高斯—波涅公式的应用
邢家省，王拥军
（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室, 北京100191）
摘 要: 考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题，对有关结果给予直接的证明， 并列举了一些实例.
关键词: 高斯—波涅公式，高斯曲率，测地曲率中图分类号: O186. 11 文献标识码: A
The Application of the Gauss–Bonnet Formula
Xing Jiasheng Wang Yongjun
(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China)
Abstract: Using the Gauss –Bonnet t heorem ， we give a direct proof of some
relevant results and listed some examples.
Keywords : Gauss –Bonnet formula , Gauss curvature,
geodesic curvature
高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理
[1-4]
，它描述了曲面上多边形的内角和
与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系. 对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也被人们发掘出来
[1-4]
. 我们对常见的能解决
的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高斯—波涅公式的应用. 微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12].收稿日期：
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），
北京航空航天大学教改项目基金资助
作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人, 博士，副教授, 研究方向：偏微分方程、微分几何.
1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
设曲面S
:r =r (u , v ) 是C 3类正则曲面. 曲面S 上的高斯曲率为K ，曲面上
的曲线的测地曲率为k g ，曲面上的面积微元为d A ，曲线的弧长微分为ds . 区域
D 的边界记为∂D .
定理1(Gauss-Bonnet 公式) 是一条光滑曲线，
则有
[1-4]
设区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果∂D
⎰⎰
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds =2π， （1）
推论1
[1-4]
设区域
D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果∂D 是一条光滑曲
线，并且∂D 是曲面上的测地线，即曲线∂D 上的测地曲率k g =0，
则有⎰⎰KdA =2π .
D
推论2
[1-4]
设曲面S 是一个单连通的封闭曲面，则有
⎰⎰
S
K dA =4π .
证明 用一条光滑的封闭曲线C 把曲面S 分成两个部分S 1和S 2， 利用定理1，有
⎰⎰⎰⎰
S 1
K dA +K dA +
⎰
∂S 1
k g ds =2π， k g ds =2π，
S 2
⎰
∂S 2
由于∂S 1和∂S 2的定向相反，k g |S =-k g |S ，
1
2
把上两式相加后，得到⎰⎰K dA =4π.
S
例1
[1-4]
设S 是半径为R 的球面，此时有K =
1R
2
，
自然成立⎰⎰K dA =4π .
S
例2 设S 是椭球面
x a
22
+
y b
22
+
z c
22
=1，曲面上的高斯曲率为K ，求⎰⎰KdA .
S
解 由于椭球面S 是一个封闭地曲面，利用推论2，则有⎰⎰K dA =4π .
S
推论3
[1-4]
在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线
C , 则C 的测地曲率k g
=0, 设C 在曲面S 所围的区域为D ，
由Gauss-Bonnet 公式(1)，知⎰⎰KdA =2π，这与
D
S
上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注 推论3 中必须要求C 所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率K
2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
定理2 (Gauss-Bonnet公式) 组成的简单封闭曲线, 它由的外角为θi (i 那么成立
n
n
C i
[1-4]
设C 是有向曲面S 上的一条由n 段光滑的曲线
n
段光滑曲线C 1, , C n 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处
=1, , n ) ， 曲线C 所包围的区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，
⎰⎰⎰⎰
D
K dA +
∑⎰
i =1
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π，
n
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π, （2）
若用αi (i =1, , n ) 表示这些光滑曲线段在交接处的内角，则有
n
⎰⎰
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds +
∑(π
i =1
-αi ) =2π ， （3）
推论4
[1-4]
如果曲线C 中每段光滑曲线C i 是测地线, 则在由测地线段所围成边形区域D 中, 成立如下公式
的单连通测地
n
n
i
⎰⎰
D
K dA +
∑θ
i =1
=2π ； （4）
若用αi 表示测地
n
n
边形的外角θi 所对应的内角, 则有
∑α
i =1
i
=(n -2) π+
⎰⎰
D
K dA ， （5 ）
例3 当曲面S 是平面时, 因为K =0 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 n =3时就得到: 三角形三内角之和等于π. 推论5形，
3
[1-4]
如果∂D 是曲面S 上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角
则有 ∑αi =π+
i =1
⎰⎰
D
K dA ， （6）
例4
[1-4]
若曲面S 上的高斯曲率是常数K ，则曲面S 上的一个测地三角形∆三内
角之和为
α1+α2+α3=π+
⎰⎰
∆
KdA =π+KA ，
其中A 是这个测地三角形∆的面积.
