基于TSK模型的模糊推理改进算法

DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2009.04.003

第29卷第4期 辽宁工业大学学报(自然科学版) Vol.29, No.4 2009年 8 月 Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition) Aug.2009

基于TSK模型的模糊推理改进算法

田一慧，钱 皓，王 涛

（辽宁工业大学 数理科学系，辽宁 锦州 121001）

摘 要：在传统的基于TSK模型的模糊推理算法基础上，研究了一种改进的基于TSK模型的模糊推理新算法，并应用模糊神经BP算法给出三角形隶属函数下的算法的过程，最后将新算法与传统算法做了比较，得出基于TSK模型的模糊推理新算法在实际的过程中克服了传统推理算法会出现弱连续或不连续情况的优点。

关键词：模糊推理；TSK模型；BP算法；神经网络

中图分类号：O174.4 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2009)04-0255-07

An Improved Fuzzy Reasoning Algorithm Based on TSK Model

TIAN Yi-hui，QIAN Hao，WANG Tao

（Dept.of Mathematics & Physics, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

Key words: fuzzy reasoning, TSK model, back-propagation algorithm, neuarl network

Abstract: For TSK fuzzy reasoning model with two linguistic variables, two inputs and one output. If the inference antecedents is Triangular-type membership functions. By using back-propagation learning algorithm to learn and adjust the parameters of the function membership in the fuzzy reasoning rules, the conventional neuro-fuzzy reasoning algorithms and the improved neuro-fuzzy reasoning algorithms are proposed, respectively. Finally, some comparisons between these two algorithms are made. The main advantages of the improved neuro-fuzzy reasoning algorithms were that the case of weak-firing or non-firing was all avoied, which occurred from the traditional approach.

1965年，美国著名学者L.A.Zadeh发表创建性论文“模糊集合论”[1]，打破了分明集0-1的界限，为描述模糊信息，建立模糊逻辑，处理模糊现象提供了新的数学工具。模糊集合论在TSK模糊逻辑系统有着重要的体现且模糊逻辑系统在实际的生产生活中有着广泛的应用。所以，学者们对TSK模糊逻辑系统的研究逐渐趋于白热化，而作为模糊逻辑系统核心的模糊推理自然成为研究的重点。从而，对于模糊推理的算法研究也是必不可少的。

传统的模糊推理的算法思想是对于TSK模糊系统模型给定一组输入输出训练数对儿，通过调节模型中的各项参数即隶属函数的中心和跨度，使理想输出与实际输出的误差函数最小或控制在某一个较小的常数之内但传统的TSK模型模糊推理算法的不足是在实际的过程中会出现弱连续或不连续的情况。

本文在传统的TSK模型模糊推理算法的基础上，主要研究了一种改进的基于TSK模型的模糊推理算法，并基于BP算法的模糊神经知识算法给出三角形隶属函数下的算法的过程。其优点：一是不改变模糊规则而是调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续情况的发生及丢失有用信息的情况。

收稿日期：2008-09-16

基金项目：辽宁省教育厅(重点实验室)基金项目(20060395) 作者简介：田一慧(1983-)，女，辽宁盘锦人，硕士生。

王 涛(1965-)，女，黑龙江太康人，教授，硕士。

256 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

1 基于TSK模型的传统模糊推理算法

基于TSK模型传统的推理模型：

R1：if x1 is A11 and x2 is A21，

then y1

1

1

1=c0+c1x1+c2x2

R2：if x1 is A12 and x2 is A22，

then y2

2

2

2=c0+c1x1+c2x2

其中，A1i和A2i是输入量x1，x2(i=1,2)的隶属函数，i表示的是规则数。

基于TSK模型传统的推理算法神经网络图如图1.

