如何用判别式法求函数值域

如何用判别式法求函数值域

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。下面我谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

x2x例1、 求函数y2的值域 xx1

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 x2x解：由y2得： xx1

（y－1）x2+(1－y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

(1y)24y(y1)

1y1,又y1 3

1x2xy2的值域为 ,1xx13令0, 解得

为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答：

1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

22当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 33

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

2（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 3

2、当y=－1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△

3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

x2x4、函数y2的值域怎样求？ xx1

若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

3x22x1例2、 求y的值域 2x1

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0

△ =4－4（y－3）(1－y)≥0

即（y－2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此3x1(x1)，原函数可以化简为y用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得x1

y≠2，故可求得原函数的值域为yyR,y2,且y3。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

例3、 求函数yx5(x3,5)的值域 3x22x1

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ x5由y2得：3yx2+(2y－1)x+y+5=0 3x2x1

1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y－1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：1258258 y144

258258,1由1）、2）可得原函数的值域为1 44

上面求得的值域对不对呢？显然y=3在所求得的值域范围内，但当17

3时，可求得x=23,5，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判17

别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为y=117,0。 

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

1）分子分母的最高次为二次的分式函数；

2）分子分母无公约数；

3）未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

如何用判别式法求函数值域

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。下面我谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

x2x例1、 求函数y2的值域 xx1

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 x2x解：由y2得： xx1

（y－1）x2+(1－y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

(1y)24y(y1)

1y1,又y1 3

1x2xy2的值域为 ,1xx13令0, 解得

为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答：

1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

22当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 33

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

2（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 3

2、当y=－1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△

3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

x2x4、函数y2的值域怎样求？ xx1

若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

3x22x1例2、 求y的值域 2x1

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0

△ =4－4（y－3）(1－y)≥0

即（y－2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此3x1(x1)，原函数可以化简为y用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得x1

y≠2，故可求得原函数的值域为yyR,y2,且y3。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

例3、 求函数yx5(x3,5)的值域 3x22x1

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ x5由y2得：3yx2+(2y－1)x+y+5=0 3x2x1

1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y－1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：1258258 y144

258258,1由1）、2）可得原函数的值域为1 44

上面求得的值域对不对呢？显然y=3在所求得的值域范围内，但当17

3时，可求得x=23,5，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判17

别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为y=117,0。 

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

1）分子分母的最高次为二次的分式函数；

2）分子分母无公约数；

3）未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。