第一章 信号与系统的基本概念
§1.1 绪言
信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。
在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。
研究的主要内容：顾名思义
系统
响应 一个典型的电系统—通信系统
信息源 转换 电信号 电信号 还原 受信者（声音、文字、图象）
/响应
通信系统
1 控制系统抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系 ○
经济系统
2 信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号 ○
* 信号与系统的关系：互相依存
信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、处理.
系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组合。离开了信号，系统就失去了意义.
§1.2 信号
一. 定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）变化的物理量。
本课程主要研究电信号（电流、电压）。
二. 信号的分类：从不同的角度 1 从函数的定义域（时间）是否连续：
1 连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t 是连续的，f ○
（t ）可是，也可不是
表达方式 时间的函数（解析式），如f （t ）=Asinπt
波形图表示：
上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词可互相通用 2离散时间信号：○在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义，
其余无定义
序列f （k ）=2k ，k ≥0 图形表示：
序列值f （k ）=｛0、1、2、4、8、……｝
f （kt ）−−−→f （k ）
简化
0 T 2T 3T
t
间隔相等 kT
2 从信号的重复性：
1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T 重复○
变化
连续f （t ）=f（t+mT）
离散f （k ）=f（k+mK） K 为整数 2 非周期信号：不具有周期性的信号 ○
例：正弦序列f （k ）=sinkβ β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性
按定义：sink β=sin(β·k+m·2π) β=时，
6
π2π
β2π
=12，为整数，是周期序列，k =12 =
314
β=
8π311
时，
β
，为有理数，是周期序列，k =31
β=时，
2
2π
β
=4π，为无理数，是非周期序列
3
实信号：物理可实现的
复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f （t ）=est ，-∞＜t ＜+∞， δ= ζ+jω f （t ）=e（ζ+jω）t =eζ t ·e j ωt = eζ t cos ωt+j eζ t sinωt ζ＞0，增幅振荡 ζ＜0，衰减振荡 ζ=0，等幅振荡
当ω=0，f （t ）= eζt 为实指数信号
当ζ=ω=0，f （t ）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 4．从能量有限和功率有限的角度：
0＜E ＜∞（p=0），如矩形脉
冲、衰减的指数
0＜P ＜∞（E —＞∞），如周
期信号、阶跃信号
信号f （t ）的能量E
def
lim
T →∞
⎰
T
-T
f （t ）|2dt
信号f （t ）的功率P def
lim T →∞
1T
⎰
T /2
-T /2
|f（t ）|2dt
实轴
§1.3 信号的基本运算
一 加法和乘法
f(·)=f1(·)+f2(·) 瞬时和 f(·)=f1(·) ·f 2(·) 瞬时积 例1.3-1
t
t
-2
f 1(k)+ f2(k) = 2k +2-k k=-1、-2
k+1 +2-k k ≥0
0 k ＜-2
f 1(k)× f 2 1 k=-1、-2
(k+1)×2-k k ≥0
二 反转和平移
反转： f(t)—＞f(- t) 以纵坐标为轴反折
t
倒相： f(t)—＞-f(t) 以横坐标为轴反折
f(t)
-f(t) t
f(t)—＞f(t-t0)
f(t)（t ）—＞f(t+t0)
f(t)
f(t-1)
t
t
平移与反折结合：f(t)—＞f(-t-t0) 注意：先平移后反转f[-（t+t0）]
若先反转f （-t ）则f （-t-t 0）为左移
t
t
t
三 尺度变换（横坐标展缩） f(t)—＞f(at)
若a ＞1，以原点（t=0）为基准，压缩1/a 若0＜a ＜1，以原点（t=0）为基准，展宽1/a 若a ＜0，反转并压缩或展宽至
1/|a|
12t
四 复合运算 f(t)—＞f(-at+b)
顺序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反转f(-t+b)；最后尺度变换f(-at+b). 逆符合运算f(-at+b)—＞f(t)
顺序：先尺度变换 f(-t+b)；再反转f(t+b)；最后平移f(t)
t
例：已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形
a =1/2展宽2倍
解题思路：f(5-2t)−乘−−−−−→f(5-2×2t)= f(5-t)
−−−→
反转
5
f(5+t)−右移−−→f(5+t-5)= f(t)
§1.4 阶跃函数和冲激函数
重要性：完成信号的时域分解
f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和
可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活
必要性：不是普通函数，而是奇异函数，有许多特殊的性质 重 点：引入两个函数的概念，讨论δ(t ) 的性质
一 阶跃函数和冲激函数的定义
0， t ＜0
1 阶跃函数ε(t )
def
lim n →∞
r n
12
， t=0
波形： 1， t ＞0
2 冲激函数δ(t )
def
lim n →∞
p n (t) 幅度—＞∞
宽度—＞0 强度始终为1 波形：
表达式：
0 t ＜
n 1
r n (t)=
12
+
n 2
t -＜t ＜ —＞ε(t ) [条件：n —＞∞，斜率
n
n
11
无限大，区间
1 t ＞ （-，）—＞0]
n
n
n
1
1
1
0 t ＜-
n
1
r n ‘(t)= pn (t)= n 2
-＜t ＜ —＞δ(t ) [条件：n —＞∞，幅度无
n
n
11
限大，宽度—＞0]
0 t ＞
n 1
p n (t)的强度始终为1 3 ε(t ) 与δ(t ) 的关系
δ(t ) = δ(t ) =⎰
d ε（t ）dt
（注意积分上、下限）= 0，t ＞0
1，t ＜0
t
-∞
δ（t ）dx
4 冲激函数的另2种定义
1
荻拉克给出 δ(t ) =0， t ≠0 ○
⎰δ(t ) =1，函数波形下的面积为1
-∞
