含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
一． 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题
2. 两个一元一次方程同解问题
3. 已知方程解的情况求参数
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
二： 解含有绝对值的一元一次方程
一. 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题（常数分离法）
例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9x +3=kx +14有整数解，求整数k =_____ 答案：(9-k ) x =11
x =11 9-k
∵x , k 均为整数
∴9-k =±1, ±11
∴k =-2,8,10, 20
⑵ 【中】 关于x 的方程(n -1) x +(m -1)x -3=0是一元一次方程 2
(1)则m , n 应满足的条件为:m ___, n ____;
(2)若此方程的根为整数, 求整数m =____
答案：(1)≠1, =1;
(2)由(1)可知方程为(m -1) x =3, 则x =
∵此方程的根为整数. 3 m -1
∴3为整数 m -1
又∵m 为整数, 则m -1=-3, -1,1,3
∴m =-2,0, 2, 4
测一测1： 【中】 关于x 的方程ax +3=4x +1的解为正整数，则整数a 的值为( )
A.2 B.3 C.1或2 D.2或3
答案：D
方程ax +3=4x +1 可化简为：(a -4)x =-2 解得x =-2 解为正整数，a -4
(a -4)=-1或-2 a =2或3
测一测2： 【中】 关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数, 则k 的值为___________ 答案：9x -17=kx 可以转化为(9-k ) x =17
即:x =
测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 x =6-mx 的解为正整数，求m =_____ 答案： 由原方程得：x =17,x 为正整数, 则k =8或-8 9-k 6 ，x 是正整数，所以m +1 只能为6的正约数， m +1
m +1=1, 2,3,6 所以m =0,1, 2,5
2. 两个一元一次方程同解问题
例题2：⑴ 【易】若方程ax -2x =9与方程2x -1=5的解相同，则a 的值为_________
【答案】第二个方程的解为x =3，将x =3代入到第一个方程中，得到3a -6=9 解得 a =5
- ⑵ 【中】若关于x 的方程：10k (x +3) k x -(2) =x 3-与方程54
1-2x 的解相同，求k =___ 3
k(x+3)k (x -2) =3x -【答案】由方程10-解得x=2， 54
1-2x 代入方程5-2(x +1) =中解得k=4 35-2(x +1) =
测一测1:【易】方程2x +1=3与2-a -x =0的解相同，则a 的值是（ ） 2
A 、7 B 、0 C 、3 D 、5
【答案】D
第一个方程的解为x =1，将x =1代入到第二个方程中得：2-
例题3： 【中】 若关于x 的方程2x -3=1和
（）
A. -a -1=0，解得a =5 2x -k =k -3x 解互为相反数，则k 的值为211141411 B. C. k =- D. k = 3333
【答案】 A
首先解方程2x -3=1得：x =2；
把x =-2代入方程
得到：k =-x -k -2-k =k -3x ，得到：=k -3x ； 2214 3
测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4x -2m =3x -1的解是x =2x -3m 的解的2倍
【答案】由4x -2m =3x -1可知x =2m -1，由x =2x -3m 可知x =3m
∵ 关于x 的方程4x -2m =3x -1的解是x =2x -3m 的2倍
∴2m -1=2⨯3m
解得m =-1 4
3. 已知方程解的情况求参数
2x +a =4(x -1)的解为x =3，则a =____ 2
2⨯3+a 【答案】根据方程的意义，把x =3代入原方程，得=4(3-1)，解这个关于a 的2例题4：⑴ 【易】已知方程
方程，得a =10
测一测1：【易】 若x =3是方程
【答案】1 1x -2=b 的一个解，则b=________。 3
1x -2|=b ，解得b =1 3
31999=_________。 测一测2：【易】 已知x =-4是方程kx -6=0的解，则k 2
3【答案】 x =-4代入到方程中，得k ⨯(-4)-6=0，解得k =-1 2 x =3代入到方程中，得|
⑵【易】 某同学在解方程5x -1=∙x +3，把∙处的数字看错了，解得x =-同学把∙看成了_________。
【答案】 将x =-4，该34代入方程中解得∙=8 3
1+∙x +1=x ，∙处在印刷时被墨盖住了，查3测一测1: 【易】 某书中有一道解方程的题：
后面的答案，得知这个方程的解就是x =-2，那么∙处应该是________
【答案】∙=5
将x =-2代入方程中解得∙=5
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
知识点： 讨论关于x 的方程ax =b 的解的情况.
