二、反函数的导数法则
定理1：设y =f (x ) 为x =ϕ(y ) 的反函数，若ϕ(y ) 在y 0的某邻域内连续，严格单调，且ϕ'(y 0) ≠0，则f (x ) 在x 0（即f (y 0) 点有导数），且f '(x 0) =
1
。 ϕ'(y 0)
证明：lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0) y -y 01
=lim =lim
y →y y →y (y ) -(y ) 00x -x 0ϕ(y ) -ϕ(y 0) 0
y -y 0
=
11
=
ϕ(y ) -ϕ(y 0) ϕ'(y 0) l i y →y 0y -y 0
所以 f '(x 0) =
1
。 ϕ'(y 0)
注1：x →x 0
⇔
y →y 0，因为ϕ(y ) 在y 0点附近连续，严格单调；
dy 11dy dx =或，其中,
ϕ'(y ) dx (dx ) dx dy
dy
2：若视x 0为任意，并用x 代替，使得f '(x ) =
均为整体记号，各代表不同的意义；
3：f '(x ) 和ϕ'(y ) 的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】
求y =arcsin x 的导数，
y ∈[-
解：由于y =arcsin x , x ∈[-1, 1]，是x =sin y , 得：
ππ
22
, ]的反函数，由定理1
(arcsinx ) '=
1111
。 ===
22'(siny ) cos y -sin y -x
注1：同理可证：(arccosx ) '=-
1-x 2
, (arctanx ) '=
11
', (arcc tan x ) =-； 22
1+x 1+x
2：arcsin x +arccos x =arctan x +arcc tan x = 【例2】
求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1) 。
π
2
。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式
1、常数和基本初等函数的求导公式：
（1）(c ) '=0 （2）(x μ) '=μx μ-1 （3）(sinx ) '=cos x （4）(cosx ) '=-sin x （5）(tanx ) '=sec 2x （6）(cotx ) '=-csc 2x （7）(secx ) '=sec x ⋅tan x （8）(cscx ) '=-csc x ⋅cot x （9）(a x ) '=a x ln a （10）(e x ) '=e x （11）(loga x ) '=
11
（12）(lnx ) '= x ln a x
（13）(arcsinx ) '=（15）(arctanx ) '=
1-x
2
（14）(arccosx ) '=-
1-x
2
11
'(arc cot x ) =- （16） 22
1+x 1+x
（17）(shx ) '=chx （18）(chx ) '=shx （19）(thx ) '=
1 2
ch x
（20）(arcshx ) '=(ln(x +x 2+1) ) '=
1x +11x -1
22
（21）(arcchx ) '=(ln(x +x 2-1) ) '=
11+x 1
) '=（22）(arcthx ) '=(ln 2
21-x 1-x
四、复合函数的求导法则
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：
1. 是否可导？2. 即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果u =ϕ(x ) 在x =x 0点可导，且y =f (u ) 在
u =u 0=ϕ(x 0) 点也可导，那么，以y =f (u ) 为外函数，以u =ϕ(x ) 为内函数，所复合的复合函数y =f (ϕ(x )) 在x =x 0点可导，且
dy
dx
x =x 0
=f '(u 0) ϕ'(x 0) ，或[f (ϕ(x )) ]'x =x 0=f '(u 0) ϕ'(x 0)
证明： lim
x →x 0
f (ϕ(x )) -f (ϕ(x 0)) f (u ) -f (u 0) ϕ(x ) -ϕ(x 0)
=lim ⋅
x →x 0x -x 0u -u 0x -x 0f (u ) -f (u 0) ϕ(x ) -ϕ(x 0)
=f '(u 0) ⋅ϕ'(x 0) ⋅lim
x →x 0u -u 0x -x 0
=lim
u →u 0
所以[f (ϕ(x )) ]'∃, =f '(u 0) ϕ'(x 0) 。
注 1：若视x 0为任意，并用x 代替，便得导函数：
df (ϕ(x ))
