博弈模型中，每个参与者单独选择策略行为，并不遵循保证整体效用的共同准则。合作博弈按照合作之后的收益变化可分为本质性的合作和非本质性的合作，若合作之后各博弈参与者及整体的收益有所增加，则此合作博弈是本质性的，即合作后该联盟存在净增收益；若合作之后各博弈参与者及整体的收益并没有增加反而下降，则此合作博弈为非本质性的。合作博弈与非合作博弈区别主要在于合作博弈是研究各参与者达成合作时如何分配合作
所得到的收益，即收益分配问题。而非合作博弈是研究参与者在利益相互影响的情况下如何选择策略行为使自己的收益最大，即策略行为选择问题。合作博弈强调的是联盟内部各参与者之间的信息互通，只有通过各参与者之间信息的互相交换，合作才可进行。
2.2.5 纳什均衡
在经济学中，均衡指的是各相关变量处于稳定状态。在博弈论中，可以通过均衡来判定博弈的稳态性，也可以判定算法是否收敛。约翰纳什在 20 世纪 50 年代发表了两篇关于非合作博弈的文章[22]，对均衡解的思想作了阐述，并提供了证明均衡解存在性和唯一性的依据，即纳什均衡(Nash Equilibrium, NE)。纳什均衡是判定非合作博弈是否达到稳定状态的重要依据，奠定了现代博弈论发展的基础。在一个基本的博弈 { }
1 1
, , ; , ,
n n
G = s s u u中，由每个博弈方的策略行为组成的策略集合
( )
1
, ,
n
s s
，若任一博弈方的策略行为
i
s
都是其他博弈方策略集合
( )
1 1 1
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+
的最佳策略行为，即
( ) ( )
* * * * * * *
1 1 1 1 1 1
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i i i i n i i ij i n
u s s s s s u s s s s s
+ +
≥ （2.1）
对
ij i
s ∈ s都成立，则可认为 ( )
* *
1
, ,
n
s s 为基本博弈 G 的一个“纳什均衡”。由上可以看出，纳什均衡是所有博弈方的最优策略行为集合，此时的每一个博弈参与者的策略行为都是对其他参与者策略行为的最优反应，达到平衡的状态。要实现纳什均衡，必17
2.2.4 博弈论的分类
实际中可从不同的方面对博弈进行划分，比如依据博弈参与者的数量多少，可分为双人博弈和多人博弈；依据博弈参与者选择决策行为的先后顺序，可分为动态博弈(Dynamic Game)和静态博弈(Static Game)；依据博弈参与者对其他参与者所了解信息的多少，可分为完全信息博弈(Game with Complete Information)和不完全信息博弈(GamewithIncomplete Information)；依据博弈参与者相互的合作关系，可分为非合作博弈(Non-Cooperative Game Theory)和合作博弈(Cooperative Game Theory)。如表 2.1 所示表示了常见的博弈分类。 表 2.1 博弈的分类
分类依据 博弈类型
参与者数量 双人博弈；多人博弈
博弈次序 动态博弈；静态博弈
参与者信息 完全信息博弈；不完全信息博弈
合作关系 非合作博弈；合作博弈近年来博弈论的主要研究方向为非合作博弈及合作博弈。在非合作博弈中，根据博弈参与者的行为次序及在博弈中所获信息的不同，可将非合作博弈划分为：完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全信息动态博弈和不完全信息动态博弈。其中，完全信息静态博弈是由纳什提出的，对应的均衡即为纳什均衡；不完全信息静态博弈由海萨尼在 1967 年提出，在对其他博弈参与者类型进行预测时，需采用贝叶斯法则，因此对应的均衡为贝叶斯纳什均衡；赛尔顿在 1965 年提出了完全信息动态博弈，将完整博弈划分成若干个子博弈，所对应的均衡为子博弈精炼纳什均衡；不完全信息动态博弈由赛尔顿在 1975 年提出，所对应的均衡为精炼贝叶斯纳什均衡。如表 2.2 所示。 表 2.2 博弈按参与者信息的分类
时间次序信息静态 动态完全信息 约翰纳什纳什均衡赛尔顿子博弈精炼纳什均衡不完全信息 海萨尼贝叶斯纳什均衡赛尔顿精炼贝叶斯纳什均衡在合作博弈中，每个博弈参与者采取的是一种合作的方式，或者说是一种妥协，目的是通过合作的方式使得每个博弈参与者及整个系统的收益都达到最优。合作博弈注重的是整体南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 功率控制技术及博弈论的值单调不减，即：
