有效前沿的应用
李坪 指导老师：苗刚
[摘要]在马科维茨模型下研究有效前沿的计算，针对不同的投资组合来选取最优的投资方案。 [关键词]马科维茨模型；投资组合；有效前沿
引言
投资者很早就认识到了分散的将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。马科维茨根据每个证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。马科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时非常精确。
1马科维茨问题的提出及其求解
1.1 模型基本假设
1. 考虑一个单期投资决策问题，即在时刻0作出投资决策，在时刻1得到投资收益；
-
-
-
2. 市场中有S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，其期望收益率分别是r 1, r 2,..., r n , 协方差阵是
⎡σ11
⎢σ21
V =⎢
⎢... ⎢⎣σn 1
σ12σ22...
... ... ... ...
σ2n
σn 2
⎥⎥ ... ⎥⎥σnn ⎦
σ1n ⎤
3. V 是正定矩阵，期望收益率不全为1。
4. 影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险，且投资风险用投资收益率的方差或标准
方差表示。
5. 投资者都遵守占优原则：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益水平下，
选择风险较低的证券。
6. 资产交易无摩擦，即无交易费用、无税收、无买卖价差，资产可以任意分割；市场中有
充分多的投资者，且每位投资者的投资行为对市场价格无影响，即投资者都是价格的接受者；
7. 不允许卖空，即投资者只能卖出他拥有的资产。
注意：假设7的替代形式是：允许卖空，即投资者可以在时刻0卖出他没有的某种或多
种资产，然后在时刻1从市场上买入相同数量的同总资产冲平他在时刻0卖出的资产。 1.2马科维茨模型的数学表述
N
N
i
目标函数：min σ
2p
=
∑∑x
i =1
j =1-i
x j σij
-
N
约束条件：r p =
∑x
i =1
r i +yr f ；
N
1=
∑x
i =1
i
+y
(x i ≥0, y ≥0, i =1, 2,..., N ).
其中：x i 是第i 个股票所占比例，y 是无风险证券所占比例。
根据投资者均为理性经济人的假设，马科维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：
（Ⅰ）给定组合收益E p =E 0：
N
N
2
i
N
i
j
ij
m in σ
2p
=
∑x
i =1
σ+
2i
∑∑x x σ
i =1
j =1j ≠i
N
∑x E
i
i =1
i
=E p =E 0
s . t .
N
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
（Ⅱ）给定组合风险σ
N
2p
=σ0：
2
m ax E p =
∑x E
i
i =1
i
N N
2i
N
i
j
ij
σ
s . t . N
2p
=
∑x
i =1
σ+
2i
∑∑x x σ
i =1
j =1j ≠i
=σ0
2
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益E 0的情况下，使投资风险最小。模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险σ02的条件下，使期望收益最大。事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（E (r p ) ）－风险（σp ）平面上的同一条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。
任何两个前沿投资组合的线性组合仍为前沿投资组合；反之，所有前沿投资组合均可由任意两个不同的前沿组合产生。
在卖空限制下求解投资组合类似于求大化问题，只是对投资组合增加了一个投资比例非
n
2
负性约束条件：∑x i =1其中x i ≥0, i =1,..., N 。
i =1
n
在允许卖空的情况下上面权重约束为∑x i =1其中x i ∈R , i =1,..., N ，求得的结果x i
i =1
中可能有正的也有负的，它反映了允许卖空的情形。
2 前沿组合的确定
为了简化复杂的证券市场环境，我们假设证券市场是完整市场，试用马科维茨模型，由于中国市场的实际情况是不允许买空卖空，则该模型为：
N
N
i
目标函数：min σ
2
p
=
∑∑x
i =1
j =1-i
x j σij
-
N
约束条件：r p =
∑x
i =1
r i +yr f ；
N
1=
∑x
i =1
i
+y
(x i ≥0, y ≥0, i =1, 2,..., N ).
