1.2.2 概率的性质
教学内容： 概率的公理化体系及概率的性质
教学目的：
（1）明确解概率的公理化定义的内容。
（2）深刻理解掌握概率公理化定义的意义，掌握概率的
性质在概率计算中的应用。
教学重点:
概率的性质中的有限可加性以及加法公式，减法公式等。
教学难点:
概率的公理化定义的内容以及意义理解。
教学过程和要求：
（10分钟）概率是描述随机事件发生可能性大小的数量指标。在本节的学习中给出概率的公理化定义：
(i)概率的公理化定义：
（板书）定义：设随机试验E 的样本空间为Ω，对于E 的每一个事件A ，赋予一个实数p (A ) ，且p (A ) 满足以下三个条件：
（1）非负性：对于任意A ⊂Ω，有p (A ) ≥0；
（2）规范性：p (Ω) =1；
A 2， ，A n ， 是两两互斥的事件列，有 （3）可列可加性：若A 1，
p (A 1+A 2+ +A n + ) =∑p (A i )
i =1∞
则称p (A ) 为事件A 的概率.
(ii)公理化定义的意义：
上节课讨论的事件概率的统计定义、古典概率定义、几何概率定义在一定的范围内解决了某些实际问题，但这几种概率的定义都存在着应用上的局限性，缺乏数学定义的严密性与一般性. 经过长期的研究，到1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人的研究成果的基础上，提出了概率的公理化体系，明确定义了概率的基本概念，使概率论成为一门严谨的数学分支。
（20分钟）接下来重点讲解概率的性质及应用。性质1、2、3比较显然，由公理化定义直接给出，不证；性质4（有限可加性）性质5（说明对立事件的应用）、性质6（减法公式）和性质7（加法公式）给出证明，并举出应用的例子。性质7（加法公式）给出三个事件的情形（可根据图形让学生自己总结）进而推广到n 个事件的情形。
概率的性质：（板书）
（1）非负性 （2）规范性 （3）可列可加性
（4）p (Φ) =0
(5)有限可加性 A 1, A 2......, A n 是n 个两两互斥的事件，则
p (A 1+A 2+⋅⋅⋅+A n )=p (A 1) +p (A 2) +⋅⋅⋅+p (A n ).
(6)互补性 对任何事件A , 有p () =1-p (A ) .
证明：（利用有限可加性）
A =Φ, A ⋃=Ω
且p (Ω) =1, 所以1=p (A ⋃A ) =p (A ) +p (A ) 从而p () =1-p (A ) .
例1：将一颗骰子抛掷4次，问至少一次出现6点的概率是多大？
解：A={至少出现一次6点}，那么={4次抛掷中都未出现6点} 54625671易知p () =4=， 所以p (A ) =1-p () =. 129612966
(7)减法公式 对任意事件A ，B ，有p (A -B ) =p (A ) -p (AB ) .
证明： A -B =A -AB
且(A -AB ) ⋃(AB ) =A , (A -AB ) ⋂(AB ) =Φ
所以p (A ) =p (A -AB ) +p (AB )
p (A -B ) =p (A -AB ) =p (A ) -p (AB ).
推论7.1：若A ⊂B ，则p (A -B ) =p (A ) -p (B ) .
推论7.2：若A ⊂B ，则p (A ) ≤p (B ).
(8)（加法定理）设A 、B 为任意两个事件，则
p (A B ) =p (A ) +p (B ) -p (AB ) .
证明：，A B =A (B -AB ) 且A (B -AB ) =φ，
得 p (A B ) =p [A +(B -AB )]=p (A ) +p (B ) -p (AB ) .
推论8.2: 设A ，B ，C 为三个事件，则
p (A ⋃B ⋃C ) =p (A ) +p (B ) +p (C ) -p (AB ) -p (AC ) -p (BC ) +p (ABC ).
例2：某企业与甲、乙两公司签订某商品的长期供货合同，从以往情况看．甲公司按时供货的概率为0.9，乙公司按时供货的概率为0.75，这两公司都按时供货的概率为0.7，求至少有一家公司按时供货的概率.