（2.3）
则称该博弈模型为超模的。由托普基斯的不动点定理可以得知纳什均衡的存在性，即超模博弈至少最在一个纳什均衡点。而一个超模博弈中的所有均衡点构成一个格，若其中一对均衡点已知，则其他纳什均衡点可通过计算得出。超模博弈的概念在博弈论中非常重要，在超模博弈中，每个博弈方增加其策略行为所引起的边
际效用随着其他博弈方策略行为的递增而增加。在博弈中，对最优反应的反应是递增的，所以博弈参与者的策略行为是“策略互补”的。当有两个博弈方参与时，对变量进行变化以后也可以采用超模博弈模型进行分析递减的最优反应的情况。
2.3 本章小结
功率控制技术作为认知无线电的关键技术，在保证接收端信干比的前提下，尽可能的降低每个认知用户的发射功率，减少系统间的相互干扰，使系统容量最大化。通过功率控制技术，使得网络中用户间的相互干扰达到最小，而且降低了终端的能源消耗。本章首先介绍介绍了功率技术的分类，包括开环、闭环功率控制及集中式、分布式功率控制技术等。然后，详细阐述了博弈论的基本知识，包括博弈论的基本概念、分类及基本模型，并介绍了博弈论中的重要理论：纳什均衡及帕累托最优，为研究基于博弈的认知无线电功率控制技术奠定了理论基础。 博弈论包含自身的博弈模型，其中，一个完整的博弈模型包含 3 个基本组成部分，即博弈参与方(Player)、策略行为集合(Strategy set)及效用函数(Utility Function, UF)。由此，可以从5 个方面来对博弈论的基本模型做详细的描述，即 G={P,A,S,I,U}。
（1）P(player)，博弈的参与者，也可称为“局中人”“博弈方”，是指在博弈中独立决策、独立承担后果，并且使自身利益达到最好来选择策略行为的决策主体。其中，博弈的参与者可以是个人也可以是团体组织。无论参与者是个人还是团体，一旦参与博弈，各参与方互相平等，都必须按照一定的博弈规则确定自己的策略行为。
（2）A(action)，所有博弈参与者的策略行为组成部分。指在博弈过程中，每个参与者在与其他参与者进行博弈时，可选择的行为策略。对于博弈局中人来说，在不同的博弈过程中可以选择的策略行为是不同的，即使同属于一个博弈过程中，可选择的策略行为也是不同的，可能是一种或是多种，甚至无限多种。
（3）S(strategies)，博弈的次序。在实际的许许多多博弈决策中，当有许多博弈局中人需要进行决策行为时，有时这些博弈参与者需要在同一时间做出决策行为，以保证博弈方的公平性，而有时博弈参与者的决策行为要有不同的先后顺序，而且有的博弈参与者需要做出多次决策行为。因此，在博弈中，需要定义博弈参与者之间的次序，如果两个博弈仅仅次序不同，那么他们是不同的博弈。
（4）I(information)，博弈信息。在博弈中，信息的掌握对于博弈方非常重要，信息掌握的越多，博弈参与者的决策行为就越准确。因此，博弈参与者应尽可能的掌握更多的博弈信息，在博弈选择决策行为时更为主动，从而确保决策行为的准确性。
（5）U(utility)，博弈参与者的效用，又称为收益。是指博弈参与者选择策略行为后所获得的收益，对于每个博弈参与者来说是其策略行为的函数，是参与者最注重的，比如消费者所获得的收益、厂家所获得的利润。通常判断博弈结果的好坏是通过各博弈参与者数量关系的比较得出的，况且研究的大部分博弈模型，都包含着一定的数量关系。因此，可以采用包含博弈参与者策略行为的效用函数来表示博弈参与者的收益情况。在研究博弈问题时，当确定好以上五项的基本概念时，该博弈问题就可得到量化，将实际问题转化为数量关系模型。博弈论的基本思想就是运用以上五个方面，对每个博弈进行分析，以找到每个博弈参与者最优的策略行为。
须要求博弈方互相认识彼此的决策行为，即每个参与者都能预见其他参与者的均衡策略。当一个博弈中的参与者达到纳什均衡状态时，任何一个参与者都不能独自的改变本身的策略行为以增大自身的收益而不影响其他参与者的策略行为。因此，纳什均衡表示的是博弈的稳态性，一旦达到纳什均衡状态，表明该博弈各个参与者之间达到均衡状态，不再进行策略行为的选择。而纳什均衡也存在不足之处，纳什均衡的状态并不一定是唯一的，在有些实际问题中会存在多个纳什均衡。
2.2.6 帕累托最优
帕累托最优(Pareto Optimality)，也称为帕累托效率(Pareto Efficiency, PE)。这个概念是由
意大利经济学家维弗雷多·帕累托在关于经济效率和收入分配的一篇论文中提出，在经济学、
工程学和社会科学中有着广泛的应用。帕累托最优是博弈论中非常重要的概念，指的是资源