图1 传统推理算法神经网络图

于是TSK模型下的系统输出y如下：

hi=A1i(x1)A2i(x2)(i=1,2) ∑2

hi

(x)yi

(x)

y(x)=

i=1

∑2

hi(x)

i=1

为了下面的推导方便现将TSK模型整理如下： 令

⎡1⎤22

ycixi

ii=0+ci11+c2x2=⎡⎣ccii0

ci

12

⎤⎦⎢⎢x⎥1⎥=∑∑cjxj ⎢⎣xi=1j=0

2⎥⎦

将(3)式代入(2)式整理得：

∑2

hi

(x)yi

(x)

y(x)=

h1(x)(c11

i=1

0+c1x1+c12x2

)h2(x)(c2x2

0+c211+c2x2)

∑2

=

2

+

hi(x)

∑hi(x)

∑2

=

hi(x)

i=1

i=1

i=1

h1(x)x0

1

h1(x)x1

1h1(x)x2

1+

h2(x)x0

h2(x)x1

2∑2

c0

+

2

c20

+

c2hi(x)

∑2

c1

+

hi(x)

∑2

c2

hi(x)

∑hi(x)

∑2

c+

h2(x)x2

1

2

2

= hi(x)

∑hi(x)

i=1

i=1i=1i=1

i=1

i=1

1111

112222222

2g0c0

+g1c1

+g2c2

+g0c0

+g1c1

+g2c2

=∑∑gijcij i=1j=0

在(4)式的运算过程中令

gi=

hi(x)xj

j

∑2

，其i=1,2；j=0,1,2 hi(x)

i=1

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 257

由于三角形隶属函数在实际中有着广泛的应用，下面本文针对于三角型隶属函数给出相应的算法过程。

三角形隶属函数表达如下：

⎧1−2xj−ajiji,aji−bji2≤xj≤aji+bji2;

(6) Aji=⎨

其它0,⎩

其中：aji和bji分别表示的是Aji的中心和跨度。对于变量x1和x2的隶属函数A1i，A2i的定义如下：

⎧⎪

A1i=⎨1−2x1−a1ib1i,

其它⎪⎩0,

⎧⎪

A2i=⎨1−2x2−a2ib2i,

其它⎪⎩0,

a1i−b1i2≤x1≤a1i+b1i2; (7) a2i−b2i2≤x2≤a2i+b2i2; (8)

图2 三角形隶属函数

于是输入变量x1，x2的隶属函数A1i，A2i的乘积h计算如下：

i

⎧(1−2x1−a1i)(1−2x2−a2i)

⎪1i2i⎪i

h=⎨a1i−b1i2x1≤a1i+b1i2;2i−b2i2≤x2≤a2i+b2i2 (9)

⎪

其它⎪⎩0

由(1)~(2)和(7)~(9)可得

∂hi∂Aki

=Aki

k≠s(s=1,2) s是输入的变量数 (10)

∂Asi∂asi

=

2sgn(xs−asi)

bsi

=2xs−asi

b

2

si

(11)

∂Asi∂bsi∂E

(12)

∂y∂y

=−(y∗−y) (13)

∂hi∂y∂yi

=

yi−y

∑h

i=1

2

(14)

i

=

hi

∑h

i=1

2

(15)

i

为了调节Asi的中心asi和跨度bsi及结论部分的真值输出yi(s=1，2；i=1，2)，应用BP算法的模糊神经学习算法如下：

258 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

asi(t+1)=asi(t)−α

∗

2

2

ijij

2

2

ij

∂E∂asi(t)

2

2i=1j=0

=asi(t)+

2α(y−∑∑gc)(∑∑cxj−∑∑gijcij)sgn(xs−asi)Aki (16)

i=1j=0

i=1j=0

bsi∑hi

i=1

2

bsi(t+1)=bsi(t)−β

∗

2

2

ijij

2

2

ij

∂E∂asi(t)

2

=bsi(t)+

2

2β(y−∑∑gc)(∑∑cxj−∑∑gijcij)xs−asiAki (17)

i=1j=0

i=1j=0

i=1j=0

2bsi∑hi

i=12

yi(t+1)=yi(t)−γ

∂E∂yi(y)

γ(y−∑∑gijcij)hi

∗

22

=yi(t)+

i=1j=0

∑h

i=1

2

(18)

i

这里α，β，γ是知识率且为固定值，t表示的是知识的迭代。

2 基于TSK模型的改进模糊推理算法

上面介绍了基于TSK模型的传统模糊推理方法，但是传统模糊推理方法在实际的应用中存在局限性。

传统模糊推理方法不足是在实际的过程中会出现弱连续或不连续的情况。为了避免传统模糊推理方法的缺点本文做了如下改进，一是不改变模糊规则从而调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续的情况发生。

基于TSK模型改进推理模型如下：

R1：if x1 is A11 and x2 is A21，

then y1=c0+c1x1+c2x2 R2：if x1 is A11 and x2 is A22，

111

then y2=c0+c1x1+c2x2 R3：if x1 is A12 and x2 is A21，

222

then y2=c0+c1x1+c2x2 R4：if x1 is A12 and x2 is A22，

333

then y2=c0+c1x1+c2x2

基于TSK模型改进推理算法神经网络图如图3.