该定义物理概念较明确，最易理解 2 δ(t ) 的广义函数定义 （严格的数学定义） ○
检验函数ϕ(t ) ：连续的，具有任意阶导数，且ϕ(t ) 及其各阶导
数在无限远处急速下降（|t|—＞∞，比1/|t|m 下降更快）的普通函数（如e -| t2|等）
按广义函数理论，δ(t ) 意义为：⎰
∞-∞
∞
δ(t ) ϕ(t ) =ϕ(0)
δ(t ) 作用于ϕ(t ) 的效果是给它赋值ϕ(0) 5 δ(t ) 的移位及强度表示：
δ(t ) ： t=0处的冲激
δ(t -t 1) ： t= t1处的冲激
A δ(t -t 2) ： t=t2处，强度为A -A δ(t -t 3) ： t=t3处，强度为-A
二 δ(t ) 的性质
1 取样性质（筛选性质）：⎰-∞δ(t ) ϕ(t ) dt =ϕ(0)
∞
2 与普通函数的乘积：f(t)δ(t ) = f(0)δ(t ) ∵⎰又⎰
∞-∞∞-∞
[ f(t)δ(t ) ]ϕ(t ) dt=⎰
∞-∞
δ(t ) [f(t)ϕ(t ) ]dt=f(0)ϕ(0)
∞-∞
[f(0)δ(t ) ]ϕ(t ) dt= f(0)⎰
δ(t ) ϕ(t ) dt= f(0)ϕ(0)
∴ 按广义函数相等的原理可得：
f(t)δ(t ) = f(0)δ(t )
⎰-∞
∞
δ(t ) f(t)dt=⎰
∞-∞
δ(t ) f(0)dt= f(0)
注意公式成立的条件：f(t)、ϕ(t ) 也必须属于急降的检验函数。
例：t ·δ(t ) =0·δ(t ) =0 e -αt ·δ(t ) = e-α0·δ(t ) =δ(t )
-3t-1-3·0-1
·1=e-1（其中1为强度） ⎰-∞e δ(t ) dt=e
∞
δ(t -t 1) ϕ(t ) dt=ϕ(t 1) 3 移位 ⎰-∞
∞
对普通函数f(t) f(t)δ(t -t 1) = f(t1) δ(t -t 1) ⎰f(t)δ(t -t 1) dt= f(t1) -∞ 分段连续函数在区间（-∞，∞ ）的导数。 跳跃度 J i =f(ti+)-f(ti-)
广义函数概念：t i 处导数为：J i δ(t -t )
i
∞
∴ f ‘(t)= f‘c (t)+∑J i δ(t -t )
i
i
例：1.4-2 求f ‘(t) -∞＜t ＜∞
解：
0 t ＜0，t ＞3 2+t 0＜t ＜3
32
方法一：直接用上述结论 两个间断点
t 1=0，J 1= f(0+)-f(0-)=2 t 2=3，J 2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4
2
∴ f ‘(t)=[ε(t ) -ε(t -3) ]+2δ(t ) -4δ(t -3)
3
方法二：从函数求导
2
f(t)=(2+t)[ε(t ) -ε(t -3) ]
3
22
f ‘(t) =(2+t) ‘[ε(t ) -ε(t -3) ] +(2+t)[ε(t ) -ε(t -3) ]‘
3
3
22
=[ε(t ) -ε(t -3) ]+(2+t)[δ(t ) -δ(t -3) ]
3
3
2
=[ε(t ) -ε(t -3) ]+2δ(t ) -4δ(t -3)
3
所求得的f ‘(t)如下图
4 尺度变换：δ(at ) =推导：从⎰
∞-∞
1|a |
δ(t ) 实际是强度变化，而不是展缩
δ(at ) ϕ(t ) dt 研究：
若a ＞0，|a|=a，令x=at δ(at ) ϕ(t ) dt=⎰∵ ⎰-∞-∞
∞
∞
x dx
δ(x ) ϕ() =1ϕ(0)
a |a ||a |
1|a |
而⎰
∞-∞
1|a |
1
δ(t ) ϕ(t ) dt=ϕ(0)
∴ δ(at ) =
|a |
δ(t )
若a ＜0，同理可证 5 奇偶性：δ(t ) 是偶函数
取a=-1，δ(-t ) =δ(t )
三 δ(t ) 的导数和积分
1 导数定义：δ' (t ) ：
⎰-∞
∞
δ' (t ) ϕ(t ) dt= -⎰
∞-∞
δ(t ) ϕ' (t ) dt = -ϕ' (0)
∞-∞
推导：分步积分 δ' (t ) =⎰
δ' (t ) ϕ(t ) dt
∞
ϕ' (t ) dt =δ' (t ) ϕ(t ) |∞-∞-⎰-∞δ(t )
= 0-⎰-∞δ' (t ) ϕ' (t ) dt = -ϕ' (0) n 阶导数：δ
(n )
(t ) ：⎰
∞-∞
∞
δ
(n )
(t )
ϕ(t ) dt =（-1）n ϕ
(n )
(t )
2 导数的性质：
与f （t ）的乘积：f(t)δ' (t ) = f(0)δ' (t ) - f`(0)δ(t ) 移位：
f(t)δ' (t -t ) = f(t1) δ' (t -t ) - f`(t1) δ(t -t )
1
1
1
-∞
∞
f(t)δ' (t -t ) dt = - f`(t1)
1
尺度变换δ' (at ) =
1|a |
1
·δ' (t ) a
δ(n ) (at ) =
1|a |
·
1a n
δ
(n )
(t )
奇偶性：取a = - 1，δ(n ) (-t ) =(-1)n δ(n ) (t )
当n 为偶数时，有δ(n ) (-t ) =δ(n ) (t ) 是偶函数 当n 为奇数时，有δ(n ) (-t ) = -δ(n ) (t ) 是奇函数 3 δ(t ) 的积分：
积分的区间为(-∞，t) 时，区间为(-∞，+∞) 时
δ(t ) =⎰
t -∞t -∞
δ' (x ) dx ⎰δ(t ) dt=1
-∞
∞
ε(t ) =⎰
δ(x ) dx ⎰δ' (t ) dt=0
-∞
∞
非普通，仅是表达形式 r(t)=⎰-∞
t
ε(t ) dx =⎰
t
1·dx =t·ε(t ) 普通积分
* 有关信号的几个概念：
1．无时限信号：在t （-∞，+∞）内均有f(t)≠0 2．有始信号：t ＜t 1时f(t)= 0, t ＞t 1时f(t)≠0
3．有终信号：t ＜t 2时f(t)≠0，t ＞t 2时f(t)= 0 4．因果信号：t ＜0时f(t)=0；
t ＞0时f(t)≠0 ， f(t)·v(t)表示
5．反因果信号：t ≥ 0时f(t)=0；
t ＜0时f(t)≠0 ， f(t)·v(-t)
6．时限信号：在（t 1，t 2）内，f(t)≠0
*．抽样信号：f(t)=sin t =Sa(t) -∞＜t ＜∞
t
性质：（1）是t 的偶函数。 （2）
lim f(t)= f(0)=1
t →0
（3）当t=kπ(k=±1, ±2……) 时，f(t)=0 （4）⎰（5）
∞-∞
f(t)dt=⎰
sin
t t
∞-∞
sin t t
dt=π
lim T →±∞
=0
‘
例：写出f(t)的时域表达式，并画出波形，求f(t)、f ‘(t)、f ‘(t)
f(t) = sint[v(t)-v(t-π)]
f `‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[δ(t ) -δ(t -π) ]
= cost[v(t)-v(t-π)]
‘
f ‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[δ(t ) -δ(t -π) ]
= - sint[v(t)-v(t-π)] + δ(t ) +δ(t
-π)
§ 1.5 系 统
系统分析：实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论：☞ 即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻
组成，用代数方程描述
☞ 动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过
去历史状态有关（初始条件） 。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描述。
系统的描述： ☞ 数学模型
☞ 框图表示
两种描述可互换。
1．系统的数学模型
☞ 连续系统 — 微分方程 例1． R LC 串联电路
由KVL: uL (t)+ uR (t)+ uC (t)= uS (t)
由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*uC ’(t) uR (t)=R*i(t)=R*C*uC ’(t)
u L (t)=L*i’(t)=L*C*uC ”(t)
整理：u C ”(t)+R/L* uC ’(t)+1/L/C * uC (t)=1/L/C * uS (t) 二阶线性微分方程求解：需已知初始条件 uC （0）, uC ’(0). 结论：有以上数例可见，虽然系统的具体内容各不相同，但描述各系统的数学模型都是微分方程，因此在系统分析中，常抽去系统的物理含义，而作为一般意义下的系统来研究，以便于揭示系统的一般特性。 ☞ 离散系统---差分方程 例1：人口问题
y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 第k 年人口 第(k-1)年人口 出生 死亡 迁入 整理：y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ☞ 一阶差分方程
☞ 结论：有以上数例可见，虽然系统的内容各不相同，但描述这些
离散时间系统的数学模型都是差分方程，因而也能用相同的数学方法来分析。
2．系统的框图表示
☞ 连续系统：基本单元有三个：积分器、加法器、数乘器
例1．5-2、已知框图表示，写出微分方程。
解：设右方积分器的输出为x(t) 左
输出：x”(t)=f(t)-a 0*x(t)-a1*x’(t)
→f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1)
右
输 出：y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2)
为求y(t)与f(t)的关系，消去中间变量x(t)及其导数。 由（2）： a0*y= b2*( a0*x”)+ b 1*( a0*x’)+ b0*( a0*x)
a 1*y’= b 2*( a 1 *x”)’+ b1*( a 1*x’)’+ b 0*( a 1*x)’
y”= b 2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b 0*(x)” 相加：y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]”
+b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b 0*[x”+ a1*x’+ a0*x]
∴ y”(t)+ a 1*y’(t)+ a0*y(t)= b 2*f”(t)+ b 1*f’(t)+ b 0*f(t)
☞离散系统：延迟单元，加法器、数乘器 f(k) →
例1．5-3、 已知离散系统框图，写出差分方程。
→ y(k)=f(k-1)
解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) ∑:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→ 左○
x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1)
∑: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 右○
为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。
a 1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)=
b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程
☞ 结论：已知框图，写方程的步骤。
（1） 选中间变量x(.)。
（2） 写出个加法器输出信号的方程。 （3） 消去中间变量。
☞ 动态系统是否为线性系统：
例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t 0f(x)dx 非线性
分解特性： 当 f(t)=0时，应得到y x (t)←x(0) , 实际 y(t)=0.
当x(t)=0时，得到y f (t)= ∫t 0f(x)dx ∴不满足。
例2： y(t)= t*x(t)+sint*f(t) 分解特性： 令f(t)=0, yx (t)= t*x(t).
令x(0)=0,yf (t)= sint*f(t) 满足。
零输入线性;T[a1*x1(0)+ a2*x2 (0)]= t*[ a1* x1(0)+ a2* x2 (0)]
= a1*t*x1(0)+ a2*t* x2 (0) = a 1*T[x1 (0)]+ a2*T[x2 (0)]
零状态线性：T[a1* f1(t)+a2* f2 (t)]
= sint*[ a1* f1 (t)+ a2* f2 (t)] = a1*sint* f1 (t)+ a2*sint* f2 (t)
均满足，为线性。
§1.6 系 统 的 性 质
系统可分为： ☞ 线性系统和非线性系统
☞ 时变系统和时不变系统
☞ 因果系统和非因果系统 ☞ 稳定系统和非稳定系统
线性时不变系统(Linear Time Invariant)LTI系统。 激励与响应关系的表示：
一、 线性：
齐次性： T[a*f(t)= a*T[f(t)]= a*y(t)
输入增大a 倍，响应也增大a 倍。
可加性： T[f1 (t)+ f2 (t)]=T[f1 (t)]+T[f2 (t)]
= y1 (t)+ y2 (t) 等于激励和响应等于响应之和。
线性：既是齐次的又是可加的。
T[a1* f1 (t)+ a2* f2(t)]= a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f2 (t)]
例;1、积分器 f(t)→
→y(t)= T[f(t)]=∫t -∞ f(x)dx
→ T[a1* f 1 (t)+ a 2* f 2 (t)]
→
= ∫t -∞[a1* f1 (x)+ a2* a2 (x)]dx
= a1*∫t -∞f 1 (x)dx+ a2*∫t -∞f 2 (x)dx = a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f
2 (t)]
∴ 此系统是线性的。
2、平方运算
f(x) → y(t)=T[f(t)]=f2
(t) a*f(t)T[a*f(t)]=[a*f(t)]2=a2*f2(t)
= a2*T[f(t)]≠ a*T[f(t)]
T [f1 (x)+ f2 (x)]=[ f1 (x)+ f2 (x)]2
≠f