其中：x i 是第i 个股票所占比例，y 是无风险证券所占比例。
先不考虑无风险证券，设S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，其期望收益率分别是
---
r 1, r 2,..., r n , 协方差阵是
⎡σ11⎢σ21⎢V =
⎢... ⎢⎣σn 1
σ12σ22...
... ... ... ...
σ2n
σn 2
⎥⎥ ... ⎥⎥σnn ⎦
-
σ1n ⎤
根据马科维茨模型用Lagrange 函数求极值，在(σp , r p ) 平面可得一条双曲线：
σ
2p
-
1/C
-
-
-
(r p -B /C ) D /C
2
2
=1，
其中：A =R ' V
-1
-
R ，B =I ' V
-1
R ，C =I ' V I ，D =AC -B ，
-2
此双曲线上存在一点Q 使得σp 最小，此时的Q 坐标为(/C , B /C ) ，此点向上延伸的一段即为该样本的有效前沿。
将其运用到证券市场，可选取40个样品股如下：
股票名称 深发展A 深万科A 深振业A 深宝安A 深南玻A 深康佳A 深科技A 深能源A 深长城A 辽通化工 中兴通讯 深圳机场 小天鹅A 鄂武商A
平均周收益率 -0.0034 0.005458 0.00345 0.015934 0.028504 -0.00202 -0.00357 0.007787 0.005873 0.003028 -0.00139 -0.00177 -0.00348 0.009651
标准差 0.37418 0.06319 0.052647 0.073701 0.127286 0.057578 0.049684 0.065733 0.054202 0.058505 0.061216 0.089012 0.035628 0.066417
武凤凰A 粤美的A 粤美雅A 粤电力A 湖南投资 江铃汽车 创元科技 银广厦A 陕长岭A 西安民生 苏常柴A 新大洲A 粤宏远A 东方电子 唐钢股份 燕京啤酒 环保股份 锌业股份 中色建设 湘酒鬼 一汽轿车 中信国安 五粮液 云南铜业 广电传媒 中关村
0.002172 0.003727 0.003111 0.01347 -0.00046 0.004427 0.007087 0.016999 0.003188 0.001301 0.004921 0.010683 0.006177 -0.01454 -0.00382 -0.00386 -0.00715 0.008567 0.002992 -0.00153 0.002797 0.001714 -0.00492 -0.00348 0.002879 0.003807
0.047108 0.058426 0.035205 0.056258 0.065885 0.046771 0.072073 0.097308 0.054326 0.076057 0.066108 0.087812 0.059201 0.126363 0.081704 0.036317 0.064526 0.057984 0.074372 0.042822 0.049968 0.086729 0.059542 0.043781 0.069349 0.117168
（数据来源于1999年8月6日至2000年7月28日，通过大智慧股票软件查询每日收盘价）
可以求得A =2. 95768，B =-8. 73708，C =7890，D =23259. 8，从而Q 坐标为
(0. 011258, -0. 00110736) ，则双曲线方程为：
σ
2
p
-
1/7890
-
(r p +8. 73708/7890) 23259. 8/7890
2
2
=1 。
如下图所示：
然后考虑无风险证券，设F 是无风险证券，S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，M 是证券切点组合，对应组合为(x 1, x 2,..., x n ) ，则投资于F , S 1, S 2,..., S n 的最优组合为：
(y , (1-y ) x 1, (1-y ) x 2, . . . (1, -y ) x n ) ，(0≤y ≤1) ，则由F , S 1, S 2,..., S n 产生的有效前沿是
-
一条连接F 与M 的直线。在r p 给定下，求(x 1, x 2,..., x n ) ，使σ
p
最小，即是一个求救二次
规划的问题。我们根据马科维茨模型和假设条件，用数学软件mathematics 4.0，可以计算出：
