从“双基”到“四基”的教学转向
——对平面图形面积计算公式教学的思考
姜荣富
【论文分类】小学各科教与学
【论文网络来源】http://www.csscipaper.com/G39
【学刊期数】2009年09期
【论文期刊来源】《小学数学教师》(沪)2009年5期第13～26,56页
【作者简介】姜荣富，浙江省杭州现代小学数学教育研究中心。
重视“双基”是我国数学教育的优良传统。听说修订的《国家数学课程标准》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”。重视基础是为了发展，数学教育改革中坚持“四基”，不仅可以更好地促进学生发展，而且也更加突出数学的学科性质。在具体的教学实践中，如何把“四基”落到实处，特别是在当前，如何实现从“双基”到“四基”的教学转向是一个重要命题。本文以小学数学平面图形面积计算公式教学为例，和大家一起讨论。
过去，平面图形面积计算是数学的核心内容之一，是几何知识中落实“双基”的重要载体。现在，平面图形面积计算仍然是空间与图形中图形测量的重要内容，主要学习长方形、平行四边形、三角形、梯形面积和圆面积等。这些教学内容既相互独立又密切联系。最近，浙江省组织了一次农村“新生代”教师教学展示活动，把以上教学内容集中在一起展开研究，给大家提供了系统分析与整体思考的机会。在小学学习中，平面图形面积计算公式的教学，强调动手操作活动与探究活动的展开，涉及基本数学活动经验的积累与基本数学思想方法的运用问题。通过对这些展示课的观察与思考，笔者意识到，数学教学要实现从“双基”到“四基”的转向，面临着诸多的问题与挑战。
这次的展示课，都以推导平面图形计算公式为核心目标，辅以空间观念和思维能力的培养。教学一般从对相应图形的直接研究开始，不仅充分展开探索与发现计算公式的活动过程，而且无一例外地强调图形转化方法的多样化和化归思想的具体运用。以下是平行四边形面积教学的例子。
【案例一】
1.与什么有关？
师（出示一个长方形）：这是什么图形？面积怎样算？
师（出示一个平行四边形）：这是什么图形？你能计算它的面积吗？
师：猜一猜，它的面积大小可能与什么有关？
学生猜想之后，教师通过课件或教具直观演示，得出结论：平行四边形的面积与它的底和高有关。
2.有什么关系？
在方格纸（每小格代表）上呈现平行四边形。
图1
先让学生独立数一数，并把图形的底、高和面积数分别记录在表格中。再通过对数据的观察与分析，得到“底×高＝面积”的事实。
3.为什么有这样的关系？
(1)平行四边形转化为长方形。
在方格纸（每小格代表）上呈现长方形和平行四边形。
图2
师：两个图形的面积分别是多少？
生：都是15平方厘米。
师：长方形的面积比较容易求出来，平行四边形的面积怎样办呢？
生：把左边的三角形剪下来，平移到右边，可以拼成一个长方形。
师：是这样吗？我们来试试。怎样剪呢？
生：沿着平行四边形的高剪下来。
师：（演示）通过剪拼，平行四边形可以转化为长方形。
图3
师：还有其他的方法可以把平行四边形转化为长方形吗？
学生尝试后，教师展示以下两种方法：
图4
图5
(2)进一步的例子。
让学生在方格纸上画平行四边形，先转化为长方形，再算出它的面积。在此基础上，教师继续给出一些“特例”，如出示底边不在水平方向上的平行四边形，讨论割补的方法。概括并得出：平行四边形都可以转化为面积相同的长方形。
(3)分析关系。
师生共同寻找并发现平行四边形的底、高与长方形的长、宽的对应关系，概括出平行四边形的面积＝底×高，S=ah。