1 2(x)+ f2 2(x)
∴ 此系统是非线性。 3、
f(k)y(k)=f(k)*f(k-1)
a*f(k)T[a*f(k)]= a*f(k)*a*f(k-1)
= a2*f(k)*f(k-1)
≠ a*f(k)*f(k-1)
T[f1 (k)+ f2 (k)]
=[ f1 (k)+ f2 (k)]*[ f1 (k-1)+ f2
(k-1)]≠f 1 (k)* f1 (k-1)+ f2 (k)* f2 (k-1) ∴ 此系统是非线性的。
动态系统中线性性质的应用：
→ y(t) = T[｛x （0）｝, ｛f(t)｝]
｛x(0)｝,0]+T[0,｛f(t)｝] = yx (t)+ yf (t) 分解特性：
零输入响应：y x (t)=T[｛x(0)｝,0],对多个x(0)，满足零输入线性。
零状态响应：y f (t)=T[0,｛f(t)｝],对多个
f(t),满足零状态线性。
现性：满足分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统。
二、时不变性
定义：系统的参数都是常数，称为时不变（非时变）系统。 性质：激励延迟一定的时间td ，则它引起的零状态响应也延迟td. 设T[｛0｝,f(t)]= yf (t) T[{0},f(t- td )]= yf (t- td )
例 1、y f (t)= e-t * f(t) ═> 时变
2、y(k)+(k-1)* y(k-1) = f(k) ═> 时变
3、T[{0},f(t- td )] = e-t * f(t- td ) ═> 非时变 4、y f (t- td ) = e-(t-td) * f(t- td ) ═>非时变
三、本书只讨论线性时不变系统。
即LTI(Linear Time Invariant)的特性。
1．
LTI —常系数线性微分方程（差分方程）描述。
如：y’(t) + 2 * y (t) = f’(t)- 2 * f(t) y’(t) + sint * y(t) = f(t) 线性系统 y”(t) + [y(t)]2 = f(t) 非线性系统
证：y 1”(t)+[ y1”(t)]2 = f1 (t)
y 2”(t)+[ y2 (t)]
2
= f2 (t)
f1 (t)+ f 2 (t)=[ y 1 (t)+ y 2 (t)]”+[ y 1 (t)]2+[ y 2 (t)]2
2、LTI 连续系统具有微分特性： 若 T[{0},f(t)]= yf (t) 则 T[{0},f’(t)]= y f ’(t)
证：由时不变 T[{0},f(t-△t)]= yf (t-△T)
由线性T[{0},[f(t)-f(t-△t)]/ △t]
=[ yf (t)- yf (t-△T)]/ △T.
△t →0, T[{0},f’(t)]= yf ’(t). 3、LTI 连续系统具有积分特性
若T[{0},f(t)]= yf (t),且f(-∞)=0, yf (-∞)=0 则 T[{0},∫t -∞f(x)dx]=∫t -∞y f (t)dt
例：LTI 系统，在零状态条件下激励f 1 (t)与响应y 1 (t)如图，
求f 2 (t)时的y 2 (t). 解：因有f 2 (t)= ∫t -∞f 1 (η)d η
故有y 2 (t)= ∫t -∞y 1 (η)d η
☞ LTI 连续系统具有微分特性：T[{0},f(t)]= yf (t),
→T[[0],df(t)/dt]=d[yf (t)]/dt
☞ LTI 连续系统具有积分特性： T[{0},f(t)]= yf (t),
→T[{0},∫t -∞f(x)dx]=∫t -∞y f (x)dx
条件是f(-∞)=0, yf (-∞)=0.
例：1.6-1 [P31}
解：（1）首先符合分解特性：
☞ y x (t) = a * x(0) 零输入线性
☞ y f (t) = b *∫0
t
f(η)d η t≥0 零状态线性
∴是线性的。
时不变性针对零状态响应y f (t),判断y f (t-t0) 是否等于T[f(t-t0)].
∵y f (t-t0)= b *∫0(t-t0) f(η)d η t-t0≥0 T[f(t-t0)]= b *∫0t f(η-t 0)d η t≥t 0
= b *∫-t0(t-t0)f(x)dx t≥t 0 (x=η-t 0) = b *∫0-t0f(x)dx+b* ∫0t-t0f(x)dx
= b *∫0t-t0f(x)dx t≥t 0
{条件:t=0时，接入f(t).即t
（2）同上。 三、因果性、
因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统。 定义：如果f(t)= 0,t
= 3 * f(t-1)
非因果：y f （t ）= 3 * f(t+1)
y f （t ）=f(2*t) yf （1）=f(2) y f （k ）=f(k²) yf （2）
=f(4)
四、稳定性：对有界激励，其零状态响应也是有界的。
定义：如果|f(t)|
∵y f （k ）= f(k) + f(k-1) ∴系统是稳定的。 ∵y f （t ）=∫0t f(x)dx取f(t)=ε(t)有界，
但y f （t ）= t*ε(t)无限。
∴系统是不稳定的。
§1.7 LTI系统分析方法概述
☞
系统分析的任务：
1、建立描述系统的数学方程式（微分/差分方程）。 2、给定初始状态和f(t),求响应y(t)
☞ 描述系统的方法: ( 建立数学方程式 )
1、 输入输出法（外部法）：建立f(t)与y(t)的直接关系， 考虑内部状态x(t),微分/差分方程，适用于单输入/出系统。 2、 状态变量法（内部法）：状态方程和输出方程，适用于多输入/出系统。
☞ 输入输出分析法：（求解方程的方法） 一、 时域分析 1、 2、
连续系统（2）：求解微分方程；卷积积分. 离散系统（3）：求解差分方程；卷积积分.
二、变换域分析：
1、 2、 3、 4、
连续系统傅里叶变换（4）；频谱，频域分析。 卷积 连续系统拉式变换（5）； 微分方程→ 代数方程。 ↓ 离散系统z 变换（6）； 差分方程→ 代数方程。 乘积 系统函数（7）；决定系统的特性。
☞ 出发点：把复杂信号分解为基本信号之和。 ☞ 基本信号：δ（t ）、ε(t)、e jwt 、sin ωt 、e st 等。
☞ 学习本课程的原则：
1、物理语言描述与数学语言描述并重； 2、信号分析与系统分析并重； 3、时域分析法与变换域分析法并重； 4、连续时间系统与离散时间系统并重；
第一章 信号与系统的基本概念
§1.1 绪言
信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。
在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。
研究的主要内容：顾名思义
系统
响应 一个典型的电系统—通信系统
信息源 转换 电信号 电信号 还原 受信者（声音、文字、图象）
/响应
通信系统
1 控制系统抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系 ○
经济系统
2 信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号 ○
* 信号与系统的关系：互相依存
信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、处理.