进而, 当S 是正常曲率曲面(如球面) 时, K >0 , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三内角之和大于π; 而当S 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, K
例5
[1-4]
在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为α, 试求其所围
区域的面积.
解 由K =1，利用（5）式，得 2α=(2-2) π+
⎰⎰
D
KdA =σ(D ) ，
于是所围面积为2α
推论6
[1-4]
设D 是曲面S 上的一个四边形区域，其内角为αi (i =1, 2, 3, 4) ，边界
∂D 由光滑四边C i (i =1, 2, 3, 4) 构成，
4
4
则有⎰⎰K dA +∑
D
i =1
⎰
C i
k g ds =
∑α
i =1
i
-2π
定理3
[1-4]
设有定了向的封闭曲面S ，且 S 能被剖分成几个四边形，而且各顶点正
S
好聚集四个四边形，则成立 ⎰⎰K dA =0.
证明 设曲面S 被剖分成n 个四边形D i (i =1, 2, , n ) ，曲面四边形D i 的边界由四边
C ij (j =1, 2, 3, 4) 组成，内角为αij (j =1, 2, 3, 4) ，利用推论6，可得
4
4
C ij
⎰⎰K dA +
D i
n
∑⎰
j =14
k g ds =
∑α
j =1
ij
-2π，(i =1, 2, , n ) ，
n
C ij
4
由条件可知∑
i =1n
∑⎰
j =1
k g ds =0，∑
i =1
∑α
j =1
ij
=2n π，
于是有∑
i =1
⎰⎰
D i
K dA =0，即成立 ⎰⎰K dA =0.
S
例6 设环面∑
：r =((b +a sin ϕ) cos θ, (b +a sin ϕ) sin θ, a cos ϕ) ，
≤θ, ϕ≤2π
。
其中a
||r θ⨯r ϕ||=
K =
LN -M EG -F
22
=a (b +a sin ϕ)
，
=
， a (b +a sin ϕ)
=
sin ϕ
H =
LG -2M F +NE 2(EG -F )
2
， 2a (b +a sin ϕ)
b +2a sin ϕ
∑
对环面∑具有定理上的条件， 利用定理3，可得到⎰⎰K dA =0，
直接验证⎰⎰KdA =
∑
⎰⎰
2π2π
K ϕd θ=
⎰⎰
2π2π
sin ϕd ϕd θ=0 .
例7
[1-4]
证明：在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不能有两条测地线交于两点.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面,
若其上存在两条测地线交于两点，设内角为α1, α2，所围区域为D ，
n
利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
⎰⎰
D
K dA ，当n =2时，
则有⎰⎰KdA =α1+α2>0，
D
（若α1=0或α2=0，这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾. ） 这与S 上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注：在曲面S 的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点. 例如 球面上的任两个大圆，都是测地线，相交于两点.
[4]
. 例8
设曲面S 上的高斯曲率是正函数，且S 单连通的封闭曲面，证明曲面S 上的任何
两个闭测地线至少有一个交点.
证明 用反证法. 假若曲面S 上的存在两条不相交的封闭测地线C 1和C 2，
设C 1和C 2所围曲面上的区域为D ，用一条曲线段C 3将曲线C 1和C 2连接起来，
可看成一个四边形，其中C 3被正向、方向各利用一次，利用推论6的结果，可得
4
⎰⎰
D
K dA =
∑α
i =1
i
-2π=2π-2π=0，
而这与高斯曲率K >0矛盾，所以原结论成立.
例9
[1-3]
利用高斯—波涅公式证明：若曲面S 上存在两族夹角为定角的测地线，则它的
高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.
证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形D ，由条件知，此种四边形的内角
4
n
和为∑αi =2π, 利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
i =1
⎰⎰
D
K dA ，
当n =4时，则得⎰⎰K dA =0，于是必有
D
K =0.
假若存在某点不妨设
P
，有K (P ) ≠0，
的一个邻域G ，在G 上，
K (P ) >0，存在P K >0；
在G 内取一个四边是测地线弧段四边形D ， 显然⎰⎰K dA >0，矛盾.
D
故此曲面上的高斯曲率处处为零.
