数学思维与文化选修课论文
通过11周的选修课学习，我已经对近现代数学史和数学文化思想与各个领域的关系有了一个整体的学习。在我看来，数学已经不再仅仅只是一个学科，一种工具，而是一种思想，只要掌握了这些思想就可以将它运用在许许多多地方。数学是一门创造性学科，一方面它是一种创造性的活动，另一方面他又为自然现象提供合理的结构，这是其他学科所望尘莫及的。老师在课程开始时让我们提出自己对这门课的各种疑问和想法从而自然的引出了课程的主题，在课程进行中，我了解到了数学的学习不仅仅是做题和计算，而是怎样通过一种思想去解决我们的问题。在阅读了老师推荐的数学书籍，如《数学与文化》（齐民友）、《20世纪数学经纬》（张奠宙）、《漫谈数学文化》（南基洙）、《数学与人类文化发展》（张祖贵）、《数学与文化》（M. 克莱因）、《数学精英》、《数学之美誉浪潮之巅》（吴军）、《西方文化中的数学》等后，我对于更这门课的认识更加深入。
一、 数学与历史文化
在阅读《数学与文化》（M. 克莱因）这本书后，我认识了数学在整个文化中的地位，“数学学科并不是一系列的技巧，技巧只不过是他微不足道的一方面；他们远不能代表数学„„如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。”【1】数学不仅是一种探求的方法，更是一门需要创造性的学科。数学的历史源远流长。在书本中我了解到，在早期的人类社会中，是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。数学是最抽象的科学，而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。这便使数学成为人类文化中最基础的工具。而在现代社会中，数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。数学的发展史决不是一帆风顺的，更是一部充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临困难和战盛危机的情景剧。
在阅读了《数学精英》这本书后，我了解到了许许多多各具特色的数学大师。在数学发展史中，数学家起到了举足轻重的作用，“伟大的数学家在科学与哲学演进中所起的作用可以与科学家和哲学家本身所起的作用相媲美。【2】”然而数学家也并非像我们在小说和银幕上看到的那样：邋遢、刻板、古怪、可笑，他们作为一个普通的人与我们是并没有什么差别的。“就整体而言，数学家是一群具有多方面才能、精力充沛、机智敏捷、对数学以外的许多事有着浓厚的兴趣的人；在战斗中，他们是坚韧不拔的战士。一般来说，数学家是难不住的人；他们对所接受的通常都能给以优厚的回报。至于其他方面，他们是取得巨大成就的天才，与他们的有天分的同胞之间的区别仅在于想要研究数学的不可抑制的冲动。有时数学家也是非常能干的行政官员。【3】”无论是身兼绅士军人数学家多重身份的笛卡尔，最杰出业余爱好者费马，样样皆通的大师莱布尼兹，分析的化身欧拉，数学家之王高斯，几何学中的哥白尼罗巴切夫斯基，贫困的天才阿贝尔，伟大的算学家雅可比，完全独立的布尔，怀疑者克罗内克，真诚的黎曼，还是最后一位通才庞加莱„„他们身上无不体现着数学家的特质与精神。这些人的人格魅力深深的吸引着我，也让我对数学的发展产生了浓厚的兴趣。
在《数学与文化》（齐民友）一书中这样写道：“数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越
来越多的鸟巢，他为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固的站立。”从这个意义上来讲，数学是人类理性发展最高的成就。
这本书通过某些实例说明数学作为一种文化所体现出的人类精神生活的理性方面，表达一种探索精神。在书中作者用非专业的语言向我们介绍了数学与人类文化之间的相互影响，他大致的介绍了从希腊时代到现在2000多年数学家们追求真理的道路。介绍了人类发展早期、欧洲中世纪人类的探索之路，并介绍了具体的几位影响巨大的科学家：牛顿、伽利略、欧几里德、亚里士多德，希腊的几何学、数学的演绎推理等等。我深受震动，一是在这么早的世界人类已经认识到数学的必要性并努力为之探索；二是对牛顿等科学家的执着、对科学的一丝不苟表示钦佩。这几本书大大丰富了我对数学文化的了解和认知。