444

图3 改进的推理算法神经网络图

于是基于上面规则的系统输出如下：

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 259

h2(s−1)+l=A12(s−1)+l(x1)A22(s−1)+l(x2)(s,l=1,2 表示x1和x2模糊部分个数) (19)

y(x)=

∑∑h

s=1l=1

2

22

2(s−1)+l

(x)y2(s−1)+l(x)

(20)

∑∑h

s=1l=1

2

2(s−1)+l

(x)

为了下面的推导方便现将TSK模型整理如下： 令

2(s−1)+l2(s−1)+l2(s−1)+l

y2(s−1)+l=c0+c12(s−1)+lx1+c2x2=⎡⎣c0

c12(s−1)+l

⎡1⎤2

2(s−1)+l2(s−1)+l⎢⎥xj (21) ⎤c2

⎦⎢x1⎥=∑cj

⎢⎣x2⎥⎦

j=0

将(19)带入(20)整理得：

y(x)2

2

2

=∑∑∑g2(s−1)+lj

c2(s−1)+l

j s=1l=1j=0下面分别针对高斯型和三角形隶属函数给出相应算法过程。

三角形隶属函数情况，对于变量x1和x2的隶属函数A1s，A2l(s=1，2; l=1，2)的定义如下：

A=⎧⎨

1−2x1−a1s1si,

a1s−b1s2≤x1≤a1s+b1s2;

1s ⎩0,

其它A⎧1−2x2−a2l1si,

a2l−b2l2≤x1≤a2l+b2l2;

2l=⎨

⎩0,

其它 于是输入变量x1，x2的隶属函数A1s，A2l的乘积h2(s−1)+l计算如下：

⎧(1−2x1−a⎪1sh2(s−1)+l

=⎪

)(1−2x2−a2l)

1sa2l⎨a1s−b1s2x1≤a1s+b1s2l−b2l2≤x2≤a2l+b2l2 ⎪

⎪⎩0

其它由(1)式，(23)~(25)式可得： ∂A1s∂a=

2sgn(x1−a1s)

1s(t)b1s

∂A1s=2x1−a1s

∂b 1s(t)

b2 1s

∂A2l2sgn(x2−a2l)

∂a 2l(t)

=

b2l

∂A2l=2x2−a2l

∂b 2l(t)b

2

2l

∂E∂y=−(y∗−y) ∂y∑∑22

y

2(s−1)+l

−y

∂h=

s=1l=1

22 2(s−1)+l

∑∑h

2(s−1)+l

s=1l=1

(22) (23)

(24)

(25) (26)

(27) (28)

(29)

(30)

(31)

260 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

∂y∂y2(s−1)+l

=

h2(s−1)+l

∑∑h

s=1l=1

22

(32)

2(s−1)+l

∂h2(s−1)+l∂A1s(x1)

=A2l(x2) (33) =A1s(x1) (34)

∂h2(s−1)+l∂A2l(x1)

从而，对于调节参数a1s，b1s，a2l，b2l和y2(s−1)+l(s=1，2；l=1，2)的应用BP算法的三角型模糊神经学习算法如下：

a1s(t+1)=a1s(t)−α∂2α(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)sgn(x1−a1s)∑A2l(∑c

l=1

j=0

a1s(t)

2

=a1s(t)+

2(s−1)+l

j

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (35) j

s=1l=1j=02

2

2

b1s∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

22

b1s(t+1)=b1s(t)−β∂2β(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+l

jj

c

)x1−a1s

2

∑A(∑c

2ll=12

j=0

2

b1s(t)