定理4 ( Jacobi, 1842 ) 设 r =r (s ) 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线,
其中s 为弧长参数, 如果它的主法线球面标线r 1=r 1(s ) =β(s ) 是单位球面S 上的一
[3]
条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分S 的面积.
证明 设
s 1 是C :r =r (s ) 的弧长参数, k
1
1
1
g
是C 作为S 上曲线的测地曲率, D 是
S 上由C 围成的区域之一.
我们首先证明k g =由Frenet 公式, 得
dr 1ds 1
=d β =d βds
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
.
ds 1
ds
，
=(-k β+τγ)
ds ds 1ds 1
故有
ds ds 1
=
，
因为r 1(s 1) 在球面S 上, 故沿C , S 的单位法向量n
于是
=r 1(s ) =β(s ) ，
2 d β(s ) d β(s )
k g =(n , r 1'(s 1), r 1''(s 1)) =(β(s ), , ) 2
ds 1ds 1
=(-τk '(s ) +k τ'(s ))(
ds ds 1
) =
3
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
，
因此⎰k g ds 1=
C ⎰
d ds
C
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
ds 1
=
⎰
d
C
ds
(arctan
τ
k
) ds =0，( 因为C 是闭曲线).
再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 S 的总曲率K ≡1 )
S (D ) =
⎰⎰
D
dA =
⎰⎰
D
K dA =2π-
⎰
C
k g ds 1=2π，
即区域D 的面积为2π, 又因为S 的面积为4π ， 故 C 平分S 的面积.
参考文献：
[1]梅向明，黄敬之. 微分几何[M].第4版. 北京：高等教育出版社出版，
2008，158-171.
[2]陈维桓. 微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006,284-293.
[3] 彭家贵，陈卿. 微分几何[M].北京：高等教育出版社，2002,129-133.169-179. [4]马 力. 简明微分几何[M].北京：清华大学出版社, 2004,85-90.
[5]张立新 .测地线及其应用[J]. 鞍山师范学院学报. 2 0 0 5 , 7 ( 4 ) : 3 – 4
[6]闫德宝. 球面上简单闭曲线的等周不等式[J]. 云南农业大学学报.2011,26(5):723-724. [7]王韶丽，闫淑芳. 曲面上几种特殊曲线间的关系分析[J].
邢台学院学报.2011，26（4）：174-175. [8]李金辉, 徐爱华. 挠率线的几个性质[J]. 邯郸学院学报.2007.17(3)27-29. [9] 王如山，刘渐和．一般曲面曲线的曲率和挠率的关系式[J]．
安徽师范大学学报(自然科学版).2007,31(4)：307—310.
[10]虞言林. 关于高斯一波涅公式的内在证明[J].数学学报.1977,20(1):49-60. [11] 邢家省. 法曲率最值的直接求法[J].吉首大学学报（自然科学版）.
2012，33（4）：11-15.
[12] 邢家省，王拥军. 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明[J].
河南科学,2012,30（10）：1407-1410.
高斯—波涅公式的应用
邢家省，王拥军
（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室, 北京100191）
摘 要: 考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题，对有关结果给予直接的证明， 并列举了一些实例.
关键词: 高斯—波涅公式，高斯曲率，测地曲率中图分类号: O186. 11 文献标识码: A
The Application of the Gauss–Bonnet Formula
Xing Jiasheng Wang Yongjun
(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China)
Abstract: Using the Gauss –Bonnet t heorem ， we give a direct proof of some
relevant results and listed some examples.
Keywords : Gauss –Bonnet formula , Gauss curvature,
geodesic curvature
高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理
[1-4]
，它描述了曲面上多边形的内角和
与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系. 对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也被人们发掘出来
[1-4]
. 我们对常见的能解决
的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高斯—波涅公式的应用. 微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12].收稿日期：
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），
北京航空航天大学教改项目基金资助
作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人, 博士，副教授, 研究方向：偏微分方程、微分几何.
1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
设曲面S
:r =r (u , v ) 是C 3类正则曲面. 曲面S 上的高斯曲率为K ，曲面上
的曲线的测地曲率为k g ，曲面上的面积微元为d A ，曲线的弧长微分为ds . 区域
D 的边界记为∂D .
定理1(Gauss-Bonnet 公式) 是一条光滑曲线，
则有
[1-4]
设区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果∂D
⎰⎰
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds =2π， （1）
推论1
[1-4]
设区域
D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果∂D 是一条光滑曲
线，并且∂D 是曲面上的测地线，即曲线∂D 上的测地曲率k g =0，
则有⎰⎰KdA =2π .