通过课外的阅读，我又学习了数学的悠久历史。在数学史的漫漫长河中，发生过三次数学危机。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。历史却绝对不会忘记他，纵然海浪早已淹没了他的身躯，我们今天还保留着他的名字——希帕索斯！数学家似乎都有着学科领域的“固执”，但正是这种“固执”和坚持，才使得数学的思维不断前进。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x ，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力, 微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。
历史上著名的罗素悖论挑战了了德国数学家康托尔创立的集合论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。正是在不断的建立-打破-建立的无穷反复的过程中，数学才能够不断的发展。
数学文化的两个特点一个是创造，一个是符号。一方面，进行数学创造的最主要的驱策力是对美的追求。除了完善的结构美之外，在证明和得出结论的过程中运用必不可少的想象力和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。完美的黄金分割，毕达哥拉斯的五角星徽章，达芬奇油画中的数学无一不证明了这点。 另一方面，数学简洁的符号有助于思维的效率，表现了实用性和明了性。数学的语言是精确的，这不难理解因为如果不能将表达尽量完美简洁，就失去了数学独有的风格也为理解过程造成了困难。数学家们化难为易，化繁为简的手法令人惊叹，这与文学艺术等的冗长繁琐形成了对比。
二、 数学与哲学思想
哲学的魅力，就在于它可以更抽象、更有预见性。数学与哲学有许多相通之处，能相互影响。举个例子，“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”，这就是著名的庞加莱猜想，现在已经被证明了。这个猜想，就是“人类能掌握的‘真理’”，它类比与“我的矛盾哲学”，只是通常这种猜想太超前了，以至严密的数学证明（或者说“纯自然科学的方法”证明）要落后一百年。
数学通过精确的概念、严密的推理、奇妙的方法、简洁的形式，去描绘细节，扩展内容，揭示规律，形成整体认识；数学反映了哲学范畴或基本矛盾的数量方面，数学有其逻辑严密性、高度抽象性、应用广泛性等特点。实践是认识的起点也是认识的归宿。数学源于实践，最终还要应用于实践，接受实践的检验。比如导数的概念源于物理中的速度问题和几何中的切线问题，研究了导数的性质和计算方法后，不仅可用导数计算物理中的速度问题和几何中的切线问题还可用来求其它变化率的问题，如物理中的加速度、电流强度、线密度，经济中的边际成本等。
从希腊时代开始，数学与哲学就结下了不解之缘。西方近代最杰出的哲学家如笛卡儿、莱布尼茨、贝克莱等，或者本人就是数学家，或者具有相当高的数学素养，而他们的哲学也深深的打上了数学的印记。古希腊哲学家，例如巴门尼德、柏拉图、亚里士多德等，在保留毕达哥拉斯学派的基本精神的前提下另辟蹊径，试图在人们普遍使用的语言中找出或构造出最接近数学结构的东西。
分析哲学的产生与当时蓬勃发展的数理逻辑有密切联系，它的许多代表人物都对数理逻辑进行过深入研究，并作出重大贡献。数理逻辑借助于形式化的逻辑语言与逻辑演算来处理形式逻辑中的问题，这就便于对问题作高度精确的表述，避免日常语言的不确切和逻辑上的不严密。因此，绝大部分分析哲学家对数理逻辑都十分重视，经常借助于数理逻辑来论证分析哲学的命题。弗雷格和罗素，特别是后来的逻辑实证主义者，试图利用数理逻辑来构造一种理想的、精确的人工
