有理数运算技巧归类例析
有理数及其运算，是整个初中学习数学的基础，对于有理数的混合运算，我们要善于观察问题的结构特征，选择合理的运算路径，灵活使用运算律，可以简化计算，提高解题的速度和能力．运算中常采用的技巧如下：
一. 灵活运用运算律
例1. 计算：2112135+(-36) +(-16) +(-45) +(+10) ． 27277
分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量． 解 原式=[2111235+(-16)]+[(-36) +(-45) +(+10)] 22777
=5+(-71) =-66．
5211⨯(-) ⨯(-2) ⨯(-4) ． 319152 例2. 计算：
分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的先相乘，提高解题的速度．
解 原式=-
二. 逆用运算律
例3. 计算：(-) ⨯83+(-) ⨯(-13) -(-) ⨯28．
分析：本题每项含有-[1**********]1⨯⨯⨯=-(⨯) ⨯(⨯) =-⨯1=-． [***********]565，因此可逆向运用分配律来计算． 6
解 原式=(-) ⨯[83+(-13) -28] 5
6
5 =(-) ⨯42=-35． 6
三. 倒序相加
例4. 计算：2-2-2-„-22318-219+220．
分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算．
解 原式=2-2-2-„-2
232318+(-219+220) +219 =2-2-2„„-218
=2-22-23„„-217+(-218+219)
=2-2-2-„„-2
=„„=2+2=6
四. 凑数法
50个9
例5. 计算： 98+998+9998+„„+99„„98．（“信利杯”竞赛题） 2317+218 ． 2
分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是10，所以把各项凑成10的倍数计算．
解 原式=(100-2) +(1000-2) +(10000-2) +„„+(100„„00-2)
=(100+1000+10000+„„+100„„00) -50⨯2
=1000+10000+100„„00=111„„11000．
五. 拆项法
例6. 计算：n 111++„．（天津市竞赛题） 3⨯55⨯71997⨯1999
分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法．
解 原式=111111111(-) +(-) +„+(-) [**************]
[1**********]98-) =(-) = =(-+-+„+． [***********]95997
六. 错位相减法
例7. 计算：3+3+3+3+„„+32342006．
分析：考虑到后一项与前一项的比都是3，所以可采用错位相减法．
解 设S =3+3+3+3+„+3
[1**********]，则3S =3+3+3+„32342006+32007． 所以2S =3
32007-332007-3-3，S =，即原式=． 22
七. 用字母代替数
例8. 计算：1997⨯20002000-2000⨯19971997．
解 设1997=a，则原式=a ⨯[10000(a +3) +(a +3)]-(a +3) ⨯[10000a +a ]
=a ⨯1001(a +3) -(a +3) ⨯10001a
=10001a (a +3) -10001a (a +3) =0．
八. 分解相消
例9. 计算：1949-1950+1951-1952+„+1997-1998+1999．（北京市竞赛题）
分析：此题满足平方差公式a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ，所以可用因式分解来简便运算． 解 原式 2222222
=19492+(1951+1950)(1951-1950) +(1953+1952)(1953-1952) +„+
(1999+1998)(1999-1998) =19492+(1950+1951+1952+„+1998+1999) =19492+ 50(1950+1999) =3897326． 2
练习
计算：（1）(1-11111)(1-)(1-) „„(1-)(1-) ； [1**********]
（2）
（3）987654321⨯987654324-987654323⨯987654322；
（4）
［参考答案］ （1）[1**********]9+(+) +(++) +„+(++++„+) ． [***********]10020011；（2）；（3）-2；（4）2475． 10120
有理数运算技巧归类例析
有理数及其运算，是整个初中学习数学的基础，对于有理数的混合运算，我们要善于观察问题的结构特征，选择合理的运算路径，灵活使用运算律，可以简化计算，提高解题的速度和能力．运算中常采用的技巧如下：
一. 灵活运用运算律
例1. 计算：2112135+(-36) +(-16) +(-45) +(+10) ． 27277
分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量． 解 原式=[2111235+(-16)]+[(-36) +(-45) +(+10)] 22777
=5+(-71) =-66．
5211⨯(-) ⨯(-2) ⨯(-4) ． 319152 例2. 计算：
分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的先相乘，提高解题的速度．
解 原式=-
二. 逆用运算律
例3. 计算：(-) ⨯83+(-) ⨯(-13) -(-) ⨯28．
分析：本题每项含有-[1**********]1⨯⨯⨯=-(⨯) ⨯(⨯) =-⨯1=-． [***********]565，因此可逆向运用分配律来计算． 6
解 原式=(-) ⨯[83+(-13) -28] 5
6
5 =(-) ⨯42=-35． 6
三. 倒序相加
例4. 计算：2-2-2-„-22318-219+220．
分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算．
解 原式=2-2-2-„-2
232318+(-219+220) +219 =2-2-2„„-218
=2-22-23„„-217+(-218+219)
=2-2-2-„„-2
=„„=2+2=6
四. 凑数法
50个9
例5. 计算： 98+998+9998+„„+99„„98．（“信利杯”竞赛题） 2317+218 ． 2
分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是10，所以把各项凑成10的倍数计算．
解 原式=(100-2) +(1000-2) +(10000-2) +„„+(100„„00-2)
=(100+1000+10000+„„+100„„00) -50⨯2
=1000+10000+100„„00=111„„11000．
五. 拆项法
例6. 计算：n 111++„．（天津市竞赛题） 3⨯55⨯71997⨯1999
分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法．
解 原式=111111111(-) +(-) +„+(-) [**************]
[1**********]98-) =(-) = =(-+-+„+． [***********]95997
六. 错位相减法
例7. 计算：3+3+3+3+„„+32342006．
分析：考虑到后一项与前一项的比都是3，所以可采用错位相减法．
解 设S =3+3+3+3+„+3
[1**********]，则3S =3+3+3+„32342006+32007． 所以2S =3
32007-332007-3-3，S =，即原式=． 22
七. 用字母代替数
例8. 计算：1997⨯20002000-2000⨯19971997．
解 设1997=a，则原式=a ⨯[10000(a +3) +(a +3)]-(a +3) ⨯[10000a +a ]
=a ⨯1001(a +3) -(a +3) ⨯10001a
=10001a (a +3) -10001a (a +3) =0．
八. 分解相消
例9. 计算：1949-1950+1951-1952+„+1997-1998+1999．（北京市竞赛题）
分析：此题满足平方差公式a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ，所以可用因式分解来简便运算． 解 原式 2222222
=19492+(1951+1950)(1951-1950) +(1953+1952)(1953-1952) +„+
(1999+1998)(1999-1998) =19492+(1950+1951+1952+„+1998+1999) =19492+ 50(1950+1999) =3897326． 2
练习
计算：（1）(1-11111)(1-)(1-) „„(1-)(1-) ； [1**********]
（2）
（3）987654321⨯987654324-987654323⨯987654322；
（4）
［参考答案］ （1）[1**********]9+(+) +(++) +„+(++++„+) ． [***********]10020011；（2）；（3）-2；（4）2475． 10120