第19卷第6期
2003年12月大 学 数 学COLLEGE M ATHEMAT ICS Vol . 19, №. 6Dec. 2003
运筹学教学与数学建模
王定江
(浙江工业大学应用数学系, 杭州310032)
[摘 要]根据从事《运筹学》教学的体会, 论述了运筹学教学与数学建模教育的关系, 并介绍了教学的一些做法.
[关键词]运筹学; 数学建模
[中图分类号]O 22 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2003) 06-0049-03
1 引 言
当今数学的应用越来越广, 它已经不声不响地向很多学科的纵深处渗透. 不但在物理和工程技术中大量应用数学, 而且在工业规划、经济学、医学、生物、化学、农林以至在哲学和语言学等许多学科的问题中都应用数学. 随着世界经济全球化和高科技的发展, 数学应用的范畴和深度必将空前扩展. 充分发挥数学的作用必将大大加快我国社会现代化的进程.
为适应世界经济全球化, 提高我国的综合国力, 我国大学数学教育的改革正在取得明显的成绩. 人们的数学应用意识不断增强, 也认识到了数学教学中增强学生的数学意识和创新意识的重要性. 如在课程体系的改革上, 许多大学的应用数学系以及很多工学院、管理学院、经贸学院等许多专业都开设了《运筹学》等应用性学科. 开设应用性学科是一项很好的措施, 但我认为更重要的是教师在教学中要大力培养学生的数学意识、创新意识和应用意识. 目前数学建模教育在这方面起的作用越来越受到人们的重视. 本文根据自己的教学体会粗浅地谈一下在《运筹学》教学中怎样突出数学建模教育的思想, 并介绍自己的一些做法.
2 运筹学的特点及意义
运筹学是二十世纪新兴的一门应用学科. 最早起源于第二次世界大战, 但它的思想和方法在社会各方面的广泛应用使用该学科得到了很快的发展. 美国及许多西方国家的大学都设有运筹学系. 近年来, 运筹学作为一门学科, 在理论和应用方面, 无论就广度和深度来说都发展很快. 它的主要特点可归结为下面五个:
一是数学方法的大量引进. 运筹学是一门以数学为主要工具、寻求各种实际问题最优方案的学科, 它“为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时, 提供以数量化为基础的科学方法”. [1]它强调以量化为基础, 主要使用数学方法.
二是系统性. 运筹学研究问题是从系统的观点出发, 用科学的方法去了解和解释运行系统的现象, 主要研究对象就是这些系统, 研究全局性的问题和综合优化的规律.
三是实际应用性. 运筹学主要解决实际中提出的专门问题, 为管理者选择最优决策提供定量依据, 并根据实际情况检验这些结果, 进行灵敏度分析, 以便更好地应用于实际.
[
50大 学 数 学 第19卷四是多学科交叉性. 运筹学广泛应用现有的科学技术知识和方法, 为人们提供最优决策服务. 它综合运用经济学、心理学、物理学、化学、计算机科学和工程技术等学科的理论及方法, 既提供量化因素, 也进行定性分析.
五是理论与应用的发展相互促进. 运筹学的各个分支学科, 基本都是以实际问题为背景或直接由实际问题的需要逐渐发展起来的. 因此, 其理论在更广泛的应用中不断发展完善, 新的理论与方法不断出现, 从而就不断地开拓出新的应用领域.
运筹学的应用目前几乎涉及到社会的各个方面. 除在产品的市场销售、生产计划的制定、物资的库存管理、运输问题、设备更新、工程的优化设计、城市管理、财政与会计、人事管理、计算机信息系统、军事等重要领域有广泛系统的应用以外, 在建筑、纺织、水利、邮电、科学研究、工农业及农林医等方面不断地得到应用. 运筹学从第二次世界大战起源到在海湾战争中的成功使用(海湾战争中美国军方为了调度庞大的多国军事力量和后勤系统, 求解了一个有几百万个变量的线性规划问题). 充分显示了强大的生命力. 也说明学习、研究运筹学不但有重要的理论意义同时也有重要的实际意义.