分配的一种最优的状态，在不使任何参与者情况变坏的情况下，不可能再使某些参与者的处
境变好。
在一个基本的博弈 { }
1 1
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当在某个博弈中，博弈参与者达到帕累托最优状态后，不可能再有更多的帕累托改进的
余地，帕累托最优是公平与效率的“理想王国”。与纳什均衡不同的是，帕累托最优是从合作的角度出发，各博弈参与者互相交换各自的信息，从而获得整体最优的效益；而纳什均衡只是表示一种均衡状态，各博弈参与者只从自己的角度出发，选择自己的最优行策略，而并不考虑其他参与者策略行为的选择，是一种自私的行为策略选择。由此可见，纳什均衡只是博弈参与者达到平衡的一种状态，而并不是一种帕累托最优，不是一种完美的结局。
2.2.7 超模博弈
托普基斯(Topkis)在 1979 年提出了超模博弈模型(Supermodel Games)思[23] ，指出若博弈参与者的效益函数是超模的，则该博弈过程为超模博弈。超模博弈的定义：如果任意两个博弈参与者
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18
参与者的效率、公平和公正。研究的是博弈参与者通过合作的方式在一定的约束条件下如何分配所获得收益，合作博弈论也可称为联盟博弈，其存在的两个基本条件是：
（1）通过联盟的方式，系统所获得收益多于参与者单独所获得的收益和。
（2）在联盟内部，应存在具有帕累托改进性质的分配规则，即每个参与者都能获得比不加入联盟时多一些的收益。
合作博弈所包含的本身特性决定了这两个基本条件是否可以顺利满足并实现，即在联盟结构中各参与者的信息是可以互换的，必须遵循共同的约束协议。而在非合作博弈模型中，每个参与者单独选择策略行为，并不遵循保证整体效用的共同准则。合作博弈按照合作之后的收益变化可分为本质性的合作和非本质性的合作，若合作之后各博弈参与者及整体的收益有所增加，则此合作博弈是本质性的，即合作后该联盟存在净增收益；若合作之后各博弈参与者及整体的收益并没有增加反而下降，则此合作博弈为非本质性的。合作博弈与非合作博弈区别主要在于合作博弈是研究各参与者达成合作时如何分配合作
所得到的收益，即收益分配问题。而非合作博弈是研究参与者在利益相互影响的情况下如何选择策略行为使自己的收益最大，即策略行为选择问题。合作博弈强调的是联盟内部各参与者之间的信息互通，只有通过各参与者之间信息的互相交换，合作才可进行。
2.2.5 纳什均衡
在经济学中，均衡指的是各相关变量处于稳定状态。在博弈论中，可以通过均衡来判定博弈的稳态性，也可以判定算法是否收敛。约翰纳什在 20 世纪 50 年代发表了两篇关于非合作博弈的文章[22]，对均衡解的思想作了阐述，并提供了证明均衡解存在性和唯一性的依据，即纳什均衡(Nash Equilibrium, NE)。纳什均衡是判定非合作博弈是否达到稳定状态的重要依据，奠定了现代博弈论发展的基础。在一个基本的博弈 { }
1 1
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2.2.4 博弈论的分类
实际中可从不同的方面对博弈进行划分，比如依据博弈参与者的数量多少，可分为双人博弈和多人博弈；依据博弈参与者选择决策行为的先后顺序，可分为动态博弈(Dynamic Game)和静态博弈(Static Game)；依据博弈参与者对其他参与者所了解信息的多少，可分为完全信息博弈(Game with Complete Information)和不完全信息博弈(GamewithIncomplete Information)；依据博弈参与者相互的合作关系，可分为非合作博弈(Non-Cooperative Game Theory)和合作博弈(Cooperative Game Theory)。如表 2.1 所示表示了常见的博弈分类。 表 2.1 博弈的分类
分类依据 博弈类型
参与者数量 双人博弈；多人博弈
博弈次序 动态博弈；静态博弈
参与者信息 完全信息博弈；不完全信息博弈
合作关系 非合作博弈；合作博弈近年来博弈论的主要研究方向为非合作博弈及合作博弈。在非合作博弈中，根据博弈参与者的行为次序及在博弈中所获信息的不同，可将非合作博弈划分为：完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全信息动态博弈和不完全信息动态博弈。其中，完全信息静态博弈是由纳什提出的，对应的均衡即为纳什均衡；不完全信息静态博弈由海萨尼在 1967 年提出，在对其他博弈参与者类型进行预测时，需采用贝叶斯法则，因此对应的均衡为贝叶斯纳什均衡；赛尔顿在 1965 年提出了完全信息动态博弈，将完整博弈划分成若干个子博弈，所对应的均衡为子博弈精炼纳什均衡；不完全信息动态博弈由赛尔顿在 1975 年提出，所对应的均衡为精炼贝叶斯纳什均衡。如表 2.2 所示。 表 2.2 博弈按参与者信息的分类