解：A={甲按时供货} B={乙按时供货}
由题意知，p (A ) =0. 9, p (B ) =0. 75, p (AB ) =0. 7
p (A ⋃B ) =p (A ) +p (B ) -p (AB )
=0. 9+0. 75-0. 75
=0. 95
11 例3：设p (A ) =，p (B ) =，分别在下列条件下求p (B ) ： 32
（1）A ⊂B ；（2）A 与B 互斥；（3）p (AB ) =
解：p (B ) =p (B -AB ) =p (B ) -p (AB )
（1）A ⊂B ，则p (AB ) =p (A ) ，
1. 8
因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =p (B ) -p (A ) =1； 6
1； 2 （2）若A 、B 互斥，则 p (AB ) =0，因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =
（3）p (AB ) =
1113，因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =-=. 8288
1.2.2 概率的性质
教学内容： 概率的公理化体系及概率的性质
教学目的：
（1）明确解概率的公理化定义的内容。
（2）深刻理解掌握概率公理化定义的意义，掌握概率的
性质在概率计算中的应用。
教学重点:
概率的性质中的有限可加性以及加法公式，减法公式等。
教学难点:
概率的公理化定义的内容以及意义理解。
教学过程和要求：
（10分钟）概率是描述随机事件发生可能性大小的数量指标。在本节的学习中给出概率的公理化定义：
(i)概率的公理化定义：
（板书）定义：设随机试验E 的样本空间为Ω，对于E 的每一个事件A ，赋予一个实数p (A ) ，且p (A ) 满足以下三个条件：
（1）非负性：对于任意A ⊂Ω，有p (A ) ≥0；
（2）规范性：p (Ω) =1；
A 2， ，A n ， 是两两互斥的事件列，有 （3）可列可加性：若A 1，
p (A 1+A 2+ +A n + ) =∑p (A i )
i =1∞
则称p (A ) 为事件A 的概率.
(ii)公理化定义的意义：
上节课讨论的事件概率的统计定义、古典概率定义、几何概率定义在一定的范围内解决了某些实际问题，但这几种概率的定义都存在着应用上的局限性，缺乏数学定义的严密性与一般性. 经过长期的研究，到1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人的研究成果的基础上，提出了概率的公理化体系，明确定义了概率的基本概念，使概率论成为一门严谨的数学分支。
（20分钟）接下来重点讲解概率的性质及应用。性质1、2、3比较显然，由公理化定义直接给出，不证；性质4（有限可加性）性质5（说明对立事件的应用）、性质6（减法公式）和性质7（加法公式）给出证明，并举出应用的例子。性质7（加法公式）给出三个事件的情形（可根据图形让学生自己总结）进而推广到n 个事件的情形。
概率的性质：（板书）
（1）非负性 （2）规范性 （3）可列可加性
（4）p (Φ) =0
(5)有限可加性 A 1, A 2......, A n 是n 个两两互斥的事件，则
p (A 1+A 2+⋅⋅⋅+A n )=p (A 1) +p (A 2) +⋅⋅⋅+p (A n ).
(6)互补性 对任何事件A , 有p () =1-p (A ) .
证明：（利用有限可加性）
A =Φ, A ⋃=Ω
且p (Ω) =1, 所以1=p (A ⋃A ) =p (A ) +p (A ) 从而p () =1-p (A ) .
例1：将一颗骰子抛掷4次，问至少一次出现6点的概率是多大？
解：A={至少出现一次6点}，那么={4次抛掷中都未出现6点} 54625671易知p () =4=， 所以p (A ) =1-p () =. 129612966
(7)减法公式 对任意事件A ，B ，有p (A -B ) =p (A ) -p (AB ) .
证明： A -B =A -AB
且(A -AB ) ⋃(AB ) =A , (A -AB ) ⋂(AB ) =Φ
所以p (A ) =p (A -AB ) +p (AB )
p (A -B ) =p (A -AB ) =p (A ) -p (AB ).
推论7.1：若A ⊂B ，则p (A -B ) =p (A ) -p (B ) .
推论7.2：若A ⊂B ，则p (A ) ≤p (B ).
(8)（加法定理）设A 、B 为任意两个事件，则
p (A B ) =p (A ) +p (B ) -p (AB ) .
证明：，A B =A (B -AB ) 且A (B -AB ) =φ，
得 p (A B ) =p [A +(B -AB )]=p (A ) +p (B ) -p (AB ) .
推论8.2: 设A ，B ，C 为三个事件，则
p (A ⋃B ⋃C ) =p (A ) +p (B ) +p (C ) -p (AB ) -p (AC ) -p (BC ) +p (ABC ).
例2：某企业与甲、乙两公司签订某商品的长期供货合同，从以往情况看．甲公司按时供货的概率为0.9，乙公司按时供货的概率为0.75，这两公司都按时供货的概率为0.7，求至少有一家公司按时供货的概率.
解：A={甲按时供货} B={乙按时供货}
由题意知，p (A ) =0. 9, p (B ) =0. 75, p (AB ) =0. 7
p (A ⋃B ) =p (A ) +p (B ) -p (AB )
=0. 9+0. 75-0. 75
=0. 95
11 例3：设p (A ) =，p (B ) =，分别在下列条件下求p (B ) ： 32
（1）A ⊂B ；（2）A 与B 互斥；（3）p (AB ) =
解：p (B ) =p (B -AB ) =p (B ) -p (AB )
（1）A ⊂B ，则p (AB ) =p (A ) ，
1. 8
因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =p (B ) -p (A ) =1； 6
1； 2 （2）若A 、B 互斥，则 p (AB ) =0，因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =
（3）p (AB ) =
1113，因此 p (B A ) =p (B ) -p (AB ) =-=. 8288