高中数学必修5知识点
第一章、数列
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．
3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．a n +1-a n >0 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．a n +1-a n
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
的数列．
4、数列的通项公式：表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项）间的关系的公式．
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：a n -a n -1=d (n ≥2) 或a n +1-a n =d (n ≥1)
2、通项公式：若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n =a 1+(n -1)d ．
通项公式的变形：①a n =a m +(n -m )d ；②d =通项公式特点：a n =d n +(a 1-d )
a n =kn +m ，（k , m 为常数) 是数列{a n }成等差数列的充要条件。
a n -a m n -m
．
3、等差中项
若三个数a ，A，b 组成等差数列，则A称为a 与b 的等差中项．若b =称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列b =4、等差数列{a n }的基本性质(其中m , n , p , q ∈N )
*
a +c 2
，则
a +c 2
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q 。 （2）a n -a m =(n -m ) d （3）2a n =a n -m +a n +m
5、等差数列的前n 项和的公式
公式：①S n =
n (a 1+a n )
2
d 2
2
；②S n =na 1+
d 2
n (n -1)2
d ．
公式特征：S n =n +(a 1-
) n 是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前n 项和的性质：
①若项数为2n (n ∈N*)，则S 2n =n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=a n a n +1=
n n -1
．
②若项数为2n -1(n ∈N*)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，（其中S 奇=na n ，S 偶=(n -1)a n ）． ③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
*
①定义法：a n +1-a n =d (常数）（n ∈N ）⇒{a n }是等差数列
S 奇S 偶
②中项法：2a n +1=a n +a n +2③通项公式法：a n =kn +b
（n ∈N ) ⇒{a n }是等差数列
*
(k , b 为常数) ⇒{a n }是等差数列
(A , B 为常数) ⇒{a n }是等差数列
2
④前n 项和公式法：S n =An +Bn
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：
2、通项公式
n -1
（1）、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q ．
a n +1a n
=（q 常数）
n -m n -m
=（2）、通项公式的变形：①a n =a m q ；②q
a n a m
．
3、等比中项：在a 与b 中插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的
等比中项．若G =ab ，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是±G 。
2
4、等比数列性质
若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ； 若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n =a p ⋅a q ．
2
5、等比数列{a n }的前n 项和的公式：
⎧na 1(q =1)
⎪
（1）公式：S n =⎨a (1-q n )a -a q ．
11n
=(q ≠1)⎪
1-q ⎩1-q
（2）公式特点：s n =
a 11-q
(1-q )=k (1-q
n
n
n
) =A -Aq
（3）等比数列的前n 项和的性质：①若项数为2n (n ∈N*)，则
S 偶S 奇
=q ．
n
②S n +m =S n +q ⋅S m ．③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列（S n ≠0）．
6、等比数列判定方法： ①定义法：
a n +1a n
2
=q （常数）⇒{a n }为等比数列；
②中项法：a n +1=a n ⋅a n +2
n
③通项公式法：a n =k ⋅q
(a n ≠0) ⇒{a n }为等比数列；
(k , q 为常数）⇒{a n }为等比数列；
n
④前n 项和法：S n =k (1-q ) （k , q 为常数）⇒{a n }为等比数列。
四、求通项公式方法
①观察、归纳、猜想法求数列通项 S 1⎧
②应用a n =⎨
⎩S n -S n -1
(n =1) (n ≥2)
求数列通项
注意：一分为二或合二为一
③累加法：若递推关系式形式为a n +1=a n +f (n ) 用累加法 ④累乘法：若递推关系式形式为a n +1=a n f (n ) 用累乘法 ⑤转化为等差法：若递推关系式形式为a n +1=
m n p a n +m
（m 、p 为常数）
⑥转化为等比法：若递推关系式形式为a n +1=pa n +q 。
五、求前n 项和公式方法
①公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式 ②倒序相加法：若数列首尾两项和有规律
③乘比错位相加法：通项公式为c n =a n b n （其中a n 为等差数列，b n 为等比数列） ④裂相求和法：通项公式为b n =⑤分组求和
