有限元方法
Finite Element Method
——基于ANSYS 的有限元建模与分析
姓名 吴威 学号班级 10级土木茅以升班2班
西南交通大学 2014年4月
综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算
一、问题重述
计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。
二、模型的建立与计算
在ANSYS 中建立模型，材料的设置属性如下
分析类型为结构（structural ），材料为线弹性（Linear Elastic ），各向同性（Isotropic ）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N 、cm 为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。
建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm 左右的粗网格和单元尺度为2cm 左右的细网格计算。
然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm 左右的粗网格和单元尺度为1cm 左右的细网格计算。
(1) 完整模型的计算
① 粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm ）
约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x 方向的约束，即令U X =0，在左下角节点上施加x 、y 两个方向的约束，即U X =0、U Y =0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。
对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值222.112）
单元应力云图（最大值256.408）
可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ② 细网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm ）
约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值272.484）
单元应力云图（最大值285.695）
(2) 取1/4模型的计算
① 粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2.5cm ）
约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x 方向的约束，即U X =0，在下侧边界所有节点上只施加y 方向的约束，即U Y =0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。
对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值251.333）
单元应力云图（最大值268.888）
② 细网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为1cm ）
约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值290.478）
单元应力云图（最大值297.137）
(3) 计算结果比较
下面按照弹性力学理论求解带孔平板的应力集中系数。（参考 曾攀. 有限元分析及应用. 清华大学出版社）
设在无限大薄板中有一个半径为R 0的圆孔，该无限大薄板在x 方向受有σxx =q 0的均匀荷载如图
对于无限大板宽的孔边应力集中问题，基于以上平面极坐标下的三大类基本方程，可以得到以下弹性状态下的解析解：
⎛R 02⎫⎛q 0⎛R 02⎫q 0R 02⎫⎫
σrr = 1-2⎪+cos 2θ 1-2⎪1-32⎪⎪
2⎝r ⎭2r ⎭⎝r ⎭⎪⎝
⎪⎛q 0⎛R 02⎫q 0R 04⎫⎪
σθθ= 1+2⎪-cos 2θ 1+34⎪⎬
2⎝r ⎭2r ⎭⎝⎪
⎪⎛R 02⎫⎛q 0R 02⎫
τr θ=τθr =-sin 2θ 1-2⎪1+32⎪⎪
2r ⎭⎝r ⎭⎪⎝⎭
具体地，在圆孔边沿y 轴上的环向应力σθθ为
⎛1R 023R 04⎫
σθθ(θ=90︒, r ) =q 0 1++24⎪2r ⎭⎝2r
最大的环向应力为
σθθ(θ=90︒, r =R 0) =3q 0
从以上推导可知，对此类带孔平板应力集中系数的弹性力学精确解为3。
计算应力集中系数，对结果进行汇总，与弹性力学精确解进行比较如下：（应
此种以单元大小为基准划分网格的方式使得计算结果偏小。 模型计算时，单元划分的越精细，结果越精确。
计算报告中由于完整模型划分的单元数与四分之一模型划分的单元数接
近，使得四分之一模型的计算精度较高，但也可看出利用对称性取完整模型的四分之一计算也能得到较好的结果。
有限元方法
Finite Element Method
——基于ANSYS 的有限元建模与分析
姓名 吴威 学号班级 10级土木茅以升班2班
西南交通大学 2014年4月
综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算
一、问题重述
计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。
二、模型的建立与计算
在ANSYS 中建立模型，材料的设置属性如下
分析类型为结构（structural ），材料为线弹性（Linear Elastic ），各向同性（Isotropic ）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N 、cm 为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。
建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm 左右的粗网格和单元尺度为2cm 左右的细网格计算。
然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm 左右的粗网格和单元尺度为1cm 左右的细网格计算。
(1) 完整模型的计算
① 粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm ）
约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x 方向的约束，即令U X =0，在左下角节点上施加x 、y 两个方向的约束，即U X =0、U Y =0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。
对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值222.112）
单元应力云图（最大值256.408）
可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ② 细网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm ）
约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值272.484）
单元应力云图（最大值285.695）
(2) 取1/4模型的计算
① 粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2.5cm ）
约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x 方向的约束，即U X =0，在下侧边界所有节点上只施加y 方向的约束，即U Y =0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。
对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值251.333）
单元应力云图（最大值268.888）
② 细网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为1cm ）
约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：
节点应力云图（最大值290.478）
单元应力云图（最大值297.137）
(3) 计算结果比较
下面按照弹性力学理论求解带孔平板的应力集中系数。（参考 曾攀. 有限元分析及应用. 清华大学出版社）
设在无限大薄板中有一个半径为R 0的圆孔，该无限大薄板在x 方向受有σxx =q 0的均匀荷载如图
对于无限大板宽的孔边应力集中问题，基于以上平面极坐标下的三大类基本方程，可以得到以下弹性状态下的解析解：
⎛R 02⎫⎛q 0⎛R 02⎫q 0R 02⎫⎫
σrr = 1-2⎪+cos 2θ 1-2⎪1-32⎪⎪
2⎝r ⎭2r ⎭⎝r ⎭⎪⎝
⎪⎛q 0⎛R 02⎫q 0R 04⎫⎪
σθθ= 1+2⎪-cos 2θ 1+34⎪⎬
2⎝r ⎭2r ⎭⎝⎪
⎪⎛R 02⎫⎛q 0R 02⎫
τr θ=τθr =-sin 2θ 1-2⎪1+32⎪⎪
2r ⎭⎝r ⎭⎪⎝⎭
具体地，在圆孔边沿y 轴上的环向应力σθθ为
⎛1R 023R 04⎫
σθθ(θ=90︒, r ) =q 0 1++24⎪2r ⎭⎝2r
最大的环向应力为
σθθ(θ=90︒, r =R 0) =3q 0
从以上推导可知，对此类带孔平板应力集中系数的弹性力学精确解为3。
计算应力集中系数，对结果进行汇总，与弹性力学精确解进行比较如下：（应
此种以单元大小为基准划分网格的方式使得计算结果偏小。 模型计算时，单元划分的越精细，结果越精确。
计算报告中由于完整模型划分的单元数与四分之一模型划分的单元数接
近，使得四分之一模型的计算精度较高，但也可看出利用对称性取完整模型的四分之一计算也能得到较好的结果。