图形的展开与叠折
一、选择题 2．（2013重庆，7，4分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为（ ） A ．6cm B ．4cm C ．2cm D ．1cm
A
B 1
D
B
E
（第7题图）
C
【解析】由折叠可知，∠BAE =∠B 1AE ，∴∠BAE =∠B 1AE =45°，又∵∠B =45°，∴∠AEB =45°，∴BE =AB =4，∴CE =BC －BE =8－6=2．
【方法指导】本题考查了折叠变换，需明确折叠变换是全等变化，同时综合考查了等腰三角形的判定以及线段的和差问题．轴对称的性质是解决此类问题的关键，轴对称的性质是：对应边和对应角相等，成轴对称的两个图形全等；正确的找出对称边和对称角是我们解题的关键．
【易错警示】对折叠的全等性质不能掌握，对结果只能想当然判断． 3．（2013四川南充，9，3分）如图，把矩形ABCD 沿EF 翻转，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．12 B ．24 C ．12 D ．16
3
【解析】连接BE ，根据矩形的对边平行可得AD ∥BC ，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AEF =120°，两直线平行，内错角相等可得∠DEF =60°，再根据翻折变换的性质求出∠BEF =∠DEF ，然后求出∠AEB =60°，再解直角三角形求出AB ，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【方法指导】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
4.. [2013山东菏泽，3，3分]下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A
B C
D
【解析】直棱柱中的三棱柱，上、下两个面是三角形面，互相平行，侧面是三个矩形围成. 其展开图共有5个面.
【方法指导】本题考查了立体图形展开与平面图折叠. 立体图形展开与平面图折叠，往往可以进行动手操作或进行空间联想获取符合要求的答案. 【易错提示】错误分析后选B
一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（
）
7. （2013江苏南京，6，2分）如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
解析：涂有颜色的面在侧面，而A 、C 还原后，有颜色的面在底面，故错；D 还原不回去，故错
8. 2013•宁波3分）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成
【解析】A 、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B 、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C 、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D 、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
【方法指导】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力． 9．（2013山西，3，2分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B 、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合。
10. （2013四川巴中，3，3分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形。
12．（2013河南省，5，3分）如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】
（A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）6
【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”“5”对应，“1”与“6”对应。 二、填空题
与
1.(2013山东烟台，17,3) 如图，△ABC 中，AB =AC ．∠ BAC =54°，∠ BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为________度.
【解析】如图：连接OB 、OC ，∵AB =AC ，AO 是∠BAC 的平分线，根据等腰三角形三线合
一定理确定出点O 是△ABC 的外心，∴OB =OC. ∵∠ BAC =54°，OD 是AB 的垂直平分线，AB =AC ∴∠BAO =∠ABO =27º，∠ABC =63º，∴∠OBC =∠OCB
=63º－27º=36º，根据折叠的不变性得OE =OC ，在△OEC 中∠OEC =180º－36º－36º=108º
【方法指导】本题考查了折叠、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、折叠、垂直平分线的性质. 在等腰三角形中有角平分线时，常用到等腰三角形三线合一定理，当与一边的垂直平分线相结合确定三角形的外心. 将某一个图形按某种要求折叠后，会得到以折痕为对称轴的轴对称图形，解决图形的折叠问题时，根据折叠的不变性，常得到等腰三角形、直角三角形、全等三角形等知识
2．（2013•东营，16，4分）如图，圆柱形容器中，高为1．2m ，底面周长为1m ，在容器内．壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0．3m ．．．与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不．．计）．
解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF 上找一点P ，使PA+PB最短，过A 作EF 的对称点A '，连接A 'B ，则A 'B 与EF 的交点就是所求的点P ，过B 作BM ⊥AA '于点
M ，在Rt ∆A 'MB 中，A 'M =1.2，BM =
1
，所以A 'B ==1.3，因为2
A 'B =AP +PB ，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1．3m ．
16题答案图
3．（2013上海市，18，4分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8， tan C =
3
，如果将△ABC 2
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ， 那么BD 的长为
_________
4. （2013山西，16，3分），将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则
AE 的长为______.