系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组合。离开了信号，系统就失去了意义.
§1.2 信号
一. 定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）变化的物理量。
本课程主要研究电信号（电流、电压）。
二. 信号的分类：从不同的角度 1 从函数的定义域（时间）是否连续：
1 连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t 是连续的，f ○
（t ）可是，也可不是
表达方式 时间的函数（解析式），如f （t ）=Asinπt
波形图表示：
上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词可互相通用 2离散时间信号：○在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义，
其余无定义
序列f （k ）=2k ，k ≥0 图形表示：
序列值f （k ）=｛0、1、2、4、8、……｝
f （kt ）−−−→f （k ）
简化
0 T 2T 3T
t
间隔相等 kT
2 从信号的重复性：
1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T 重复○
变化
连续f （t ）=f（t+mT）
离散f （k ）=f（k+mK） K 为整数 2 非周期信号：不具有周期性的信号 ○
例：正弦序列f （k ）=sinkβ β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性
按定义：sink β=sin(β·k+m·2π) β=时，
6
π2π
β2π
=12，为整数，是周期序列，k =12 =
314
β=
8π311
时，
β
，为有理数，是周期序列，k =31
β=时，
2
2π
β
=4π，为无理数，是非周期序列
3
实信号：物理可实现的
复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f （t ）=est ，-∞＜t ＜+∞， δ= ζ+jω f （t ）=e（ζ+jω）t =eζ t ·e j ωt = eζ t cos ωt+j eζ t sinωt ζ＞0，增幅振荡 ζ＜0，衰减振荡 ζ=0，等幅振荡
当ω=0，f （t ）= eζt 为实指数信号
当ζ=ω=0，f （t ）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 4．从能量有限和功率有限的角度：
0＜E ＜∞（p=0），如矩形脉
冲、衰减的指数
0＜P ＜∞（E —＞∞），如周
期信号、阶跃信号
信号f （t ）的能量E
def
lim
T →∞
⎰
T
-T
f （t ）|2dt
信号f （t ）的功率P def
lim T →∞
1T
⎰
T /2
-T /2
|f（t ）|2dt
实轴
§1.3 信号的基本运算
一 加法和乘法
f(·)=f1(·)+f2(·) 瞬时和 f(·)=f1(·) ·f 2(·) 瞬时积 例1.3-1
t
t
-2
f 1(k)+ f2(k) = 2k +2-k k=-1、-2
k+1 +2-k k ≥0
0 k ＜-2
f 1(k)× f 2 1 k=-1、-2
(k+1)×2-k k ≥0
二 反转和平移
反转： f(t)—＞f(- t) 以纵坐标为轴反折
t
倒相： f(t)—＞-f(t) 以横坐标为轴反折
f(t)
-f(t) t
f(t)—＞f(t-t0)
f(t)（t ）—＞f(t+t0)
f(t)
f(t-1)
t
t
平移与反折结合：f(t)—＞f(-t-t0) 注意：先平移后反转f[-（t+t0）]
若先反转f （-t ）则f （-t-t 0）为左移
t
t
t
三 尺度变换（横坐标展缩） f(t)—＞f(at)
若a ＞1，以原点（t=0）为基准，压缩1/a 若0＜a ＜1，以原点（t=0）为基准，展宽1/a 若a ＜0，反转并压缩或展宽至
1/|a|
12t
四 复合运算 f(t)—＞f(-at+b)
顺序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反转f(-t+b)；最后尺度变换f(-at+b). 逆符合运算f(-at+b)—＞f(t)
顺序：先尺度变换 f(-t+b)；再反转f(t+b)；最后平移f(t)
t
例：已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形
a =1/2展宽2倍
解题思路：f(5-2t)−乘−−−−−→f(5-2×2t)= f(5-t)
−−−→
反转
5
f(5+t)−右移−−→f(5+t-5)= f(t)
§1.4 阶跃函数和冲激函数
重要性：完成信号的时域分解
f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和
可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活
必要性：不是普通函数，而是奇异函数，有许多特殊的性质 重 点：引入两个函数的概念，讨论δ(t ) 的性质
一 阶跃函数和冲激函数的定义
0， t ＜0
1 阶跃函数ε(t )
def
lim n →∞
r n
12
， t=0
波形： 1， t ＞0
2 冲激函数δ(t )
def
lim n →∞
p n (t) 幅度—＞∞
宽度—＞0 强度始终为1 波形：
表达式：
0 t ＜
n 1
r n (t)=
12
+
n 2
t -＜t ＜ —＞ε(t ) [条件：n —＞∞，斜率
n
n
11
无限大，区间
1 t ＞ （-，）—＞0]
n
n
n
1
1
1
0 t ＜-
n
1
r n ‘(t)= pn (t)= n 2
-＜t ＜ —＞δ(t ) [条件：n —＞∞，幅度无
n
n
11
限大，宽度—＞0]
0 t ＞
n 1
p n (t)的强度始终为1 3 ε(t ) 与δ(t ) 的关系
δ(t ) = δ(t ) =⎰
d ε（t ）dt
（注意积分上、下限）= 0，t ＞0
1，t ＜0
t
-∞
δ（t ）dx
4 冲激函数的另2种定义
1
荻拉克给出 δ(t ) =0， t ≠0 ○
⎰δ(t ) =1，函数波形下的面积为1
-∞
该定义物理概念较明确，最易理解 2 δ(t ) 的广义函数定义 （严格的数学定义） ○
检验函数ϕ(t ) ：连续的，具有任意阶导数，且ϕ(t ) 及其各阶导
数在无限远处急速下降（|t|—＞∞，比1/|t|m 下降更快）的普通函数（如e -| t2|等）
按广义函数理论，δ(t ) 意义为：⎰
∞-∞
∞
δ(t ) ϕ(t ) =ϕ(0)
δ(t ) 作用于ϕ(t ) 的效果是给它赋值ϕ(0) 5 δ(t ) 的移位及强度表示：
