数值分析高斯-勒让德积分公式

高斯—勒让德积分公式

摘要：

高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果, 是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。

T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.

关键字：

积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword :

Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。

实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange 多项式插值系数进行积分得到。

高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换

x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

1. 现有的方法和理论

1.1高斯勒让德求积公式

在高斯求积公式(4.5.1)

中，若取权函数

我们知道勒让

多项式，因此，勒让德多项式

德多项式是区间

上的正交

，区间为

，则得公式

的零点就是求积公式(上式) 的高斯点．形如

(上式) 的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．

若取

令它对

准确成立，即可定出

．这样构造出的一点高斯－勒让

的零点

做节点构造求积公式

德求积公式是中矩形公式．再取式

令它对

都准确成立，有

的两个零点构造求积公

．

由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式

．

三点高斯－勒让德求积公式的形式是

．

如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．

公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得

，

这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得

．

当时，有

．

它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．

当积分区间不是[－１，１]

，而是一般的区间时，只要做变换

可将

化为［－１，１］，这时

．

对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．

1.2复化Gauss-Legendre 求积公式

将被积区间m 等分,

记

作变换

在每个小区间上应用Gauss-Legendre 公式, 累加即得复化Gauss-Legendre 求积公

式

不妨设

则有: Gauss

点个数

时

Gauss

点个数

时

总结复化Gauss-Legendre 求积过程如下:

1. 分割区间, 记录区间端点值；

2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss 系数和Gauss 点的值代入变量替换后的公式；

3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss 点个数

和

的复化Gauss-Legendre 求积公式编写的一个

简单的MATLAB 函数 compgauss() 如下: function [ ] = compgauss(a, b, n) % Composite Gauss Integration % Equation Type: n=2, n=3 % Coded by Nan.Xiao 2010-05-25 % Step.1 Divide Interval % Step.2 Calculate % Step.3 Sum Results format long

f = @(x) exp(x).*sin(x); h=(b-a)/n; xk=zeros(n+1,1); xk(1,1)=a;

xk(n+1,1)=b; fk1=zeros(n,1); fk2=zeros(n,1); for i=1:n-1

xk(i+1,1)=a+h*i; end for j=1:n

fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+... f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3))); end for r=1:n

fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+... (8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+... (5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); end

mysum1=h*sum(fk1)/2; mysum2=h*sum(fk2)/2; disp('Result of 2 Nodes:') disp(mysum1);

disp('Result of 3 Nodes:') disp(mysum2); end

1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法

以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较 #include #include #include

#define Precision1 0.[1**********]1 # define e 2.71828183

#define MAXRepeat 10 double function (double x) { double s; s=1/x; return s; }

double Romberg(double a,double b,double f(double x)) { int m,n,k;

double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q; h=b-a;

y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b)); m=1; n=1;

ep=Precision1+1;

while((ep>=Precision1)&&(m

for(k=0;k

xk=a+(k+0.5)*h; p=p+f(xk); }

p=(y[0]+h*p)/2.0; //T`m`(h/2),变步长梯形求积公式 s=1.0;

for(k=1;k

s=4.0*s;// pow(4,m) q=(s*p-y[k-1])/(s-1.0);

y[k-1]=p; p=q; }

ep=fabs(q-y[m-1]); m=m+1; y[m-1]=q;

n=n+n; // 2 4 8 16 h=h/2.0;//二倍分割区间 return q; }

double ThreePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) {

double x,w;

static double X[3]={-sqrt(15)/5.0,0,sqrt(15)/5.0}; static double L[3]={5/9.0,8/9.0,5/9.0}; w=0.0;

for(int i=0;i

x=((b-a)*X[i]+(b+a))/2.0; w=w+f(x)*L[i]; } return w; }

double FivePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) {

double x,w;

static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459};

static double L[5]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851}; w=0.0;

for(int i=0;i

x=((b-a)*X[i]+(b+a))/2.0;

w=w+f(x)*L[i];//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果 } return w; }

double FivePointPrecisionGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) { int m,i,j;

double s,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;

static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459}; m=1; h=b-a;

s=fabs(0.001*h); p=1.0e+35; ep=Precision1+1;

while((ep>=Precision1)&&(fabs(h)>s)) { g=0.0; for(i=0;i

{

x=((bb-aa)*X[j]+(bb+aa))/2.0; w=w+f(x)*L[j]; }

g=g+w;//各个区间计算结果之和相加 }

g=g*h/2.0;

ep=fabs(g-p)/(1.0+fabs(g));//计算精度 p=g; m=m+1;

h=(b-a)/m;//分割区间 } return g; } main() {

double a,b,s;

cout>a;

cout>b;

cout

s=Romberg( a, b, function); cout

cout

/*三点求积公式*/

s=ThreePointGaussLegendre( a, b, function);

cout

/*五点求积公式*/

s=FivePointGaussLegendre( a, b, function);

cout

s=FivePointPrecisionGaussLegendre(a, b,function);

cout

return 0;

}

2. 高斯－勒让德求积的程序

2.1三点高斯勒让德公式的代码

function gl=f(str,a,b)

x=zeros(3,1);

y=zeros(3,1);

x(1)=-sqrt(15)/5;

x(2)=0;

x(3)=sqrt(15)/5;

for i=1:3

t=(b-a)/2*x(i)+(a+b)/2;

y(i)=eval(str);%exp(t)*sin(t);%此处为求积的函数,t 为自变量

end

gl=5/9*y(1)+8/9*y(2)+5/9*y(3);

上面的代码保存为f.m 文件，调用的时候如下

f('t*2',-1,1)

f('exp(t)*sin(t)',1,3)

其中第一个参数为求积分的表达式，第二三个参数分别为

积分的上下限。

2.2高斯-勒让德数值积分Matlab 代码

function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)

if nargin==1

a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;

elseif nargin==3

n=7;tol=1e-8;

elseif nargin==4

tol=1e-8;

elseif nargin==2|nargin>5

error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');

end

syms x

p=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));

tk=roots(p);

Ak=zeros(n+1,1);

for i=1:n+1

xkt=tk;

xkt(i)=[];

pn=poly(xkt);

fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));

Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数

end

xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;

fun=fcnchk(fun,'vectorize');

fx=fun(xk)*(b-a)/2;

ql=sum(Ak.*fx);

3. 数值实验

3.1 用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算 π

I=⎰2

0x cos xdx . 2

解：先将区间[0, π

2]化为[-1, 1]，由（1）

⎰

I=b a f (x ) dx =b -a 2⎰1-1f (b -a 2+a +b 2) dt . （1）有 ⎰1

-1(π4) (1+t ) cos 32π

4(1+t ) dt .

根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得

I≈

∑A

k =0k f (x k ) ≈0. 467402.

（准确值I=0. 467401 ）

3.2用n =2, 3的高斯-勒让德公式计算积分

⎰

解：

I =31e sin xdx . x ⎰3

1e sin xdx . x

x ∈[1,3],令t =x -2，则t ∈[-1,1]

用n =2的高斯—勒让德公式计算积分

I ≈0.5555556⨯[f (-0.7745967) +f (0.7745967)]+0.8888889⨯f (0)

≈10.9484

用n =3的高斯—勒让德公式计算积分

I ≈0.3478548⨯[f (-0.8611363) +f (0.8611363)]

+0.6521452⨯[f (-0.3399810) +f (0.3399810)]

≈10.95014

3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分⎰1

0+x d x ，计算过程保留4位小数．

解：

高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令

x =u

2+1

2，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，

⎰1

0+x d x ＝⎰2132-1+u 2d u

2-0. 8611

2+3

2+0. 8611

2) 1

＝2[0. 3479⨯(

)]+0. 6521⨯(

232-0. 34002+32+0. 34002 =[0. 3479⨯2. 4236+0. 6521⨯2. 4455]=1. 2189

3. 总结

高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。

《参考文献》

[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社 2008 6 17

[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿· 科学出版社 2010 7 10

[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社 2009 7 23

[4] 复化两点Gauss-Legendre 求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期

高斯—勒让德积分公式

摘要：

关键字：

积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword :

Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：

实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange 多项式插值系数进行积分得到。

x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

1. 现有的方法和理论

1.1高斯勒让德求积公式

在高斯求积公式(4.5.1)

中，若取权函数

我们知道勒让

多项式，因此，勒让德多项式

德多项式是区间

上的正交

，区间为

，则得公式

的零点就是求积公式(上式) 的高斯点．形如

(上式) 的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．

若取

令它对

准确成立，即可定出

．这样构造出的一点高斯－勒让

的零点

做节点构造求积公式

德求积公式是中矩形公式．再取式

令它对

都准确成立，有

的两个零点构造求积公

．

由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式

．

三点高斯－勒让德求积公式的形式是

．

如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．

公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得

，

这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得

．

当时，有

．

它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．

当积分区间不是[－１，１]

，而是一般的区间时，只要做变换

可将

化为［－１，１］，这时

．

对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．

1.2复化Gauss-Legendre 求积公式

将被积区间m 等分,

记

作变换

在每个小区间上应用Gauss-Legendre 公式, 累加即得复化Gauss-Legendre 求积公

式

不妨设

则有: Gauss

点个数

时

Gauss

点个数

时

总结复化Gauss-Legendre 求积过程如下:

1. 分割区间, 记录区间端点值；

2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss 系数和Gauss 点的值代入变量替换后的公式；

3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss 点个数

和

的复化Gauss-Legendre 求积公式编写的一个

f = @(x) exp(x).*sin(x); h=(b-a)/n; xk=zeros(n+1,1); xk(1,1)=a;

xk(n+1,1)=b; fk1=zeros(n,1); fk2=zeros(n,1); for i=1:n-1

xk(i+1,1)=a+h*i; end for j=1:n

fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+... f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3))); end for r=1:n

fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+... (8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+... (5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); end

mysum1=h*sum(fk1)/2; mysum2=h*sum(fk2)/2; disp('Result of 2 Nodes:') disp(mysum1);

disp('Result of 3 Nodes:') disp(mysum2); end

1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法

以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较 #include #include #include

#define Precision1 0.[1**********]1 # define e 2.71828183

#define MAXRepeat 10 double function (double x) { double s; s=1/x; return s; }

double Romberg(double a,double b,double f(double x)) { int m,n,k;

double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q; h=b-a;

y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b)); m=1; n=1;

ep=Precision1+1;

while((ep>=Precision1)&&(m

for(k=0;k

xk=a+(k+0.5)*h; p=p+f(xk); }

p=(y[0]+h*p)/2.0; //T`m`(h/2),变步长梯形求积公式 s=1.0;

for(k=1;k

s=4.0*s;// pow(4,m) q=(s*p-y[k-1])/(s-1.0);

y[k-1]=p; p=q; }

ep=fabs(q-y[m-1]); m=m+1; y[m-1]=q;

n=n+n; // 2 4 8 16 h=h/2.0;//二倍分割区间 return q; }

double ThreePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) {

double x,w;

static double X[3]={-sqrt(15)/5.0,0,sqrt(15)/5.0}; static double L[3]={5/9.0,8/9.0,5/9.0}; w=0.0;

for(int i=0;i

x=((b-a)*X[i]+(b+a))/2.0; w=w+f(x)*L[i]; } return w; }

double FivePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) {

double x,w;

static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459};

static double L[5]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851}; w=0.0;

for(int i=0;i

x=((b-a)*X[i]+(b+a))/2.0;

w=w+f(x)*L[i];//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果 } return w; }

double FivePointPrecisionGaussLegendre(double a,double b,double f(double x)) { int m,i,j;

double s,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;

static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459}; m=1; h=b-a;

s=fabs(0.001*h); p=1.0e+35; ep=Precision1+1;