第17题
【解析】由勾股定理求得：BD=13，
DA=DA ' =BC=5，∠D A ' E=∠DAE=90°，设AE=x，则A ' E=x，BE=12－x ，B A ' =13－5＝8，
在Rt △E A ' B 中，(12-x ) 2=x 2+82，解得：x ＝
1010，即AE 的长为 33
5．（2013湖北省咸宁市，1，3分）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 泉 ．
.
三、解答题
1．（2013浙江台州，22，12分）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在点B ′，C ′处，线段EC ′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B ′G ．
求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G ．
D
E
C
1 A
G F B ′
B
C ′
【思路分析】(1)∠1是折叠后所得到的角，根据轴对称的性质，易得∠1=∠CEF ，再由平行四边形的对边平行，可得∠2=∠CEF ，∴∠1=∠2.
（2）欲证DG=B′G ，可证它们所在的两个三角形全等，即△DEG ≌△B ′FG 。
【解】证明：（1）由折叠知，∠1=∠CEF ， 又由平行四边形的性质知，CD ∥AB ， ∴∠2=∠CEF ， ∴∠1=∠2．
（2）由折叠知，BF= B′F ， 又∵DE=BF， ∴DE= B′F ，
由（1）知∠1=∠2， ∴GE= GF，
又由平行四边形的性质知，CD ∥AB ， ∴∠DEF=∠EFB ，
由折叠知，∠EFB=∠EF B′， ∴∠DEF=∠EF B′，
即∠DEG+∠1=∠GF B′+∠2， ∴∠DEG=∠GF B′， ∴△DEG ≌△B ′FG （SAS ）， ∴DG=B′G ．
【方法指导】本题考查轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识点，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换。另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等。
第22题
图形的展开与叠折
一、选择题 2．（2013重庆，7，4分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为（ ） A ．6cm B ．4cm C ．2cm D ．1cm
A
B 1
D
B
E
（第7题图）
C
【解析】由折叠可知，∠BAE =∠B 1AE ，∴∠BAE =∠B 1AE =45°，又∵∠B =45°，∴∠AEB =45°，∴BE =AB =4，∴CE =BC －BE =8－6=2．
【方法指导】本题考查了折叠变换，需明确折叠变换是全等变化，同时综合考查了等腰三角形的判定以及线段的和差问题．轴对称的性质是解决此类问题的关键，轴对称的性质是：对应边和对应角相等，成轴对称的两个图形全等；正确的找出对称边和对称角是我们解题的关键．
【易错警示】对折叠的全等性质不能掌握，对结果只能想当然判断． 3．（2013四川南充，9，3分）如图，把矩形ABCD 沿EF 翻转，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．12 B ．24 C ．12 D ．16
3
【解析】连接BE ，根据矩形的对边平行可得AD ∥BC ，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AEF =120°，两直线平行，内错角相等可得∠DEF =60°，再根据翻折变换的性质求出∠BEF =∠DEF ，然后求出∠AEB =60°，再解直角三角形求出AB ，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【方法指导】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
4.. [2013山东菏泽，3，3分]下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A
B C
D
【解析】直棱柱中的三棱柱，上、下两个面是三角形面，互相平行，侧面是三个矩形围成. 其展开图共有5个面.