2

=b1s(t)+

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (36) j

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l

j

b12s∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

a2l(t+1)=a2l(t)−α∂2α(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)sgn(x2−a2l)∑A(c1s∑

s=1

j=0

a2l(t)

2

=a2l(t)+

2(s−1)+l

j

s−1)+l2(s−1)+l

) (37) xj−∑∑∑g2(cj

j

s=1l=1j=02

2

2

b2l∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

22

b2l(t+1)=b2l(t)−β∂2β(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)x2−a2l

2

∑A(∑c

1ss=12

j=0

2

∂b2l(t)

2

=b2l(t)+

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (38) j

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l

j

b22l∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

s−1)+l2(s−1)+l

γ(y−∑∑∑g2(cj)h2(s−1)+l

j

∗

222

y2(s−1)+l(t+1)=y2(s−1)+l(t)+

s=1l=1j=0

2

∑∑h

s=1l=1

2

(39)

2(s−1)+l

这里α，β，γ是知识率且为固定值，t表示的是知识的迭代。

3 结 论

本文给出了一种基于TSK模型的改进模糊推理算法。传统推理算法优点是计算量小，缺点是在实际问题中易出现弱连续和不连续情况的发生。而基于TSK模型的改进模糊推理算法改善了传统方法中易出现弱连续和不连续情况发生的问题。

改进的方法主要优点是：一是不改变模糊规则而是调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续情况的发生及丢失有用信息的情况。从而基于TSK模型改进模糊推理算法在实际中应用比传统推理算法应用更广泛。

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 261

参考文献：

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control. 1965(8): 338-353.

[2] Takagi T, Sugeno M. Fuzzy Identification of System and Its Application to Modeling[J]. IEEE Trans. On Fuzzy Systems,

1985(15): 116-132.

[3] Sugeno M, Kang G.T. Structure Identification of Fuzzy Model[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1988(28):15-33.

[4] Bo Li, Kyu-Kab Cho. A Multi-Stage TSK Fuzzy Modeling Method by Genetic Programmin[J]. Information Sciences,

1993(71):169-201

[5] Mamdani E.H. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using lingustic systems[J]. IEEE Trans. Comput, 1977(26):

1182-1191.

[6] 汪德宁, 孙即祥, 毛玲, 等. 一种新的模糊推理方法[J]. IEEE, 2005(9): 16-24.

[7] Shi Y. Studies on interpolative fuzzy reasoning and fuzzy rule generation[D]. Ph.D Dissertation, Osaka Electro-Communication

University press, Japan, 1997.

责任编校：刘亚兵

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (上接第254页)

MPa，在输入同样转矩的条件下，多齿啮合使齿轮的承载能力大大增强。

4 结 论

(d)摆轮啮合部位应力图放大

(e)刚轮啮合部位应力图放大

本文运用ANSYS的高级语言APDL对斜齿锥齿轮进行了参数化建模，只需对其参数进行修改，就能得到不同锥角、齿数的斜齿锥齿轮，从而大大提高了建模效率，另外运用ANSYS软件对啮合的大锥角斜齿锥齿轮进行了静态分析，通过观看云图能够清楚的看到该齿轮在传动过程中的轮齿啮合状况及其承载能力，为相关人员在该领域的研究提供了重要参考依据。

图6 应力云图

参考文献：

[1] 黄恺, 李雷. Pro/E环境下的展成法实现直齿锥齿轮三维通过观察应力云图可以看出大锥角斜齿锥齿

实体造型[J]. 机床与液压. 2004 (7): 50. 轮副在传动过程中存在多齿啮合现象，打破了以往

[2] 谷丽瑶, 黄恺. 共轭啮合原理实现斜齿圆锥齿轮的三维齿轮啮合重合度小于2，并且最大弯曲应力发生在

实体造型[J]. 辽宁工业大学学报, 2008, 28(4): 246-249. 小端齿根部位，当对该齿轮输入250 N*M的转矩

时，最大等效应力为143 MPa；最大接触应力为86 责任编校：刘亚兵

DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2009.04.003

第29卷第4期 辽宁工业大学学报(自然科学版) Vol.29, No.4 2009年 8 月 Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition) Aug.2009

