直线与圆在生活中的应用

直线与圆在生活中的应用

河南省三门峡市卢氏一高 赵建文

数学来源于生活，并反过来为生活服务，本文将直线方程与圆的方程在生活中的应用作以简单介绍，供同学们复习时参考。

一、付钱多少问题 例1甲乙丙丁四人到花店去买花，甲买了6枝郁金香和3枝康乃馨所付的钱多于24元 ，乙买了4枝郁金香和5枝康乃馨所付的钱少于22元，丙买了2枝郁金香，丁买了3枝康乃馨，请问丙丁二人谁付的钱多？

解析：设郁金香花每枝x元，康乃馨每枝y元，则x、y满足

6x3y24

4x5y22

，要判断z2x3y的正负，是线性规划问题。 

x0y0

作出可行域及目标函数，由图知

当z2x3y过A（3，2）时，zmax=0,当B（0，4.4）时，zmin=-13.2，

∴z∈(-13.2,0),故丁付钱多。 点评：本题考查了线性规划在生活中的应用，掌握数学建模方法是解决实际问题的关键。

配套练习：

2007年5月7日12时一飓风中心在某港口南偏东600方向上，距港口400千米的海面上形成，并以每小时25千米的速度向正北方向移动，距飓风中心350千米以内的范围将受飓风影响，请你预报该港口是否受飓风影响及受影响的时间段。

参考答案：

以该港口为原点，正东方向、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

则飓风形成时飓风中心坐标为P

0200)

，飓风中心在直线：x移动，飓风形成t小时后，飓风中心

P20025t)，有题知当|OP|

2222

风影响，即(20025t)350，整理得t16t600，解得6t10，

即5月7日18时该港口开始受飓风影响，22时飓风退出该市。

二、面积最大问题

例2在两直角边分别为30米、40米一块三角形空地上，请你帮忙设计一个矩形花园，使花园的面积最大。

解析：如图所示，用直角三角形AOB表示这块空地，其中OA=30，OB=40，要矩形花园最大，则矩形必内接于此三角形，且矩形一顶点与重合，另两点分别在OA、OB上，第4个顶点P在AB上，如图建立坐标系，则直线ABx30

y40

1，设P(x0,y0)（x0>0, y0>0）,

则矩形两边长分别为x0、y0，

x

030



y040

1,

x0

则矩形面积Sx0y01200当且仅当

x030

y0

x030



y040

1200(

30

2

y040

)=300

2

x015即时，Smax300 40y020

点评：本题通过画图将实际问题转化为几何问题，再通过建立坐标系，转化为解析几何中的最值问题，利用均值定理解决之。

配套练习：

在半径为100米的圆形空地上，请你帮忙设计一个矩形游泳池，使游泳池的面积最大。

参考答案：要使游泳池面积最大，则矩形必外接于圆，以圆心为原点，矩形的对称轴分别为x、y轴建立坐标系。则圆的方程为：x2y21002，

设矩形在第一象限的顶点A(100cos,100sin)(0

S2(100cos)



2

)，则矩形的面积为

2(02(100sin20000sin



2

2

)

当2

2(100cos



2

，即



4

时，Sm

ax

20000m,此时矩形的长和宽都

为



2

)141.4m

在圆形空地修建一个边长为141.4m正方形。 三、相遇问题

例3甲、乙两人同时从半径为3km的圆形社区中心出发，甲向东走，乙向北走，甲出发不久，因有事改变前进方向，斜着沿着切于社区周界的方向前进，后来恰好与乙相遇，甲、乙两人的速度都一定，其比为3：1，问甲、乙二人在何处相遇？

解析：以社区中心为原点，正东、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

设甲、乙二人的前进速度分别为3vkm/h、vkm/h，甲出发x0小时，在P点改变前进方向，又经过y0小时在Q点相遇，则P（3vx0，0），Q(0，v(x0+y0)）,

则|OP|=3vx0,|PQ|=3vy0,|OQ|=v(x0+y0) 又∵|OP|2+|OQ|2=|PQ|2，

222

∴(3vx0)[v(x0y0)](3vy0)

整理得(x0y0)(5x04y0)0

又x0y00,5x04y0, ①

于是kPQ

0v(x0y0)3vx00



x0y03x0

②将①代入②得kPQ

34

法一：由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值即为所求，现转化为“当直线y

34

。

xb与圆xy9相切时，求纵截距b的值”

|b|154

22

3，解得b(b0)，

因此，甲、乙相遇的地点在离社区中心正北

154

km处。

法二：由△POQ的面积得，则(3vx0)[v(x0y0)]3(3vy0),vx0(x0y0)3y0 由①，得vx0

53

，vy0

2512

，OQvx0vy0

53



2512



154

(km)