语言，以求使哲学混乱。数学是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。数学是形式的，但决不是形式主义的。数学的抽象形式离不开现实世界，在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型。如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程，而微积分的概念，是反映了自然界无限接近的结果。不过，数学形式对客观现实而言，具有相对独立性。数学理论往往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，就会涌现出简明深刻、和谐统一的理论。钱学森在《发展我国的数学科学》曾这样描述哲学与数学的关系，“我认为每一门科学都有一个哲学总结，自然科学的哲学总结是自然辩证法，社会科学的哲学总结是历史唯物主义，数学科学的哲学总结就是数学哲学，思维科学的哲学总结就是认识论等等，所有这些哲学概括再汇总，我认为就是人类知识的结晶，即马克思主义哲学。这样一个体系，就是马克思主义哲学为指导的科学体系。科学技术的发展并通过哲学概括，必然会发展深化马克思主义哲学。”
三、数学与其他学科
近代科学的发展主要是在物理和化学方面，物理和化学是工业生产和高新技术的支撑部分，而数学对物理和化学的贡献是很大的，也是紧密联系的。近代物理的飞速发展给我们科学带来了质的飞跃，同时物理也有着它的奇特性，跟重要的是很难轻易理解的抽象性。物理是存在于自然界的，数学是一种认识，是有了人类文明以后才有的。其实数学是一直存在的，因为它是科学，只是人们认知时间上的差异而来的。简单的说；要证明一个物理现象和体系的存在与正确，数学是唯一的手段。但是要建立数学模型必须基于我们对某种假设的物理现象和体系的正确判断。物理中的精确概念，新的物理量的建立等等都必须借助数学来表示。
数学和化学的关系主要要从两方面看，一方面，现代化学渐渐朝微观的方向探讨物质的组成、构造及反应，也就是从原子的观点来研究，所以受近代物理学很大的影响，其中主要是量子力学与统计力学的应用，它所采取的语言遂也有数学化的倾向。另一方面，化学在实际上的应用，现在也越来越需要更严格定量的知识，举凡分析化学乃至化工计算，我们都需要更多更精确的化学计算工作，这就涉及到更多的应用数学。
数学与医学也有着联系，当我们运用数学建模的思想时，医学上的数学模型建立起来时，对病原体的研究和对病情的控制与走向都有指导性的作用。新型的治疗方法可以先运用数学模型进行合理的计算再应用于实际，这无疑会促进医疗水平的提高。
四、数学与实际应用
数学对我们生活的改变所做出的贡献很多，但是我们往往只关注到了科学技术，却忽视了数学的精妙作用，研究数学最明显的却不一定是最重要的动力是解决因社会需要而直接提出的问题。如商业、航海、航天、历法计算、房屋建造、武器设计等等许多人们的需要, 数学对于这些问题能够给出最完美的解决。正如马克思说过：“一种科学只有成功地运用数学时, 才算真正达到完善的程度。”
在1990年8月，德国数学家希尔布特在巴黎国际数学大会上的演讲，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，提出23个数学问题，激发着数学家们浓厚的研究兴趣。这23问题涉及到数学的大多分支领域，它的解决和研究大大的推动这些分支的发展，同时在未能包括拓扑学、微分几何等在20世纪也得到极大的发展，并成为前沿学科的领域中的数学问题。在数学史上，数学的应用在不同时期的发展是不平衡的。
数学的发展与社会的进化有着密切的联系，这样的联系是具有双向的，一方面数学发展依赖社会环境，受到社会政治、经济和文化等影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起到推动作用。如17、18世纪微积分作为一种强有力的新工具，在18世纪60、70年代，第一次产业革命的主体技术蒸汽机、纺织机等上起到对运动和变化的计算，而且只有微积分发明后才可能计算出这些变化；在19世纪60年代，第二次产业革命，以发电机、电动机、电气通信为主的主体技术是依靠电磁理论的发展，而电磁理论的研究与数学分析的应用分不开的；20世纪40年代，第三次产业革命主要是电子计算机的发明使用、原子能的利用以及空间技术、生产自动化等，这些都记载着数学在其中不可磨灭的贡献。同时数学发展中心的迁移同社会政治、经济重心的迁移基本上是相吻合的，它的迁移可以给人们一个数学发展与社会环境相依存的鲜明印象。