x =(0 , 0. 139987, 0, 0. 021415, 0. 00885502, 0, 0. 155724, 0, 0. 0197898, 0. 0213291, 0. 0111932, 0. 0164167, 0. 070529, 0. 0217939, 0, 0. 0233557, 0. 066541, 0. 0889503, 0. 0172747, 0, 0, 0. 0142551, 0, 0, 0. 0. 96488. 0, 0. 0700465, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 083819, 0. 0826555, 0. 036428, 0, 0, 0, 0)
-
N
-i
N N
i
j
r M =
∑x
i =1
r i =0. 00342073
，σM =
∑∑x x
i =1
j =1
σij =0. 0036855，（编程方法可见参阅
mathematics4.0）。
即M 点的坐标为(0. 036855, 0. 00342073) ，如下图所示：
结论
第一，由于中国证券市场不允许出现买空卖空，所以用马科维茨模型求出为边界最优解，要得到更准确的结论，需要进一步的研究工作。另一方面，由于在计算周收益率时，没有考虑到股票分红，配股，拆细送股等因素的影响，实际的收益率可能要高些，但由于样本时限较短，所以误差不算大，结果仍有普遍性。
第二, 马科维茨的均值－方差模型属于先验概率的范畴，因而很可能会造成“追涨”，“杀跌”后果。
第三，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马科维茨的均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协方差的估计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，估计的任务是相当大的。不仅需要精通理
论的专业人员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。
参考文献
[1] 毕俊娜，郭军义．均值-方差准则下的投资连结寿险合同对冲问题．数学物理学报[J]．2011年第31期．
[2] 王海燕，彭大衡．不完备市场中再保险投资的M-V 及M-V aR 最优策略．中国管理学[M]．2011年第19卷第4期．
[3] 张珺，陈卫斌．中国与东盟五国股市投资组合的风险和收益——基于MV 和M-LPM 模型的实证研究．亚太经济[J]．2011年第5期．
[4] 陈峰，成央金，昌婷婷，李光荣．不允许卖空下的无风险资产借贷的最优投资组合．湖南工业大学学报[J]．2011年第25卷第6期．
[5] 梁永强，康恒．浅析现代投资组合理论、CAPM 理论、APT 理论之间的内在逻辑关系、最新发展以及发展趋势．科技向导[J]．2010年第23期．
[6] 周任军，胡军，罗潇，胡敏，叶佳明．发电资产最优组合分配的WCV aR 风险度量方法．长沙理工大学学报[J]．2009年第6卷第1期．
[7] 邹辉文．两类资产组合有效前沿边界的相切关系的严格证明．数学的实践与认识[J]．2009年第39卷第9期．
[8] 吴祝武，朱开永．证券组合M-V 有效前沿旋移分析的进一步研究．大学数学[J]．2009年第25卷第2期．
有效前沿的应用
李坪 指导老师：苗刚
[摘要]在马科维茨模型下研究有效前沿的计算，针对不同的投资组合来选取最优的投资方案。 [关键词]马科维茨模型；投资组合；有效前沿
引言
投资者很早就认识到了分散的将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。马科维茨根据每个证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。马科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时非常精确。
1马科维茨问题的提出及其求解
1.1 模型基本假设
1. 考虑一个单期投资决策问题，即在时刻0作出投资决策，在时刻1得到投资收益；
-
-
-
2. 市场中有S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，其期望收益率分别是r 1, r 2,..., r n , 协方差阵是
⎡σ11
⎢σ21
V =⎢
⎢... ⎢⎣σn 1
σ12σ22...
... ... ... ...