基于TSK模型的模糊推理改进算法

田一慧，钱 皓，王 涛

（辽宁工业大学 数理科学系，辽宁 锦州 121001）

摘 要：在传统的基于TSK模型的模糊推理算法基础上，研究了一种改进的基于TSK模型的模糊推理新算法，并应用模糊神经BP算法给出三角形隶属函数下的算法的过程，最后将新算法与传统算法做了比较，得出基于TSK模型的模糊推理新算法在实际的过程中克服了传统推理算法会出现弱连续或不连续情况的优点。

关键词：模糊推理；TSK模型；BP算法；神经网络

中图分类号：O174.4 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2009)04-0255-07

An Improved Fuzzy Reasoning Algorithm Based on TSK Model

TIAN Yi-hui，QIAN Hao，WANG Tao

（Dept.of Mathematics & Physics, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

Key words: fuzzy reasoning, TSK model, back-propagation algorithm, neuarl network

Abstract: For TSK fuzzy reasoning model with two linguistic variables, two inputs and one output. If the inference antecedents is Triangular-type membership functions. By using back-propagation learning algorithm to learn and adjust the parameters of the function membership in the fuzzy reasoning rules, the conventional neuro-fuzzy reasoning algorithms and the improved neuro-fuzzy reasoning algorithms are proposed, respectively. Finally, some comparisons between these two algorithms are made. The main advantages of the improved neuro-fuzzy reasoning algorithms were that the case of weak-firing or non-firing was all avoied, which occurred from the traditional approach.

1965年，美国著名学者L.A.Zadeh发表创建性论文“模糊集合论”[1]，打破了分明集0-1的界限，为描述模糊信息，建立模糊逻辑，处理模糊现象提供了新的数学工具。模糊集合论在TSK模糊逻辑系统有着重要的体现且模糊逻辑系统在实际的生产生活中有着广泛的应用。所以，学者们对TSK模糊逻辑系统的研究逐渐趋于白热化，而作为模糊逻辑系统核心的模糊推理自然成为研究的重点。从而，对于模糊推理的算法研究也是必不可少的。

传统的模糊推理的算法思想是对于TSK模糊系统模型给定一组输入输出训练数对儿，通过调节模型中的各项参数即隶属函数的中心和跨度，使理想输出与实际输出的误差函数最小或控制在某一个较小的常数之内但传统的TSK模型模糊推理算法的不足是在实际的过程中会出现弱连续或不连续的情况。

本文在传统的TSK模型模糊推理算法的基础上，主要研究了一种改进的基于TSK模型的模糊推理算法，并基于BP算法的模糊神经知识算法给出三角形隶属函数下的算法的过程。其优点：一是不改变模糊规则而是调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续情况的发生及丢失有用信息的情况。

收稿日期：2008-09-16

基金项目：辽宁省教育厅(重点实验室)基金项目(20060395) 作者简介：田一慧(1983-)，女，辽宁盘锦人，硕士生。

王 涛(1965-)，女，黑龙江太康人，教授，硕士。

256 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

1 基于TSK模型的传统模糊推理算法

基于TSK模型传统的推理模型：

R1：if x1 is A11 and x2 is A21，

then y1

1

1

1=c0+c1x1+c2x2

R2：if x1 is A12 and x2 is A22，

then y2

2

2

2=c0+c1x1+c2x2

其中，A1i和A2i是输入量x1，x2(i=1,2)的隶属函数，i表示的是规则数。

基于TSK模型传统的推理算法神经网络图如图1.

图1 传统推理算法神经网络图

于是TSK模型下的系统输出y如下：

hi=A1i(x1)A2i(x2)(i=1,2) ∑2

hi

(x)yi

(x)

y(x)=

i=1

∑2

hi(x)

i=1

为了下面的推导方便现将TSK模型整理如下： 令

⎡1⎤22

ycixi

ii=0+ci11+c2x2=⎡⎣ccii0

ci

12

⎤⎦⎢⎢x⎥1⎥=∑∑cjxj ⎢⎣xi=1j=0

2⎥⎦

将(3)式代入(2)式整理得：

∑2

hi

(x)yi

(x)

y(x)=

h1(x)(c11

i=1

0+c1x1+c12x2

)h2(x)(c2x2

0+c211+c2x2)

