圆中的基本概念和性质

圆中的基本概念和性质

一、圆 1、定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙O“，读作”圆O“． 2、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外； 3、性质 （1）对称性

①轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴； ②中心对称图形：对称中心是圆心；

③旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2）垂径定理

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ②推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ③推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

问题：若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经□ABCD四个顶点，则

□ABCD是_________________形

解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股

a

定理有：r2d2()2，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．

2

（3）圆心角和圆周角 ① 圆心角、圆周角的定义

②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相

等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量分别相等．

题型一：圆的定义

1. 点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是

题型二：圆周角定理 圆周角圆心角

例1.(2007浙江温州)如图，已知ACB是⊙O的圆周角，ACB50，则圆心角AOB是 ．

O

B

．

A

⊙O是ABC的外接圆，CB的大小为__________．变式练习1：(09四川凉山)如图，已知ABO50，则A

上不同于点C的变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD

任意一点，则BPC的度数是( )

A.45 B.60 C.75 D.90

P

40，则变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的度数分别是70、1的度数为

_________．

CD 的变式练习4：（2010海淀期末考试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若BAD23，则A

大小为（ ）

A．23 B．57 C．67 D．77

变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到

A点时，乙也跟随冲到

B点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径

例2.(07重庆)已知，如图：AB为⊙O的直径，ABAC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，BAC45．给出以下五个结论：①EBC22.5，AE是劣弧DE；②BDDC；③AE2EC；④劣弧

的2倍；⑤AEBC．其中正确结论的序号是 ．

变式练习1： 如图，AC，BD是O的两条直径．求证：四边形ABCD为矩形．

题型三：垂径定理

例3. (07年广州中考题)如图，⊙O是ABC的外接圆，ODAB于点D，交⊙O于点E，C60，

如果⊙O的半径为2，则结论错误的是( )

 C．OD1 D

．AB

AEEBA．ADDB B．

GB8cm，AG1cm，DE2cm，变式练习1：如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，

则EF_________．

B

变式练习2：如图所示，在RtABC中C90

，ACBC1，若以C为圆心、CB的长为半径的 圆交AB于P，则AP ．

C

AP

B

变式练习3：如图，已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点

A的所有弦中最短弦的长度．

变式练习4： (2003·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )

A．2

C．4

B．3 D．5

变式练习5：(2000·北京西城区)如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是( )

A．CE＝DE C．∠BAC＝∠BAD

B．D．AC>AD

变式练习6：(2000·北京市丰台区)在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．

，点O是CD的圆心，E为CD的中点，OE交CD于变式练习7： 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD

点F. 已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.

变式练习8：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶

部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

变式练习9：(2008广东湛江)如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．

⑴ 求证：ACOBCD．

CD24cm，求⊙O的直径．

⑵ 若EB8cm，

例4.如图所示，在⊙O与三角形所组成的图形中，OAOB，求证ACBD．

O

ACD

B

变式练习1：如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试证明：ACBD．

变式练习2：⑴ 若⊙O中等于

120的劣弧所对的弦长为⊙O的半径是_______．

⑵ 在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．

CD2，AB的弦心距等于⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB4，

1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．

CD6，求AC的长． 例5. (08郴州)已知在⊙O中，半径r5，AB、CD是两条平行弦，且AB8，

变式练习1：⑴在半径为1的⊙O中，弦AB、

AC

BAC的度数为________． ⑵已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB40cm，CD48cm，求弦AB与CD间的距离．

变式练习2：(2002·青海省)⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( ) A．2cm C．2cm或14cm

变式练习3：(09湖北黄石)如图，AB是⊙O的直径，且AB10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则h1h2 等于( )

A．5 B．6 C．7 D．8

B．14cm D．10cm或20cm

例6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E, BF⊥CD，垂足为F，且

AE=3cm，BF=5cm

．若⊙O的半径为5cm，求CD的长.

变式练习1：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为 ( )

A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm

题型四：圆心角、圆周角与垂径定理综合

1.若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是________，弦所对弧的度数是____________

课上小测：

1. 下列说法正确的是（ ）

A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 2. 在直径为10cm的⊙O中，有长为5cm 的弦AB， 则O到AB的距离等于（ )

3. 在半径为 4cm 的图中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）

4. 已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm， 那么拱形的半径是 cm.

5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8， 则 AB=＿.

6. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN//EF，且MN =12cm, EP=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .

7. 已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一点P的最短的弦长为8cm，则OP= .

8. 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm , P是弦AB上一点，若OP的长是整数， 则满足条件的点P有（ )

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

9. 已知圆的两弦AB,CD的长是方程x-42x+432=0的两根，且AB//CD，又知两弦之间

的距离为3，则圆的半径长是（ )

A.12 B.15 C.12或15 D.21

10. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD于点C，交AB于点E, DF⊥CD于点D，交AB于点F．

求证：

AE=BF.