答案：当a ≠0时，方程有唯一的解x =
当a =0, b ≠0时，方程无解 b ； a
当a =0, b =0. 方程的解为任意数.
例题5：⑴ 【中】 已知方程a (a -2) x =4(a -2)
当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是__________
当此方程无解时，a 的取值范围是__________
当此方程有无数多解时，a 的取值范围是_______
答案：a ≠0且a ≠2； a =0； a =2
知识点：讨论关于x 的方程ax =b 的解的情况.
当a ≠0时，方程有唯一的解x =
当a =0, b ≠0时，方程无解
当a =0, b =0. 方程的解为任意数.
⑵ 【中】 关于x 的方程mx +4=3x -n . 分别求m , n 为何值时，原方程： ⑴ 有唯一解 ⑵ 有无数多解 ⑶无解
答案：原方程可以转化为(3-m )x =4+n
⑴ 当m ≠3, n 为任意值时，方程有唯一解；
⑵ 当m =3, n =4时，方程有无数解；
⑶ 当m =3, n ≠-4时，无解
测一测1：【中】 若关于x 的方程 a (2x +b )=12x +5 有无穷多个解。求b ； a a =____b =____
答案： (2a -12)x =5-ab . 要使x 有无穷多个解，则2a -12=0 ab -5=0 得到a =6; b =5 6
测一测2： 【中】 已知关于x 的方程2a (x -1)=(5-a )x +3b 有无数多个解，那么a =___,b =____
答案： 2ax -2a =5x -ax +3b ，即(3a -5)x =2a +3b
所以3a -5=0且2a +3b =0，即即a =
测一测3： 【中】 已知关于x 的方程 a (2x -1)=3x -2 无解，试求a =_______ 答案： 方程可化简为(2a -3)x =a -2 由题意得 2a -3=0, a -2≠0 即a =
例题6：【中】解关于x 的方程：
答案： bx -ax =ab , (b -a )x =ab
当a =b 时， ab ≠0 所以此方程无解
当a ≠b 时，x =
二： 含有绝对值的一元一次方程
例题7: 【中】 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程： x +3=2
解：当x+3≥0时，原方程可化为： x+3=2， 解得x=-1
当x+3＜0时，原方程可化为： x+3=-2，解得x=-5
所以原方程的解是x=-1，x=-5 510, b =- 393 2x x -=1(ab ≠0) a b ab b -a
（1）解方程： 3x -2-4=0
答案： 原方程可化简为: |3x -2|=4
当3x -2≥0时，原方程可化为：3x -2=4，解得x =2
当3x -2＜0时，原方程可化为：3x -2=-4，解得x =-
所以原方程的解是：x =2, x =-2 32 3
（2）探究：当b 为何值时，方程x -2=b +1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 答案：① 无解 b ＜-1
② 只有一个解b =-1
③ 有两个解 b >-1 考点：x -2≥0
b +1
b +1=0 唯一解
b +1>0 有两个解
测一测1：【易】方程 |2x +3|=5的解是_______
答案： 2x +3=5 或2x +3=-5
x =1或-4
测一测2：【易】 方程
答案： |2x -1|-3=0 的解为________ 2|2x -1|=3 2
或2x -=1- 6 |2x -1|=6 2x -1=6
x =
75或x =- 22
家庭作业：
1. 已知x =-1是关于x 的方程 7x -3x +kx +5=0 的解，求2k -11k -95的值 322
2. 若x =1是关于x 的方程ax +b =c (a ≠0) 的解，求：
（1）(a +b -c ) 2001的值； （2）
3. （1）解关于x 的方程4a (x -1) =(5-a ) x +2b 有无数多个解，试求a , b
（2）当k 取什么整数时，方程2kx +4=kx 的解是正整数？
4. 已知：(a +2b ) y 2-y
5. 解方程：
（1）|3x -2|-4=0
（2）2m -(m +n ) x =(m -n ) x 1a +23c 的值； （3）c -a -b -的值. a +b +5=0是关于y 的一元一次方程，求a , b 的值．
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
一． 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题
2. 两个一元一次方程同解问题
3. 已知方程解的情况求参数
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
二： 解含有绝对值的一元一次方程
一. 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题（常数分离法）
例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9x +3=kx +14有整数解，求整数k =_____ 答案：(9-k ) x =11
x =11 9-k
∵x , k 均为整数
∴9-k =±1, ±11
∴k =-2,8,10, 20
⑵ 【中】 关于x 的方程(n -1) x +(m -1)x -3=0是一元一次方程 2
(1)则m , n 应满足的条件为:m ___, n ____;
(2)若此方程的根为整数, 求整数m =____
答案：(1)≠1, =1;
(2)由(1)可知方程为(m -1) x =3, 则x =
∵此方程的根为整数. 3 m -1
∴3为整数 m -1
又∵m 为整数, 则m -1=-3, -1,1,3
∴m =-2,0, 2, 4
测一测1： 【中】 关于x 的方程ax +3=4x +1的解为正整数，则整数a 的值为( )
A.2 B.3 C.1或2 D.2或3
答案：D
方程ax +3=4x +1 可化简为：(a -4)x =-2 解得x =-2 解为正整数，a -4
(a -4)=-1或-2 a =2或3
测一测2： 【中】 关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数, 则k 的值为___________ 答案：9x -17=kx 可以转化为(9-k ) x =17
即:x =
测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 x =6-mx 的解为正整数，求m =_____ 答案： 由原方程得：x =17,x 为正整数, 则k =8或-8 9-k 6 ，x 是正整数，所以m +1 只能为6的正约数， m +1
m +1=1, 2,3,6 所以m =0,1, 2,5
2. 两个一元一次方程同解问题
例题2：⑴ 【易】若方程ax -2x =9与方程2x -1=5的解相同，则a 的值为_________
【答案】第二个方程的解为x =3，将x =3代入到第一个方程中，得到3a -6=9 解得 a =5
- ⑵ 【中】若关于x 的方程：10k (x +3) k x -(2) =x 3-与方程54
1-2x 的解相同，求k =___ 3
k(x+3)k (x -2) =3x -【答案】由方程10-解得x=2， 54
1-2x 代入方程5-2(x +1) =中解得k=4 35-2(x +1) =
测一测1:【易】方程2x +1=3与2-a -x =0的解相同，则a 的值是（ ） 2
A 、7 B 、0 C 、3 D 、5
【答案】D
第一个方程的解为x =1，将x =1代入到第二个方程中得：2-
例题3： 【中】 若关于x 的方程2x -3=1和
（）
A. -a -1=0，解得a =5 2x -k =k -3x 解互为相反数，则k 的值为211141411 B. C. k =- D. k = 3333
【答案】 A
首先解方程2x -3=1得：x =2；
把x =-2代入方程
得到：k =-x -k -2-k =k -3x ，得到：=k -3x ； 2214 3
测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4x -2m =3x -1的解是x =2x -3m 的解的2倍
【答案】由4x -2m =3x -1可知x =2m -1，由x =2x -3m 可知x =3m
∵ 关于x 的方程4x -2m =3x -1的解是x =2x -3m 的2倍
∴2m -1=2⨯3m
解得m =-1 4
3. 已知方程解的情况求参数
2x +a =4(x -1)的解为x =3，则a =____ 2
2⨯3+a 【答案】根据方程的意义，把x =3代入原方程，得=4(3-1)，解这个关于a 的2例题4：⑴ 【易】已知方程
方程，得a =10
测一测1：【易】 若x =3是方程
【答案】1 1x -2=b 的一个解，则b=________。 3
1x -2|=b ，解得b =1 3
31999=_________。 测一测2：【易】 已知x =-4是方程kx -6=0的解，则k 2
3【答案】 x =-4代入到方程中，得k ⨯(-4)-6=0，解得k =-1 2 x =3代入到方程中，得|
⑵【易】 某同学在解方程5x -1=∙x +3，把∙处的数字看错了，解得x =-同学把∙看成了_________。
【答案】 将x =-4，该34代入方程中解得∙=8 3
1+∙x +1=x ，∙处在印刷时被墨盖住了，查3测一测1: 【易】 某书中有一道解方程的题：
后面的答案，得知这个方程的解就是x =-2，那么∙处应该是________
【答案】∙=5
将x =-2代入方程中解得∙=5
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
知识点： 讨论关于x 的方程ax =b 的解的情况.