20世界是数学繁荣的时代，从它发展趋势上讲，数学的分支越来越多，数学本身就像一颗大树，现在数学这颗大树上的分支和领域越来越广。几何是我们一开始用来描述物质形态的学说。后来哲学家将这些描述抽象化形成了我们最初的几何学。对于任何一个物体的描述我们都离不开几何。直到现在我们对原子结构或天文观测的描述还是离不开它。当我们将几何与代数结合起来就是我们现代的物理学。物理学是从哲学里分离出来研究物质的结构和运动的学说。再进一步从哲学中分离出了专门研究物质之间关系的科学——化学，随着微观物里学的发展我们今天的物理和化学可能更多是从分子和原子角度上分类了。
在《数学之美誉浪潮之巅》（吴军）一书数学之美的部分讲到了一些广为应用的数学知识的应用实例，简单易懂又清楚明白，让人深刻的感受到了数学的美丽。例如运用简单的数学模型解决复杂的语音识别、机器翻译等问题解决复杂的语音识别、机器翻译等问题，把一些复杂的问题变得十分简单. 此外，数学还可以解决怎样度量信息? 这样的抽象的难题。这是在，香农提出了“信息熵”(shāng) 的概念之后，才解决了问题。书中浪潮之巅的部分介绍了现代企业对数学的依赖。例如惠普公司成为硅谷的见证人的种种经历，以及惠普逐渐变为暗淡的巨星的原因。著名的手机巨头摩托罗拉公司最早是生产汽车里的收音机的品牌。后来研究出更适合于战场的手提式对讲机。二战后，摩托罗拉作为品牌名气越拉越大 ，人们
一说起无线通信就首先会想到摩托罗拉。多年以来，摩托罗拉一直垄断这个市场。汽车电话、汽车对讲机、长方形的彩电显像管、第一台全晶体管彩色电视机„„摩托罗拉一步又一步地做着科技上的革命。但是摩托罗拉在家电市场初期的尝试不很成功，最终还将彩电业务卖给了日本的松下公司。摩托罗拉作为世界无线通信的先驱和领导者，可以说开创了整个产业。遗憾的是，它只领导了移动通信的第一波浪潮，就被对手赶上并超过。主要原因就是技术路线错误，执行力不足，失去了利用技术优势夺回市场的可能性。摩托罗拉曾经跨通信和计算机两大领域之间，甚至很有同时成为计算机和通信业霸主的可能。退一步讲，只要它在计算机中央处理器 CPU ，通信的数字处理器 DSP 或者手机任何一个领域站稳脚，就能顺着计算机革命或者通信革命的大潮前进，立于不败之地。但是，其领导人无力领导这样一个庞大的公司，反而使公司没有专攻的方向，在各条战线上同时失利。 由此可见数学甚至有可能关系到企业的成败。
综合以上，我学习到了数学思想的真谛，了解了数学应用的广泛。“数学如同其他一切学科，现在轮到他在显微镜下向世界揭示在他的基础上可能存在的弱点了。”正如维斯塔伟所说，数学还尚存在着需要完善和发展的地方，但我相信这样的重任并不会无人承担。数学不仅是一种方法，一门艺术或一门语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学，社会科学，哲学，逻辑学和艺术十分有用，同时影响着政治；他满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可以以难以察觉的方式影响现代历史的进程。缺少数学的国度难以发展，比如说罗马，最伟大的数学家和科学家在研究沙盘中的几何图形时被闯入的罗马士兵杀害。注重于权术和征服外邦的罗马帝国总是显得不够得体优雅，他们麻木不仁又缺少独创精神。罗马文化的大部分成就源于希腊文化而不是它自身的文化，这难免显得有些悲哀。一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这就是数学吧，像是一个黑洞，要将一切都吸入其中，而它也确实能够容纳一切。
学习数学不仅仅要学习方法，更要学习思想，这会使人获得提升。正如日本数学教育家米山国藏所说：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时随地发生作用，使他们终身受益。”
引用：
【1】-------------《数学与文化》（M. 克莱因）
【2】【3】--------------------《数学精英》
