幂函数与反函数
【知识要点】
1. 幂函数的定义：一般地，把形如y =x 的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 2. 幂函数的图像
a
3. 图像性质总结： Ⅰ a >0
（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,+∞) 上都是增函数；
（3）当x >1时，指数大的图像在上方；当0
Ⅱ a
（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,+∞) 上都是减函数；
（3）在第一象限内，图像向上无限地接近y 轴，向右无限地接近x 轴； （4）当x >1时，指数大的图像在上方；0
（2）x >1时，指数大的图像在上方；0
（1）定义及写法
（2）性质：①互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称
②若函数y =f (x ) 的图像上有一点(a , b ) ，则(b , a ) 必在其反函数的图像上；
反之，(b , a ) 在反函数的图像上，则点(a , b ) 必在原函数的图像上；
③函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
④严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数——【反函数存在定理】。 ⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （3）反函数的求法：
1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； 2、反解x ，也就是用y 来表示x ；
3、改写x 和y ，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x ； 4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。
【典型例题】
21
1211
例1 设a =() 3, b =() 3, c =() 3，则（ ）.
252
A. a A. p , q 均为奇数，且p >q B. p 为奇数，q 为偶数且p >q C. q 为奇数，p 为偶数且p >q D. q 为奇数，p 为偶数且p
例3
已知点p q
在幂函数f (x ) 的图像上，则f (x ) 的解析式是（ ）
.
1
2 D.
A. f (x ) =x B.f (x ) =x C. f (x ) =x
3-3
-
f (x ) =x
12
x 2+4x +5例4 求函数f (x ) =2的单调区间，并比较f (-
π) 和f (的大小.
x +4x +4
例5已知幂函数y =x
m 2-2m -3
(m ∈N +) 的图像关于y 轴对称，且在(0,+∞) 上函数值随x 的
增大而减小，求满足(a +1)
-
m 3
-
m 3
的a 的取值范围.
⎧2x , x ≥0y =例6 函数的反函数是（ ）.
⎨2
-x , x
⎧x
⎧⎪, x ≥0⎪2x , x ≥0
A. y =2 B. y =
x
⎧x
, x ≥0⎧⎪⎪2x , x ≥0
C. y =⎨2 D. y =⎨
⎪⎩x
⎩
2x +1
(x
2-1
x +1
(x
x -1x -1
C. y =log 2(x
x +1
A. y =log 2
例8 设函数y =f (x ) 的反函数为y =f
-1
x +1
(x >1) x -1x -1
(x >1) x +1
1
(x ) ，且y =f (2x -1) 的图像过点(,1) ，则
2
y =f -1(x ) 的图像必过点（ ）.
A. (,1) B. (1,) C. (1,0) D. (0,1)
1212
【课堂练习】
1. 函数y =x 的图象是
4
3
（ ）
A ． B． C． D．
（ ）
α
2. 下列命题中正确的是
A ．当α=0时函数y =x 的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C ．若幂函数y =x 是奇函数，则y =x 是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
3. 如右图所示，幂函数y =x 在第一象限的图象，比较
α
αα
α1
0, α1, α2, α3, α4, 1的大小，有（ ）.
A ．α1
4. 对于幂函数f (x ) =x ，若0
4
5
α4
α2
α3
f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
大小关系是（ ） ) ，
22x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) >
22
B ． f (
A ．f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
22
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
D ． 无法确定 ) =
22-x
5. 函数y =3+1的反函数为y =g (x ) ，则g (10)= .
C ． f (
3, 27) ，则f 6. 幂函数f (x ) 的图象过点（
2
-1
(x ) 的解析式是
.
7. 函数f (x ) =x -2ax -3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（ ）.
A. a ∈(-∞,1] B. a ∈[2,+∞) C. a ∈[1,2] D. a ∈(-∞,1] [2,+∞) 8. 已知函数f (x ) =x
-2m 2+m +3
(m ∈Z ) 为偶函数，且f (3)
（1）求m 的值，并确定f (x ) 的解析式；
) -ax ](a >0, a 1≠) （2）若g (x ) =log [a f (x
函数？
，是否存在实数a ，使得g (x ) 在(2,3)上为增
9. 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为
x
），涨价后，商10
品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a , b 均为正常数，且a
【课后作业】
1. 若不等式(-2) >(2a +4)
a
2. y =x
2
23
2
3恒成立，求实数
a 的取值范围.
-4a -9
是偶函数，且在(0, +∞) 是减函数，则整数a 的值是
（ ）
3. 函数y =x |x |,x ∈R ，满足 A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数
D ．y =x
-14
4. 下列函数中既是偶函数又是(-∞, 0) 上是增函数的是 A．y =x
3
（ ）
（ ）
4
3
B ．y =x
13
32
C ．y =x
-2
5. 函数y =x 和y =x 图象满足
A ．关于原点对称 B．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称 D．关于直线y =x 对称 6. 幂函数y =x
n
(-1) k m
(m , n , k ∈N *,m , n 互质) 图象在一、二象限，不过原点，则k , m , n 的
-1
奇偶性为 .