3 数学建模与运筹学
“数学模型是由数字、字母和数学符号组成的描述对象数量规律的公式、图表或者程序”. 数学建模主要是使用数学知识来解决实际问题, 当人们设计产品参数、规划交通网络、制定生产计划、控制工艺过程、预报经济增长、确定投资方案时, 都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来, 并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去, 这种解决问题的全过程就称为数学建模. 在决策科学化、定量化的呼声日渐高涨的今天, 数学建模几乎是无处不在.
数学建模在当代数学中处于重要的突出地位, 因为当代数学的应用比以往要广泛得多, 数学所研究的问题更多地来自实际, 因此, 建模对数学本身的发展起着更本质的作用. 另一方面, 当代数学的应用有相当多的情形和计算机技术结合在一起, 通过给出所需要的数值解达到应用的目的. 因此建立数学模型已成为数学研究的主要目标之一. 在应用数学里, 模型在表达问题的本质方面具有最突出的作用, 它将实验的无序状态转换成明确的数学问题, 所以有“数学是关于模式和秩序的科学”的说法. 因此, 1994～1998年度世界数学联盟主席M umford D . 在1998年世界数学家大会上论述现代数学的趋势时
[2]说:“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义. 我想, 承认这一点, 数学会从中受益. ”在数学教
学中, 建模的初步训练应该作为数学的重要教学内容之一. 这样, 一方面可以使学生在数学学习中受到创造性训练, 另一方面可增强学生的应用意识和创新意识, 从而提高解决实际问题的能力.
从运筹学的特点、意义和研究内容可以看到, 运筹学在解决问题时, 按研究对象的不同讨论不同的模型. 研究的模型有确定性模型和随机性模型, 线性规划与目标规划, 整数规划, 非线性规划与网络分析中的模型基本属于确定性模型; 动态规划、排队论、存储论、对策论与决策论中的模型大多属于随机性模型. 运筹学在解决大量实际问题过程中形成了自己的工作步骤:(1) 提出和形成问题; (2) 建立模型;
(3) 求解; (4) 解的检验; (5) 解的控制; (6) 解的实施. 从步骤中可知, 根据问题的实际, 把问题中的可控决策变量、参数目标与约束函数之间的关系用一定的模型表示出来即建立问题的数学模型是关键的一步. 因此从一定意义上说, 数学建模属于运筹学的一部分, 所以在运筹学的教学中要注意突出数学建模的思想, 增强学生的数学应用意识是我们需要关注的重要问题.
4 教学中的一些做法
在大学生中开展数学建模教育可以总结出下面几方面的作用:一是可以确立学生面向实际的观念, 树立数学的应用意识; 二是可以培养学生良好的数学观和方法论; 三是可以培养学生的观察力、想象力、创造力和全面考虑问题的能力; 四是可以培养学生的交流表述能力和团结协作的团队精神; 五是可以促
第6期 王定江:运筹学教学与数学建模51数学建模教育的重要作用促使每一位大学数学教师在教学中要树立较强的数学应用意识, 特别在应用数学课程的教学中更应如此. 我在运筹学的教学中, 特别注意实际问题的数学描述, 一方面注意将实际问题准确地描述为数学问题, 另一方面又特别注意将纯粹的数学问题尽可能地转换成学生感兴趣的实际问题, 以增强学生学习的积极性. 例如对于带约束的整数规划问题:max f =4x +5y +6z , 3x +4y +5z ≤10, x , y , z ≥0(i =1, 2, 3) , 且为整数. 在讲解时, 不要先单纯地讲求解方法, 而是先转化成这样类似的问题:“现在假如给你一个能装物品最大重量为10千克的背包, 现有三种物品可供选择, 第一种物品每件重3千克, 每件价值4元; 第二件物品每件重4千克, 每件价值5元; 第三件物品每件重5千克, 每件价价值6元. 问你应如何选择装进背包的物品而使总价值最大? ”这问题的模型就是上述整数规划问题, 这样激发起学生兴趣后再讲求解方法.