【方法指导】本题考查了立体图形展开与平面图折叠. 立体图形展开与平面图折叠，往往可以进行动手操作或进行空间联想获取符合要求的答案. 【易错提示】错误分析后选B
一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（
）
7. （2013江苏南京，6，2分）如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
解析：涂有颜色的面在侧面，而A 、C 还原后，有颜色的面在底面，故错；D 还原不回去，故错
8. 2013•宁波3分）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成
【解析】A 、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B 、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C 、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D 、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
【方法指导】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力． 9．（2013山西，3，2分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B 、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合。
10. （2013四川巴中，3，3分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形。
12．（2013河南省，5，3分）如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】
（A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）6
【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”“5”对应，“1”与“6”对应。 二、填空题
与
1.(2013山东烟台，17,3) 如图，△ABC 中，AB =AC ．∠ BAC =54°，∠ BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为________度.
【解析】如图：连接OB 、OC ，∵AB =AC ，AO 是∠BAC 的平分线，根据等腰三角形三线合
一定理确定出点O 是△ABC 的外心，∴OB =OC. ∵∠ BAC =54°，OD 是AB 的垂直平分线，AB =AC ∴∠BAO =∠ABO =27º，∠ABC =63º，∴∠OBC =∠OCB
=63º－27º=36º，根据折叠的不变性得OE =OC ，在△OEC 中∠OEC =180º－36º－36º=108º
【方法指导】本题考查了折叠、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、折叠、垂直平分线的性质. 在等腰三角形中有角平分线时，常用到等腰三角形三线合一定理，当与一边的垂直平分线相结合确定三角形的外心. 将某一个图形按某种要求折叠后，会得到以折痕为对称轴的轴对称图形，解决图形的折叠问题时，根据折叠的不变性，常得到等腰三角形、直角三角形、全等三角形等知识
2．（2013•东营，16，4分）如图，圆柱形容器中，高为1．2m ，底面周长为1m ，在容器内．壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0．3m ．．．与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不．．计）．
解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF 上找一点P ，使PA+PB最短，过A 作EF 的对称点A '，连接A 'B ，则A 'B 与EF 的交点就是所求的点P ，过B 作BM ⊥AA '于点
M ，在Rt ∆A 'MB 中，A 'M =1.2，BM =
1
，所以A 'B ==1.3，因为2
A 'B =AP +PB ，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1．3m ．
16题答案图
3．（2013上海市，18，4分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8， tan C =
3
，如果将△ABC 2
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ， 那么BD 的长为
_________
4. （2013山西，16，3分），将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则
AE 的长为______.
第17题
【解析】由勾股定理求得：BD=13，
DA=DA ' =BC=5，∠D A ' E=∠DAE=90°，设AE=x，则A ' E=x，BE=12－x ，B A ' =13－5＝8，
在Rt △E A ' B 中，(12-x ) 2=x 2+82，解得：x ＝
1010，即AE 的长为 33
5．（2013湖北省咸宁市，1，3分）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 泉 ．
.
三、解答题
1．（2013浙江台州，22，12分）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在点B ′，C ′处，线段EC ′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B ′G ．
求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G ．
D
E
C
1 A
G F B ′
B
C ′
【思路分析】(1)∠1是折叠后所得到的角，根据轴对称的性质，易得∠1=∠CEF ，再由平行四边形的对边平行，可得∠2=∠CEF ，∴∠1=∠2.
（2）欲证DG=B′G ，可证它们所在的两个三角形全等，即△DEG ≌△B ′FG 。
【解】证明：（1）由折叠知，∠1=∠CEF ， 又由平行四边形的性质知，CD ∥AB ， ∴∠2=∠CEF ， ∴∠1=∠2．
（2）由折叠知，BF= B′F ， 又∵DE=BF， ∴DE= B′F ，
由（1）知∠1=∠2， ∴GE= GF，
又由平行四边形的性质知，CD ∥AB ， ∴∠DEF=∠EFB ，
由折叠知，∠EFB=∠EF B′， ∴∠DEF=∠EF B′，
即∠DEG+∠1=∠GF B′+∠2， ∴∠DEG=∠GF B′， ∴△DEG ≌△B ′FG （SAS ）， ∴DG=B′G ．
【方法指导】本题考查轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识点，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换。另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等。
第22题