《探寻神奇的幻方》（1）教学设计
甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校 闫治春
一、教材分析
《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析
学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。
本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析
《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想. 教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，可以组建四人活动小组，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论。 四、教学目标分析
1．通过综合运用有理数混合运算、用字母表示数及其运算等知识，探索三阶幻方的本质特征。
2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。 3．通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验。
4．通过自主探究、合作交流的学习方式，在感悟数形结合的思想及数学的对称美、均衡美的同时体会合作学习的价值。 五、教学重难点
教学重点：经历探究过程，发现和提炼蕴含在三阶幻方中的数学知识和规律，并应用知识和规律去解决实际问题。
教学难点：自主构造三阶幻方。 六、教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：情景激趣；第二环节：动手实践；第三环节：分享交流；第四环节：思维晋级；第五环节：勇于尝试；第六环节：归纳提升；第七环节：课后作业。
【第一环节】情景激趣 1．洛水神龟献奇图
相传公元前2200多年，我国大禹治水时发现一个神龟，背上刻有图案，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服. 后人称之为" 洛书" （如图1）。你能用今天的数学符号这个图案翻译出来吗？
16396
213712
[1**********]1
图1 图2 图3
2. 三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
一般地，一个n 行n 列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n 阶幻方。
请算出图2中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方。
活动内容：（1）由学生尝试用今天的数学符号对神龟背上的图案进行翻译，引导学生发现
数字排列规律；（2）检验如图所示4×4数阵是否是一个幻方。
活动目的：旨在引入课题，并揭示幻方的性质。存在着n 阶幻方，我们这节课只研究三阶幻方的构造方法，不要给知识面狭窄的学生造成误区。
【第二环节】动手实践
请将1至9 这九个数分别填在三行三列的数表中（如图3），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
活动内容：本课题学习安排的是2课时，本节课主要是展示交流由活动经验生成一定的
方法，提前一天布置动手实践，由学生分组完成，课堂将学生的答案展示在黑板上。
活动目的：学生经历构造三阶幻方的过程，或成功或失败，积累活动的经验，发现问题， 提出问题。
【第三环节】分享交流
（1）你是怎样用1至9 这九个数构造三阶幻方的？
（2）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？试说明理由。 （3）上述幻方中数字的位置能否改变？请分析其中的规律。
学生通过构造三阶幻方，很容易发现中间位置应该填5，通过试验也能知道如果5不在中间位置将无法满足题意，但不能解释其中的道理，只停留在经验层面上，此时教师要积极引导，使其具有规律性。
1. 设9个数分别为a,b,c ， d,e,f, g,h,i.
则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即45+3e=60， e=5
2. 对于幻方中数字的位置能否改变，有学生发现了数字的奇偶性，引导全体学生思考，因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，；而且进一步当把5填入中间格时，如果四个角上填奇数，则其他四格填偶数，我们可以看到第一行、第三行、第一列、第三列他们的和都得偶数，而据题目所求，三个数之和为15，15 是奇数，所以与题意不符（如图甲）. 如果四个角上一对奇数一对偶数，则剩下的四个格中也应该
一对奇数一对偶数，此时我们可以看到第一行、第三行和都为偶数，同样与题意不符（如图乙）. 然而如果四个角上都填偶数，剩下的四个格填奇数则符合题意（如图丙）。
图甲 图乙 图丙
活动内容：由个别学生阐述自己构造三阶幻方的过程，并适时提出问题（1）、（3）引发学生的思考，个别回答、同桌或小组讨论的形式，让学生畅所欲言。教师适度点拨，并引导学生上升到理论层次。
活动目的：通过交流引导学生深入思考，帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，把握构造三阶幻方的核心（中心数的确定）和关键（奇偶性），能对相应的探究方法反思提炼。
【第四环节】思维晋级 总结三阶幻方的构造方法。
学生经过小组讨论，很快形成思路，即第一步确定“中心数”，第二步配对，第三步分
析奇偶性。教师追问“中心数”如何确定，学生加以补充，最终形成五步法：
（1）计算九数之和a ；（2）计算幻和（a ÷3）；（3）确定”中心数”(a
÷3÷3) ；（4）配对；（5）定奇偶。
活动内容：学生分组讨论，总结前面分享交流的结论，形成构造三阶幻方的方法。 活动目的：部分学生在小学就有构造幻方的经历，但大部分同学只是简单地背记老师
所给的方法，这节课就是要摒弃学生的机械记忆，在了解幻方实质的基础上形成自己的方法。
【第五环节】勇于尝试
1．将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
思考1：这9个数与原来9个数有什么关系？可以由原来9个数怎么变过来？
2．请自行列举出9个数，将它们填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于45.