时间次序信息静态 动态完全信息 约翰纳什纳什均衡赛尔顿子博弈精炼纳什均衡不完全信息 海萨尼贝叶斯纳什均衡赛尔顿精炼贝叶斯纳什均衡在合作博弈中，每个博弈参与者采取的是一种合作的方式，或者说是一种妥协，目的是通过合作的方式使得每个博弈参与者及整个系统的收益都达到最优。合作博弈注重的是整体南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 功率控制技术及博弈论的值单调不减，即：
（2.3）
则称该博弈模型为超模的。由托普基斯的不动点定理可以得知纳什均衡的存在性，即超模博弈至少最在一个纳什均衡点。而一个超模博弈中的所有均衡点构成一个格，若其中一对均衡点已知，则其他纳什均衡点可通过计算得出。超模博弈的概念在博弈论中非常重要，在超模博弈中，每个博弈方增加其策略行为所引起的边
际效用随着其他博弈方策略行为的递增而增加。在博弈中，对最优反应的反应是递增的，所以博弈参与者的策略行为是“策略互补”的。当有两个博弈方参与时，对变量进行变化以后也可以采用超模博弈模型进行分析递减的最优反应的情况。
2.3 本章小结
功率控制技术作为认知无线电的关键技术，在保证接收端信干比的前提下，尽可能的降低每个认知用户的发射功率，减少系统间的相互干扰，使系统容量最大化。通过功率控制技术，使得网络中用户间的相互干扰达到最小，而且降低了终端的能源消耗。本章首先介绍介绍了功率技术的分类，包括开环、闭环功率控制及集中式、分布式功率控制技术等。然后，详细阐述了博弈论的基本知识，包括博弈论的基本概念、分类及基本模型，并介绍了博弈论中的重要理论：纳什均衡及帕累托最优，为研究基于博弈的认知无线电功率控制技术奠定了理论基础。 博弈论包含自身的博弈模型，其中，一个完整的博弈模型包含 3 个基本组成部分，即博弈参与方(Player)、策略行为集合(Strategy set)及效用函数(Utility Function, UF)。由此，可以从5 个方面来对博弈论的基本模型做详细的描述，即 G={P,A,S,I,U}。
（1）P(player)，博弈的参与者，也可称为“局中人”“博弈方”，是指在博弈中独立决策、独立承担后果，并且使自身利益达到最好来选择策略行为的决策主体。其中，博弈的参与者可以是个人也可以是团体组织。无论参与者是个人还是团体，一旦参与博弈，各参与方互相平等，都必须按照一定的博弈规则确定自己的策略行为。
（2）A(action)，所有博弈参与者的策略行为组成部分。指在博弈过程中，每个参与者在与其他参与者进行博弈时，可选择的行为策略。对于博弈局中人来说，在不同的博弈过程中可以选择的策略行为是不同的，即使同属于一个博弈过程中，可选择的策略行为也是不同的，可能是一种或是多种，甚至无限多种。
（3）S(strategies)，博弈的次序。在实际的许许多多博弈决策中，当有许多博弈局中人需要进行决策行为时，有时这些博弈参与者需要在同一时间做出决策行为，以保证博弈方的公平性，而有时博弈参与者的决策行为要有不同的先后顺序，而且有的博弈参与者需要做出多次决策行为。因此，在博弈中，需要定义博弈参与者之间的次序，如果两个博弈仅仅次序不同，那么他们是不同的博弈。
（4）I(information)，博弈信息。在博弈中，信息的掌握对于博弈方非常重要，信息掌握的越多，博弈参与者的决策行为就越准确。因此，博弈参与者应尽可能的掌握更多的博弈信息，在博弈选择决策行为时更为主动，从而确保决策行为的准确性。
（5）U(utility)，博弈参与者的效用，又称为收益。是指博弈参与者选择策略行为后所获得的收益，对于每个博弈参与者来说是其策略行为的函数，是参与者最注重的，比如消费者所获得的收益、厂家所获得的利润。通常判断博弈结果的好坏是通过各博弈参与者数量关系的比较得出的，况且研究的大部分博弈模型，都包含着一定的数量关系。因此，可以采用包含博弈参与者策略行为的效用函数来表示博弈参与者的收益情况。在研究博弈问题时，当确定好以上五项的基本概念时，该博弈问题就可得到量化，将实际问题转化为数量关系模型。博弈论的基本思想就是运用以上五个方面，对每个博弈进行分析，以找到每个博弈参与者最优的策略行为。