以上教学，把平行四边形的面积探究过程作为问题解决的过程，使知识学习置于更宽广的背景中，特别是学生经历的这个学习过程，对探索其他图形面积计算有直接的启示意义，是小学生研究平面图形面积计算的一般方法。进一步说，上述教学过程，结论不是老师直接给出的，而是学生基于对众多学习材料进行加工之后自主探索发现的，这应该是众多探究式学习所追求的价值取向。但是笔者对学生进一步调查却发现一个有趣的现象，当从平行四边形的一个顶点向对应底边作高，如果高不在图形之内时（图6），很多学生便对“底×高＝面积”的计算方法产生怀疑。为什么会出现这种现象呢？表面看，是因为在前面例子中学习的割补方法在这里不能直接得到应用（以另一条边为底作高是可以的），其实更深层的原因主要有二：一是教学过程中始终没有摆脱对图形割补的具体操作，学生对计算公式的理解只是停留在可以直接看到的例子中，概括的“S=ah”的形式化表达并没有促成学生获得对公式的真正理解；二是教学过程似乎也暗含了这样的逻辑，即平行四边形如果能转化为长方形，就可以用“底×高”的方法计算它的面积，否则就不能用这个方法。也就是说，学生虽然经历了归纳推理的过程，但并不能真正体会这种数学思考方法的力量。显然，前者是“数学化”的问题，后者则与基本数学思想方法的教学相关，限于篇幅，这里不展开讨论。
图6
追踪并审视在案例一教学中学生经历的学习过程，笔者思考了如下两个问题：一是把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？二是如何合理利用图形特征帮助学生理解公式的推导过程？进一步，把平行四边形的面积教学放到整个几何知识体系中去分析，特别是与长方形的面积、三角形的面积等相似性的学习内容进行比较，思考前后的基础与发展，以下两个问题便清晰地浮现出来：一是如何避免基本数学活动经验的积累和利用出现断层？二是怎样避免数学思想方法的教学在同水平上反复？
一、把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？
把这个问题一般化，就是图形的认识如何为图形测量与计算积累起必要的活动经验。空间与图形的学习内容包括三个分支：图形的认识、图形的测量、图形的位置与变换。这三个分支是几何知识的不同侧面。不同教学内容既有不同的教学价值，又有着十分紧密的联系。如通过图形的周长或面积计算可以增进学生对图形特征的认识，而培养学生的空间观念则是几何知识学习的共同价值取向。基于这些密不可分的联系和学生学习的一般规律，需要思考教学前后的逻辑基础，特别是内隐的基本数学活动经验。
表面看，并没有直接的基础可以使学生思考如何把平行四边形转化为长方形，因此，教师在设计学习材料时，往往想到借助于方格纸的直观，目的是给学生一个直接暗示。由此带来的直接后果是学生失去了思考与尝试的机会，从教师教学的角度来看，也是对学生已有基本数学活动经验的漠视。
事实上，学生对于平行四边形的操作经验，是伴随着对平行四边形认识的过程逐步积累起来的，最初的经验积累甚至可以追溯到学生初次学习平行四边形。
图7
浙教版《数学》教材中平行四边形的认识分两个阶段。第一阶段安排在二年级，从七巧板中引入平行四边形，把平行四边形与其他图形放在一起（图7），通过比较图形要素的方法来认识新图形，使学生对平行四边形的认识建立在较高的观念起点之上。然后，从七巧板中选择图形拼成平行四边形，在具体的操作活动中感知平行四边形的特征，并积累图形分与合的经验。如从七巧板中选择三角形拼成平行四边形，就可以获得两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或者说，一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形）的认识。如果是用七巧板中的一个正方形和两个三角形来拼平行四边形，学生拼出如图8所示的平行四边形，教师可以进一步启发学生思考，如何移动其中的一块，拼出一个新图形呢？把左边的三角形平移到右边，就可以得到一个长方形，如图9。通过这些具体的操作活动，不仅丰富了学生对于平行四边形的认识，而且也积累了图形变换的活动经验。(转载请注明网络来源：http://www.csscipaper.com/)
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从“双基”到“四基”的教学转向