k a n a n +1
=k (1-
1a n +1
) （a n 为等差数列）
d a n
第二章、解三角形
一、正弦定理
1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，R 为∆ABC 的外接圆的半径，则有
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R
．
2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ； ②
sin A=
a 2R
，
sin B=
b 2R
，
=
sin C =
c 2R
；③a :b :c =sin A:sin B:sin C ；
b sin B
=
c sin C ．
a +b +c a sin A
④sin A+sin B+sin C 3、定理应用范围：
=
（1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边 4、已知两边及一边对角解的个数判断
已知边a,b 和∠A
a
无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA
12
ac sin B．
5、三角形面积公式：S ∆ABC =
12
bc sin A=
12
ab sin C =
二、余弦定理
1、余弦定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A，b =a +c -2ac cos B，
c =a +b -2ab cos C ．
222b +c -a
2bc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2、、余弦定理的推论：
cos A=
，
cos B=
222
a +c -b
2ac
，cos C =
222a +b -c
2ab
．
3、余弦定理应用范围：
（1）已知三边 （2）已知两边及其夹角（两边及一角）
4、射影定理：a =b cos C +c cos B , b =a cos C +c cos A , c =a cos B +b cos A 三、常用公式及结论
1、设a 、b 、c 是∆ABC 的角A、B、C 的对边，则：
①若a +b =c ，则C =90；②若a +b >c ，则C 90．
2
2
2
222 222
2、大边对大角A>Ba>bsinA>sinB 3、三角形内角和定理
Sin
A +B +C =π ,
A +B +C
2
=
π
2
, ⎛⎝
A +B 2⎫
=
π
2
-
C
⎛A +B ⎫⎛C ⎫
Cos ⎪=Sin ⎪
⎝2⎭⎝2⎭2
(A +B )
=Sin C
() Cos (A +B )
=-C os C
() Sin A +B ⎪
2
⎛C ⎫
=C os ⎪⎭⎝2⎭
Sin 2α=2Sin αC os α；tan 2α=
2tan α1-tan α
2222
C os 2α=2C os α-1=1-2Sin α=C os α-Sin α
4、二倍角公式：
S in S in C o s
(α+β)(α-β)(α+β)
=S in αC o s β+C o s αS in β , S=S in αC o s β-C o s αS in β , S=C o s αC o s β-S in αS in β , C
(α+β) (α-β)
(α+β)
C o s (α-β)=C o s αC o s β)=
+S in αS in β , C
5、两角的和与差公式：
tan (α+β
(α-β)
tan α+tan β1-tan αtan β=
, T
(α+β)
tan
(α-β)
tan α-tan β1+tan tan , T
(α-β)
6、辅助角公式
y =aSin α+bC os α=
(α+ϕ)（, 其中tan ϕ=
b a
）
第三章、不等式
一、比较大小及不等式性质
1、比较大小依据：a -b >0⇔a >b ；a -b =0⇔a =b ；a -b
理化、因式分解等）③定号 作商法：
当a >0, b >0时
a b
>1⇔a >b ,
a b
=1⇔a =b ,
a b
3、不等式的性质： ①a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c ； ③a >b ⇒a +c >b +c ；④a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b , c >d ⇒a +c >b +d ；⑥a >b >0, c >d >0⇒ac >bd ； ⑦
a >b >0⇒a >b
n
n
(n ∈N, n >
1)；⑧a >b >0⇒
>
n ∈N, n >1)
．
二、一元二次不等式解法：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 解法步骤：⑴确定对应一元二次方程的判别式及根
⑵作出对应一元二次函数的图像
⑶由函数图象写出相应不等式的解集
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
a >0
2
ax +bx +c >0(a ≠0)恒成立条件∆
2
=b -4ac
a
ax
2
+bx +c
2
-4ac
4、含参一元二次不等式解法
分类讨论：①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小 5、一元二次方程实根分布 分析思路：
x 12a
x 22a
求根公式法：
韦达定理法：①判别式②两根之和③两根之积
函数图象法：①判别式②对称轴位置③区间端点函数值
基本类型与相应方法： 设 f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0) ，则方程f (x ) =0的实根分布的基本类型及相应方法如下表：
三、基本不等式
1、a 、b 是两个正数，则何平均数．
2、均值不等式定理： 若a >0，b >0，则a +b ≥a +b 2
≥
．
a +b 2
称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几
3、常用的基本不等式：①a +b ≥2ab (a , b ∈R )；②ab ≤
2
2
2
2
2
2
a +b 2
22
(a , b ∈R )；
⎛a +b ⎫
③ab ≤ ⎪
⎝2⎭
(a >0, b >0)；④
a +b 2
⎛a +b ⎫≥ ⎪⎝2⎭