D
推论2
[1-4]
设曲面S 是一个单连通的封闭曲面，则有
⎰⎰
S
K dA =4π .
证明 用一条光滑的封闭曲线C 把曲面S 分成两个部分S 1和S 2， 利用定理1，有
⎰⎰⎰⎰
S 1
K dA +K dA +
⎰
∂S 1
k g ds =2π， k g ds =2π，
S 2
⎰
∂S 2
由于∂S 1和∂S 2的定向相反，k g |S =-k g |S ，
1
2
把上两式相加后，得到⎰⎰K dA =4π.
S
例1
[1-4]
设S 是半径为R 的球面，此时有K =
1R
2
，
自然成立⎰⎰K dA =4π .
S
例2 设S 是椭球面
x a
22
+
y b
22
+
z c
22
=1，曲面上的高斯曲率为K ，求⎰⎰KdA .
S
解 由于椭球面S 是一个封闭地曲面，利用推论2，则有⎰⎰K dA =4π .
S
推论3
[1-4]
在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线
C , 则C 的测地曲率k g
=0, 设C 在曲面S 所围的区域为D ，
由Gauss-Bonnet 公式(1)，知⎰⎰KdA =2π，这与
D
S
上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注 推论3 中必须要求C 所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率K
2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
定理2 (Gauss-Bonnet公式) 组成的简单封闭曲线, 它由的外角为θi (i 那么成立
n
n
C i
[1-4]
设C 是有向曲面S 上的一条由n 段光滑的曲线
n
段光滑曲线C 1, , C n 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处
=1, , n ) ， 曲线C 所包围的区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，
⎰⎰⎰⎰
D
K dA +
∑⎰
i =1
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π，
n
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π, （2）
若用αi (i =1, , n ) 表示这些光滑曲线段在交接处的内角，则有
n
⎰⎰
D
K dA +
⎰
∂D
k g ds +
∑(π
i =1
-αi ) =2π ， （3）
推论4
[1-4]
如果曲线C 中每段光滑曲线C i 是测地线, 则在由测地线段所围成边形区域D 中, 成立如下公式
的单连通测地
n
n
i
⎰⎰
D
K dA +
∑θ
i =1
=2π ； （4）
若用αi 表示测地
n
n
边形的外角θi 所对应的内角, 则有
∑α
i =1
i
=(n -2) π+
⎰⎰
D
K dA ， （5 ）
例3 当曲面S 是平面时, 因为K =0 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 n =3时就得到: 三角形三内角之和等于π. 推论5形，
3
[1-4]
如果∂D 是曲面S 上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角
则有 ∑αi =π+
i =1
⎰⎰
D
K dA ， （6）
例4
[1-4]
若曲面S 上的高斯曲率是常数K ，则曲面S 上的一个测地三角形∆三内
角之和为
α1+α2+α3=π+
⎰⎰
∆
KdA =π+KA ，
其中A 是这个测地三角形∆的面积.
进而, 当S 是正常曲率曲面(如球面) 时, K >0 , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三内角之和大于π; 而当S 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, K
例5
[1-4]
在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为α, 试求其所围
区域的面积.
解 由K =1，利用（5）式，得 2α=(2-2) π+
⎰⎰
D
KdA =σ(D ) ，
于是所围面积为2α
推论6
[1-4]
设D 是曲面S 上的一个四边形区域，其内角为αi (i =1, 2, 3, 4) ，边界
∂D 由光滑四边C i (i =1, 2, 3, 4) 构成，
4
4
则有⎰⎰K dA +∑
D
i =1
⎰
C i
k g ds =
∑α
i =1
i
-2π
定理3
[1-4]
设有定了向的封闭曲面S ，且 S 能被剖分成几个四边形，而且各顶点正
S
好聚集四个四边形，则成立 ⎰⎰K dA =0.
证明 设曲面S 被剖分成n 个四边形D i (i =1, 2, , n ) ，曲面四边形D i 的边界由四边
C ij (j =1, 2, 3, 4) 组成，内角为αij (j =1, 2, 3, 4) ，利用推论6，可得
4
4
C ij
⎰⎰K dA +
D i
n
∑⎰
j =14
k g ds =
∑α
j =1
ij
-2π，(i =1, 2, , n ) ，
n
C ij
4
由条件可知∑
i =1n
∑⎰
j =1
k g ds =0，∑
i =1
∑α
j =1
ij
=2n π，
于是有∑
i =1
⎰⎰
D i
K dA =0，即成立 ⎰⎰K dA =0.