——对平面图形面积计算公式教学的思考
姜荣富
【论文分类】小学各科教与学
【论文网络来源】http://www.csscipaper.com/G39
【学刊期数】2009年09期
【论文期刊来源】《小学数学教师》(沪)2009年5期第13～26,56页
【作者简介】姜荣富，浙江省杭州现代小学数学教育研究中心。
重视“双基”是我国数学教育的优良传统。听说修订的《国家数学课程标准》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”。重视基础是为了发展，数学教育改革中坚持“四基”，不仅可以更好地促进学生发展，而且也更加突出数学的学科性质。在具体的教学实践中，如何把“四基”落到实处，特别是在当前，如何实现从“双基”到“四基”的教学转向是一个重要命题。本文以小学数学平面图形面积计算公式教学为例，和大家一起讨论。
过去，平面图形面积计算是数学的核心内容之一，是几何知识中落实“双基”的重要载体。现在，平面图形面积计算仍然是空间与图形中图形测量的重要内容，主要学习长方形、平行四边形、三角形、梯形面积和圆面积等。这些教学内容既相互独立又密切联系。最近，浙江省组织了一次农村“新生代”教师教学展示活动，把以上教学内容集中在一起展开研究，给大家提供了系统分析与整体思考的机会。在小学学习中，平面图形面积计算公式的教学，强调动手操作活动与探究活动的展开，涉及基本数学活动经验的积累与基本数学思想方法的运用问题。通过对这些展示课的观察与思考，笔者意识到，数学教学要实现从“双基”到“四基”的转向，面临着诸多的问题与挑战。
这次的展示课，都以推导平面图形计算公式为核心目标，辅以空间观念和思维能力的培养。教学一般从对相应图形的直接研究开始，不仅充分展开探索与发现计算公式的活动过程，而且无一例外地强调图形转化方法的多样化和化归思想的具体运用。以下是平行四边形面积教学的例子。
【案例一】
1.与什么有关？
师（出示一个长方形）：这是什么图形？面积怎样算？
师（出示一个平行四边形）：这是什么图形？你能计算它的面积吗？
师：猜一猜，它的面积大小可能与什么有关？
学生猜想之后，教师通过课件或教具直观演示，得出结论：平行四边形的面积与它的底和高有关。
2.有什么关系？
在方格纸（每小格代表）上呈现平行四边形。
图1
先让学生独立数一数，并把图形的底、高和面积数分别记录在表格中。再通过对数据的观察与分析，得到“底×高＝面积”的事实。
3.为什么有这样的关系？
(1)平行四边形转化为长方形。
在方格纸（每小格代表）上呈现长方形和平行四边形。
图2
师：两个图形的面积分别是多少？
生：都是15平方厘米。
师：长方形的面积比较容易求出来，平行四边形的面积怎样办呢？
生：把左边的三角形剪下来，平移到右边，可以拼成一个长方形。
师：是这样吗？我们来试试。怎样剪呢？
生：沿着平行四边形的高剪下来。
师：（演示）通过剪拼，平行四边形可以转化为长方形。
图3
师：还有其他的方法可以把平行四边形转化为长方形吗？
学生尝试后，教师展示以下两种方法：
图4
图5
(2)进一步的例子。
让学生在方格纸上画平行四边形，先转化为长方形，再算出它的面积。在此基础上，教师继续给出一些“特例”，如出示底边不在水平方向上的平行四边形，讨论割补的方法。概括并得出：平行四边形都可以转化为面积相同的长方形。
(3)分析关系。
师生共同寻找并发现平行四边形的底、高与长方形的长、宽的对应关系，概括出平行四边形的面积＝底×高，S=ah。