数学思维与文化选修课论文
通过11周的选修课学习，我已经对近现代数学史和数学文化思想与各个领域的关系有了一个整体的学习。在我看来，数学已经不再仅仅只是一个学科，一种工具，而是一种思想，只要掌握了这些思想就可以将它运用在许许多多地方。数学是一门创造性学科，一方面它是一种创造性的活动，另一方面他又为自然现象提供合理的结构，这是其他学科所望尘莫及的。老师在课程开始时让我们提出自己对这门课的各种疑问和想法从而自然的引出了课程的主题，在课程进行中，我了解到了数学的学习不仅仅是做题和计算，而是怎样通过一种思想去解决我们的问题。在阅读了老师推荐的数学书籍，如《数学与文化》（齐民友）、《20世纪数学经纬》（张奠宙）、《漫谈数学文化》（南基洙）、《数学与人类文化发展》（张祖贵）、《数学与文化》（M. 克莱因）、《数学精英》、《数学之美誉浪潮之巅》（吴军）、《西方文化中的数学》等后，我对于更这门课的认识更加深入。
一、 数学与历史文化
在阅读《数学与文化》（M. 克莱因）这本书后，我认识了数学在整个文化中的地位，“数学学科并不是一系列的技巧，技巧只不过是他微不足道的一方面；他们远不能代表数学„„如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。”【1】数学不仅是一种探求的方法，更是一门需要创造性的学科。数学的历史源远流长。在书本中我了解到，在早期的人类社会中，是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。数学是最抽象的科学，而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。这便使数学成为人类文化中最基础的工具。而在现代社会中，数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。数学的发展史决不是一帆风顺的，更是一部充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临困难和战盛危机的情景剧。
在阅读了《数学精英》这本书后，我了解到了许许多多各具特色的数学大师。在数学发展史中，数学家起到了举足轻重的作用，“伟大的数学家在科学与哲学演进中所起的作用可以与科学家和哲学家本身所起的作用相媲美。【2】”然而数学家也并非像我们在小说和银幕上看到的那样：邋遢、刻板、古怪、可笑，他们作为一个普通的人与我们是并没有什么差别的。“就整体而言，数学家是一群具有多方面才能、精力充沛、机智敏捷、对数学以外的许多事有着浓厚的兴趣的人；在战斗中，他们是坚韧不拔的战士。一般来说，数学家是难不住的人；他们对所接受的通常都能给以优厚的回报。至于其他方面，他们是取得巨大成就的天才，与他们的有天分的同胞之间的区别仅在于想要研究数学的不可抑制的冲动。有时数学家也是非常能干的行政官员。【3】”无论是身兼绅士军人数学家多重身份的笛卡尔，最杰出业余爱好者费马，样样皆通的大师莱布尼兹，分析的化身欧拉，数学家之王高斯，几何学中的哥白尼罗巴切夫斯基，贫困的天才阿贝尔，伟大的算学家雅可比，完全独立的布尔，怀疑者克罗内克，真诚的黎曼，还是最后一位通才庞加莱„„他们身上无不体现着数学家的特质与精神。这些人的人格魅力深深的吸引着我，也让我对数学的发展产生了浓厚的兴趣。
在《数学与文化》（齐民友）一书中这样写道：“数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越
来越多的鸟巢，他为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固的站立。”从这个意义上来讲，数学是人类理性发展最高的成就。
这本书通过某些实例说明数学作为一种文化所体现出的人类精神生活的理性方面，表达一种探索精神。在书中作者用非专业的语言向我们介绍了数学与人类文化之间的相互影响，他大致的介绍了从希腊时代到现在2000多年数学家们追求真理的道路。介绍了人类发展早期、欧洲中世纪人类的探索之路，并介绍了具体的几位影响巨大的科学家：牛顿、伽利略、欧几里德、亚里士多德，希腊的几何学、数学的演绎推理等等。我深受震动，一是在这么早的世界人类已经认识到数学的必要性并努力为之探索；二是对牛顿等科学家的执着、对科学的一丝不苟表示钦佩。这几本书大大丰富了我对数学文化的了解和认知。