∑2

=

2

+

hi(x)

∑hi(x)

∑2

=

hi(x)

i=1

i=1

i=1

h1(x)x0

1

h1(x)x1

1h1(x)x2

1+

h2(x)x0

h2(x)x1

2∑2

c0

+

2

c20

+

c2hi(x)

∑2

c1

+

hi(x)

∑2

c2

hi(x)

∑hi(x)

∑2

c+

h2(x)x2

1

2

2

= hi(x)

∑hi(x)

i=1

i=1i=1i=1

i=1

i=1

1111

112222222

2g0c0

+g1c1

+g2c2

+g0c0

+g1c1

+g2c2

=∑∑gijcij i=1j=0

在(4)式的运算过程中令

gi=

hi(x)xj

j

∑2

，其i=1,2；j=0,1,2 hi(x)

i=1

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 257

由于三角形隶属函数在实际中有着广泛的应用，下面本文针对于三角型隶属函数给出相应的算法过程。

三角形隶属函数表达如下：

⎧1−2xj−ajiji,aji−bji2≤xj≤aji+bji2;

(6) Aji=⎨

其它0,⎩

其中：aji和bji分别表示的是Aji的中心和跨度。对于变量x1和x2的隶属函数A1i，A2i的定义如下：

⎧⎪

A1i=⎨1−2x1−a1ib1i,

其它⎪⎩0,

⎧⎪

A2i=⎨1−2x2−a2ib2i,

其它⎪⎩0,

a1i−b1i2≤x1≤a1i+b1i2; (7) a2i−b2i2≤x2≤a2i+b2i2; (8)

图2 三角形隶属函数

于是输入变量x1，x2的隶属函数A1i，A2i的乘积h计算如下：

i

⎧(1−2x1−a1i)(1−2x2−a2i)

⎪1i2i⎪i

h=⎨a1i−b1i2x1≤a1i+b1i2;2i−b2i2≤x2≤a2i+b2i2 (9)

⎪

其它⎪⎩0

由(1)~(2)和(7)~(9)可得

∂hi∂Aki

=Aki

k≠s(s=1,2) s是输入的变量数 (10)

∂Asi∂asi

=

2sgn(xs−asi)

bsi

=2xs−asi

b

2

si

(11)

∂Asi∂bsi∂E

(12)

∂y∂y

=−(y∗−y) (13)

∂hi∂y∂yi

=

yi−y

∑h

i=1

2

(14)

i

=

hi

∑h

i=1

2

(15)

i

为了调节Asi的中心asi和跨度bsi及结论部分的真值输出yi(s=1，2；i=1，2)，应用BP算法的模糊神经学习算法如下：

258 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

asi(t+1)=asi(t)−α

∗

2

2

ijij

2

2

ij

∂E∂asi(t)

2

2i=1j=0

=asi(t)+

2α(y−∑∑gc)(∑∑cxj−∑∑gijcij)sgn(xs−asi)Aki (16)

i=1j=0

i=1j=0

bsi∑hi

i=1

2

bsi(t+1)=bsi(t)−β

∗

2

2

ijij

2

2

ij

∂E∂asi(t)

2

=bsi(t)+

2

2β(y−∑∑gc)(∑∑cxj−∑∑gijcij)xs−asiAki (17)

i=1j=0

i=1j=0

i=1j=0

2bsi∑hi

i=12

yi(t+1)=yi(t)−γ

∂E∂yi(y)

γ(y−∑∑gijcij)hi

∗

22

=yi(t)+

i=1j=0

∑h

i=1

2

(18)

i

这里α，β，γ是知识率且为固定值，t表示的是知识的迭代。

2 基于TSK模型的改进模糊推理算法

上面介绍了基于TSK模型的传统模糊推理方法，但是传统模糊推理方法在实际的应用中存在局限性。

传统模糊推理方法不足是在实际的过程中会出现弱连续或不连续的情况。为了避免传统模糊推理方法的缺点本文做了如下改进，一是不改变模糊规则从而调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续的情况发生。

基于TSK模型改进推理模型如下：

R1：if x1 is A11 and x2 is A21，

then y1=c0+c1x1+c2x2 R2：if x1 is A11 and x2 is A22，

111

then y2=c0+c1x1+c2x2 R3：if x1 is A12 and x2 is A21，

222

then y2=c0+c1x1+c2x2 R4：if x1 is A12 and x2 is A22，

333

then y2=c0+c1x1+c2x2

基于TSK模型改进推理算法神经网络图如图3.