以上教学，把平行四边形的面积探究过程作为问题解决的过程，使知识学习置于更宽广的背景中，特别是学生经历的这个学习过程，对探索其他图形面积计算有直接的启示意义，是小学生研究平面图形面积计算的一般方法。进一步说，上述教学过程，结论不是老师直接给出的，而是学生基于对众多学习材料进行加工之后自主探索发现的，这应该是众多探究式学习所追求的价值取向。但是笔者对学生进一步调查却发现一个有趣的现象，当从平行四边形的一个顶点向对应底边作高，如果高不在图形之内时（图6），很多学生便对“底×高＝面积”的计算方法产生怀疑。为什么会出现这种现象呢？表面看，是因为在前面例子中学习的割补方法在这里不能直接得到应用（以另一条边为底作高是可以的），其实更深层的原因主要有二：一是教学过程中始终没有摆脱对图形割补的具体操作，学生对计算公式的理解只是停留在可以直接看到的例子中，概括的“S=ah”的形式化表达并没有促成学生获得对公式的真正理解；二是教学过程似乎也暗含了这样的逻辑，即平行四边形如果能转化为长方形，就可以用“底×高”的方法计算它的面积，否则就不能用这个方法。也就是说，学生虽然经历了归纳推理的过程，但并不能真正体会这种数学思考方法的力量。显然，前者是“数学化”的问题，后者则与基本数学思想方法的教学相关，限于篇幅，这里不展开讨论。
图6
追踪并审视在案例一教学中学生经历的学习过程，笔者思考了如下两个问题：一是把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？二是如何合理利用图形特征帮助学生理解公式的推导过程？进一步，把平行四边形的面积教学放到整个几何知识体系中去分析，特别是与长方形的面积、三角形的面积等相似性的学习内容进行比较，思考前后的基础与发展，以下两个问题便清晰地浮现出来：一是如何避免基本数学活动经验的积累和利用出现断层？二是怎样避免数学思想方法的教学在同水平上反复？
一、把平行四边形转化为长方形的具体基础是什么？
把这个问题一般化，就是图形的认识如何为图形测量与计算积累起必要的活动经验。空间与图形的学习内容包括三个分支：图形的认识、图形的测量、图形的位置与变换。这三个分支是几何知识的不同侧面。不同教学内容既有不同的教学价值，又有着十分紧密的联系。如通过图形的周长或面积计算可以增进学生对图形特征的认识，而培养学生的空间观念则是几何知识学习的共同价值取向。基于这些密不可分的联系和学生学习的一般规律，需要思考教学前后的逻辑基础，特别是内隐的基本数学活动经验。
表面看，并没有直接的基础可以使学生思考如何把平行四边形转化为长方形，因此，教师在设计学习材料时，往往想到借助于方格纸的直观，目的是给学生一个直接暗示。由此带来的直接后果是学生失去了思考与尝试的机会，从教师教学的角度来看，也是对学生已有基本数学活动经验的漠视。
事实上，学生对于平行四边形的操作经验，是伴随着对平行四边形认识的过程逐步积累起来的，最初的经验积累甚至可以追溯到学生初次学习平行四边形。
图7
浙教版《数学》教材中平行四边形的认识分两个阶段。第一阶段安排在二年级，从七巧板中引入平行四边形，把平行四边形与其他图形放在一起（图7），通过比较图形要素的方法来认识新图形，使学生对平行四边形的认识建立在较高的观念起点之上。然后，从七巧板中选择图形拼成平行四边形，在具体的操作活动中感知平行四边形的特征，并积累图形分与合的经验。如从七巧板中选择三角形拼成平行四边形，就可以获得两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或者说，一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形）的认识。如果是用七巧板中的一个正方形和两个三角形来拼平行四边形，学生拼出如图8所示的平行四边形，教师可以进一步启发学生思考，如何移动其中的一块，拼出一个新图形呢？把左边的三角形平移到右边，就可以得到一个长方形，如图9。通过这些具体的操作活动，不仅丰富了学生对于平行四边形的认识，而且也积累了图形变换的活动经验。(转载请注明网络来源：http://www.csscipaper.com/)
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