答案：当a ≠0时，方程有唯一的解x =
当a =0, b ≠0时，方程无解 b ； a
当a =0, b =0. 方程的解为任意数.
例题5：⑴ 【中】 已知方程a (a -2) x =4(a -2)
当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是__________
当此方程无解时，a 的取值范围是__________
当此方程有无数多解时，a 的取值范围是_______
答案：a ≠0且a ≠2； a =0； a =2
知识点：讨论关于x 的方程ax =b 的解的情况.
当a ≠0时，方程有唯一的解x =
当a =0, b ≠0时，方程无解
当a =0, b =0. 方程的解为任意数.
⑵ 【中】 关于x 的方程mx +4=3x -n . 分别求m , n 为何值时，原方程： ⑴ 有唯一解 ⑵ 有无数多解 ⑶无解
答案：原方程可以转化为(3-m )x =4+n
⑴ 当m ≠3, n 为任意值时，方程有唯一解；
⑵ 当m =3, n =4时，方程有无数解；
⑶ 当m =3, n ≠-4时，无解
测一测1：【中】 若关于x 的方程 a (2x +b )=12x +5 有无穷多个解。求b ； a a =____b =____
答案： (2a -12)x =5-ab . 要使x 有无穷多个解，则2a -12=0 ab -5=0 得到a =6; b =5 6
测一测2： 【中】 已知关于x 的方程2a (x -1)=(5-a )x +3b 有无数多个解，那么a =___,b =____
答案： 2ax -2a =5x -ax +3b ，即(3a -5)x =2a +3b
所以3a -5=0且2a +3b =0，即即a =
测一测3： 【中】 已知关于x 的方程 a (2x -1)=3x -2 无解，试求a =_______ 答案： 方程可化简为(2a -3)x =a -2 由题意得 2a -3=0, a -2≠0 即a =
例题6：【中】解关于x 的方程：
答案： bx -ax =ab , (b -a )x =ab
当a =b 时， ab ≠0 所以此方程无解
当a ≠b 时，x =
二： 含有绝对值的一元一次方程
例题7: 【中】 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程： x +3=2
解：当x+3≥0时，原方程可化为： x+3=2， 解得x=-1
当x+3＜0时，原方程可化为： x+3=-2，解得x=-5
所以原方程的解是x=-1，x=-5 510, b =- 393 2x x -=1(ab ≠0) a b ab b -a
（1）解方程： 3x -2-4=0
答案： 原方程可化简为: |3x -2|=4
当3x -2≥0时，原方程可化为：3x -2=4，解得x =2
当3x -2＜0时，原方程可化为：3x -2=-4，解得x =-
所以原方程的解是：x =2, x =-2 32 3
（2）探究：当b 为何值时，方程x -2=b +1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 答案：① 无解 b ＜-1
② 只有一个解b =-1
③ 有两个解 b >-1 考点：x -2≥0
b +1
b +1=0 唯一解
b +1>0 有两个解
测一测1：【易】方程 |2x +3|=5的解是_______
答案： 2x +3=5 或2x +3=-5
x =1或-4
测一测2：【易】 方程
答案： |2x -1|-3=0 的解为________ 2|2x -1|=3 2
或2x -=1- 6 |2x -1|=6 2x -1=6
x =
75或x =- 22
家庭作业：
1. 已知x =-1是关于x 的方程 7x -3x +kx +5=0 的解，求2k -11k -95的值 322
2. 若x =1是关于x 的方程ax +b =c (a ≠0) 的解，求：
（1）(a +b -c ) 2001的值； （2）
3. （1）解关于x 的方程4a (x -1) =(5-a ) x +2b 有无数多个解，试求a , b
（2）当k 取什么整数时，方程2kx +4=kx 的解是正整数？
4. 已知：(a +2b ) y 2-y
5. 解方程：
（1）|3x -2|-4=0
（2）2m -(m +n ) x =(m -n ) x 1a +23c 的值； （3）c -a -b -的值. a +b +5=0是关于y 的一元一次方程，求a , b 的值．