通过课外的阅读，我又学习了数学的悠久历史。在数学史的漫漫长河中，发生过三次数学危机。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。历史却绝对不会忘记他，纵然海浪早已淹没了他的身躯，我们今天还保留着他的名字——希帕索斯！数学家似乎都有着学科领域的“固执”，但正是这种“固执”和坚持，才使得数学的思维不断前进。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x ，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力, 微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。
历史上著名的罗素悖论挑战了了德国数学家康托尔创立的集合论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。正是在不断的建立-打破-建立的无穷反复的过程中，数学才能够不断的发展。
数学文化的两个特点一个是创造，一个是符号。一方面，进行数学创造的最主要的驱策力是对美的追求。除了完善的结构美之外，在证明和得出结论的过程中运用必不可少的想象力和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。完美的黄金分割，毕达哥拉斯的五角星徽章，达芬奇油画中的数学无一不证明了这点。 另一方面，数学简洁的符号有助于思维的效率，表现了实用性和明了性。数学的语言是精确的，这不难理解因为如果不能将表达尽量完美简洁，就失去了数学独有的风格也为理解过程造成了困难。数学家们化难为易，化繁为简的手法令人惊叹，这与文学艺术等的冗长繁琐形成了对比。
二、 数学与哲学思想
哲学的魅力，就在于它可以更抽象、更有预见性。数学与哲学有许多相通之处，能相互影响。举个例子，“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”，这就是著名的庞加莱猜想，现在已经被证明了。这个猜想，就是“人类能掌握的‘真理’”，它类比与“我的矛盾哲学”，只是通常这种猜想太超前了，以至严密的数学证明（或者说“纯自然科学的方法”证明）要落后一百年。
数学通过精确的概念、严密的推理、奇妙的方法、简洁的形式，去描绘细节，扩展内容，揭示规律，形成整体认识；数学反映了哲学范畴或基本矛盾的数量方面，数学有其逻辑严密性、高度抽象性、应用广泛性等特点。实践是认识的起点也是认识的归宿。数学源于实践，最终还要应用于实践，接受实践的检验。比如导数的概念源于物理中的速度问题和几何中的切线问题，研究了导数的性质和计算方法后，不仅可用导数计算物理中的速度问题和几何中的切线问题还可用来求其它变化率的问题，如物理中的加速度、电流强度、线密度，经济中的边际成本等。
从希腊时代开始，数学与哲学就结下了不解之缘。西方近代最杰出的哲学家如笛卡儿、莱布尼茨、贝克莱等，或者本人就是数学家，或者具有相当高的数学素养，而他们的哲学也深深的打上了数学的印记。古希腊哲学家，例如巴门尼德、柏拉图、亚里士多德等，在保留毕达哥拉斯学派的基本精神的前提下另辟蹊径，试图在人们普遍使用的语言中找出或构造出最接近数学结构的东西。
分析哲学的产生与当时蓬勃发展的数理逻辑有密切联系，它的许多代表人物都对数理逻辑进行过深入研究，并作出重大贡献。数理逻辑借助于形式化的逻辑语言与逻辑演算来处理形式逻辑中的问题，这就便于对问题作高度精确的表述，避免日常语言的不确切和逻辑上的不严密。因此，绝大部分分析哲学家对数理逻辑都十分重视，经常借助于数理逻辑来论证分析哲学的命题。弗雷格和罗素，特别是后来的逻辑实证主义者，试图利用数理逻辑来构造一种理想的、精确的人工
