集合的含义及其表示教案

集合的含义及其表示教案

教材分析：集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．

教学目标：

知识目标：

①通过实例了解集合的含义；

②知道常用数集及其专用记号；

③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；

④会用集合语言表示有关数学对象。

⑤能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

⑥培养学生抽象概括的能力。

能力目标：

①通过实例抽象概括集合的共同特征，从而引出集合的概念是本节课的重要任务之一。因此教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养。

②教学过程中应努力创造培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力。

情感目标：

培养数学的特有文化——简洁精炼，体会从感性到理性的思维过程。

教学重点：集合的含义与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简

单的集合。

教学方法：学生的自主探究、主动参与与教师的引导相结合，充分体现学生在课堂中的主体作用和教师的主导作用。

教学用具：多媒体

课时安排：1课时

教学过程：

一、引入新课

（情境设置）：一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也搞不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么?”因为集合是不加定义的概念，数学家很难回答这位渔民。

有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动。

数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”

你能理解数学家的这句话吗？

其实，数学家直观地描述了集合的概念，渔民撒下渔网一拉，一部分鱼虾就落在网中，于是把落在网中的所有鱼虾看成一个整体，就构成了一个集合。

二、新课教学

1、集合的概念

集合也可以简称集，是一个不加定义的原始概念。一般地，“某些指定的对象的全体”叫做集合，集合常用大写字母A、B、C等表示。

例1、下列每组对象能否构成集合？

（1）2、4、6、8、10、12

（2）所有的直角三角形

（3）与一个角的两边距离相等的点的全体。

（4）满足x-3>2的全体实数

（5）本班全体男同学

（6）我国古代四大发明

（7）高一（1）班中个子较高的同学

（8）我们班的任课教师中身体较健康的老师

解析：根据集合的定义，能构成集合的对象一定是确定而明确的，不是似是而非、模棱两可的;而不能构成集合的那些对象没有明确的标准，如例子7中的个子较高的同学，到底多高算个子较高的同学标准不明确。我们可以这样描述集合：一些能够确定的对象的全体就称为集合，而不能确定的对象的全体就不能构成集合。明白了这一点，就不难得出答案。

答：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）可以构成集合，（7）、（8）不能构成集合。

2、集合中的元素

集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。一般用小写字母a、b、c等表示。

3．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是

A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的

个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊

集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA

例2、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市； （2）乌市第一中学高一（1）班全体学生；（3）较大的数

（4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。

5．有限集、无限集和空集的概念：

含有有限个元素的集合叫做有限集。

含有无限个元素的集合叫做无限集。

不含任何元素的集合叫做空集，记作．空集是个特殊的集合，除了它

本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．

6．常用数集的记法：非负整数集（或自然数集），记作N，整数集，记

作Z，有理数集，记作Q，实数集，记作R，正整数集，记作N*或N。

7．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，„；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示

出来，写成{x|p(x)}的形式。

（3）图示法（韦恩图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方

法。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系。如：“book

构成一个集合

注意：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，

只能用列举法。如：集合x2,3x+2,5y3-x，x2+y2

（2）有些集合的元素不能没有遗漏的一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合（x，y）y=x2+1；集合1000以内的质数

8．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

例3、用列举法和描述法表示方程x22x30的解集。

答案：列举法：{1,3}描述法：{x|xx22x3,xR}

例4、下列各式中错误的是 （ ）

（1）{奇数}={x|x2k1,kZ} （2）{x|xN*,|x|5}{1,2,3,4}

xy1（3）{(x,y)|} {(2,1),(1,2)} （4）33N xy2

答案：（4）

例5、 求不等式2x35的解集

答案：{x|x4,xR}

例1． 求方程2x2x10的所有实数解的集合。

答案：

例6、已知M{2,a,b},N{2a,2,b2}，且MN，求a,b的值

11答案：a0,b1或a,b 42

三、课堂练习

（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集。

（2）P7练习3

（3）用列举法表示下列集合：

① {x|x是15的正约数} ②{(x,y)|x{1,2},y{1,2}}

③{(x,y)|xy2,x2y4} ④ {x|x(1)n,nN}

*⑤{(x,y)|3x2y16,xN,yN}

82答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③{(,)}④{1,1}⑤33

{(2,5),(4,2)}

（4）用描述法表示下列集合：

①{1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10} 答案：①{x|x13k,k1,2,3,4}②{x|x2k,k1,2,3,4,5}