(a , b ∈R )．
4、基本不等式求最值：设x 、y 都为正数，则有
（1）若x +y =s （和为定值），则当x =y 时，积xy 取得最大值
s 4
2
．
（2）若xy =p （积为定值），则当x =y 时，和x +
y 取得最小值注意：利用基本不等式求最值条件：① 正 ② 定 ③ 相等 5、对号函数图像性质
y =ax +
b x
(a , b >0) 的图像与性质：
．
（1）定义域：{x |x ≠0}；
（2
）值域：{y |y ≥或y ≤-； （3）奇偶性：奇函数； （4
）单调性：在区间(-∞, 在区间(0,
和+∞) 上是增函数，
0) 上为减函数；
（5）渐近线：以y 轴和直线y =ax 为渐近线；
和[（6）图象：如右图所示
五、简单线性规划 1、基本概念
①、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． ②、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
③、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(x , y )，所有这样的有序数对(x , y )构成的集合． 2、二元一次不等式(组) 所表示的平面区域
(1) 一般, 二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面) ，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面) ．
(2) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：
①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0) ，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负) 来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0) 所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0) 作为特殊点．
②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域． （ⅱ）B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域； B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域. 4．简单线性规划
(1) 基本概念：
目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式) ．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y ) 称为可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域． (2) 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
高中数学必修5知识点
第一章、数列
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．
3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．a n +1-a n >0 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．a n +1-a n
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
的数列．
4、数列的通项公式：表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项）间的关系的公式．
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：a n -a n -1=d (n ≥2) 或a n +1-a n =d (n ≥1)
2、通项公式：若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n =a 1+(n -1)d ．
通项公式的变形：①a n =a m +(n -m )d ；②d =通项公式特点：a n =d n +(a 1-d )
a n =kn +m ，（k , m 为常数) 是数列{a n }成等差数列的充要条件。
a n -a m n -m
．
3、等差中项
若三个数a ，A，b 组成等差数列，则A称为a 与b 的等差中项．若b =称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列b =4、等差数列{a n }的基本性质(其中m , n , p , q ∈N )
*
a +c 2
，则
a +c 2
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q 。 （2）a n -a m =(n -m ) d （3）2a n =a n -m +a n +m
5、等差数列的前n 项和的公式
公式：①S n =
n (a 1+a n )
2
d 2
2
；②S n =na 1+
d 2
n (n -1)2
d ．
公式特征：S n =n +(a 1-
) n 是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前n 项和的性质：
①若项数为2n (n ∈N*)，则S 2n =n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=a n a n +1=
n n -1
．
②若项数为2n -1(n ∈N*)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，（其中S 奇=na n ，S 偶=(n -1)a n ）． ③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
*
①定义法：a n +1-a n =d (常数）（n ∈N ）⇒{a n }是等差数列
S 奇S 偶
②中项法：2a n +1=a n +a n +2③通项公式法：a n =kn +b