语言，以求使哲学混乱。数学是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。数学是形式的，但决不是形式主义的。数学的抽象形式离不开现实世界，在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型。如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程，而微积分的概念，是反映了自然界无限接近的结果。不过，数学形式对客观现实而言，具有相对独立性。数学理论往往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，就会涌现出简明深刻、和谐统一的理论。钱学森在《发展我国的数学科学》曾这样描述哲学与数学的关系，“我认为每一门科学都有一个哲学总结，自然科学的哲学总结是自然辩证法，社会科学的哲学总结是历史唯物主义，数学科学的哲学总结就是数学哲学，思维科学的哲学总结就是认识论等等，所有这些哲学概括再汇总，我认为就是人类知识的结晶，即马克思主义哲学。这样一个体系，就是马克思主义哲学为指导的科学体系。科学技术的发展并通过哲学概括，必然会发展深化马克思主义哲学。”
三、数学与其他学科
近代科学的发展主要是在物理和化学方面，物理和化学是工业生产和高新技术的支撑部分，而数学对物理和化学的贡献是很大的，也是紧密联系的。近代物理的飞速发展给我们科学带来了质的飞跃，同时物理也有着它的奇特性，跟重要的是很难轻易理解的抽象性。物理是存在于自然界的，数学是一种认识，是有了人类文明以后才有的。其实数学是一直存在的，因为它是科学，只是人们认知时间上的差异而来的。简单的说；要证明一个物理现象和体系的存在与正确，数学是唯一的手段。但是要建立数学模型必须基于我们对某种假设的物理现象和体系的正确判断。物理中的精确概念，新的物理量的建立等等都必须借助数学来表示。
数学和化学的关系主要要从两方面看，一方面，现代化学渐渐朝微观的方向探讨物质的组成、构造及反应，也就是从原子的观点来研究，所以受近代物理学很大的影响，其中主要是量子力学与统计力学的应用，它所采取的语言遂也有数学化的倾向。另一方面，化学在实际上的应用，现在也越来越需要更严格定量的知识，举凡分析化学乃至化工计算，我们都需要更多更精确的化学计算工作，这就涉及到更多的应用数学。
数学与医学也有着联系，当我们运用数学建模的思想时，医学上的数学模型建立起来时，对病原体的研究和对病情的控制与走向都有指导性的作用。新型的治疗方法可以先运用数学模型进行合理的计算再应用于实际，这无疑会促进医疗水平的提高。
四、数学与实际应用
数学对我们生活的改变所做出的贡献很多，但是我们往往只关注到了科学技术，却忽视了数学的精妙作用，研究数学最明显的却不一定是最重要的动力是解决因社会需要而直接提出的问题。如商业、航海、航天、历法计算、房屋建造、武器设计等等许多人们的需要, 数学对于这些问题能够给出最完美的解决。正如马克思说过：“一种科学只有成功地运用数学时, 才算真正达到完善的程度。”
在1990年8月，德国数学家希尔布特在巴黎国际数学大会上的演讲，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，提出23个数学问题，激发着数学家们浓厚的研究兴趣。这23问题涉及到数学的大多分支领域，它的解决和研究大大的推动这些分支的发展，同时在未能包括拓扑学、微分几何等在20世纪也得到极大的发展，并成为前沿学科的领域中的数学问题。在数学史上，数学的应用在不同时期的发展是不平衡的。
数学的发展与社会的进化有着密切的联系，这样的联系是具有双向的，一方面数学发展依赖社会环境，受到社会政治、经济和文化等影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起到推动作用。如17、18世纪微积分作为一种强有力的新工具，在18世纪60、70年代，第一次产业革命的主体技术蒸汽机、纺织机等上起到对运动和变化的计算，而且只有微积分发明后才可能计算出这些变化；在19世纪60年代，第二次产业革命，以发电机、电动机、电气通信为主的主体技术是依靠电磁理论的发展，而电磁理论的研究与数学分析的应用分不开的；20世纪40年代，第三次产业革命主要是电子计算机的发明使用、原子能的利用以及空间技术、生产自动化等，这些都记载着数学在其中不可磨灭的贡献。同时数学发展中心的迁移同社会政治、经济重心的迁移基本上是相吻合的，它的迁移可以给人们一个数学发展与社会环境相依存的鲜明印象。
