例 4：已知数列{an}的前 n 项和为 Sn.按照下列条件求数列的通项公式． （1) 若 Sn＝2n2－n ，求数列{an}的通项公式 (2)若 Sn＝n2＋n ＋1，求数列{an}的通项公式．
考向五 数列性质的应用
⎛10⎫n
【例5】►已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1) (n ∈N ＋) ，试问该数列{a n }⎝11⎭最大项的项数；若没有，说明理由．
12．若等差数列{a 3．等差中项 如果A ＝
a ＋b 2
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m ) d (n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *) ．
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．
若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )
，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和
2
公式为S n (n －1)n ＝na 1＋
2
.
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S d
2
⎛
d ⎫n ＝2＋ ⎝
a 1－2⎭n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数) ．
7．最值问题
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，
d
考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2011·福建) 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
【例2】►已知数列{n 项和为S ＋2S 1
n 且满足a n n ·S n －1＝0(n ≥2) ，a 1＝2
.
(1)求证：⎧⎪⎨1⎫⎪
⎪⎩
S ⎬n ⎭⎪(2)求a n 的表达式．
考向三 等差数列前n 项和的最值 【例3】►设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
n n n
考向四 等差数列性质的应用
【例4】►设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n ＞6) ，求数列的项数n .
【训练4】 (1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋) ，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.
(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78
________．
. 课堂练习
1. 已知等差数列的前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项和。
2. 已知数列
{a n }a n
的前n 项和为
s n =
122
n +n +343，求这个数列的通项公式.
a n
}的前n 项和
3. 等差数列{
}中, a 4＝－15, 公差d ＝3, 求数列{
S n
的最小值.
4. 等差数列{
a n
}的第10项为23，第25项为－22，求此数列
(1)第几项开始为负？ (2)前10项的和？
(3)从首项到第几项之和开始为负？
5. 在等差数列{
a n
}中，已知a1=25, S9= S17
等比数列及其前n 项和
123若4⎧a ⎫
⎨仍是等比数列． }，n b
⎩n ⎭
⎩n ⎭
(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n 5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0) ，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na ；
当q ≠1时，S 11n n 1－q 1－q
.
考向一 等比数列基本量的计算
【例1】►(2011·全国) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30. 求a n 和S n .
【训练1】 等比数列{a 11，a 32
n }满足：a 1＋a 6＝3·a 4＝9q (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝n 的值．
例 4：已知数列{an}的前 n 项和为 Sn.按照下列条件求数列的通项公式． （1) 若 Sn＝2n2－n ，求数列{an}的通项公式 (2)若 Sn＝n2＋n ＋1，求数列{an}的通项公式．
考向五 数列性质的应用
⎛10⎫n
【例5】►已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1) (n ∈N ＋) ，试问该数列{a n }⎝11⎭最大项的项数；若没有，说明理由．
12．若等差数列{a 3．等差中项 如果A ＝
a ＋b 2
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m ) d (n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *) ．
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．
若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )
，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和
2
公式为S n (n －1)n ＝na 1＋
2
.
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S d
2
⎛
d ⎫n ＝2＋ ⎝
a 1－2⎭n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数) ．
7．最值问题
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，
d
考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2011·福建) 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
【例2】►已知数列{n 项和为S ＋2S 1
n 且满足a n n ·S n －1＝0(n ≥2) ，a 1＝2
.
(1)求证：⎧⎪⎨1⎫⎪
⎪⎩
S ⎬n ⎭⎪(2)求a n 的表达式．
考向三 等差数列前n 项和的最值 【例3】►设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
n n n
考向四 等差数列性质的应用
【例4】►设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n ＞6) ，求数列的项数n .
【训练4】 (1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋) ，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.
(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78
________．
. 课堂练习
1. 已知等差数列的前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项和。
2. 已知数列
{a n }a n
的前n 项和为
s n =
122
n +n +343，求这个数列的通项公式.
a n
}的前n 项和
3. 等差数列{
}中, a 4＝－15, 公差d ＝3, 求数列{
S n
的最小值.
4. 等差数列{
a n
}的第10项为23，第25项为－22，求此数列
(1)第几项开始为负？ (2)前10项的和？
(3)从首项到第几项之和开始为负？
5. 在等差数列{
a n
}中，已知a1=25, S9= S17
等比数列及其前n 项和
123若4⎧a ⎫
⎨仍是等比数列． }，n b
⎩n ⎭
⎩n ⎭
(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n 5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0) ，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na ；
当q ≠1时，S 11n n 1－q 1－q
.
考向一 等比数列基本量的计算
【例1】►(2011·全国) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30. 求a n 和S n .
【训练1】 等比数列{a 11，a 32
n }满足：a 1＋a 6＝3·a 4＝9q (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝n 的值．