（n ∈N ) ⇒{a n }是等差数列
*
(k , b 为常数) ⇒{a n }是等差数列
(A , B 为常数) ⇒{a n }是等差数列
2
④前n 项和公式法：S n =An +Bn
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：
2、通项公式
n -1
（1）、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q ．
a n +1a n
=（q 常数）
n -m n -m
=（2）、通项公式的变形：①a n =a m q ；②q
a n a m
．
3、等比中项：在a 与b 中插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的
等比中项．若G =ab ，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是±G 。
2
4、等比数列性质
若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ； 若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n =a p ⋅a q ．
2
5、等比数列{a n }的前n 项和的公式：
⎧na 1(q =1)
⎪
（1）公式：S n =⎨a (1-q n )a -a q ．
11n
=(q ≠1)⎪
1-q ⎩1-q
（2）公式特点：s n =
a 11-q
(1-q )=k (1-q
n
n
n
) =A -Aq
（3）等比数列的前n 项和的性质：①若项数为2n (n ∈N*)，则
S 偶S 奇
=q ．
n
②S n +m =S n +q ⋅S m ．③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列（S n ≠0）．
6、等比数列判定方法： ①定义法：
a n +1a n
2
=q （常数）⇒{a n }为等比数列；
②中项法：a n +1=a n ⋅a n +2
n
③通项公式法：a n =k ⋅q
(a n ≠0) ⇒{a n }为等比数列；
(k , q 为常数）⇒{a n }为等比数列；
n
④前n 项和法：S n =k (1-q ) （k , q 为常数）⇒{a n }为等比数列。
四、求通项公式方法
①观察、归纳、猜想法求数列通项 S 1⎧
②应用a n =⎨
⎩S n -S n -1
(n =1) (n ≥2)
求数列通项
注意：一分为二或合二为一
③累加法：若递推关系式形式为a n +1=a n +f (n ) 用累加法 ④累乘法：若递推关系式形式为a n +1=a n f (n ) 用累乘法 ⑤转化为等差法：若递推关系式形式为a n +1=
m n p a n +m
（m 、p 为常数）
⑥转化为等比法：若递推关系式形式为a n +1=pa n +q 。
五、求前n 项和公式方法
①公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式 ②倒序相加法：若数列首尾两项和有规律
③乘比错位相加法：通项公式为c n =a n b n （其中a n 为等差数列，b n 为等比数列） ④裂相求和法：通项公式为b n =⑤分组求和
k a n a n +1
=k (1-
1a n +1
) （a n 为等差数列）
d a n
第二章、解三角形
一、正弦定理
1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，R 为∆ABC 的外接圆的半径，则有
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R
．
2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ； ②
sin A=
a 2R
，
sin B=
b 2R
，
=
sin C =
c 2R
；③a :b :c =sin A:sin B:sin C ；
b sin B
=
c sin C ．
a +b +c a sin A
④sin A+sin B+sin C 3、定理应用范围：
=
（1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边 4、已知两边及一边对角解的个数判断
已知边a,b 和∠A
a
无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA
12
ac sin B．
5、三角形面积公式：S ∆ABC =
12
bc sin A=
12
ab sin C =
二、余弦定理
1、余弦定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A，b =a +c -2ac cos B，
c =a +b -2ab cos C ．
222b +c -a
2bc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2、、余弦定理的推论：
cos A=
，
cos B=
222
a +c -b
2ac
，cos C =
222a +b -c
2ab
．
3、余弦定理应用范围：
（1）已知三边 （2）已知两边及其夹角（两边及一角）
4、射影定理：a =b cos C +c cos B , b =a cos C +c cos A , c =a cos B +b cos A 三、常用公式及结论
1、设a 、b 、c 是∆ABC 的角A、B、C 的对边，则：
①若a +b =c ，则C =90；②若a +b >c ，则C 90．
2
2
2
222 222
2、大边对大角A>Ba>bsinA>sinB 3、三角形内角和定理
Sin
A +B +C =π ,
A +B +C
2
=
π
2
, ⎛⎝
A +B 2⎫
=
π
2
-
C
⎛A +B ⎫⎛C ⎫
Cos ⎪=Sin ⎪
⎝2⎭⎝2⎭2
(A +B )
=Sin C
() Cos (A +B )
=-C os C
() Sin A +B ⎪
2
⎛C ⎫
=C os ⎪⎭⎝2⎭
Sin 2α=2Sin αC os α；tan 2α=
2tan α1-tan α
2222
C os 2α=2C os α-1=1-2Sin α=C os α-Sin α
4、二倍角公式：
S in S in C o s
(α+β)(α-β)(α+β)