7. 已知函数y =f (x ) 存在反函数y =f 函数y =f
-1
(x ) ，若函数y =f (x +1) 的图像经过点(3,1)，则
(x ) 必经过点
幂函数与反函数
【知识要点】
1. 幂函数的定义：一般地，把形如y =x 的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 2. 幂函数的图像
a
3. 图像性质总结： Ⅰ a >0
（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,+∞) 上都是增函数；
（3）当x >1时，指数大的图像在上方；当0
Ⅱ a
（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,+∞) 上都是减函数；
（3）在第一象限内，图像向上无限地接近y 轴，向右无限地接近x 轴； （4）当x >1时，指数大的图像在上方；0
（2）x >1时，指数大的图像在上方；0
（1）定义及写法
（2）性质：①互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称
②若函数y =f (x ) 的图像上有一点(a , b ) ，则(b , a ) 必在其反函数的图像上；
反之，(b , a ) 在反函数的图像上，则点(a , b ) 必在原函数的图像上；
③函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
④严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数——【反函数存在定理】。 ⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （3）反函数的求法：
1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； 2、反解x ，也就是用y 来表示x ；
3、改写x 和y ，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x ； 4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。
【典型例题】
21
1211
例1 设a =() 3, b =() 3, c =() 3，则（ ）.
252
A. a A. p , q 均为奇数，且p >q B. p 为奇数，q 为偶数且p >q C. q 为奇数，p 为偶数且p >q D. q 为奇数，p 为偶数且p
例3
已知点p q
在幂函数f (x ) 的图像上，则f (x ) 的解析式是（ ）
.
1
2 D.
A. f (x ) =x B.f (x ) =x C. f (x ) =x
3-3
-
f (x ) =x
12
x 2+4x +5例4 求函数f (x ) =2的单调区间，并比较f (-
π) 和f (的大小.
x +4x +4
例5已知幂函数y =x
m 2-2m -3
(m ∈N +) 的图像关于y 轴对称，且在(0,+∞) 上函数值随x 的
增大而减小，求满足(a +1)
-
m 3
-
m 3
的a 的取值范围.
⎧2x , x ≥0y =例6 函数的反函数是（ ）.
⎨2
-x , x
⎧x
⎧⎪, x ≥0⎪2x , x ≥0
A. y =2 B. y =
x
⎧x
, x ≥0⎧⎪⎪2x , x ≥0
C. y =⎨2 D. y =⎨
⎪⎩x
⎩
2x +1
(x
2-1
x +1
(x
x -1x -1
C. y =log 2(x
x +1
A. y =log 2
例8 设函数y =f (x ) 的反函数为y =f
-1
x +1
(x >1) x -1x -1
(x >1) x +1
1
(x ) ，且y =f (2x -1) 的图像过点(,1) ，则
2
y =f -1(x ) 的图像必过点（ ）.
A. (,1) B. (1,) C. (1,0) D. (0,1)
1212
【课堂练习】
1. 函数y =x 的图象是
4
3
（ ）
A ． B． C． D．
（ ）
α
2. 下列命题中正确的是
A ．当α=0时函数y =x 的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C ．若幂函数y =x 是奇函数，则y =x 是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
3. 如右图所示，幂函数y =x 在第一象限的图象，比较
α
αα
α1
0, α1, α2, α3, α4, 1的大小，有（ ）.
A ．α1
4. 对于幂函数f (x ) =x ，若0
4
5
α4
α2
α3
f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
大小关系是（ ） ) ，
22x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) >
22
B ． f (
A ．f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
22
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
D ． 无法确定 ) =
22-x
5. 函数y =3+1的反函数为y =g (x ) ，则g (10)= .
C ． f (
3, 27) ，则f 6. 幂函数f (x ) 的图象过点（
2
-1
(x ) 的解析式是
.
7. 函数f (x ) =x -2ax -3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（ ）.
A. a ∈(-∞,1] B. a ∈[2,+∞) C. a ∈[1,2] D. a ∈(-∞,1] [2,+∞) 8. 已知函数f (x ) =x
-2m 2+m +3
(m ∈Z ) 为偶函数，且f (3)
（1）求m 的值，并确定f (x ) 的解析式；
) -ax ](a >0, a 1≠) （2）若g (x ) =log [a f (x
函数？
，是否存在实数a ，使得g (x ) 在(2,3)上为增
9. 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为
x
），涨价后，商10
品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a , b 均为正常数，且a
【课后作业】
1. 若不等式(-2) >(2a +4)
a
2. y =x
2
23
2
3恒成立，求实数
a 的取值范围.
-4a -9
是偶函数，且在(0, +∞) 是减函数，则整数a 的值是
（ ）
3. 函数y =x |x |,x ∈R ，满足 A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数
D ．y =x
-14
4. 下列函数中既是偶函数又是(-∞, 0) 上是增函数的是 A．y =x
3
（ ）
（ ）
4
3
B ．y =x
13
32
C ．y =x
-2
5. 函数y =x 和y =x 图象满足
A ．关于原点对称 B．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称 D．关于直线y =x 对称 6. 幂函数y =x
n
(-1) k m
(m , n , k ∈N *,m , n 互质) 图象在一、二象限，不过原点，则k , m , n 的
-1
奇偶性为 .
7. 已知函数y =f (x ) 存在反函数y =f 函数y =f
-1
(x ) ，若函数y =f (x +1) 的图像经过点(3,1)，则
(x ) 必经过点