444

图3 改进的推理算法神经网络图

于是基于上面规则的系统输出如下：

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 259

h2(s−1)+l=A12(s−1)+l(x1)A22(s−1)+l(x2)(s,l=1,2 表示x1和x2模糊部分个数) (19)

y(x)=

∑∑h

s=1l=1

2

22

2(s−1)+l

(x)y2(s−1)+l(x)

(20)

∑∑h

s=1l=1

2

2(s−1)+l

(x)

为了下面的推导方便现将TSK模型整理如下： 令

2(s−1)+l2(s−1)+l2(s−1)+l

y2(s−1)+l=c0+c12(s−1)+lx1+c2x2=⎡⎣c0

c12(s−1)+l

⎡1⎤2

2(s−1)+l2(s−1)+l⎢⎥xj (21) ⎤c2

⎦⎢x1⎥=∑cj

⎢⎣x2⎥⎦

j=0

将(19)带入(20)整理得：

y(x)2

2

2

=∑∑∑g2(s−1)+lj

c2(s−1)+l

j s=1l=1j=0下面分别针对高斯型和三角形隶属函数给出相应算法过程。

三角形隶属函数情况，对于变量x1和x2的隶属函数A1s，A2l(s=1，2; l=1，2)的定义如下：

A=⎧⎨

1−2x1−a1s1si,

a1s−b1s2≤x1≤a1s+b1s2;

1s ⎩0,

其它A⎧1−2x2−a2l1si,

a2l−b2l2≤x1≤a2l+b2l2;

2l=⎨

⎩0,

其它 于是输入变量x1，x2的隶属函数A1s，A2l的乘积h2(s−1)+l计算如下：

⎧(1−2x1−a⎪1sh2(s−1)+l

=⎪

)(1−2x2−a2l)

1sa2l⎨a1s−b1s2x1≤a1s+b1s2l−b2l2≤x2≤a2l+b2l2 ⎪

⎪⎩0

其它由(1)式，(23)~(25)式可得： ∂A1s∂a=

2sgn(x1−a1s)

1s(t)b1s

∂A1s=2x1−a1s

∂b 1s(t)

b2 1s

∂A2l2sgn(x2−a2l)

∂a 2l(t)

=

b2l

∂A2l=2x2−a2l

∂b 2l(t)b

2

2l

∂E∂y=−(y∗−y) ∂y∑∑22

y

2(s−1)+l

−y

∂h=

s=1l=1

22 2(s−1)+l

∑∑h

2(s−1)+l

s=1l=1

(22) (23)

(24)

(25) (26)

(27) (28)

(29)

(30)

(31)

260 辽宁工业大学学报(自然科学版) 第29卷

∂y∂y2(s−1)+l

=

h2(s−1)+l

∑∑h

s=1l=1

22

(32)

2(s−1)+l

∂h2(s−1)+l∂A1s(x1)

=A2l(x2) (33) =A1s(x1) (34)

∂h2(s−1)+l∂A2l(x1)

从而，对于调节参数a1s，b1s，a2l，b2l和y2(s−1)+l(s=1，2；l=1，2)的应用BP算法的三角型模糊神经学习算法如下：

a1s(t+1)=a1s(t)−α∂2α(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)sgn(x1−a1s)∑A2l(∑c

l=1

j=0

a1s(t)

2

=a1s(t)+

2(s−1)+l

j

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (35) j

s=1l=1j=02

2

2

b1s∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

22

b1s(t+1)=b1s(t)−β∂2β(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+l

jj

c

)x1−a1s

2

∑A(∑c

2ll=12

j=0

2

b1s(t)

2

=b1s(t)+

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (36) j

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l

j

b12s∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

a2l(t+1)=a2l(t)−α∂2α(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)sgn(x2−a2l)∑A(c1s∑

s=1

j=0

a2l(t)