在教学过程中, 为了系统地锻炼学生应用运筹学的方法解决实际问题的能力, 我根据讲过的内容安排了一次课堂设计, 精心搜集了一些有实际意义的题目, 布置给学生作为一项必须完成的课程设计, 按照大学生数学建模竞赛的要求模式向学生提出明确要求, 给学生提供上机的条件, 在两周时间内完成, 并给学生打出成绩等级. 通过实践, 取得了很好的教学效果. [3]
5 结束语
以上通过个人的教学体会粗浅地谈了运筹学的特点、意义及大学数学建模教育的作用和必要性, 同时简单介绍了自己教学中的一些做法. 迫切希望得到更多同行的参与和讨论, 以便为数学的教学改革及发展贡献自己的力量.
[参 考 文 献]
[1] M orse P M , Br ouw A A . Sy stems A naly sis and O perations Research tool fo r policy and planning for dev eloping
countries[M ]. N ational A cademy of Sciences, 1976.
[2] 数学的趋势——选择我们各自的方向[J]. 中国数学会通讯, 1998, (4) :12-16.
[3] 运筹学教材编写组. 运筹学[M ].北京:清华大学出版社, 1990, 237.
The Teaching of Operations Research and Mathematical Model ling
W A N G Ding -j iang
(D epartment of A pplied mathematics, Zhejiang U niv ersity of T echnolog y, Hang zhou 310032, China )
Abstract :T his paper according to my teaching ex per ience about Oper ations Resear ch, w e discussed the r elation betw een the Oper ations Research teaching and mathematical m odeling education , and introduced a few pr act ice about m y per sonal ex perience.
Key words :O perations Resear ch, M athem at ical M odelling
第19卷第6期
2003年12月大 学 数 学COLLEGE M ATHEMAT ICS Vol . 19, №. 6Dec. 2003
运筹学教学与数学建模
王定江
(浙江工业大学应用数学系, 杭州310032)
[摘 要]根据从事《运筹学》教学的体会, 论述了运筹学教学与数学建模教育的关系, 并介绍了教学的一些做法.
[关键词]运筹学; 数学建模
[中图分类号]O 22 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2003) 06-0049-03
1 引 言
当今数学的应用越来越广, 它已经不声不响地向很多学科的纵深处渗透. 不但在物理和工程技术中大量应用数学, 而且在工业规划、经济学、医学、生物、化学、农林以至在哲学和语言学等许多学科的问题中都应用数学. 随着世界经济全球化和高科技的发展, 数学应用的范畴和深度必将空前扩展. 充分发挥数学的作用必将大大加快我国社会现代化的进程.
为适应世界经济全球化, 提高我国的综合国力, 我国大学数学教育的改革正在取得明显的成绩. 人们的数学应用意识不断增强, 也认识到了数学教学中增强学生的数学意识和创新意识的重要性. 如在课程体系的改革上, 许多大学的应用数学系以及很多工学院、管理学院、经贸学院等许多专业都开设了《运筹学》等应用性学科. 开设应用性学科是一项很好的措施, 但我认为更重要的是教师在教学中要大力培养学生的数学意识、创新意识和应用意识. 目前数学建模教育在这方面起的作用越来越受到人们的重视. 本文根据自己的教学体会粗浅地谈一下在《运筹学》教学中怎样突出数学建模教育的思想, 并介绍自己的一些做法.