=S in αC o s β+C o s αS in β , S=S in αC o s β-C o s αS in β , S=C o s αC o s β-S in αS in β , C
(α+β) (α-β)
(α+β)
C o s (α-β)=C o s αC o s β)=
+S in αS in β , C
5、两角的和与差公式：
tan (α+β
(α-β)
tan α+tan β1-tan αtan β=
, T
(α+β)
tan
(α-β)
tan α-tan β1+tan tan , T
(α-β)
6、辅助角公式
y =aSin α+bC os α=
(α+ϕ)（, 其中tan ϕ=
b a
）
第三章、不等式
一、比较大小及不等式性质
1、比较大小依据：a -b >0⇔a >b ；a -b =0⇔a =b ；a -b
理化、因式分解等）③定号 作商法：
当a >0, b >0时
a b
>1⇔a >b ,
a b
=1⇔a =b ,
a b
3、不等式的性质： ①a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c ； ③a >b ⇒a +c >b +c ；④a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b , c >d ⇒a +c >b +d ；⑥a >b >0, c >d >0⇒ac >bd ； ⑦
a >b >0⇒a >b
n
n
(n ∈N, n >
1)；⑧a >b >0⇒
>
n ∈N, n >1)
．
二、一元二次不等式解法：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 解法步骤：⑴确定对应一元二次方程的判别式及根
⑵作出对应一元二次函数的图像
⑶由函数图象写出相应不等式的解集
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
a >0
2
ax +bx +c >0(a ≠0)恒成立条件∆
2
=b -4ac
a
ax
2
+bx +c
2
-4ac
4、含参一元二次不等式解法
分类讨论：①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小 5、一元二次方程实根分布 分析思路：
x 12a
x 22a
求根公式法：
韦达定理法：①判别式②两根之和③两根之积
函数图象法：①判别式②对称轴位置③区间端点函数值
基本类型与相应方法： 设 f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0) ，则方程f (x ) =0的实根分布的基本类型及相应方法如下表：
三、基本不等式
1、a 、b 是两个正数，则何平均数．
2、均值不等式定理： 若a >0，b >0，则a +b ≥a +b 2
≥
．
a +b 2
称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几
3、常用的基本不等式：①a +b ≥2ab (a , b ∈R )；②ab ≤
2
2
2
2
2
2
a +b 2
22
(a , b ∈R )；
⎛a +b ⎫
③ab ≤ ⎪
⎝2⎭
(a >0, b >0)；④
a +b 2
⎛a +b ⎫≥ ⎪⎝2⎭
(a , b ∈R )．
4、基本不等式求最值：设x 、y 都为正数，则有
（1）若x +y =s （和为定值），则当x =y 时，积xy 取得最大值
s 4
2
．
（2）若xy =p （积为定值），则当x =y 时，和x +
y 取得最小值注意：利用基本不等式求最值条件：① 正 ② 定 ③ 相等 5、对号函数图像性质
y =ax +
b x
(a , b >0) 的图像与性质：
．
（1）定义域：{x |x ≠0}；
（2
）值域：{y |y ≥或y ≤-； （3）奇偶性：奇函数； （4
）单调性：在区间(-∞, 在区间(0,
和+∞) 上是增函数，
0) 上为减函数；
（5）渐近线：以y 轴和直线y =ax 为渐近线；
和[（6）图象：如右图所示
五、简单线性规划 1、基本概念
①、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． ②、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
③、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(x , y )，所有这样的有序数对(x , y )构成的集合． 2、二元一次不等式(组) 所表示的平面区域
(1) 一般, 二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面) ，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面) ．
(2) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：
①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0) ，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负) 来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0) 所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0) 作为特殊点．
②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域． （ⅱ）B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域； B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域. 4．简单线性规划
(1) 基本概念：
目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式) ．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y ) 称为可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域． (2) 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．