2

11. 如图，直线AD交⊙O于点B、D, ⊙O的半径为10cm, AO=16cm，∠A=30，OC⊥AD于点C，

求 BC, AB, AD的长，

圆中的基本概念和性质

一、圆 1、定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙O“，读作”圆O“． 2、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外； 3、性质 （1）对称性

①轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴； ②中心对称图形：对称中心是圆心；

③旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2）垂径定理

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ②推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ③推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

问题：若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经□ABCD四个顶点，则

□ABCD是_________________形

解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股

a

定理有：r2d2()2，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．

2

（3）圆心角和圆周角 ① 圆心角、圆周角的定义

②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相

等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量分别相等．

题型一：圆的定义

1. 点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是

题型二：圆周角定理 圆周角圆心角

例1.(2007浙江温州)如图，已知ACB是⊙O的圆周角，ACB50，则圆心角AOB是 ．

O

B

．

A

⊙O是ABC的外接圆，CB的大小为__________．变式练习1：(09四川凉山)如图，已知ABO50，则A

上不同于点C的变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD

任意一点，则BPC的度数是( )

A.45 B.60 C.75 D.90

P

40，则变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的度数分别是70、1的度数为

_________．

CD 的变式练习4：（2010海淀期末考试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若BAD23，则A

大小为（ ）

A．23 B．57 C．67 D．77

变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到

A点时，乙也跟随冲到

B点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径

例2.(07重庆)已知，如图：AB为⊙O的直径，ABAC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，BAC45．给出以下五个结论：①EBC22.5，AE是劣弧DE；②BDDC；③AE2EC；④劣弧

的2倍；⑤AEBC．其中正确结论的序号是 ．

变式练习1： 如图，AC，BD是O的两条直径．求证：四边形ABCD为矩形．

题型三：垂径定理

例3. (07年广州中考题)如图，⊙O是ABC的外接圆，ODAB于点D，交⊙O于点E，C60，

如果⊙O的半径为2，则结论错误的是( )

 C．OD1 D

．AB

AEEBA．ADDB B．

GB8cm，AG1cm，DE2cm，变式练习1：如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，

则EF_________．

B

变式练习2：如图所示，在RtABC中C90

，ACBC1，若以C为圆心、CB的长为半径的 圆交AB于P，则AP ．

C

AP

B

变式练习3：如图，已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点

A的所有弦中最短弦的长度．

变式练习4： (2003·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )

A．2

C．4

B．3 D．5

变式练习5：(2000·北京西城区)如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是( )

A．CE＝DE C．∠BAC＝∠BAD

B．D．AC>AD

变式练习6：(2000·北京市丰台区)在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．

，点O是CD的圆心，E为CD的中点，OE交CD于变式练习7： 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD

点F. 已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.

变式练习8：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶

部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

变式练习9：(2008广东湛江)如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．

⑴ 求证：ACOBCD．

CD24cm，求⊙O的直径．

⑵ 若EB8cm，

例4.如图所示，在⊙O与三角形所组成的图形中，OAOB，求证ACBD．

O

ACD

B

变式练习1：如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试证明：ACBD．

变式练习2：⑴ 若⊙O中等于

120的劣弧所对的弦长为⊙O的半径是_______．

⑵ 在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．

CD2，AB的弦心距等于⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB4，

1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．

CD6，求AC的长． 例5. (08郴州)已知在⊙O中，半径r5，AB、CD是两条平行弦，且AB8，

变式练习1：⑴在半径为1的⊙O中，弦AB、

AC

BAC的度数为________． ⑵已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB40cm，CD48cm，求弦AB与CD间的距离．

变式练习2：(2002·青海省)⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( ) A．2cm C．2cm或14cm

变式练习3：(09湖北黄石)如图，AB是⊙O的直径，且AB10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则h1h2 等于( )

A．5 B．6 C．7 D．8

B．14cm D．10cm或20cm

例6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E, BF⊥CD，垂足为F，且

AE=3cm，BF=5cm

．若⊙O的半径为5cm，求CD的长.

变式练习1：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为 ( )

A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm

题型四：圆心角、圆周角与垂径定理综合

1.若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是________，弦所对弧的度数是____________

课上小测：

1. 下列说法正确的是（ ）

A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 2. 在直径为10cm的⊙O中，有长为5cm 的弦AB， 则O到AB的距离等于（ )

3. 在半径为 4cm 的图中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）

4. 已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm， 那么拱形的半径是 cm.

5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8， 则 AB=＿.

6. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN//EF，且MN =12cm, EP=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .

7. 已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一点P的最短的弦长为8cm，则OP= .

8. 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm , P是弦AB上一点，若OP的长是整数， 则满足条件的点P有（ )

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

9. 已知圆的两弦AB,CD的长是方程x-42x+432=0的两根，且AB//CD，又知两弦之间

的距离为3，则圆的半径长是（ )

A.12 B.15 C.12或15 D.21

10. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD于点C，交AB于点E, DF⊥CD于点D，交AB于点F．

求证：

AE=BF.

2

11. 如图，直线AD交⊙O于点B、D, ⊙O的半径为10cm, AO=16cm，∠A=30，OC⊥AD于点C，

求 BC, AB, AD的长，