2

=a2l(t)+

2(s−1)+l

j

s−1)+l2(s−1)+l

) (37) xj−∑∑∑g2(cj

j

s=1l=1j=02

2

2

b2l∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

22

b2l(t+1)=b2l(t)−β∂2β(y−∑∑∑g

∗

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l2(s−1)+ljj

c

)x2−a2l

2

∑A(∑c

1ss=12

j=0

2

∂b2l(t)

2

=b2l(t)+

s−1)+l2(s−1)+l

xj−∑∑∑g2(cj) (38) j

s=1l=1j=02

2

2

2(s−1)+l

j

b22l∑∑h2(s−1)+l

s=1l=1

s−1)+l2(s−1)+l

γ(y−∑∑∑g2(cj)h2(s−1)+l

j

∗

222

y2(s−1)+l(t+1)=y2(s−1)+l(t)+

s=1l=1j=0

2

∑∑h

s=1l=1

2

(39)

2(s−1)+l

这里α，β，γ是知识率且为固定值，t表示的是知识的迭代。

3 结 论

本文给出了一种基于TSK模型的改进模糊推理算法。传统推理算法优点是计算量小，缺点是在实际问题中易出现弱连续和不连续情况的发生。而基于TSK模型的改进模糊推理算法改善了传统方法中易出现弱连续和不连续情况发生的问题。

改进的方法主要优点是：一是不改变模糊规则而是调节规则中的参数，二是稠密传统的规则避免了弱连续和不连续情况的发生及丢失有用信息的情况。从而基于TSK模型改进模糊推理算法在实际中应用比传统推理算法应用更广泛。

第4期 田一慧等：基于TSK模型的模糊推理改进算法 261

参考文献：

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control. 1965(8): 338-353.

[2] Takagi T, Sugeno M. Fuzzy Identification of System and Its Application to Modeling[J]. IEEE Trans. On Fuzzy Systems,

1985(15): 116-132.

[3] Sugeno M, Kang G.T. Structure Identification of Fuzzy Model[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1988(28):15-33.

[4] Bo Li, Kyu-Kab Cho. A Multi-Stage TSK Fuzzy Modeling Method by Genetic Programmin[J]. Information Sciences,

1993(71):169-201

[5] Mamdani E.H. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using lingustic systems[J]. IEEE Trans. Comput, 1977(26):

1182-1191.

[6] 汪德宁, 孙即祥, 毛玲, 等. 一种新的模糊推理方法[J]. IEEE, 2005(9): 16-24.

[7] Shi Y. Studies on interpolative fuzzy reasoning and fuzzy rule generation[D]. Ph.D Dissertation, Osaka Electro-Communication

University press, Japan, 1997.

责任编校：刘亚兵

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (上接第254页)

MPa，在输入同样转矩的条件下，多齿啮合使齿轮的承载能力大大增强。

4 结 论

(d)摆轮啮合部位应力图放大

(e)刚轮啮合部位应力图放大

本文运用ANSYS的高级语言APDL对斜齿锥齿轮进行了参数化建模，只需对其参数进行修改，就能得到不同锥角、齿数的斜齿锥齿轮，从而大大提高了建模效率，另外运用ANSYS软件对啮合的大锥角斜齿锥齿轮进行了静态分析，通过观看云图能够清楚的看到该齿轮在传动过程中的轮齿啮合状况及其承载能力，为相关人员在该领域的研究提供了重要参考依据。

图6 应力云图

参考文献：

[1] 黄恺, 李雷. Pro/E环境下的展成法实现直齿锥齿轮三维通过观察应力云图可以看出大锥角斜齿锥齿

实体造型[J]. 机床与液压. 2004 (7): 50. 轮副在传动过程中存在多齿啮合现象，打破了以往

[2] 谷丽瑶, 黄恺. 共轭啮合原理实现斜齿圆锥齿轮的三维齿轮啮合重合度小于2，并且最大弯曲应力发生在

实体造型[J]. 辽宁工业大学学报, 2008, 28(4): 246-249. 小端齿根部位，当对该齿轮输入250 N*M的转矩

时，最大等效应力为143 MPa；最大接触应力为86 责任编校：刘亚兵