以下内容选自《优等生数学·七年级》的第八章“二元一次方程组”
二元一次方程组是研究一次方程组的基础，也是解决实际问题的重要工具．有些数学问题初看起来不是属于二元一次方程组的问题，但是，我们可以通过已知条件（或已知的有关关系式）去建立二元一次方程组，作为桥梁来解决所需求解的问题．二元一次方程组的解有三种情况：（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解．
经典例题
已知关于x , y 的方程组
⎧ax +2y =1+a , ⎨⎩2x +2(a -1) y =3. (1) (2)
分别求出当a 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解．
解题策略
与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax =b 的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
由（1）式得
将（3）代入（2）得
(a -2)(a +1) x =(a -2)(a +2). 2y =(1+a ) -ax , ⑶ ⑷
a +21, ，将此x 值代入（3）有y =a +12(a +1) 当(a -2)(a +1) ≠0，即a ≠2且a ≠-1时，方程（4）有唯一解x =因而原方程组有唯一一组解．
当(a -2)(a +1) =0，且(a -2)(a +2) ≠0时，即a =-1时，方程（4）无解，因此原方程组无解． 当(a -2)(a +1) =0且(a -2)(a +2) =0时，即a =2时，方程（4）有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
画龙点睛
⎧a 1x +b 1y =c 1, 对于二元一次方程组⎨（a 1, a 2, b 1, b 2为已知数，且a 1与b 1，． a 2与b 2中都至少有一个不为零）a x +b y =c ⎩222
b 2c 1-b 1c 2⎧x =, ⎪a 1b 2-a 2b 1a b ⎪（1）当1≠1时，方程组有唯一解⎨ a 2b 2⎪y =a 1c 2-a 2c 1; ⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
（2）当a 1b 1c 1==时，原方程组有无数多组解； a 2b 2c 2
a 1b 1c 1=≠时，原方程组无解． a 2b 2c 2（3）当
举一反三
1．k 为何值时，方程组
1⎧⎪kx -y =-, 3 ⎨⎪⎩3y =1-6x
有唯一一组解；无解；无穷多组解．
⎧y =kx +m , 2．对k , m 的哪些值，方程组⎨至少有一组解？
⎩y =(2k -1) x +4
⎧(m +1) x -(2m -1) y -3m =0, 3．x ，y 的二元一次方程组⎨ (3m +1) x -(4m -1) y -5m -4=0. ⎩
融会贯通
⎧3x +my =54．已知方程组⎨无解，m , n 是绝对值小于10的整数，求m , n 值．
⎩x +ny =4
参考答案
1⎧⎧x =0k -1⎪kx -y =-, ⎪1．原方程组可化为⎨，即k ≠-2时，原方程组有唯一解⎨（2）当3（1）当≠1；63y =⎪⎪3⎩6x +3y =1. ⎩
11-k -1-1（3）由于==3，即k =-2时，原方程组有无穷多组解；=3，故方程组不可能无解．2．由63131
m -4原方程可得 kx +m =(2k -1) x +4, 即(k -1) x =m -4．（1）当k ≠1时，方程有唯一解x =，从而原方k -1-
程组有唯一解．（2）当k =1, m =4时，方程有无数多个解，从而原方程组也有无数多组解．综上所述，当k ≠1，m 为任意数，或k =1, m =4时，方程组至少有一组解．3．当m ≠0且m ≠2时，方程组有唯一解
1-m ⎧x =, ⎪⎪m 当m =0时，原方程组无解；当m =2时，原方程组有无穷多组解．4．因为一般方程组⎨⎪y =-2m +1; ⎪m ⎩
⎧a 1x +b 1y +c 1=0⎧3x +my -5=0; a 1b 1c 1无解的条件是．原方程组可化为因为方程组无解，所以有=≠⎨⎨a 2b 2c 2⎩a 2x +b 2y +c 2=0⎩x +ny -4=0.
10103m 5=≠, 所以m =3n ，且4m ≠5n ，因为m =3n
⎧m =-9⎧m =-6⎧m =-3⎧m =0⎧m =3相应地m =-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9．所以，当⎨，⎨，⎨，⎨，⎨，n =-3, -2, -1,0,1,2,3，n =-3n =-2n =0n =1n =-1⎩⎩⎩⎩⎩
⎧m =6⎧m =9，⎨时，原方程组无解． ⎨⎩n =2⎩n =3
以下内容选自《优等生数学·七年级》的第八章“二元一次方程组”
二元一次方程组是研究一次方程组的基础，也是解决实际问题的重要工具．有些数学问题初看起来不是属于二元一次方程组的问题，但是，我们可以通过已知条件（或已知的有关关系式）去建立二元一次方程组，作为桥梁来解决所需求解的问题．二元一次方程组的解有三种情况：（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解．
经典例题
已知关于x , y 的方程组
⎧ax +2y =1+a , ⎨⎩2x +2(a -1) y =3. (1) (2)
分别求出当a 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解．
解题策略
与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax =b 的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
由（1）式得
将（3）代入（2）得
(a -2)(a +1) x =(a -2)(a +2). 2y =(1+a ) -ax , ⑶ ⑷
a +21, ，将此x 值代入（3）有y =a +12(a +1) 当(a -2)(a +1) ≠0，即a ≠2且a ≠-1时，方程（4）有唯一解x =因而原方程组有唯一一组解．
当(a -2)(a +1) =0，且(a -2)(a +2) ≠0时，即a =-1时，方程（4）无解，因此原方程组无解． 当(a -2)(a +1) =0且(a -2)(a +2) =0时，即a =2时，方程（4）有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
画龙点睛
⎧a 1x +b 1y =c 1, 对于二元一次方程组⎨（a 1, a 2, b 1, b 2为已知数，且a 1与b 1，． a 2与b 2中都至少有一个不为零）a x +b y =c ⎩222
b 2c 1-b 1c 2⎧x =, ⎪a 1b 2-a 2b 1a b ⎪（1）当1≠1时，方程组有唯一解⎨ a 2b 2⎪y =a 1c 2-a 2c 1; ⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
（2）当a 1b 1c 1==时，原方程组有无数多组解； a 2b 2c 2
a 1b 1c 1=≠时，原方程组无解． a 2b 2c 2（3）当
举一反三
1．k 为何值时，方程组
1⎧⎪kx -y =-, 3 ⎨⎪⎩3y =1-6x
有唯一一组解；无解；无穷多组解．
⎧y =kx +m , 2．对k , m 的哪些值，方程组⎨至少有一组解？
⎩y =(2k -1) x +4
⎧(m +1) x -(2m -1) y -3m =0, 3．x ，y 的二元一次方程组⎨ (3m +1) x -(4m -1) y -5m -4=0. ⎩
融会贯通
⎧3x +my =54．已知方程组⎨无解，m , n 是绝对值小于10的整数，求m , n 值．
⎩x +ny =4
参考答案
1⎧⎧x =0k -1⎪kx -y =-, ⎪1．原方程组可化为⎨，即k ≠-2时，原方程组有唯一解⎨（2）当3（1）当≠1；63y =⎪⎪3⎩6x +3y =1. ⎩
11-k -1-1（3）由于==3，即k =-2时，原方程组有无穷多组解；=3，故方程组不可能无解．2．由63131
m -4原方程可得 kx +m =(2k -1) x +4, 即(k -1) x =m -4．（1）当k ≠1时，方程有唯一解x =，从而原方k -1-
程组有唯一解．（2）当k =1, m =4时，方程有无数多个解，从而原方程组也有无数多组解．综上所述，当k ≠1，m 为任意数，或k =1, m =4时，方程组至少有一组解．3．当m ≠0且m ≠2时，方程组有唯一解
1-m ⎧x =, ⎪⎪m 当m =0时，原方程组无解；当m =2时，原方程组有无穷多组解．4．因为一般方程组⎨⎪y =-2m +1; ⎪m ⎩
⎧a 1x +b 1y +c 1=0⎧3x +my -5=0; a 1b 1c 1无解的条件是．原方程组可化为因为方程组无解，所以有=≠⎨⎨a 2b 2c 2⎩a 2x +b 2y +c 2=0⎩x +ny -4=0.
10103m 5=≠, 所以m =3n ，且4m ≠5n ，因为m =3n
⎧m =-9⎧m =-6⎧m =-3⎧m =0⎧m =3相应地m =-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9．所以，当⎨，⎨，⎨，⎨，⎨，n =-3, -2, -1,0,1,2,3，n =-3n =-2n =0n =1n =-1⎩⎩⎩⎩⎩
⎧m =6⎧m =9，⎨时，原方程组无解． ⎨⎩n =2⎩n =3