2 运筹学的特点及意义
运筹学是二十世纪新兴的一门应用学科. 最早起源于第二次世界大战, 但它的思想和方法在社会各方面的广泛应用使用该学科得到了很快的发展. 美国及许多西方国家的大学都设有运筹学系. 近年来, 运筹学作为一门学科, 在理论和应用方面, 无论就广度和深度来说都发展很快. 它的主要特点可归结为下面五个:
一是数学方法的大量引进. 运筹学是一门以数学为主要工具、寻求各种实际问题最优方案的学科, 它“为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时, 提供以数量化为基础的科学方法”. [1]它强调以量化为基础, 主要使用数学方法.
二是系统性. 运筹学研究问题是从系统的观点出发, 用科学的方法去了解和解释运行系统的现象, 主要研究对象就是这些系统, 研究全局性的问题和综合优化的规律.
三是实际应用性. 运筹学主要解决实际中提出的专门问题, 为管理者选择最优决策提供定量依据, 并根据实际情况检验这些结果, 进行灵敏度分析, 以便更好地应用于实际.
[
50大 学 数 学 第19卷四是多学科交叉性. 运筹学广泛应用现有的科学技术知识和方法, 为人们提供最优决策服务. 它综合运用经济学、心理学、物理学、化学、计算机科学和工程技术等学科的理论及方法, 既提供量化因素, 也进行定性分析.
五是理论与应用的发展相互促进. 运筹学的各个分支学科, 基本都是以实际问题为背景或直接由实际问题的需要逐渐发展起来的. 因此, 其理论在更广泛的应用中不断发展完善, 新的理论与方法不断出现, 从而就不断地开拓出新的应用领域.
运筹学的应用目前几乎涉及到社会的各个方面. 除在产品的市场销售、生产计划的制定、物资的库存管理、运输问题、设备更新、工程的优化设计、城市管理、财政与会计、人事管理、计算机信息系统、军事等重要领域有广泛系统的应用以外, 在建筑、纺织、水利、邮电、科学研究、工农业及农林医等方面不断地得到应用. 运筹学从第二次世界大战起源到在海湾战争中的成功使用(海湾战争中美国军方为了调度庞大的多国军事力量和后勤系统, 求解了一个有几百万个变量的线性规划问题). 充分显示了强大的生命力. 也说明学习、研究运筹学不但有重要的理论意义同时也有重要的实际意义.
3 数学建模与运筹学
“数学模型是由数字、字母和数学符号组成的描述对象数量规律的公式、图表或者程序”. 数学建模主要是使用数学知识来解决实际问题, 当人们设计产品参数、规划交通网络、制定生产计划、控制工艺过程、预报经济增长、确定投资方案时, 都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来, 并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去, 这种解决问题的全过程就称为数学建模. 在决策科学化、定量化的呼声日渐高涨的今天, 数学建模几乎是无处不在.
数学建模在当代数学中处于重要的突出地位, 因为当代数学的应用比以往要广泛得多, 数学所研究的问题更多地来自实际, 因此, 建模对数学本身的发展起着更本质的作用. 另一方面, 当代数学的应用有相当多的情形和计算机技术结合在一起, 通过给出所需要的数值解达到应用的目的. 因此建立数学模型已成为数学研究的主要目标之一. 在应用数学里, 模型在表达问题的本质方面具有最突出的作用, 它将实验的无序状态转换成明确的数学问题, 所以有“数学是关于模式和秩序的科学”的说法. 因此, 1994～1998年度世界数学联盟主席M umford D . 在1998年世界数学家大会上论述现代数学的趋势时
[2]说:“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义. 我想, 承认这一点, 数学会从中受益. ”在数学教
学中, 建模的初步训练应该作为数学的重要教学内容之一. 这样, 一方面可以使学生在数学学习中受到创造性训练, 另一方面可增强学生的应用意识和创新意识, 从而提高解决实际问题的能力.