20世界是数学繁荣的时代，从它发展趋势上讲，数学的分支越来越多，数学本身就像一颗大树，现在数学这颗大树上的分支和领域越来越广。几何是我们一开始用来描述物质形态的学说。后来哲学家将这些描述抽象化形成了我们最初的几何学。对于任何一个物体的描述我们都离不开几何。直到现在我们对原子结构或天文观测的描述还是离不开它。当我们将几何与代数结合起来就是我们现代的物理学。物理学是从哲学里分离出来研究物质的结构和运动的学说。再进一步从哲学中分离出了专门研究物质之间关系的科学——化学，随着微观物里学的发展我们今天的物理和化学可能更多是从分子和原子角度上分类了。
在《数学之美誉浪潮之巅》（吴军）一书数学之美的部分讲到了一些广为应用的数学知识的应用实例，简单易懂又清楚明白，让人深刻的感受到了数学的美丽。例如运用简单的数学模型解决复杂的语音识别、机器翻译等问题解决复杂的语音识别、机器翻译等问题，把一些复杂的问题变得十分简单. 此外，数学还可以解决怎样度量信息? 这样的抽象的难题。这是在，香农提出了“信息熵”(shāng) 的概念之后，才解决了问题。书中浪潮之巅的部分介绍了现代企业对数学的依赖。例如惠普公司成为硅谷的见证人的种种经历，以及惠普逐渐变为暗淡的巨星的原因。著名的手机巨头摩托罗拉公司最早是生产汽车里的收音机的品牌。后来研究出更适合于战场的手提式对讲机。二战后，摩托罗拉作为品牌名气越拉越大 ，人们
一说起无线通信就首先会想到摩托罗拉。多年以来，摩托罗拉一直垄断这个市场。汽车电话、汽车对讲机、长方形的彩电显像管、第一台全晶体管彩色电视机„„摩托罗拉一步又一步地做着科技上的革命。但是摩托罗拉在家电市场初期的尝试不很成功，最终还将彩电业务卖给了日本的松下公司。摩托罗拉作为世界无线通信的先驱和领导者，可以说开创了整个产业。遗憾的是，它只领导了移动通信的第一波浪潮，就被对手赶上并超过。主要原因就是技术路线错误，执行力不足，失去了利用技术优势夺回市场的可能性。摩托罗拉曾经跨通信和计算机两大领域之间，甚至很有同时成为计算机和通信业霸主的可能。退一步讲，只要它在计算机中央处理器 CPU ，通信的数字处理器 DSP 或者手机任何一个领域站稳脚，就能顺着计算机革命或者通信革命的大潮前进，立于不败之地。但是，其领导人无力领导这样一个庞大的公司，反而使公司没有专攻的方向，在各条战线上同时失利。 由此可见数学甚至有可能关系到企业的成败。
综合以上，我学习到了数学思想的真谛，了解了数学应用的广泛。“数学如同其他一切学科，现在轮到他在显微镜下向世界揭示在他的基础上可能存在的弱点了。”正如维斯塔伟所说，数学还尚存在着需要完善和发展的地方，但我相信这样的重任并不会无人承担。数学不仅是一种方法，一门艺术或一门语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学，社会科学，哲学，逻辑学和艺术十分有用，同时影响着政治；他满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可以以难以察觉的方式影响现代历史的进程。缺少数学的国度难以发展，比如说罗马，最伟大的数学家和科学家在研究沙盘中的几何图形时被闯入的罗马士兵杀害。注重于权术和征服外邦的罗马帝国总是显得不够得体优雅，他们麻木不仁又缺少独创精神。罗马文化的大部分成就源于希腊文化而不是它自身的文化，这难免显得有些悲哀。一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这就是数学吧，像是一个黑洞，要将一切都吸入其中，而它也确实能够容纳一切。
学习数学不仅仅要学习方法，更要学习思想，这会使人获得提升。正如日本数学教育家米山国藏所说：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时随地发生作用，使他们终身受益。”
引用：
【1】-------------《数学与文化》（M. 克莱因）
【2】【3】--------------------《数学精英》