δ(t ) ： t=0处的冲激
δ(t -t 1) ： t= t1处的冲激
A δ(t -t 2) ： t=t2处，强度为A -A δ(t -t 3) ： t=t3处，强度为-A
二 δ(t ) 的性质
1 取样性质（筛选性质）：⎰-∞δ(t ) ϕ(t ) dt =ϕ(0)
∞
2 与普通函数的乘积：f(t)δ(t ) = f(0)δ(t ) ∵⎰又⎰
∞-∞∞-∞
[ f(t)δ(t ) ]ϕ(t ) dt=⎰
∞-∞
δ(t ) [f(t)ϕ(t ) ]dt=f(0)ϕ(0)
∞-∞
[f(0)δ(t ) ]ϕ(t ) dt= f(0)⎰
δ(t ) ϕ(t ) dt= f(0)ϕ(0)
∴ 按广义函数相等的原理可得：
f(t)δ(t ) = f(0)δ(t )
⎰-∞
∞
δ(t ) f(t)dt=⎰
∞-∞
δ(t ) f(0)dt= f(0)
注意公式成立的条件：f(t)、ϕ(t ) 也必须属于急降的检验函数。
例：t ·δ(t ) =0·δ(t ) =0 e -αt ·δ(t ) = e-α0·δ(t ) =δ(t )
-3t-1-3·0-1
·1=e-1（其中1为强度） ⎰-∞e δ(t ) dt=e
∞
δ(t -t 1) ϕ(t ) dt=ϕ(t 1) 3 移位 ⎰-∞
∞
对普通函数f(t) f(t)δ(t -t 1) = f(t1) δ(t -t 1) ⎰f(t)δ(t -t 1) dt= f(t1) -∞ 分段连续函数在区间（-∞，∞ ）的导数。 跳跃度 J i =f(ti+)-f(ti-)
广义函数概念：t i 处导数为：J i δ(t -t )
i
∞
∴ f ‘(t)= f‘c (t)+∑J i δ(t -t )
i
i
例：1.4-2 求f ‘(t) -∞＜t ＜∞
解：
0 t ＜0，t ＞3 2+t 0＜t ＜3
32
方法一：直接用上述结论 两个间断点
t 1=0，J 1= f(0+)-f(0-)=2 t 2=3，J 2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4
2
∴ f ‘(t)=[ε(t ) -ε(t -3) ]+2δ(t ) -4δ(t -3)
3
方法二：从函数求导
2
f(t)=(2+t)[ε(t ) -ε(t -3) ]
3
22
f ‘(t) =(2+t) ‘[ε(t ) -ε(t -3) ] +(2+t)[ε(t ) -ε(t -3) ]‘
3
3
22
=[ε(t ) -ε(t -3) ]+(2+t)[δ(t ) -δ(t -3) ]
3
3
2
=[ε(t ) -ε(t -3) ]+2δ(t ) -4δ(t -3)
3
所求得的f ‘(t)如下图
4 尺度变换：δ(at ) =推导：从⎰
∞-∞
1|a |
δ(t ) 实际是强度变化，而不是展缩
δ(at ) ϕ(t ) dt 研究：
若a ＞0，|a|=a，令x=at δ(at ) ϕ(t ) dt=⎰∵ ⎰-∞-∞
∞
∞
x dx
δ(x ) ϕ() =1ϕ(0)
a |a ||a |
1|a |
而⎰
∞-∞
1|a |
1
δ(t ) ϕ(t ) dt=ϕ(0)
∴ δ(at ) =
|a |
δ(t )
若a ＜0，同理可证 5 奇偶性：δ(t ) 是偶函数
取a=-1，δ(-t ) =δ(t )
三 δ(t ) 的导数和积分
1 导数定义：δ' (t ) ：
⎰-∞
∞
δ' (t ) ϕ(t ) dt= -⎰
∞-∞
δ(t ) ϕ' (t ) dt = -ϕ' (0)
∞-∞
推导：分步积分 δ' (t ) =⎰
δ' (t ) ϕ(t ) dt
∞
ϕ' (t ) dt =δ' (t ) ϕ(t ) |∞-∞-⎰-∞δ(t )
= 0-⎰-∞δ' (t ) ϕ' (t ) dt = -ϕ' (0) n 阶导数：δ
(n )
(t ) ：⎰
∞-∞
∞
δ
(n )
(t )
ϕ(t ) dt =（-1）n ϕ
(n )
(t )
2 导数的性质：
与f （t ）的乘积：f(t)δ' (t ) = f(0)δ' (t ) - f`(0)δ(t ) 移位：
f(t)δ' (t -t ) = f(t1) δ' (t -t ) - f`(t1) δ(t -t )
1
1
1
-∞
∞
f(t)δ' (t -t ) dt = - f`(t1)
1
尺度变换δ' (at ) =
1|a |
1
·δ' (t ) a
δ(n ) (at ) =
1|a |
·
1a n
δ
(n )
(t )
奇偶性：取a = - 1，δ(n ) (-t ) =(-1)n δ(n ) (t )
当n 为偶数时，有δ(n ) (-t ) =δ(n ) (t ) 是偶函数 当n 为奇数时，有δ(n ) (-t ) = -δ(n ) (t ) 是奇函数 3 δ(t ) 的积分：
积分的区间为(-∞，t) 时，区间为(-∞，+∞) 时
δ(t ) =⎰
t -∞t -∞
δ' (x ) dx ⎰δ(t ) dt=1
-∞
∞
ε(t ) =⎰
δ(x ) dx ⎰δ' (t ) dt=0
-∞
∞
非普通，仅是表达形式 r(t)=⎰-∞
t
ε(t ) dx =⎰
t
1·dx =t·ε(t ) 普通积分
* 有关信号的几个概念：
1．无时限信号：在t （-∞，+∞）内均有f(t)≠0 2．有始信号：t ＜t 1时f(t)= 0, t ＞t 1时f(t)≠0
3．有终信号：t ＜t 2时f(t)≠0，t ＞t 2时f(t)= 0 4．因果信号：t ＜0时f(t)=0；
t ＞0时f(t)≠0 ， f(t)·v(t)表示
5．反因果信号：t ≥ 0时f(t)=0；
t ＜0时f(t)≠0 ， f(t)·v(-t)
6．时限信号：在（t 1，t 2）内，f(t)≠0
*．抽样信号：f(t)=sin t =Sa(t) -∞＜t ＜∞
t
性质：（1）是t 的偶函数。 （2）
lim f(t)= f(0)=1
t →0
（3）当t=kπ(k=±1, ±2……) 时，f(t)=0 （4）⎰（5）
∞-∞
f(t)dt=⎰
sin
t t
∞-∞
sin t t
dt=π
lim T →±∞
=0
‘
例：写出f(t)的时域表达式，并画出波形，求f(t)、f ‘(t)、f ‘(t)
f(t) = sint[v(t)-v(t-π)]
f `‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[δ(t ) -δ(t -π) ]
= cost[v(t)-v(t-π)]
‘
f ‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[δ(t ) -δ(t -π) ]
= - sint[v(t)-v(t-π)] + δ(t ) +δ(t
-π)
§ 1.5 系 统
系统分析：实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论：☞ 即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻
组成，用代数方程描述
☞ 动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过
去历史状态有关（初始条件） 。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描述。
系统的描述： ☞ 数学模型
☞ 框图表示
两种描述可互换。
1．系统的数学模型
☞ 连续系统 — 微分方程 例1． R LC 串联电路
由KVL: uL (t)+ uR (t)+ uC (t)= uS (t)
由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*uC ’(t) uR (t)=R*i(t)=R*C*uC ’(t)
u L (t)=L*i’(t)=L*C*uC ”(t)
整理：u C ”(t)+R/L* uC ’(t)+1/L/C * uC (t)=1/L/C * uS (t) 二阶线性微分方程求解：需已知初始条件 uC （0）, uC ’(0). 结论：有以上数例可见，虽然系统的具体内容各不相同，但描述各系统的数学模型都是微分方程，因此在系统分析中，常抽去系统的物理含义，而作为一般意义下的系统来研究，以便于揭示系统的一般特性。 ☞ 离散系统---差分方程 例1：人口问题
y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 第k 年人口 第(k-1)年人口 出生 死亡 迁入 整理：y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ☞ 一阶差分方程
☞ 结论：有以上数例可见，虽然系统的内容各不相同，但描述这些
离散时间系统的数学模型都是差分方程，因而也能用相同的数学方法来分析。
2．系统的框图表示
☞ 连续系统：基本单元有三个：积分器、加法器、数乘器
例1．5-2、已知框图表示，写出微分方程。
解：设右方积分器的输出为x(t) 左
输出：x”(t)=f(t)-a 0*x(t)-a1*x’(t)
→f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1)
右
输 出：y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2)
为求y(t)与f(t)的关系，消去中间变量x(t)及其导数。 由（2）： a0*y= b2*( a0*x”)+ b 1*( a0*x’)+ b0*( a0*x)
a 1*y’= b 2*( a 1 *x”)’+ b1*( a 1*x’)’+ b 0*( a 1*x)’
y”= b 2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b 0*(x)” 相加：y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]”
+b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b 0*[x”+ a1*x’+ a0*x]
∴ y”(t)+ a 1*y’(t)+ a0*y(t)= b 2*f”(t)+ b 1*f’(t)+ b 0*f(t)
☞离散系统：延迟单元，加法器、数乘器 f(k) →
例1．5-3、 已知离散系统框图，写出差分方程。
→ y(k)=f(k-1)
解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) ∑:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→ 左○
x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1)
∑: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 右○
为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。
a 1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)=
b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程
☞ 结论：已知框图，写方程的步骤。
（1） 选中间变量x(.)。
（2） 写出个加法器输出信号的方程。 （3） 消去中间变量。
☞ 动态系统是否为线性系统：
例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t 0f(x)dx 非线性
分解特性： 当 f(t)=0时，应得到y x (t)←x(0) , 实际 y(t)=0.
当x(t)=0时，得到y f (t)= ∫t 0f(x)dx ∴不满足。
例2： y(t)= t*x(t)+sint*f(t) 分解特性： 令f(t)=0, yx (t)= t*x(t).
令x(0)=0,yf (t)= sint*f(t) 满足。
零输入线性;T[a1*x1(0)+ a2*x2 (0)]= t*[ a1* x1(0)+ a2* x2 (0)]
= a1*t*x1(0)+ a2*t* x2 (0) = a 1*T[x1 (0)]+ a2*T[x2 (0)]
零状态线性：T[a1* f1(t)+a2* f2 (t)]
= sint*[ a1* f1 (t)+ a2* f2 (t)] = a1*sint* f1 (t)+ a2*sint* f2 (t)
均满足，为线性。
§1.6 系 统 的 性 质
系统可分为： ☞ 线性系统和非线性系统
☞ 时变系统和时不变系统
☞ 因果系统和非因果系统 ☞ 稳定系统和非稳定系统
线性时不变系统(Linear Time Invariant)LTI系统。 激励与响应关系的表示：
一、 线性：
齐次性： T[a*f(t)= a*T[f(t)]= a*y(t)
输入增大a 倍，响应也增大a 倍。
可加性： T[f1 (t)+ f2 (t)]=T[f1 (t)]+T[f2 (t)]
= y1 (t)+ y2 (t) 等于激励和响应等于响应之和。
线性：既是齐次的又是可加的。
T[a1* f1 (t)+ a2* f2(t)]= a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f2 (t)]
例;1、积分器 f(t)→
→y(t)= T[f(t)]=∫t -∞ f(x)dx
→ T[a1* f 1 (t)+ a 2* f 2 (t)]
→
= ∫t -∞[a1* f1 (x)+ a2* a2 (x)]dx