=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) ，或[f (ϕ(x )) ]'=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) dx
dy dy du =⋅ 或。 dx du dx
2：f '(ϕ(x )) 与[f (ϕ(x )) ]'不同，前者是对变量u =ϕ(x ) 求导，后者是对变量x 求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： [f (g (h (x ))) ]'=f '(g (h (x ))) ⋅g '(h (x )) ⋅h '(x ) 等。 【例3】
求y =arctan
1
的导数。 x
解：y =arctan
(arctanu ) '=
11
可看成arctan u 与u =复合而成， x x
1111
''⇒y =(arctan) '=() =-，，
x x 1+u 2x 2
111
⋅(-2) =-。 12x 1+x 2
1+()
x
【例4】
求y =x μ（μ为常数）的导数。
解：y =x μ=e μln x 是y =e u ，u =μ⋅v , v =ln x 复合而成的。
所以y '=(x μ) '=(e μ) '⋅(μv ) '⋅(lnx ) '=e u ⋅μ⋅
11
=μ⋅⋅x μ=μ⋅x μ-1。 x x
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】y =-x 2，求y '。 解：y '=(-x 2) '=[(1-x ) ]'=
【例6】y =e 解： y '=(e
1e 2
-sin x
122
11x
。 ⋅⋅(1-x 2) '=-
222-x -x
，求y '。
) '=e
-s i x n
-s i x n
⋅(-s i n x ) '=e 1c o x s e
2-s i n x
-s i x n
1(1-s i n x ) '
⋅⋅ 2-s i n x
=
-s i x n
⋅
-c o x s -s i n x
=-
-s i x n
。
【例7】y =arcsin(2cos(x 2-1)) ，求y '。 解：y '=(arcsin(2cos(x 2-1) ) '=
1
-[2cos(x 2-1)]2
(2cos(x 2-1) ) '
=
1-4cos 2(x 2-1)
-2sin(x 2-1) -4cos (x -1)
2
2
⋅2[-sin(x 2-1)]⋅(x 2-1) '
4x sin(x 2-1) -4cos (x -1)
2
2
=
⋅2x =-。
x
【例8】y =ln(ln(lntan )) ，求y '。
2
1x 11x
解：y '=⋅(ln(lntan ) ) '=⋅(lntan ) '
x x x 22
ln(lntan ) ln(lntan ) ln tan
222
=
x 1111x ⋅(tan) '=⋅⋅⋅⋅() '
x x x x x x x 22
ln(lntan ) ln tan tan ln(lntan ) ln tan tan cos 2
2222222
⋅
⋅
1⋅1
⋅1
⋅
1
⋅
1
=1⋅1
⋅
1
。
111
=2
cos 2x tan x ln tan x ln x sin x
ln tan x 222ln tan
22ln ln t a x
2
【例9】s h 'x =(e x -e -x 2) '=12(e x -e -x ) '=1
2
[(e x ) '-(e -x ) '] =
12[e x -e -x
(-1)]=12
[e x +e -x
]， 即s h 'x =chx 。同理，c h 'x =shx 。
【例10】y =ln(x ++x 2) ，求y '。 解：y '=[ln(x ++x 2
) ]'=
1'x ++x 2
⋅(x ++x 2)
=
1x ++x 2
[1+
11
2+x 2
(1+x 2) '
=1(1+
12x 1
2。x ++x 2
+x 2) =+x
2=(a r s h ) 'x
同理： (ln(x +
x 2-1) '=1x 2
-1
=(archx ) '。
小结：
1 、函数的四则运算的求导法则： 设u =u (x ), v =v (x ) ，则
(i)(u ±v ) '=u '±v ' (ii)(cu ) '=c u '
(iii)(uv ) '=u 'v +u v ' (iv)(u u 'v -u v '
v ) '=v 2
2、复合函数的求导法则：
设y =f (u ), u =ϕ(x ) ⇒y =f (ϕ(x )) 的导数为： dy dx =dy du ⋅du dx
或 (v ≠0)
[f (ϕ(x )) ]'=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) 或
df (ϕ(x )) df (u )