（备用图） （备用图）
思考2：你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理。
活动内容：由学生自主完成练习1、2两个小题，并思考所提出来的两个问题，然后交流。
活动目的：让学生体验新的方法，巩固新的方法。引申思考如何构造九个数来完成一个三阶幻方。
【第六环节】归纳提升
问题1：通过本节课的学习，你在知识方面还有那些收获？
问题2: 在解决本节课三阶幻方填写问题的过程中，你经历了怎样的过程，总结了怎样的问题解决的思路和方法，感悟到了哪些数学思想？积累了哪些数学活动经验？
问题3：在学习的过程中你自己参与活动的表现怎么样？其他同学的发言和分享对你的学习有怎样的帮助和启发？
活动内容：本环节是想引导学生从不同角度梳理和反思自己的学习收获，帮助学生感悟和提炼在问题解决过程中总结的思想和方法. 重点引导学生反思：本节课的学习，你获得了哪些与以往不同的感受？
活动目的：让学生交流总结，一方面让学生感受知识形成的过程，另一方面训练学生归纳概括知识的能力，使知识系统化，条理化，培养学生归纳、反思的意识。
【第七环节】课后作业
1. 将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.
2. 自行选取一组数构造一个三阶幻方, 使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都等于60。
3. 用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶幻方。 4. 用25个数构造一个五阶幻方。
活动内容：巩固课堂所学知识，作业的设置是有层次的：第1题直接给出9个数构造三阶幻方；第2题自行选取9个数来构造；第3题在于引起学生思维的冲击，课堂上所用的9个数都是连续的，那怎样的九个数就能构造三阶幻方，学生是无法得到这个结论的，设置这个题避免学生思维的局限性；第4题学有余力、学有兴趣的孩子可以大展身手。
活动目的：分层次作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。
板书设计:
《探寻神奇的幻方》（1）教学设计
甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校 闫治春
一、教材分析
《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析
学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。
本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析
《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想. 教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，可以组建四人活动小组，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论。 四、教学目标分析
1．通过综合运用有理数混合运算、用字母表示数及其运算等知识，探索三阶幻方的本质特征。
2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。 3．通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验。
4．通过自主探究、合作交流的学习方式，在感悟数形结合的思想及数学的对称美、均衡美的同时体会合作学习的价值。 五、教学重难点
教学重点：经历探究过程，发现和提炼蕴含在三阶幻方中的数学知识和规律，并应用知识和规律去解决实际问题。
教学难点：自主构造三阶幻方。 六、教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：情景激趣；第二环节：动手实践；第三环节：分享交流；第四环节：思维晋级；第五环节：勇于尝试；第六环节：归纳提升；第七环节：课后作业。
【第一环节】情景激趣 1．洛水神龟献奇图
相传公元前2200多年，我国大禹治水时发现一个神龟，背上刻有图案，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服. 后人称之为" 洛书" （如图1）。你能用今天的数学符号这个图案翻译出来吗？
16396
213712
[1**********]1
图1 图2 图3
2. 三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
一般地，一个n 行n 列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n 阶幻方。
请算出图2中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方。
活动内容：（1）由学生尝试用今天的数学符号对神龟背上的图案进行翻译，引导学生发现
数字排列规律；（2）检验如图所示4×4数阵是否是一个幻方。
活动目的：旨在引入课题，并揭示幻方的性质。存在着n 阶幻方，我们这节课只研究三阶幻方的构造方法，不要给知识面狭窄的学生造成误区。
【第二环节】动手实践
请将1至9 这九个数分别填在三行三列的数表中（如图3），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
活动内容：本课题学习安排的是2课时，本节课主要是展示交流由活动经验生成一定的
方法，提前一天布置动手实践，由学生分组完成，课堂将学生的答案展示在黑板上。
活动目的：学生经历构造三阶幻方的过程，或成功或失败，积累活动的经验，发现问题， 提出问题。
【第三环节】分享交流
（1）你是怎样用1至9 这九个数构造三阶幻方的？
（2）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？试说明理由。 （3）上述幻方中数字的位置能否改变？请分析其中的规律。
学生通过构造三阶幻方，很容易发现中间位置应该填5，通过试验也能知道如果5不在中间位置将无法满足题意，但不能解释其中的道理，只停留在经验层面上，此时教师要积极引导，使其具有规律性。
1. 设9个数分别为a,b,c ， d,e,f, g,h,i.