点评：本题考查了圆的切线知识在生活中的应用，合理的建立直角坐标系，构建解析几何模型，通过设元、找关系，转化为数学问题，并作出定量或定性的分析与判断，是解决实际问题的关键。

配套练习：

中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长。

参考答案：

以该岛为原点，正东、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为：

xy200，

2

2

2

外国测量船的航行路线所在的直线方程为：

xy250，

海岛到外国测量船的航行路线距离为

：

d

176.65

航行路线被圆截得的弦

|BC|=

=≈187.1 所以能观测到的时间为t四、建设规划问题

例4某地在一公路同侧有A、B两个村庄，相距

千米，

187.120

9.365（小时）

A、B两个村庄到公路的距离分别为1千米和3千米，现在公路上建一车站，使车站到两个村庄的距离之和最小，请你帮忙选择车站的位置。

解析：以公路所在的直线为x轴，过A点作公路的垂线作为y轴，建立坐标系。过B作BDx轴，过A作ADBD，垂足为D。则A（0，1），|BD|=2，

则|AD|=2，则B点关于x轴的对称点B(2,3)，连接AB交x轴于C，AB：令y0B(2,3)，2xy10，得C(0.5,0)，设

C/为x轴上不同于

C

的任意点，则|BC/|=|B/C/|，

/

/

/

|AC/|+|BC/|=|AC/|+|B/C/|>|AB/|=|AC|+|CB/|=|AC|+|CB|

∴C点即为所求点。

故车站应选在过A村庄作公路的垂线，距垂足0.5千米处（在B村庄一侧）。 点评：本题考查了点关于直线对称在生活中的应用，合理建立坐标系，构造数学模型是解决实际问题的关键。

配套练习：某市现有自市中心O通向正东和西南方向两条主要公路，为了解决交通拥堵问题，市政府决定修一条环城公路，分别与通往正东和西南方向的公路交于A、B两点，要求A、B间为直线且距离最短，市中心到AB环城路距离为10千米，请你确定A、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）。

参考答案：以O点为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立坐标系。

设A(a,0)，B(b,b)（其中a0,b0），则

AB

的方程为

a)by

y0b0



xb

a

a

，即

bx(

a0b

∵10

∴ab100(a

2ab2b)

2ab)200(1

2222

∵ab0，

ab，

∴ab200(1

a

。当且仅当a

2b即时取等号，而

|AB|

b2

2



ab10

取最小值。

|OB|km处。

此时|OA|a

∴A、B

两点的最佳位置是离市中心均为

直线与圆在生活中的应用

河南省三门峡市卢氏一高 赵建文

数学来源于生活，并反过来为生活服务，本文将直线方程与圆的方程在生活中的应用作以简单介绍，供同学们复习时参考。

一、付钱多少问题 例1甲乙丙丁四人到花店去买花，甲买了6枝郁金香和3枝康乃馨所付的钱多于24元 ，乙买了4枝郁金香和5枝康乃馨所付的钱少于22元，丙买了2枝郁金香，丁买了3枝康乃馨，请问丙丁二人谁付的钱多？

解析：设郁金香花每枝x元，康乃馨每枝y元，则x、y满足

6x3y24

4x5y22

，要判断z2x3y的正负，是线性规划问题。 

x0y0

作出可行域及目标函数，由图知

当z2x3y过A（3，2）时，zmax=0,当B（0，4.4）时，zmin=-13.2，

∴z∈(-13.2,0),故丁付钱多。 点评：本题考查了线性规划在生活中的应用，掌握数学建模方法是解决实际问题的关键。

配套练习：

2007年5月7日12时一飓风中心在某港口南偏东600方向上，距港口400千米的海面上形成，并以每小时25千米的速度向正北方向移动，距飓风中心350千米以内的范围将受飓风影响，请你预报该港口是否受飓风影响及受影响的时间段。

参考答案：

以该港口为原点，正东方向、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

则飓风形成时飓风中心坐标为P

0200)

，飓风中心在直线：x移动，飓风形成t小时后，飓风中心

P20025t)，有题知当|OP|

2222

风影响，即(20025t)350，整理得t16t600，解得6t10，

即5月7日18时该港口开始受飓风影响，22时飓风退出该市。

二、面积最大问题

例2在两直角边分别为30米、40米一块三角形空地上，请你帮忙设计一个矩形花园，使花园的面积最大。

解析：如图所示，用直角三角形AOB表示这块空地，其中OA=30，OB=40，要矩形花园最大，则矩形必内接于此三角形，且矩形一顶点与重合，另两点分别在OA、OB上，第4个顶点P在AB上，如图建立坐标系，则直线ABx30

y40

1，设P(x0,y0)（x0>0, y0>0）,

则矩形两边长分别为x0、y0，

x

030



y040

1,

x0

则矩形面积Sx0y01200当且仅当

x030

y0

x030



y040

1200(

30

2

y040

)=300

2

x015即时，Smax300 40y020

点评：本题通过画图将实际问题转化为几何问题，再通过建立坐标系，转化为解析几何中的最值问题，利用均值定理解决之。

配套练习：

在半径为100米的圆形空地上，请你帮忙设计一个矩形游泳池，使游泳池的面积最大。

参考答案：要使游泳池面积最大，则矩形必外接于圆，以圆心为原点，矩形的对称轴分别为x、y轴建立坐标系。则圆的方程为：x2y21002，

设矩形在第一象限的顶点A(100cos,100sin)(0

S2(100cos)