S
例6 设环面∑
：r =((b +a sin ϕ) cos θ, (b +a sin ϕ) sin θ, a cos ϕ) ，
≤θ, ϕ≤2π
。
其中a
||r θ⨯r ϕ||=
K =
LN -M EG -F
22
=a (b +a sin ϕ)
，
=
， a (b +a sin ϕ)
=
sin ϕ
H =
LG -2M F +NE 2(EG -F )
2
， 2a (b +a sin ϕ)
b +2a sin ϕ
∑
对环面∑具有定理上的条件， 利用定理3，可得到⎰⎰K dA =0，
直接验证⎰⎰KdA =
∑
⎰⎰
2π2π
K ϕd θ=
⎰⎰
2π2π
sin ϕd ϕd θ=0 .
例7
[1-4]
证明：在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不能有两条测地线交于两点.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面,
若其上存在两条测地线交于两点，设内角为α1, α2，所围区域为D ，
n
利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
⎰⎰
D
K dA ，当n =2时，
则有⎰⎰KdA =α1+α2>0，
D
（若α1=0或α2=0，这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾. ） 这与S 上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注：在曲面S 的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点. 例如 球面上的任两个大圆，都是测地线，相交于两点.
[4]
. 例8
设曲面S 上的高斯曲率是正函数，且S 单连通的封闭曲面，证明曲面S 上的任何
两个闭测地线至少有一个交点.
证明 用反证法. 假若曲面S 上的存在两条不相交的封闭测地线C 1和C 2，
设C 1和C 2所围曲面上的区域为D ，用一条曲线段C 3将曲线C 1和C 2连接起来，
可看成一个四边形，其中C 3被正向、方向各利用一次，利用推论6的结果，可得
4
⎰⎰
D
K dA =
∑α
i =1
i
-2π=2π-2π=0，
而这与高斯曲率K >0矛盾，所以原结论成立.
例9
[1-3]
利用高斯—波涅公式证明：若曲面S 上存在两族夹角为定角的测地线，则它的
高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.
证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形D ，由条件知，此种四边形的内角
4
n
和为∑αi =2π, 利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
i =1
⎰⎰
D
K dA ，
当n =4时，则得⎰⎰K dA =0，于是必有
D
K =0.
假若存在某点不妨设
P
，有K (P ) ≠0，
的一个邻域G ，在G 上，
K (P ) >0，存在P K >0；
在G 内取一个四边是测地线弧段四边形D ， 显然⎰⎰K dA >0，矛盾.
D
故此曲面上的高斯曲率处处为零.
定理4 ( Jacobi, 1842 ) 设 r =r (s ) 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线,
其中s 为弧长参数, 如果它的主法线球面标线r 1=r 1(s ) =β(s ) 是单位球面S 上的一
[3]
条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分S 的面积.
证明 设
s 1 是C :r =r (s ) 的弧长参数, k
1
1
1
g
是C 作为S 上曲线的测地曲率, D 是
S 上由C 围成的区域之一.
我们首先证明k g =由Frenet 公式, 得
dr 1ds 1
=d β =d βds
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
.
ds 1
ds
，
=(-k β+τγ)
ds ds 1ds 1
故有
ds ds 1
=
，
因为r 1(s 1) 在球面S 上, 故沿C , S 的单位法向量n
于是
=r 1(s ) =β(s ) ，
2 d β(s ) d β(s )
k g =(n , r 1'(s 1), r 1''(s 1)) =(β(s ), , ) 2
ds 1ds 1
=(-τk '(s ) +k τ'(s ))(
ds ds 1
) =
3
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
，
因此⎰k g ds 1=
C ⎰
d ds
C
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
ds 1
=
⎰
d
C
ds
(arctan
τ
k
) ds =0，( 因为C 是闭曲线).
再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 S 的总曲率K ≡1 )
S (D ) =
⎰⎰
D
dA =
⎰⎰
D
K dA =2π-
⎰
C
k g ds 1=2π，
即区域D 的面积为2π, 又因为S 的面积为4π ， 故 C 平分S 的面积.
参考文献：
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