while((ep>=Precision1)&&(fabs(h)>s)) { g=0.0; for(i=0;i

{

x=((bb-aa)*X[j]+(bb+aa))/2.0; w=w+f(x)*L[j]; }

g=g+w;//各个区间计算结果之和相加 }

g=g*h/2.0;

ep=fabs(g-p)/(1.0+fabs(g));//计算精度 p=g; m=m+1;

h=(b-a)/m;//分割区间 } return g; } main() {

double a,b,s;

cout>a;

cout>b;

cout

s=Romberg( a, b, function); cout

cout

/*三点求积公式*/

s=ThreePointGaussLegendre( a, b, function);

cout

/*五点求积公式*/

s=FivePointGaussLegendre( a, b, function);

cout

s=FivePointPrecisionGaussLegendre(a, b,function);

cout

return 0;

}

2. 高斯－勒让德求积的程序

2.1三点高斯勒让德公式的代码

function gl=f(str,a,b)

x=zeros(3,1);

y=zeros(3,1);

x(1)=-sqrt(15)/5;

x(2)=0;

x(3)=sqrt(15)/5;

for i=1:3

t=(b-a)/2*x(i)+(a+b)/2;

y(i)=eval(str);%exp(t)*sin(t);%此处为求积的函数,t 为自变量

end

gl=5/9*y(1)+8/9*y(2)+5/9*y(3);

上面的代码保存为f.m 文件，调用的时候如下

f('t*2',-1,1)

f('exp(t)*sin(t)',1,3)

其中第一个参数为求积分的表达式，第二三个参数分别为

积分的上下限。

2.2高斯-勒让德数值积分Matlab 代码

function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)

if nargin==1

a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;

elseif nargin==3

n=7;tol=1e-8;

elseif nargin==4

tol=1e-8;

elseif nargin==2|nargin>5

error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');

end

syms x

p=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));

tk=roots(p);

Ak=zeros(n+1,1);

for i=1:n+1

xkt=tk;

xkt(i)=[];

pn=poly(xkt);

fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));

Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数

end

xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;

fun=fcnchk(fun,'vectorize');

fx=fun(xk)*(b-a)/2;

ql=sum(Ak.*fx);

3. 数值实验

3.1 用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算 π

I=⎰2

0x cos xdx . 2

解：先将区间[0, π

2]化为[-1, 1]，由（1）

⎰

I=b a f (x ) dx =b -a 2⎰1-1f (b -a 2+a +b 2) dt . （1）有 ⎰1

-1(π4) (1+t ) cos 32π

4(1+t ) dt .

根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得

I≈

∑A

k =0k f (x k ) ≈0. 467402.

（准确值I=0. 467401 ）

3.2用n =2, 3的高斯-勒让德公式计算积分

⎰

解：

I =31e sin xdx . x ⎰3

1e sin xdx . x

x ∈[1,3],令t =x -2，则t ∈[-1,1]

用n =2的高斯—勒让德公式计算积分

I ≈0.5555556⨯[f (-0.7745967) +f (0.7745967)]+0.8888889⨯f (0)

≈10.9484

用n =3的高斯—勒让德公式计算积分

I ≈0.3478548⨯[f (-0.8611363) +f (0.8611363)]

+0.6521452⨯[f (-0.3399810) +f (0.3399810)]

≈10.95014

3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分⎰1

0+x d x ，计算过程保留4位小数．

解：

高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令

x =u

2+1

2，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，

⎰1

0+x d x ＝⎰2132-1+u 2d u

2-0. 8611

2+3

2+0. 8611

2) 1

＝2[0. 3479⨯(

)]+0. 6521⨯(

232-0. 34002+32+0. 34002 =[0. 3479⨯2. 4236+0. 6521⨯2. 4455]=1. 2189

3. 总结

《参考文献》

[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社 2008 6 17

[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿· 科学出版社 2010 7 10

[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社 2009 7 23

[4] 复化两点Gauss-Legendre 求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期

数值分析高斯-勒让德积分公式

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