2

)，则矩形的面积为

2(02(100sin20000sin



2

2

)

当2

2(100cos



2

，即



4

时，Sm

ax

20000m,此时矩形的长和宽都

为



2

)141.4m

在圆形空地修建一个边长为141.4m正方形。 三、相遇问题

例3甲、乙两人同时从半径为3km的圆形社区中心出发，甲向东走，乙向北走，甲出发不久，因有事改变前进方向，斜着沿着切于社区周界的方向前进，后来恰好与乙相遇，甲、乙两人的速度都一定，其比为3：1，问甲、乙二人在何处相遇？

解析：以社区中心为原点，正东、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

设甲、乙二人的前进速度分别为3vkm/h、vkm/h，甲出发x0小时，在P点改变前进方向，又经过y0小时在Q点相遇，则P（3vx0，0），Q(0，v(x0+y0)）,

则|OP|=3vx0,|PQ|=3vy0,|OQ|=v(x0+y0) 又∵|OP|2+|OQ|2=|PQ|2，

222

∴(3vx0)[v(x0y0)](3vy0)

整理得(x0y0)(5x04y0)0

又x0y00,5x04y0, ①

于是kPQ

0v(x0y0)3vx00



x0y03x0

②将①代入②得kPQ

34

法一：由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值即为所求，现转化为“当直线y

34

。

xb与圆xy9相切时，求纵截距b的值”

|b|154

22

3，解得b(b0)，

因此，甲、乙相遇的地点在离社区中心正北

154

km处。

法二：由△POQ的面积得，则(3vx0)[v(x0y0)]3(3vy0),vx0(x0y0)3y0 由①，得vx0

53

，vy0

2512

，OQvx0vy0

53



2512



154

(km)

点评：本题考查了圆的切线知识在生活中的应用，合理的建立直角坐标系，构建解析几何模型，通过设元、找关系，转化为数学问题，并作出定量或定性的分析与判断，是解决实际问题的关键。

配套练习：

中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在在该海岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长。

参考答案：

以该岛为原点，正东、正北方向分别为x、y轴，建立直角坐标系。

则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为：

xy200，

2

2

2

外国测量船的航行路线所在的直线方程为：

xy250，

海岛到外国测量船的航行路线距离为

：

d

176.65

航行路线被圆截得的弦

|BC|=

=≈187.1 所以能观测到的时间为t四、建设规划问题

例4某地在一公路同侧有A、B两个村庄，相距

千米，

187.120

9.365（小时）

A、B两个村庄到公路的距离分别为1千米和3千米，现在公路上建一车站，使车站到两个村庄的距离之和最小，请你帮忙选择车站的位置。

解析：以公路所在的直线为x轴，过A点作公路的垂线作为y轴，建立坐标系。过B作BDx轴，过A作ADBD，垂足为D。则A（0，1），|BD|=2，

则|AD|=2，则B点关于x轴的对称点B(2,3)，连接AB交x轴于C，AB：令y0B(2,3)，2xy10，得C(0.5,0)，设

C/为x轴上不同于

C

的任意点，则|BC/|=|B/C/|，

/

/

/

|AC/|+|BC/|=|AC/|+|B/C/|>|AB/|=|AC|+|CB/|=|AC|+|CB|

∴C点即为所求点。

故车站应选在过A村庄作公路的垂线，距垂足0.5千米处（在B村庄一侧）。 点评：本题考查了点关于直线对称在生活中的应用，合理建立坐标系，构造数学模型是解决实际问题的关键。

配套练习：某市现有自市中心O通向正东和西南方向两条主要公路，为了解决交通拥堵问题，市政府决定修一条环城公路，分别与通往正东和西南方向的公路交于A、B两点，要求A、B间为直线且距离最短，市中心到AB环城路距离为10千米，请你确定A、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）。

参考答案：以O点为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立坐标系。

设A(a,0)，B(b,b)（其中a0,b0），则

AB

的方程为

a)by

y0b0



xb

a

a

，即

bx(

a0b

∵10

∴ab100(a

2ab2b)

2ab)200(1

2222

∵ab0，

ab，

∴ab200(1

a

。当且仅当a

2b即时取等号，而

|AB|

b2

2



ab10

取最小值。

|OB|km处。

此时|OA|a

∴A、B

两点的最佳位置是离市中心均为