=dx du
u =ϕ(x ) ⋅
d ϕ(x )
dx
二、反函数的导数法则
定理1：设y =f (x ) 为x =ϕ(y ) 的反函数，若ϕ(y ) 在y 0的某邻域内连续，严格单调，且ϕ'(y 0) ≠0，则f (x ) 在x 0（即f (y 0) 点有导数），且f '(x 0) =
1
。 ϕ'(y 0)
证明：lim
x →x 0
f (x ) -f (x 0) y -y 01
=lim =lim
y →y y →y (y ) -(y ) 00x -x 0ϕ(y ) -ϕ(y 0) 0
y -y 0
=
11
=
ϕ(y ) -ϕ(y 0) ϕ'(y 0) l i y →y 0y -y 0
所以 f '(x 0) =
1
。 ϕ'(y 0)
注1：x →x 0
⇔
y →y 0，因为ϕ(y ) 在y 0点附近连续，严格单调；
dy 11dy dx =或，其中,
ϕ'(y ) dx (dx ) dx dy
dy
2：若视x 0为任意，并用x 代替，使得f '(x ) =
均为整体记号，各代表不同的意义；
3：f '(x ) 和ϕ'(y ) 的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】
求y =arcsin x 的导数，
y ∈[-
解：由于y =arcsin x , x ∈[-1, 1]，是x =sin y , 得：
ππ
22
, ]的反函数，由定理1
(arcsinx ) '=
1111
。 ===
22'(siny ) cos y -sin y -x
注1：同理可证：(arccosx ) '=-
1-x 2
, (arctanx ) '=
11
', (arcc tan x ) =-； 22
1+x 1+x
2：arcsin x +arccos x =arctan x +arcc tan x = 【例2】
求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1) 。
π
2
。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式
1、常数和基本初等函数的求导公式：
（1）(c ) '=0 （2）(x μ) '=μx μ-1 （3）(sinx ) '=cos x （4）(cosx ) '=-sin x （5）(tanx ) '=sec 2x （6）(cotx ) '=-csc 2x （7）(secx ) '=sec x ⋅tan x （8）(cscx ) '=-csc x ⋅cot x （9）(a x ) '=a x ln a （10）(e x ) '=e x （11）(loga x ) '=
11
（12）(lnx ) '= x ln a x
（13）(arcsinx ) '=（15）(arctanx ) '=
1-x
2
（14）(arccosx ) '=-
1-x
2
11
'(arc cot x ) =- （16） 22
1+x 1+x
（17）(shx ) '=chx （18）(chx ) '=shx （19）(thx ) '=
1 2
ch x
（20）(arcshx ) '=(ln(x +x 2+1) ) '=
1x +11x -1
22
（21）(arcchx ) '=(ln(x +x 2-1) ) '=
11+x 1
) '=（22）(arcthx ) '=(ln 2
21-x 1-x
四、复合函数的求导法则
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：
1. 是否可导？2. 即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果u =ϕ(x ) 在x =x 0点可导，且y =f (u ) 在
u =u 0=ϕ(x 0) 点也可导，那么，以y =f (u ) 为外函数，以u =ϕ(x ) 为内函数，所复合的复合函数y =f (ϕ(x )) 在x =x 0点可导，且
dy
dx
x =x 0
=f '(u 0) ϕ'(x 0) ，或[f (ϕ(x )) ]'x =x 0=f '(u 0) ϕ'(x 0)
证明： lim
x →x 0
f (ϕ(x )) -f (ϕ(x 0)) f (u ) -f (u 0) ϕ(x ) -ϕ(x 0)
=lim ⋅
x →x 0x -x 0u -u 0x -x 0f (u ) -f (u 0) ϕ(x ) -ϕ(x 0)
=f '(u 0) ⋅ϕ'(x 0) ⋅lim
x →x 0u -u 0x -x 0
=lim
u →u 0
所以[f (ϕ(x )) ]'∃, =f '(u 0) ϕ'(x 0) 。
注 1：若视x 0为任意，并用x 代替，便得导函数：
df (ϕ(x ))