= a1*∫t -∞f 1 (x)dx+ a2*∫t -∞f 2 (x)dx = a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f
2 (t)]
∴ 此系统是线性的。
2、平方运算
f(x) → y(t)=T[f(t)]=f2
(t) a*f(t)T[a*f(t)]=[a*f(t)]2=a2*f2(t)
= a2*T[f(t)]≠ a*T[f(t)]
T [f1 (x)+ f2 (x)]=[ f1 (x)+ f2 (x)]2
≠f
1 2(x)+ f2 2(x)
∴ 此系统是非线性。 3、
f(k)y(k)=f(k)*f(k-1)
a*f(k)T[a*f(k)]= a*f(k)*a*f(k-1)
= a2*f(k)*f(k-1)
≠ a*f(k)*f(k-1)
T[f1 (k)+ f2 (k)]
=[ f1 (k)+ f2 (k)]*[ f1 (k-1)+ f2
(k-1)]≠f 1 (k)* f1 (k-1)+ f2 (k)* f2 (k-1) ∴ 此系统是非线性的。
动态系统中线性性质的应用：
→ y(t) = T[｛x （0）｝, ｛f(t)｝]
｛x(0)｝,0]+T[0,｛f(t)｝] = yx (t)+ yf (t) 分解特性：
零输入响应：y x (t)=T[｛x(0)｝,0],对多个x(0)，满足零输入线性。
零状态响应：y f (t)=T[0,｛f(t)｝],对多个
f(t),满足零状态线性。
现性：满足分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统。
二、时不变性
定义：系统的参数都是常数，称为时不变（非时变）系统。 性质：激励延迟一定的时间td ，则它引起的零状态响应也延迟td. 设T[｛0｝,f(t)]= yf (t) T[{0},f(t- td )]= yf (t- td )
例 1、y f (t)= e-t * f(t) ═> 时变
2、y(k)+(k-1)* y(k-1) = f(k) ═> 时变
3、T[{0},f(t- td )] = e-t * f(t- td ) ═> 非时变 4、y f (t- td ) = e-(t-td) * f(t- td ) ═>非时变
三、本书只讨论线性时不变系统。
即LTI(Linear Time Invariant)的特性。
1．
LTI —常系数线性微分方程（差分方程）描述。
如：y’(t) + 2 * y (t) = f’(t)- 2 * f(t) y’(t) + sint * y(t) = f(t) 线性系统 y”(t) + [y(t)]2 = f(t) 非线性系统
证：y 1”(t)+[ y1”(t)]2 = f1 (t)
y 2”(t)+[ y2 (t)]
2
= f2 (t)
f1 (t)+ f 2 (t)=[ y 1 (t)+ y 2 (t)]”+[ y 1 (t)]2+[ y 2 (t)]2
2、LTI 连续系统具有微分特性： 若 T[{0},f(t)]= yf (t) 则 T[{0},f’(t)]= y f ’(t)
证：由时不变 T[{0},f(t-△t)]= yf (t-△T)
由线性T[{0},[f(t)-f(t-△t)]/ △t]
=[ yf (t)- yf (t-△T)]/ △T.
△t →0, T[{0},f’(t)]= yf ’(t). 3、LTI 连续系统具有积分特性
若T[{0},f(t)]= yf (t),且f(-∞)=0, yf (-∞)=0 则 T[{0},∫t -∞f(x)dx]=∫t -∞y f (t)dt
例：LTI 系统，在零状态条件下激励f 1 (t)与响应y 1 (t)如图，
求f 2 (t)时的y 2 (t). 解：因有f 2 (t)= ∫t -∞f 1 (η)d η
故有y 2 (t)= ∫t -∞y 1 (η)d η
☞ LTI 连续系统具有微分特性：T[{0},f(t)]= yf (t),
→T[[0],df(t)/dt]=d[yf (t)]/dt
☞ LTI 连续系统具有积分特性： T[{0},f(t)]= yf (t),
→T[{0},∫t -∞f(x)dx]=∫t -∞y f (x)dx
条件是f(-∞)=0, yf (-∞)=0.
例：1.6-1 [P31}
解：（1）首先符合分解特性：
☞ y x (t) = a * x(0) 零输入线性
☞ y f (t) = b *∫0
t
f(η)d η t≥0 零状态线性
∴是线性的。
时不变性针对零状态响应y f (t),判断y f (t-t0) 是否等于T[f(t-t0)].
∵y f (t-t0)= b *∫0(t-t0) f(η)d η t-t0≥0 T[f(t-t0)]= b *∫0t f(η-t 0)d η t≥t 0
= b *∫-t0(t-t0)f(x)dx t≥t 0 (x=η-t 0) = b *∫0-t0f(x)dx+b* ∫0t-t0f(x)dx
= b *∫0t-t0f(x)dx t≥t 0
{条件:t=0时，接入f(t).即t
（2）同上。 三、因果性、
因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统。 定义：如果f(t)= 0,t
= 3 * f(t-1)
非因果：y f （t ）= 3 * f(t+1)
y f （t ）=f(2*t) yf （1）=f(2) y f （k ）=f(k²) yf （2）
=f(4)
四、稳定性：对有界激励，其零状态响应也是有界的。
定义：如果|f(t)|
∵y f （k ）= f(k) + f(k-1) ∴系统是稳定的。 ∵y f （t ）=∫0t f(x)dx取f(t)=ε(t)有界，
但y f （t ）= t*ε(t)无限。
∴系统是不稳定的。
§1.7 LTI系统分析方法概述
☞
系统分析的任务：
1、建立描述系统的数学方程式（微分/差分方程）。 2、给定初始状态和f(t),求响应y(t)
☞ 描述系统的方法: ( 建立数学方程式 )
1、 输入输出法（外部法）：建立f(t)与y(t)的直接关系， 考虑内部状态x(t),微分/差分方程，适用于单输入/出系统。 2、 状态变量法（内部法）：状态方程和输出方程，适用于多输入/出系统。
☞ 输入输出分析法：（求解方程的方法） 一、 时域分析 1、 2、
连续系统（2）：求解微分方程；卷积积分. 离散系统（3）：求解差分方程；卷积积分.
二、变换域分析：
1、 2、 3、 4、
连续系统傅里叶变换（4）；频谱，频域分析。 卷积 连续系统拉式变换（5）； 微分方程→ 代数方程。 ↓ 离散系统z 变换（6）； 差分方程→ 代数方程。 乘积 系统函数（7）；决定系统的特性。
☞ 出发点：把复杂信号分解为基本信号之和。 ☞ 基本信号：δ（t ）、ε(t)、e jwt 、sin ωt 、e st 等。
☞ 学习本课程的原则：
1、物理语言描述与数学语言描述并重； 2、信号分析与系统分析并重； 3、时域分析法与变换域分析法并重； 4、连续时间系统与离散时间系统并重；