确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法
带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强，是高中物理的一个难点，也是高考的热点。解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何的知识。其中关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识。下面给出几种找圆心常用的方法。
方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向
圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的
交点即为圆心。
例1 、如图1所示，一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P （a ，
0）点以速度v ，沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并
恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。
方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2、电子自静止开始经M 、N 板间（两板间的电压为U ）的电场加
速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d 的匀强磁场中，电子离开磁场时
的位置P 偏离入射方向的距离为L ，如图2所示，求：（1）正确画出电子
由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；
（2）匀强磁场的磁感应强度. （已知电子的质量为m ，电量为e ）
方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
例3、一质量为m 、带电量为+q 的粒子以速度v 从O 点沿y 轴正
方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面
向外，粒子飞出磁场区域后，从B 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正
方向的夹角为30°，同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°
角斜向下的匀强电场中，通过了B 点正下方的C 点。如图示4所示，
不计重力，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C 点到B 点的距离h 。
例1：解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O 即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为
r =a 2a =sin 60 ①
洛仑兹力是向心力
mv 2
qBv = ② r
由①②解得r =2a 3mv . , B =2aq 射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，a ）
例2、解析：（1）联结AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP 的中垂线，由于电子通过A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A 点的半径与磁场的左边界重合。AP 弦的中垂线OC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心，以O 为圆心以OA 为半径画圆弧，如图3所示，
（2）在M 、N 间加速后获得的速度为v ，由动能定理得：
eU =12mv ① 2
电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：
v 2
eBv =m ② r
在△AQP 中：sin θ=L
L +d 22 ③
AC 在△ACO 中 ：sin θ==r
2L
L 2+d 2L 2+d 2/2 ④ r 由①②③④解得：B=2mU e
例3：解析：（1）反向延长v b 交y 轴于O 2点，作∠BO 2O 的角平分
线交x 轴于O 1，O 1即为圆运动轨道的圆心，OO 1即为圆运动轨道
的半径，
其半径为 R =OO 1=mv ① qB
画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O2于A 点，最小的圆形磁场区域是以OA 为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r, 则 OA =2r =3R ② S min =πr 2 ③ 2
利用①②③解得S =3πm 2v
min 4q 2B 2
（2） B 到C 受电场力作用，做类平抛运动
沿初速方向：h sin 30 =vt
沿电场方向：h cos 30 =1
2⋅qE 2
m t
利用⑤消去t 解得h =43mv 2
qE .
④ ⑤
确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法
带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强，是高中物理的一个难点，也是高考的热点。解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何的知识。其中关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识。下面给出几种找圆心常用的方法。
方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向
圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的
交点即为圆心。
例1 、如图1所示，一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P （a ，
0）点以速度v ，沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并
恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。
方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2、电子自静止开始经M 、N 板间（两板间的电压为U ）的电场加
速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d 的匀强磁场中，电子离开磁场时
的位置P 偏离入射方向的距离为L ，如图2所示，求：（1）正确画出电子
由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；
（2）匀强磁场的磁感应强度. （已知电子的质量为m ，电量为e ）
方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
例3、一质量为m 、带电量为+q 的粒子以速度v 从O 点沿y 轴正
方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面
向外，粒子飞出磁场区域后，从B 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正
方向的夹角为30°，同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°
角斜向下的匀强电场中，通过了B 点正下方的C 点。如图示4所示，
不计重力，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C 点到B 点的距离h 。
例1：解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O 即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为
r =a 2a =sin 60 ①
洛仑兹力是向心力
mv 2
qBv = ② r
由①②解得r =2a 3mv . , B =2aq 射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，a ）
例2、解析：（1）联结AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP 的中垂线，由于电子通过A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A 点的半径与磁场的左边界重合。AP 弦的中垂线OC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心，以O 为圆心以OA 为半径画圆弧，如图3所示，
（2）在M 、N 间加速后获得的速度为v ，由动能定理得：
eU =12mv ① 2
电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：
v 2
eBv =m ② r
在△AQP 中：sin θ=L
L +d 22 ③
AC 在△ACO 中 ：sin θ==r
2L
L 2+d 2L 2+d 2/2 ④ r 由①②③④解得：B=2mU e
例3：解析：（1）反向延长v b 交y 轴于O 2点，作∠BO 2O 的角平分
线交x 轴于O 1，O 1即为圆运动轨道的圆心，OO 1即为圆运动轨道
的半径，
其半径为 R =OO 1=mv ① qB
画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O2于A 点，最小的圆形磁场区域是以OA 为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r, 则 OA =2r =3R ② S min =πr 2 ③ 2
利用①②③解得S =3πm 2v
min 4q 2B 2
（2） B 到C 受电场力作用，做类平抛运动
沿初速方向：h sin 30 =vt
沿电场方向：h cos 30 =1
2⋅qE 2
m t
利用⑤消去t 解得h =43mv 2
qE .
④ ⑤