从运筹学的特点、意义和研究内容可以看到, 运筹学在解决问题时, 按研究对象的不同讨论不同的模型. 研究的模型有确定性模型和随机性模型, 线性规划与目标规划, 整数规划, 非线性规划与网络分析中的模型基本属于确定性模型; 动态规划、排队论、存储论、对策论与决策论中的模型大多属于随机性模型. 运筹学在解决大量实际问题过程中形成了自己的工作步骤:(1) 提出和形成问题; (2) 建立模型;
(3) 求解; (4) 解的检验; (5) 解的控制; (6) 解的实施. 从步骤中可知, 根据问题的实际, 把问题中的可控决策变量、参数目标与约束函数之间的关系用一定的模型表示出来即建立问题的数学模型是关键的一步. 因此从一定意义上说, 数学建模属于运筹学的一部分, 所以在运筹学的教学中要注意突出数学建模的思想, 增强学生的数学应用意识是我们需要关注的重要问题.
4 教学中的一些做法
在大学生中开展数学建模教育可以总结出下面几方面的作用:一是可以确立学生面向实际的观念, 树立数学的应用意识; 二是可以培养学生良好的数学观和方法论; 三是可以培养学生的观察力、想象力、创造力和全面考虑问题的能力; 四是可以培养学生的交流表述能力和团结协作的团队精神; 五是可以促
第6期 王定江:运筹学教学与数学建模51数学建模教育的重要作用促使每一位大学数学教师在教学中要树立较强的数学应用意识, 特别在应用数学课程的教学中更应如此. 我在运筹学的教学中, 特别注意实际问题的数学描述, 一方面注意将实际问题准确地描述为数学问题, 另一方面又特别注意将纯粹的数学问题尽可能地转换成学生感兴趣的实际问题, 以增强学生学习的积极性. 例如对于带约束的整数规划问题:max f =4x +5y +6z , 3x +4y +5z ≤10, x , y , z ≥0(i =1, 2, 3) , 且为整数. 在讲解时, 不要先单纯地讲求解方法, 而是先转化成这样类似的问题:“现在假如给你一个能装物品最大重量为10千克的背包, 现有三种物品可供选择, 第一种物品每件重3千克, 每件价值4元; 第二件物品每件重4千克, 每件价值5元; 第三件物品每件重5千克, 每件价价值6元. 问你应如何选择装进背包的物品而使总价值最大? ”这问题的模型就是上述整数规划问题, 这样激发起学生兴趣后再讲求解方法.
在教学过程中, 为了系统地锻炼学生应用运筹学的方法解决实际问题的能力, 我根据讲过的内容安排了一次课堂设计, 精心搜集了一些有实际意义的题目, 布置给学生作为一项必须完成的课程设计, 按照大学生数学建模竞赛的要求模式向学生提出明确要求, 给学生提供上机的条件, 在两周时间内完成, 并给学生打出成绩等级. 通过实践, 取得了很好的教学效果. [3]
5 结束语
以上通过个人的教学体会粗浅地谈了运筹学的特点、意义及大学数学建模教育的作用和必要性, 同时简单介绍了自己教学中的一些做法. 迫切希望得到更多同行的参与和讨论, 以便为数学的教学改革及发展贡献自己的力量.
[参 考 文 献]
[1] M orse P M , Br ouw A A . Sy stems A naly sis and O perations Research tool fo r policy and planning for dev eloping
countries[M ]. N ational A cademy of Sciences, 1976.
[2] 数学的趋势——选择我们各自的方向[J]. 中国数学会通讯, 1998, (4) :12-16.
[3] 运筹学教材编写组. 运筹学[M ].北京:清华大学出版社, 1990, 237.
The Teaching of Operations Research and Mathematical Model ling
W A N G Ding -j iang
(D epartment of A pplied mathematics, Zhejiang U niv ersity of T echnolog y, Hang zhou 310032, China )
Abstract :T his paper according to my teaching ex per ience about Oper ations Resear ch, w e discussed the r elation betw een the Oper ations Research teaching and mathematical m odeling education , and introduced a few pr act ice about m y per sonal ex perience.
Key words :O perations Resear ch, M athem at ical M odelling