=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) ，或[f (ϕ(x )) ]'=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) dx
dy dy du =⋅ 或。 dx du dx
2：f '(ϕ(x )) 与[f (ϕ(x )) ]'不同，前者是对变量u =ϕ(x ) 求导，后者是对变量x 求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： [f (g (h (x ))) ]'=f '(g (h (x ))) ⋅g '(h (x )) ⋅h '(x ) 等。 【例3】
求y =arctan
1
的导数。 x
解：y =arctan
(arctanu ) '=
11
可看成arctan u 与u =复合而成， x x
1111
''⇒y =(arctan) '=() =-，，
x x 1+u 2x 2
111
⋅(-2) =-。 12x 1+x 2
1+()
x
【例4】
求y =x μ（μ为常数）的导数。
解：y =x μ=e μln x 是y =e u ，u =μ⋅v , v =ln x 复合而成的。
所以y '=(x μ) '=(e μ) '⋅(μv ) '⋅(lnx ) '=e u ⋅μ⋅
11
=μ⋅⋅x μ=μ⋅x μ-1。 x x
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】y =-x 2，求y '。 解：y '=(-x 2) '=[(1-x ) ]'=
【例6】y =e 解： y '=(e
1e 2
-sin x
122
11x
。 ⋅⋅(1-x 2) '=-
222-x -x
，求y '。
) '=e
-s i x n
-s i x n
⋅(-s i n x ) '=e 1c o x s e
2-s i n x
-s i x n
1(1-s i n x ) '
⋅⋅ 2-s i n x
=
-s i x n
⋅
-c o x s -s i n x
=-
-s i x n
。
【例7】y =arcsin(2cos(x 2-1)) ，求y '。 解：y '=(arcsin(2cos(x 2-1) ) '=
1
-[2cos(x 2-1)]2
(2cos(x 2-1) ) '
=
1-4cos 2(x 2-1)
-2sin(x 2-1) -4cos (x -1)
2
2
⋅2[-sin(x 2-1)]⋅(x 2-1) '
4x sin(x 2-1) -4cos (x -1)
2
2
=
⋅2x =-。
x
【例8】y =ln(ln(lntan )) ，求y '。
2
1x 11x
解：y '=⋅(ln(lntan ) ) '=⋅(lntan ) '
x x x 22
ln(lntan ) ln(lntan ) ln tan
222
=
x 1111x ⋅(tan) '=⋅⋅⋅⋅() '
x x x x x x x 22
ln(lntan ) ln tan tan ln(lntan ) ln tan tan cos 2
2222222
⋅
⋅
1⋅1
⋅1
⋅
1
⋅
1
=1⋅1
⋅
1
。
111
=2
cos 2x tan x ln tan x ln x sin x
ln tan x 222ln tan
22ln ln t a x
2
【例9】s h 'x =(e x -e -x 2) '=12(e x -e -x ) '=1
2
[(e x ) '-(e -x ) '] =
12[e x -e -x
(-1)]=12
[e x +e -x
]， 即s h 'x =chx 。同理，c h 'x =shx 。
【例10】y =ln(x ++x 2) ，求y '。 解：y '=[ln(x ++x 2
) ]'=
1'x ++x 2
⋅(x ++x 2)
=
1x ++x 2
[1+
11
2+x 2
(1+x 2) '
=1(1+
12x 1
2。x ++x 2
+x 2) =+x
2=(a r s h ) 'x
同理： (ln(x +
x 2-1) '=1x 2
-1
=(archx ) '。
小结：
1 、函数的四则运算的求导法则： 设u =u (x ), v =v (x ) ，则
(i)(u ±v ) '=u '±v ' (ii)(cu ) '=c u '
(iii)(uv ) '=u 'v +u v ' (iv)(u u 'v -u v '
v ) '=v 2
2、复合函数的求导法则：
设y =f (u ), u =ϕ(x ) ⇒y =f (ϕ(x )) 的导数为： dy dx =dy du ⋅du dx
或 (v ≠0)
[f (ϕ(x )) ]'=f '(ϕ(x )) ⋅ϕ'(x ) 或
df (ϕ(x )) df (u )
=dx du
u =ϕ(x ) ⋅
d ϕ(x )
dx