四、总结归纳

1．集合的有关概念

2．集合的表示方法

3．常用数集的记法

五、布置作业

课本P7 1、2、4、5 P

17 1、2

集合的含义及其表示教案

教材分析：集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．

教学目标：

知识目标：

①通过实例了解集合的含义；

②知道常用数集及其专用记号；

③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；

④会用集合语言表示有关数学对象。

⑤能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

⑥培养学生抽象概括的能力。

能力目标：

①通过实例抽象概括集合的共同特征，从而引出集合的概念是本节课的重要任务之一。因此教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养。

②教学过程中应努力创造培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力。

情感目标：

培养数学的特有文化——简洁精炼，体会从感性到理性的思维过程。

教学重点：集合的含义与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简

单的集合。

教学方法：学生的自主探究、主动参与与教师的引导相结合，充分体现学生在课堂中的主体作用和教师的主导作用。

教学用具：多媒体

课时安排：1课时

教学过程：

一、引入新课

（情境设置）：一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也搞不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么?”因为集合是不加定义的概念，数学家很难回答这位渔民。

有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动。

数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”

你能理解数学家的这句话吗？

其实，数学家直观地描述了集合的概念，渔民撒下渔网一拉，一部分鱼虾就落在网中，于是把落在网中的所有鱼虾看成一个整体，就构成了一个集合。

二、新课教学

1、集合的概念

集合也可以简称集，是一个不加定义的原始概念。一般地，“某些指定的对象的全体”叫做集合，集合常用大写字母A、B、C等表示。

例1、下列每组对象能否构成集合？

（1）2、4、6、8、10、12

（2）所有的直角三角形

（3）与一个角的两边距离相等的点的全体。

（4）满足x-3>2的全体实数

（5）本班全体男同学

（6）我国古代四大发明

（7）高一（1）班中个子较高的同学

（8）我们班的任课教师中身体较健康的老师

解析：根据集合的定义，能构成集合的对象一定是确定而明确的，不是似是而非、模棱两可的;而不能构成集合的那些对象没有明确的标准，如例子7中的个子较高的同学，到底多高算个子较高的同学标准不明确。我们可以这样描述集合：一些能够确定的对象的全体就称为集合，而不能确定的对象的全体就不能构成集合。明白了这一点，就不难得出答案。

答：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）可以构成集合，（7）、（8）不能构成集合。

2、集合中的元素

集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。一般用小写字母a、b、c等表示。

3．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是

A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的

个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊

集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA

例2、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市； （2）乌市第一中学高一（1）班全体学生；（3）较大的数

（4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。

5．有限集、无限集和空集的概念：

含有有限个元素的集合叫做有限集。

含有无限个元素的集合叫做无限集。

不含任何元素的集合叫做空集，记作．空集是个特殊的集合，除了它

本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．

6．常用数集的记法：非负整数集（或自然数集），记作N，整数集，记

作Z，有理数集，记作Q，实数集，记作R，正整数集，记作N*或N。

7．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，„；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示

出来，写成{x|p(x)}的形式。

（3）图示法（韦恩图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方

法。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系。如：“book

构成一个集合

注意：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，

只能用列举法。如：集合x2,3x+2,5y3-x，x2+y2

（2）有些集合的元素不能没有遗漏的一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合（x，y）y=x2+1；集合1000以内的质数

8．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

例3、用列举法和描述法表示方程x22x30的解集。

答案：列举法：{1,3}描述法：{x|xx22x3,xR}

例4、下列各式中错误的是 （ ）

（1）{奇数}={x|x2k1,kZ} （2）{x|xN*,|x|5}{1,2,3,4}

xy1（3）{(x,y)|} {(2,1),(1,2)} （4）33N xy2

答案：（4）

例5、 求不等式2x35的解集

答案：{x|x4,xR}

例1． 求方程2x2x10的所有实数解的集合。

答案：

例6、已知M{2,a,b},N{2a,2,b2}，且MN，求a,b的值

11答案：a0,b1或a,b 42

三、课堂练习

（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集。

（2）P7练习3

（3）用列举法表示下列集合：

① {x|x是15的正约数} ②{(x,y)|x{1,2},y{1,2}}

③{(x,y)|xy2,x2y4} ④ {x|x(1)n,nN}

*⑤{(x,y)|3x2y16,xN,yN}

82答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③{(,)}④{1,1}⑤33

{(2,5),(4,2)}

（4）用描述法表示下列集合：

①{1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10} 答案：①{x|x13k,k1,2,3,4}②{x|x2k,k1,2,3,4,5}

四、总结归纳

1．集合的有关概念

2．集合的表示方法

3．常用数集的记法

五、布置作业

课本P7 1、2、4、5 P

17 1、2