σ2n
σn 2
⎥⎥ ... ⎥⎥σnn ⎦
σ1n ⎤
3. V 是正定矩阵，期望收益率不全为1。
4. 影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险，且投资风险用投资收益率的方差或标准
方差表示。
5. 投资者都遵守占优原则：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益水平下，
选择风险较低的证券。
6. 资产交易无摩擦，即无交易费用、无税收、无买卖价差，资产可以任意分割；市场中有
充分多的投资者，且每位投资者的投资行为对市场价格无影响，即投资者都是价格的接受者；
7. 不允许卖空，即投资者只能卖出他拥有的资产。
注意：假设7的替代形式是：允许卖空，即投资者可以在时刻0卖出他没有的某种或多
种资产，然后在时刻1从市场上买入相同数量的同总资产冲平他在时刻0卖出的资产。 1.2马科维茨模型的数学表述
N
N
i
目标函数：min σ
2p
=
∑∑x
i =1
j =1-i
x j σij
-
N
约束条件：r p =
∑x
i =1
r i +yr f ；
N
1=
∑x
i =1
i
+y
(x i ≥0, y ≥0, i =1, 2,..., N ).
其中：x i 是第i 个股票所占比例，y 是无风险证券所占比例。
根据投资者均为理性经济人的假设，马科维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：
（Ⅰ）给定组合收益E p =E 0：
N
N
2
i
N
i
j
ij
m in σ
2p
=
∑x
i =1
σ+
2i
∑∑x x σ
i =1
j =1j ≠i
N
∑x E
i
i =1
i
=E p =E 0
s . t .
N
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
（Ⅱ）给定组合风险σ
N
2p
=σ0：
2
m ax E p =
∑x E
i
i =1
i
N N
2i
N
i
j
ij
σ
s . t . N
2p
=
∑x
i =1
σ+
2i
∑∑x x σ
i =1
j =1j ≠i
=σ0
2
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益E 0的情况下，使投资风险最小。模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险σ02的条件下，使期望收益最大。事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（E (r p ) ）－风险（σp ）平面上的同一条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。
任何两个前沿投资组合的线性组合仍为前沿投资组合；反之，所有前沿投资组合均可由任意两个不同的前沿组合产生。
在卖空限制下求解投资组合类似于求大化问题，只是对投资组合增加了一个投资比例非
n
2
负性约束条件：∑x i =1其中x i ≥0, i =1,..., N 。
i =1
n
在允许卖空的情况下上面权重约束为∑x i =1其中x i ∈R , i =1,..., N ，求得的结果x i
i =1
中可能有正的也有负的，它反映了允许卖空的情形。
2 前沿组合的确定
为了简化复杂的证券市场环境，我们假设证券市场是完整市场，试用马科维茨模型，由于中国市场的实际情况是不允许买空卖空，则该模型为：
N
N
i
目标函数：min σ
2
p
=
∑∑x
i =1
j =1-i
x j σij
-
N
约束条件：r p =
∑x
i =1
r i +yr f ；
N
1=
∑x
i =1
i
+y
(x i ≥0, y ≥0, i =1, 2,..., N ).
其中：x i 是第i 个股票所占比例，y 是无风险证券所占比例。
先不考虑无风险证券，设S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，其期望收益率分别是
---
r 1, r 2,..., r n , 协方差阵是
⎡σ11⎢σ21⎢V =
⎢... ⎢⎣σn 1
σ12σ22...
... ... ... ...
σ2n
σn 2
⎥⎥ ... ⎥⎥σnn ⎦
-
σ1n ⎤
根据马科维茨模型用Lagrange 函数求极值，在(σp , r p ) 平面可得一条双曲线：
σ
2p
-
1/C
-
-
-
(r p -B /C ) D /C
2
2
=1，
其中：A =R ' V
-1
-
R ，B =I ' V
-1
R ，C =I ' V I ，D =AC -B ，
-2
此双曲线上存在一点Q 使得σp 最小，此时的Q 坐标为(/C , B /C ) ，此点向上延伸的一段即为该样本的有效前沿。
将其运用到证券市场，可选取40个样品股如下：
股票名称 深发展A 深万科A 深振业A 深宝安A 深南玻A 深康佳A 深科技A 深能源A 深长城A 辽通化工 中兴通讯 深圳机场 小天鹅A 鄂武商A
平均周收益率 -0.0034 0.005458 0.00345 0.015934 0.028504 -0.00202 -0.00357 0.007787 0.005873 0.003028 -0.00139 -0.00177 -0.00348 0.009651
标准差 0.37418 0.06319 0.052647 0.073701 0.127286 0.057578 0.049684 0.065733 0.054202 0.058505 0.061216 0.089012 0.035628 0.066417
武凤凰A 粤美的A 粤美雅A 粤电力A 湖南投资 江铃汽车 创元科技 银广厦A 陕长岭A 西安民生 苏常柴A 新大洲A 粤宏远A 东方电子 唐钢股份 燕京啤酒 环保股份 锌业股份 中色建设 湘酒鬼 一汽轿车 中信国安 五粮液 云南铜业 广电传媒 中关村
0.002172 0.003727 0.003111 0.01347 -0.00046 0.004427 0.007087 0.016999 0.003188 0.001301 0.004921 0.010683 0.006177 -0.01454 -0.00382 -0.00386 -0.00715 0.008567 0.002992 -0.00153 0.002797 0.001714 -0.00492 -0.00348 0.002879 0.003807
0.047108 0.058426 0.035205 0.056258 0.065885 0.046771 0.072073 0.097308 0.054326 0.076057 0.066108 0.087812 0.059201 0.126363 0.081704 0.036317 0.064526 0.057984 0.074372 0.042822 0.049968 0.086729 0.059542 0.043781 0.069349 0.117168
（数据来源于1999年8月6日至2000年7月28日，通过大智慧股票软件查询每日收盘价）
可以求得A =2. 95768，B =-8. 73708，C =7890，D =23259. 8，从而Q 坐标为
(0. 011258, -0. 00110736) ，则双曲线方程为：
σ
2
p
-
1/7890
-
(r p +8. 73708/7890) 23259. 8/7890
2
2
=1 。
如下图所示：
然后考虑无风险证券，设F 是无风险证券，S 1, S 2,..., S n 是n 种风险证券，M 是证券切点组合，对应组合为(x 1, x 2,..., x n ) ，则投资于F , S 1, S 2,..., S n 的最优组合为：
(y , (1-y ) x 1, (1-y ) x 2, . . . (1, -y ) x n ) ，(0≤y ≤1) ，则由F , S 1, S 2,..., S n 产生的有效前沿是
-
一条连接F 与M 的直线。在r p 给定下，求(x 1, x 2,..., x n ) ，使σ
p
最小，即是一个求救二次
规划的问题。我们根据马科维茨模型和假设条件，用数学软件mathematics 4.0，可以计算出：
x =(0 , 0. 139987, 0, 0. 021415, 0. 00885502, 0, 0. 155724, 0, 0. 0197898, 0. 0213291, 0. 0111932, 0. 0164167, 0. 070529, 0. 0217939, 0, 0. 0233557, 0. 066541, 0. 0889503, 0. 0172747, 0, 0, 0. 0142551, 0, 0, 0. 0. 96488. 0, 0. 0700465, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 083819, 0. 0826555, 0. 036428, 0, 0, 0, 0)
-
N
-i
N N
i
j
r M =
∑x
i =1
r i =0. 00342073
，σM =
∑∑x x
i =1
j =1
σij =0. 0036855，（编程方法可见参阅
mathematics4.0）。
即M 点的坐标为(0. 036855, 0. 00342073) ，如下图所示：
结论
第一，由于中国证券市场不允许出现买空卖空，所以用马科维茨模型求出为边界最优解，要得到更准确的结论，需要进一步的研究工作。另一方面，由于在计算周收益率时，没有考虑到股票分红，配股，拆细送股等因素的影响，实际的收益率可能要高些，但由于样本时限较短，所以误差不算大，结果仍有普遍性。
第二, 马科维茨的均值－方差模型属于先验概率的范畴，因而很可能会造成“追涨”，“杀跌”后果。
第三，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马科维茨的均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协方差的估计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，估计的任务是相当大的。不仅需要精通理
论的专业人员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。
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