则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即45+3e=60， e=5
2. 对于幻方中数字的位置能否改变，有学生发现了数字的奇偶性，引导全体学生思考，因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，；而且进一步当把5填入中间格时，如果四个角上填奇数，则其他四格填偶数，我们可以看到第一行、第三行、第一列、第三列他们的和都得偶数，而据题目所求，三个数之和为15，15 是奇数，所以与题意不符（如图甲）. 如果四个角上一对奇数一对偶数，则剩下的四个格中也应该
一对奇数一对偶数，此时我们可以看到第一行、第三行和都为偶数，同样与题意不符（如图乙）. 然而如果四个角上都填偶数，剩下的四个格填奇数则符合题意（如图丙）。
图甲 图乙 图丙
活动内容：由个别学生阐述自己构造三阶幻方的过程，并适时提出问题（1）、（3）引发学生的思考，个别回答、同桌或小组讨论的形式，让学生畅所欲言。教师适度点拨，并引导学生上升到理论层次。
活动目的：通过交流引导学生深入思考，帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，把握构造三阶幻方的核心（中心数的确定）和关键（奇偶性），能对相应的探究方法反思提炼。
【第四环节】思维晋级 总结三阶幻方的构造方法。
学生经过小组讨论，很快形成思路，即第一步确定“中心数”，第二步配对，第三步分
析奇偶性。教师追问“中心数”如何确定，学生加以补充，最终形成五步法：
（1）计算九数之和a ；（2）计算幻和（a ÷3）；（3）确定”中心数”(a
÷3÷3) ；（4）配对；（5）定奇偶。
活动内容：学生分组讨论，总结前面分享交流的结论，形成构造三阶幻方的方法。 活动目的：部分学生在小学就有构造幻方的经历，但大部分同学只是简单地背记老师
所给的方法，这节课就是要摒弃学生的机械记忆，在了解幻方实质的基础上形成自己的方法。
【第五环节】勇于尝试
1．将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
思考1：这9个数与原来9个数有什么关系？可以由原来9个数怎么变过来？
2．请自行列举出9个数，将它们填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于45.
（备用图） （备用图）
思考2：你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理。
活动内容：由学生自主完成练习1、2两个小题，并思考所提出来的两个问题，然后交流。
活动目的：让学生体验新的方法，巩固新的方法。引申思考如何构造九个数来完成一个三阶幻方。
【第六环节】归纳提升
问题1：通过本节课的学习，你在知识方面还有那些收获？
问题2: 在解决本节课三阶幻方填写问题的过程中，你经历了怎样的过程，总结了怎样的问题解决的思路和方法，感悟到了哪些数学思想？积累了哪些数学活动经验？
问题3：在学习的过程中你自己参与活动的表现怎么样？其他同学的发言和分享对你的学习有怎样的帮助和启发？
活动内容：本环节是想引导学生从不同角度梳理和反思自己的学习收获，帮助学生感悟和提炼在问题解决过程中总结的思想和方法. 重点引导学生反思：本节课的学习，你获得了哪些与以往不同的感受？
活动目的：让学生交流总结，一方面让学生感受知识形成的过程，另一方面训练学生归纳概括知识的能力，使知识系统化，条理化，培养学生归纳、反思的意识。
【第七环节】课后作业
1. 将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.
2. 自行选取一组数构造一个三阶幻方, 使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都等于60。
3. 用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶幻方。 4. 用25个数构造一个五阶幻方。
活动内容：巩固课堂所学知识，作业的设置是有层次的：第1题直接给出9个数构造三阶幻方；第2题自行选取9个数来构造；第3题在于引起学生思维的冲击，课堂上所用的9个数都是连续的，那怎样的九个数就能构造三阶幻方，学生是无法得到这个结论的，设置这个题避免学生思维的局限性；第4题学有余力、学有兴趣的孩子可以大展身手。
活动目的：分层次作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。
板书设计: