第２期２００８年２月
ＡＣＴＡ眦ＣｒＲＯＮＩＣＡＳＩＮＩＣＡ
电
子学报
Ｖｄ．３６
Ｎｏ．２
Ｆｅｂ．２００８
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
涂治红，褚庆昕
（华南理工大学电子与信息学院，广东广州５１０６４１）
摘要：
传输零点的确定是交叉耦合滤波器综合的最基本要素．本文利用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数的极值特性以及
滤波器阶数与传输零点最大值的关系，提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器的阶数和传输零点位置的方法，弥补了传统方法中传输零点确定的人为随意性，在满足技术指标条件下，实现了广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．几个数值实验显示了该方法的过程和有效性．
关键词：
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数；交叉耦合滤波器；传输零点；传输极值点频率
文献标识码：
Ａ
中图分类号：ＴＮ７１３文章编号：０３７２．２１１２（２００８）０２—０２５０－０５
ＤｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎＺｅｒｏｓｏｆ
ｔｈｅＧｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙ７ｓｈｅｖＦｉｌｔｅｒｓ
１＂１ＪＺｈｉ—ｈｏｎｇ，ＣＨＵ
Ｃｈｉｎａ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ
ａｎｄｔ，Ｃｏ，，ｍｔｉｏｎ胁讲，ｌ咖，Ｓｏｕｔｈ
ｚｅｒｏｓ
Ｑｉｎｇ—ｘｉｎＵｍⅫｕｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，盘ｎ，２咖，Ｃ．ｕａｎｇｄｏｎｇ５１０６４０，Ｃｈ／ｎａ）
ｔｏ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｃｒｏｓｓ－ｃｏｕｐｌｅｄｆｉｌｔｅｒ．Ａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄ
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ｇｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆｉｌｔｅｒｄｅｇｒｅｅａｎｄｔｈｅｎｕｍｂｅｒｔｈｅｇｉｖｅｎｆｉｌｔｅｒｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｌｅａｓｔｆｉｌｔｅｒｄｅｇｒｅｅａｎｄｔｈｅ
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Ｋａｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｒｏｓｓ－ｃｏｕｐｌｅｄｆｉｌｔｅｒ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｚｅｒｏｓ；ｅｘｔｒｅｆｆｌｅｆｉｅｑｕｅｎｃｙ
１引言
射频滤波器是无线通信系统射频前端的基本部件．随着无线通信的发展，频谱越来越拥挤，系统对滤波器的技术指标要求，尤其是矩形度的要求，也越来越严格．传统Ｂｕｔｔｅｒｗｏａｈ和Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器已经难以满足要求．引入有限传输零点的交叉耦合滤波器是目前最常用的选择，通常采用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数实现．与传统滤波器相比，这种滤波器不仅满足了指标特性，同时能够减少谐振腔个数，降低设计成本和滤波器体积．但是，这种滤波器的综合和设计相对复杂，具有一定难度．Ａｔｉａ和Ｗｉｌｌｉａｍｓ在２０世纪７０年代提出了交叉耦合滤波器理论ｕ．２Ｊ，该理论仅适用对称响应，其综合过程是：先从滤波器ｓ参数多项式中推出Ｙ参数中的Ｙ２１（ｓ）和Ｙ２２（ｓ），再从代表电路特性的耦合矩阵推出Ｙ２ｌ（ｓ）和Ｙ２２（ｓ），两式相等，即可得到Ｓ参数多项式与耦合矩阵的关系，从而求出耦合矩阵．随后，Ｃａ／ｈｅｒｏｎ对该方法进行了改进，提出了已知非对称传输零点的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器综
收稿日期：２００６－１２－０６；修回日期：２００７－０１．１８
基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６０１７１０１１，Ｎｏ．６０５７１０５６）
合的方法，并采用Ｇｉｖｅｎｓ相似变换化简耦合矩阵１３＇４Ｊ．Ｃａｍｅｒｏｎ还提出通过已知传输零点得到传输函数，再通过传输函数提取元件值，最后得到耦合矩阵的方法Ｉｓ．６］．Ｒ．Ｌｅｖｙ提出在Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器上直接引入一对传输零点的方法一，８Ｊ．另外，采用优化方法也是一种有效的综合交叉耦合滤波器的途径．Ａｔｉａ在１９９８年提出采用标准无约束梯度优化技术的综合方法归Ｊ．随后，Ｓ．Ａｍａｒｉ提出采用基于梯度解析优化技术的交叉耦合滤波器综合法ｕｏ｜．另外，ｌ＿ａｍｅｒｃｋｉ提出采用新的代价函数进行优化的一种快速耦合滤波器综合法ｕ１｜．以上这些方法都是现代交叉耦合滤波器综合的基础．但是这些方法的前提条件是已知滤波器阶数和传输零点．而如何提取滤波器阶数和传输零点却很少有文章论及，通常是根据经验或反复实验决定．文献［１２］提出的方法虽然可以解决这样的问题，但对两个以上的传输零点时没有确切解析关系式，因而需要多次迭代和比较过程，费时费力．本文利用广义Ｃｈｅｂ，ｒｓｈｅｖ函数的极值特性推导出传输极值点频率与传输零点的关系表达式，再利用传输极值点
万方数据
第２期
涂治红：广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
２５１
频率对应通带外最小衰减的关系，得到一组关于传输零点和通带外最小衰减的非线性方程组，解该方程组可求出传输零点．基于该方法和滤波器阶数与传输零点最大值的关系，本文还提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器的阶数和传输零点位置的方法．这种方法弥补了现行方法中确定传输零点的人为随意性，在满足技术指标条件下，实现了广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．最后本文还给出３个实验计算结果，并且和传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器的计算结果进行比较，通过比较显示了该方法的可行性．
２广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ传输函数的传输零点特性
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ传输函数定义如下［４］：
Ｉ￥２１１２２百靠
（１）
式中，
ＣＮ（（ｃＪ）＝ｃｏｓｈ（∑ｃｏｓｈ一１（Ｘｉ）＋ｍｃｏｓｈ一１（甜））
（２）ｉ＝１
Ｘｉ：垫
、
＝——（３）
ｋｊ，
（ｃＪ—ＣＯＯ／
ｍ＝Ｎ一后
（４）
Ⅳ为滤波器阶数，∞矗为第ｉ个有限传输零点，ｋ为有限传输零点个数，ｅ为带内等波纹系数．广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低
通原型滤波器的工作衰减定义为厶（∞）＝一ｌＯｌｏｇ［Ｓ２ｌ
１２
＝１０ｌｏｇ（１＋￡２碍（∞））
＝１０ｌｏｇ（１＋￡２ｃｏｓｈ２（∑ｅｏｓｈ一１（兢）＋ｍｃａｓｈ一１（∞）））
ｉ＝ｌ
－・
（５）
图ｌ给出了典型广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器的工作衰减曲线，图中，ｃｔ，。是技术指标要求的角频率，“
是技术指标要求的通带外最小衰减，即当角频率大于叫，时工作衰减大于“．Ｏ－ｔｏ是传输零点对应的角频率．鸭是通带外衰减函数极小值对应的传输极值点角频率，对应的衰减值是玩．∞ｆ是通带外最小衰减‰对应的带
外最小角频率．根据通带内最大衰减“，可以确定￡
万
方数据￡＝￣／１０一“ｍ一１
（６）
传统Ｃｈｅｂｙｒｓｈｅｖ低通原型滤波器的工作衰减：
厶（（￡Ｊ）＝一１０ｌｏｇＩＳ２１１２
＝１０ｌｏｇ（１＋Ｅ：２品（ｃＵ））
＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃｏｓｈ２（Ｎｃｏｓｈ一１ｃｏ）））
（７）
传统滤波器阶数为：
Ⅳ≥—ｃｏｓｈ—－ｌ（—＇，／ｌｉＯＬ』＇／—ｌＯ－五１／Ｖ广／１０一Ｌ＊／ＩＯ－１）
（７）
当∞＝１时，式（５）和式（７）都等于“，所以，广义Ｃｈｅｂｙ．
ｓｈｅｖ低通原型滤波器与传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器具有相同的通带衰减特性．
根据吡处工作衰减的极值特性，有
丝掣ｌ
：ｏ
鳓１∞＝ｑ
通过式（５）推出
＿ａＣＮ（ｃＯ）Ｉ：ｏ
渤
Ｉ∞＝叶
令以ｃｃＪ）＝∑ｃｏｓｈ一１（规）＋ｍｃｏｓｈ一１（∞），有：
掣Ｌ“ｎｈＥＡ训×掣Ｌ－０（８）
因为（ｔｔ＝魄时，ｓｉｎｈＥｆ（峨）］＝０，所以
学蚪｛
：０
ｃｔｏ
Ｉ∞＝吐
即
Ｉ刍——ｒ＋ｍ——广川…。．（蜜掣＋ｍ掣）Ｌ
＝＊筹×南）＋鬲ｍ…９，
由式（９）得：
砉需＝ｍ
㈣，
由式（１０）可得到传输极值点频率关于传输零点的
表达式，将其代入式（５），可以得到一组关于传输零点和带外最小衰减的非线性方程组，解该方程组就能确定传输零点．
以下分别讨论一个至多个传输零点的情况．（１）当滤波器有一个传输零点，即ｋ＝１时：（Ｄ）当ｌ≤∞。ｌ≤峨ｌ时，由式（１０）得到传输极值点频率：
ＣＯ；１＝％＋亡￣／叫：１—１
（１１）
（ｂ）当鸭１＜甜。ｌ＜一１时，由式（１０）得到传输极值点频率：
％：％一圭厢１
∞ｓ１。叫ａｌ—ｉ￣／叫：ｌ一
（１２）（１２）
２５２
电子具有一个传输零点的极值处非线性方程如下：
“＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃ槲（ｃｏｓｈ～（１－ｔｏｓｌ．ｔｏ．０１）ｍｓｌ一Ｕ．，ｏｌ
＋ｍｃｏｓｈ。１（％１）））
（１３）
将式（１１）或式（１２）代入式（１３），解得ｔ００１．
（２）当滤波器有两个传输零点时，ｋ＝２，由式（１０）得到两个传输极值点频率：
峨ｌ，２２——■ｉ—峨ｌ。２：—－—ｂ＋—＇ｖ了／＇ｂ—２一－４ａｃ
（１４）ＬＨ’
式中：
（ａ）当１＜（Ｅ’。１＜ｔｏｓｌ＜叫。２＜叫，２时：
ｆ
ｎ２
ｍ
｛ｂ：一ｍ（叫。。＋叫以）一√‘丽一√‘和（１５）
【ｃ＝一砌。。叫以＋％∥石ｊ＋㈨∥石ｊ
（ｂ）当ＣＯｓｌ＜ｃ￡’０１＜一１，１＜ｃｏ。２＜ｃｃ，，２时：ｆ口２一ｍ
｛ｂ＝ｍ（％＋毗）＋／磊ｊ一∥石ｊ
（１６）
【ｃ：一砌。。∞以＋％以石ｊ一％∥瓦ｊ
（ｃ）当ｃｃＪｓ２＜ｔ００２＜（￡，。１＜∞。ｌ＜一１时：
，
｛６＝ｍ（％＋∞０２）＋厢＋厢（１７）
ｆ口２一ｍ
【。：，黝。。∞以一∞以√‘了ｉ＝１一∞。。√‘ｉ五ｊ
具有两个传输零点的极值处非线性方程组如下：
“。＝１０ｌｏｇ（１＋ｅ２ｃｏｓｈ２（ＣＯＳ－１（等等）
＋ｃｏｓｈ一１（＃辈）＋ｍｃｏｓｈ一１（％）））
ｌ＋ｃｏｓｈ一１（警）＋ｍｃｏｓｈ一１（ｔｏｓｌ））’
“：２
￡。，：：１０ｌｏｇ（１＋：＋ｅ２
≥ｃｏ一。ｈ∞２：‘１８）
ｃ循。１（哥＝’（循一。。！二垫，竺！，：
Ｌ
ｃｃ，ｓ１一∞０２
联解式（１４）和式（１８）得到叫。，和∞０２．
（３）当滤波器的传输零点个数大于两个，即ｋ≥３时，由式（１０）得到：
口∥！＋吼一ｌ∞：一１＋…＋０２∞：＋Ｄ１ｃ叱＋ａｏ＝０
（１９）
式中，ａｉ（ｉ＝０，１，…，Ｊ｜｝）为传输零点ｔＯｏｌ（ｉ：１，２，…，ｋ）的复合表达式．
具有多个传输零点的极值处非线性方程组如下：
Ｌ，ｂ１＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃ础善汹。１（％掣）
＋ｍｃｏｓｈ．１（鸭１）））
｛
ｉ
（２０）
Ｉｋ“ｏｌｏｇ（１＋￡２蒯（蚤ｃｏｓｈ。１（艺等）
Ｌ
＋，ｎｃｏｓｈ一１（（ｕ止）））
万
方数据学报
２００８年
由于式（１９）和（２０）中各方程互不相关，所以求解过程一定收敛，即必可解得传输零点叫耐（ｉ＝１，２，…，ｋ）．
将所求传输零点代入式（２１），即可求得图１中所示
的带外最小衰减“对应的带外最小角频率∞ｌ’．
Ｉ
１
，
“＝１０１０９（１＋ｅ２ｃ槲（∑ｃｏｓｈ一（三争半）
ｌ＝１
…１…“
＋ｍｃｏｓｈ一１（（￡’ｌ’）））
（２１）
３滤波器阶数和传输零点确定过程
我们知道，广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数越高通带外
衰减特性越好，以及在阶数不变的情况下，引入传输零点的个数越多通带外衰减特性越好ｕ３｜．对于规范结构的Ⅳ阶滤波器，最多能有Ⅳ一２个有限传输零点ＨＪ．
滤波器设计技术指标是当角频率大于叫，时工作
衰减大于玩．图２比较了具有１个但位置不同的传输
零点的４阶广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器工作衰减特性，其中实线表示传输极值点频率处的工作衰减等于带外抑制
指标“的临界状况．如果此时不满足ｃｃ，１≥∞１’，可将传输零点向通带移动，直至满足ｃｃ，１≥ｃｃ，ｌ’，如图２中的虚线所示．但是，根据广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数特性，传输极值点频率处的工作衰减会随着传输零点向通带移动而减小，即小于带外抑制指标“的临界状况．所以此时为了满足指标，在不增加传输零点个数的条件下必须增加滤波器的阶数．
图２具有１个传输零点的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器比较（，ｒ－－－４）．
虚线表示传输零点纰，＝１．２的工作衰减曲线，实线表示传输零点‰２＝１．５的工作衰减曲线，ｔＯ’１１和（Ｏｉｌ２分别表示通带外最小衰减三。，对应的带外最小角频率
基于这三点，初始化滤波器阶数Ｎ＝３和传输零点
个数ｋ＝１，然后根据上节的方法求出传输零点和叫．’，判断是否满足．如果不满足ｃｃ，，≥Ｃ０１ｔ，增加一阶滤波器阶数，然后重新按照上节的方法求出传输零点和∞，’，判断是否满足ｃｃ，ｌ≥∞１’．如果不满足，为保证ｋ＝Ｎ一２的关系，所以必须增加一个传输零点，然后重新求传输零点和，判断是否满足．如果不满足，则按照前叙方法继续增大滤波器阶数和传输零点的个数，直至满足技
术指标要求ｔｏｌ≥ｔＯｉｔ，此时Ⅳ和传输零点既是满足指标要求的值．通过这样的方法确定的滤波器的阶数最少，传输零点的位置最佳．整个提取滤波器阶数和传输零点流程见图３．
第２期
涂治红：广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
２５３
图３提取滤波器阶数和传输零点流程图
４应用举例
下面通过三个例子说明本文方法的设计过程和在滤波器设计中的应用．三个例子首先给出的是传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型设计结果与本文方法低通原型计算结果的比较，然后通过频率变换，得到实际工作衰减特性曲线．
例子１：低通滤波器技术指标：截至频率１．５ＧＨｚ；
通带内最大衰减“＝０．５ｄＢ；
当厂≥１．８６ＧＨｚ时，通带外最小衰减“Ｉ＞２０ｄＢ．
表１给出了采用传统方法与本文方法设计的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型的结果比较．通过低通原型到低通滤波器的频率变换，图４给出本文方法与传统方法得到的工作衰减特性曲线比较，其中圆圈表示设计指标（甜１，玩）＝（１．８６ＧＨｚ，２０ｄＢ）．从图４中可以看出：通过本文方法引入１个传输零点，不仅满足技术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表１传统方法与本文方法比较（带内波纹系数ｅ＝ｏ．３４９３）
传统方法
舔艾ｈ≮ｋ
滤波器阶数Ｎ＝６
Ｎ＝３传输零点无零点
““＝１．３０６１传输极值点频率
（‘，，ｌ＝１．７２６２
，
叫ＩⅢ・’＝１．２３５６
∞１’＝１．２２７０
例子２：带通滤波器技术指标：中心频率ｆｏ＝３ＧＨｚ相对带宽ＦＢＷ＝０．０３５回波损耗ＲＬ＝３０ｄＢ
当，≥３．１２ＧＨｚ时，通带外最小衰减Ｌ‰＞ｔ４０ｄＢ
万
方数据当／≤２．９１ＧＨｚ时，通带外最小衰减玩，＞２６ｄＢ．
ＦｒｅｑｕｃｎｃｙｌＧＨｚ
图４工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示设计指标
（弧工。Ｊ＝（１．８６ＧＨｚ，２０ｄａ）
表２给出了采用传统方法与本文方法设计的低通原型的结果比较．通过低通原型到带通滤波器的频率变换，图５给出本文方法与传统方法得到的工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（∞１，“）＝（２．９１ＧＨｚ，２６ｄＢ）和（ｃｃ，１，￡如）＝（３．１２ＧＨｚ，４０ｄＢ）．从图５可以看出：通过本文方法在高低阻带各引入１个传输零点，不仅满足技
术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表２传统方法与本文方法比较（带内波纹系数Ｅ＝Ｏ．０３１６）传统方法
本文方法
滤波器阶数Ｎ＝７
Ｎ＝５“以＝一１．６１３２
传输零点
无零点
０）０２＝２．２７２９
峨ｌ＝一１．９７６９
传输极值点频率
ＯＪｊ２２
２．８９６１
“ｌ；＝一Ｉ．５６６７
“１ｉ＝一１．５３１４叫ｌ
“１２＝Ｉ．８８８８
∞１５＝２．１３１０
Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ／ＧＨｚ
图５工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（∞ｌ工・护《２．９１ＧＨｚ，
２６ｄＢ）和（ｍｌ工』沪（３．１２ＧＨｚ，４０ｒｉＢ）
例子３：带通滤波器技术指标如下：中心频率ｆｏ＝９５０ＭＨ相对带宽ＦＢＷ＝０．０４
通带内最大衰减“＝０．５ｄＢ
当ｆ，＞９７６．２ＭＨｚ时，带外最小衰减“ｔ＞５４ｄＢ当ｆ，＞９９４．２ＭＩ－Ｉｚ时，带外最小衰减“≥８０ｄＢ．
表３给出了采用传统方法与本文方法设计的低通原型的结果比较．通过低通原型到带通滤波器的频率变换，图６给ｍ本文方法与传统方法得到的工作衰减特
２５４
电子
学
报
２００８年
性曲线比较，其中圆圈表示设计指标（叫。，“）＝（９７６．２ＭＨｚ，５４ｄＢ）和（（￡’ｌ，气）＝（９９４ＭＨｚ，８０ｄＢ）．从图６中可以看出：通过本文方法在高阻带引入３个传输零点，满足技术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表３传统方法与本文方法比较（带内波纹系数￡＝０．３４９＂３）
传统方法
滤波器阶数
Ｎ＝ｔ０
１９８２．６：８３—９５．
［４］Ｒ
Ｊ
Ｑ咖删１．Ｇｅｎｅｒａｌ
ｃｏｕｐｌｉｎｇｍａｔｒｉｘｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒ
ｃｈｅｂｙｓｈｅｖｆｉｌｔｅｒＴｈｅｏｒｙ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅ
Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９９９，４７（３）：４３３—４４２．
ＤＲｈｏｄｅｓ．Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
［５］Ｒ
Ｊ
Ｑ蚰ｅ啪，Ｊ
ｏｆｄｕａｌ－
本文方法
Ｎ＝５““＝１．３９４８
ｍｏｄｅ
ｔｍｄｐａｓｓｆｉｌｔｅｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅ
ＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９８１，２９（１）：５１—５８．
［６］Ｒ
Ｊ
Ｃａｍｅｒｏｎ．Ｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｔｏｔｙｐｅｎｅｔｗｏｒｋｓｙｎｔｈｅｓｉｓｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒ
Ｊ，１９８２，６：１９３—２０６．
传输零点无零点
‘－００２＝２．３７９６
ｍｉｃｒｏｗａｖｅ
ｆｉｌｔｅｒ［Ｊ］．ＥＳＡ
ｓｉｎｇｌｅ
１．Ｏ。３＝３．８５０１∞“＝１．５５１０
［７］Ｒｋｖｙ．Ｆｒｆｌｔｅｒｓｗｉｔｈ
ｎａｒｙ
Ｉｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ＺｅｒＯＳａｔ
ｒｅａｌａｎｄｉｍａｇｉ—
ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙ
传输极值点频率Ⅲ，２＝２．８１８５ｃ【，，３＝６．６８０５
Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９７６，２４（３）：１７２—１８１．
［８］ＲＬｅｖｙ．Ｄｉｒｅｃｔｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｃａｓｃａｄｅｄ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｑｕａｄｒｕｐｌｅｔ（ＣＱ）ｆｉｌｔｅｒｓ
，（ｃ’１
ｃ￡’ｌｉ＝１．３３４１“１ｉ＝１．６６２６
∞１；＝１．３５４９“１２＝２．１５３２
［Ｊ］．ＩＥＥＥ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｔｏｐｏｌｏｇｙ
ＡＪ．ＩＥＥＥ
１９９９，４３（１２）：２９４０—２９４４．
［９］ＷＡＡｒｉａ，ＫＡＺａｋｉ，ＡＥＡｒｉａ．Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｍｕｌｔｉｐｌｅｃｏｕｐｌｅｄ
ｒｅｓｏｎａｔｏｒ
ｆｉｌｔｅｒｓｂｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｌ
ＭＴｒ－ＳＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
ｍｏｒｅ
ＭｉｃｒｏｗａｖｅＳｙｍｐｏｓｉｕｍＤｉｇｅｓｔｌＣＪ．Ｂａｌｔｉ—
Ｍａｒｙｌａｎｄ：１９９８，２（６）：８２１—８２４．
［１０］ＳＡｍａｒｉ．Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｃｒｏｓｓ－ｃｏｕｐｌｅｄ
ａｎａｌｙｔｉｃａｌ
ｇｒａｄｉｅｎｔ－ｂａｓｅｄ
Ｏｉｌ
ｏｐｔｉ捌ｏｉｌ
ｒｅｓｏｎａｔｏｒ
ｆｉｌｔｅｒｓｕｓｉｎｇ
ａｎ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ
ｌＪＪ．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ１５５９—１５６４．
ＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，２０００，４８（９）：
［１１］ＡＬａｍｅｒｃｋｉ，ＰＫｏｚａｋｏｗｓｋｉ，ＭＭｒｏｚｏｗｓｋｉ．Ｆａｓｔ
ＦｒｅｑｕｅｎｃｙｌＧＨｚ
ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｏｆ
图６工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（劬工√沪
（９７６．２ＭＩ－Ｉｚ，５４ｄＢ）和（幼工』０＝（９９４ＭＨｚ，８０ｄＢ）
ｃｏｕｐｌｅｄ－ｒｅｓｏｎａｔｏｒＣｏｍｐｏｎｅｎｔｓ
ｆｉｌｔｅｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＭｉｃｒｏｗａｖｅ
ａｎｄＷｉｒｅｌｅｓｓ
Ｌｅｔｔｅｒ，２００４，１４（３）：１７４—１７６．
Ｑｉｎｇ－ｘｉｎ．ＥｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅＷａｎｓａｎｉｓｓｉｏｎ
ｚｅ・
［１２］ＹＥ
Ｒｏｎｇ，ＣＨＵ
５结论
本文利用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数的极值特性得到求解传输零点的方法，并利用该方法和滤波器阶数与传输零点最大值的关系，提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数和传输零点位置的方法．这种方法实现的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．三个例子显示了该方法的过程和在滤波器设计中的应用．
参考文献：［１］Ａ
ＥＡｒｉａ，ＡＥ
ｌＯＳ
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｃｈｅｂｙｓｈｅｖｆｉｌｔｅｒｓ［Ａ］．２００４
４ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ
ａｎｄＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ
ＷａｖｅＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ［Ｃ］．
Ｂｅｉｊｉｎｇ：２００４．２６—２８．
［１３］褚庆昕．微波网络讲义［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出
版社，１９９９．
作者简介：
涂治红女，１９７７年生于武汉，华南理工大学电子与信息学院博士生．研究方向：射频／微波滤波器综合．Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｚｈｗｉｎｄ＠静ｎａｉｌ．ｅｏｍ
Ｗｉｌｌｉａｍｓ．Ｎａｒｒｏｗ－ｂａｎｄｐａｓｓ
ｏｎ
ｗａｖｅｇｕｉｄｅｆｉｌｔｅｒｓ
【Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，
１９７２，２０（３）：２５８—２６５．［２］Ａ
ＥＡｒｉａ，ＡＥ
Ｗｉｌｌｉａｍｓ，ＲＷ
Ｎｅｗｃｏｍｂ．Ｎａｒｒｏｗ－ｂａｎｄｍｕｌｔｉ・
Ｏｉｌ
ｐｉｅ－ｃｏｕｐｌｅｄｃａｖｉｔｙａｎｄ
ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ［１］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｍ
Ｃｉｒｃｕｉｔ
褚庆昕男，１９５８年生于陕两，华南理工大学电子与信息学院教授、博士生导师，射频与无线技术研究所所长．目前主要研究领域包括无线通信中的射频电路和天线、微波集成电路的全域建模、有源集
成天线与空间功率合成、计算电磁学等．Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｘｅｈｕ＠ｓｃｕｔ．ｅｄｕ．ｅｎ
Ｓｙｓｔｅｍ，１９７４，２１（９）：６４９—６５５．ａｓｙｎｍ跫ｔｒｉｃａｌｌｙ－ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ
ｚｅｒｏｓ［Ｊ］。ＥＳＡ
［３］ＲＪＣａｌｌ．ｒｏｌｌ．ＦａｓｔｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｉｌｔｅｒｐｒｏｔｏｔｙｐｅｓ
ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
Ｊ，
ｗｉｔｈ
万方数据
第２期２００８年２月
ＡＣＴＡ眦ＣｒＲＯＮＩＣＡＳＩＮＩＣＡ
电
子学报
Ｖｄ．３６
Ｎｏ．２
Ｆｅｂ．２００８
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
涂治红，褚庆昕
（华南理工大学电子与信息学院，广东广州５１０６４１）
摘要：
传输零点的确定是交叉耦合滤波器综合的最基本要素．本文利用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数的极值特性以及
滤波器阶数与传输零点最大值的关系，提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器的阶数和传输零点位置的方法，弥补了传统方法中传输零点确定的人为随意性，在满足技术指标条件下，实现了广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．几个数值实验显示了该方法的过程和有效性．
关键词：
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数；交叉耦合滤波器；传输零点；传输极值点频率
文献标识码：
Ａ
中图分类号：ＴＮ７１３文章编号：０３７２．２１１２（２００８）０２—０２５０－０５
ＤｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎＺｅｒｏｓｏｆ
ｔｈｅＧｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙ７ｓｈｅｖＦｉｌｔｅｒｓ
１＂１ＪＺｈｉ—ｈｏｎｇ，ＣＨＵ
Ｃｈｉｎａ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ
ａｎｄｔ，Ｃｏ，，ｍｔｉｏｎ胁讲，ｌ咖，Ｓｏｕｔｈ
ｚｅｒｏｓ
Ｑｉｎｇ—ｘｉｎＵｍⅫｕｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，盘ｎ，２咖，Ｃ．ｕａｎｇｄｏｎｇ５１０６４０，Ｃｈ／ｎａ）
ｔｏ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｃｒｏｓｓ－ｃｏｕｐｌｅｄｆｉｌｔｅｒ．Ａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄ
ｔｈｅ镒ＩＩｎｅｔｉｍｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇ
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ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｉｌｔｅｒｄｅｇｒｅｅａｎｄｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｚｅｒｏｓａｔｔｈｅｅｘｔｒｅｍｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｔｈｅ
ｇｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆｉｌｔｅｒｄｅｇｒｅｅａｎｄｔｈｅｎｕｍｂｅｒｔｈｅｇｉｖｅｎｆｉｌｔｅｒｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｌｅａｓｔｆｉｌｔｅｒｄｅｇｒｅｅａｎｄｔｈｅ
ｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎＺ．ｅｌ＇Ｏ￥．Ｏｎｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆ
Ｚｅｒｏｓａｒｅ
ｏｐｔｉｍｕｍｐｏｓｉｄｏｍｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄ．
ｒｅａｌｉｚｅｄ．Ｓｅｖｅｒａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
ｅｘａｍｐｌｅｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｐｌ＇ｏｃｅｄｕｒｅａｎｄｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｉｎｔｈｅｆｉｌｔｅｒｄｅｓｉｇｎ
Ｋａｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌＣｈｅｂｙｓｈｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｒｏｓｓ－ｃｏｕｐｌｅｄｆｉｌｔｅｒ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ｚｅｒｏｓ；ｅｘｔｒｅｆｆｌｅｆｉｅｑｕｅｎｃｙ
１引言
射频滤波器是无线通信系统射频前端的基本部件．随着无线通信的发展，频谱越来越拥挤，系统对滤波器的技术指标要求，尤其是矩形度的要求，也越来越严格．传统Ｂｕｔｔｅｒｗｏａｈ和Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器已经难以满足要求．引入有限传输零点的交叉耦合滤波器是目前最常用的选择，通常采用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数实现．与传统滤波器相比，这种滤波器不仅满足了指标特性，同时能够减少谐振腔个数，降低设计成本和滤波器体积．但是，这种滤波器的综合和设计相对复杂，具有一定难度．Ａｔｉａ和Ｗｉｌｌｉａｍｓ在２０世纪７０年代提出了交叉耦合滤波器理论ｕ．２Ｊ，该理论仅适用对称响应，其综合过程是：先从滤波器ｓ参数多项式中推出Ｙ参数中的Ｙ２１（ｓ）和Ｙ２２（ｓ），再从代表电路特性的耦合矩阵推出Ｙ２ｌ（ｓ）和Ｙ２２（ｓ），两式相等，即可得到Ｓ参数多项式与耦合矩阵的关系，从而求出耦合矩阵．随后，Ｃａ／ｈｅｒｏｎ对该方法进行了改进，提出了已知非对称传输零点的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器综
收稿日期：２００６－１２－０６；修回日期：２００７－０１．１８
基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６０１７１０１１，Ｎｏ．６０５７１０５６）
合的方法，并采用Ｇｉｖｅｎｓ相似变换化简耦合矩阵１３＇４Ｊ．Ｃａｍｅｒｏｎ还提出通过已知传输零点得到传输函数，再通过传输函数提取元件值，最后得到耦合矩阵的方法Ｉｓ．６］．Ｒ．Ｌｅｖｙ提出在Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器上直接引入一对传输零点的方法一，８Ｊ．另外，采用优化方法也是一种有效的综合交叉耦合滤波器的途径．Ａｔｉａ在１９９８年提出采用标准无约束梯度优化技术的综合方法归Ｊ．随后，Ｓ．Ａｍａｒｉ提出采用基于梯度解析优化技术的交叉耦合滤波器综合法ｕｏ｜．另外，ｌ＿ａｍｅｒｃｋｉ提出采用新的代价函数进行优化的一种快速耦合滤波器综合法ｕ１｜．以上这些方法都是现代交叉耦合滤波器综合的基础．但是这些方法的前提条件是已知滤波器阶数和传输零点．而如何提取滤波器阶数和传输零点却很少有文章论及，通常是根据经验或反复实验决定．文献［１２］提出的方法虽然可以解决这样的问题，但对两个以上的传输零点时没有确切解析关系式，因而需要多次迭代和比较过程，费时费力．本文利用广义Ｃｈｅｂ，ｒｓｈｅｖ函数的极值特性推导出传输极值点频率与传输零点的关系表达式，再利用传输极值点
万方数据
第２期
涂治红：广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
２５１
频率对应通带外最小衰减的关系，得到一组关于传输零点和通带外最小衰减的非线性方程组，解该方程组可求出传输零点．基于该方法和滤波器阶数与传输零点最大值的关系，本文还提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器的阶数和传输零点位置的方法．这种方法弥补了现行方法中确定传输零点的人为随意性，在满足技术指标条件下，实现了广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．最后本文还给出３个实验计算结果，并且和传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器的计算结果进行比较，通过比较显示了该方法的可行性．
２广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ传输函数的传输零点特性
广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ传输函数定义如下［４］：
Ｉ￥２１１２２百靠
（１）
式中，
ＣＮ（（ｃＪ）＝ｃｏｓｈ（∑ｃｏｓｈ一１（Ｘｉ）＋ｍｃｏｓｈ一１（甜））
（２）ｉ＝１
Ｘｉ：垫
、
＝——（３）
ｋｊ，
（ｃＪ—ＣＯＯ／
ｍ＝Ｎ一后
（４）
Ⅳ为滤波器阶数，∞矗为第ｉ个有限传输零点，ｋ为有限传输零点个数，ｅ为带内等波纹系数．广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低
通原型滤波器的工作衰减定义为厶（∞）＝一ｌＯｌｏｇ［Ｓ２ｌ
１２
＝１０ｌｏｇ（１＋￡２碍（∞））
＝１０ｌｏｇ（１＋￡２ｃｏｓｈ２（∑ｅｏｓｈ一１（兢）＋ｍｃａｓｈ一１（∞）））
ｉ＝ｌ
－・
（５）
图ｌ给出了典型广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器的工作衰减曲线，图中，ｃｔ，。是技术指标要求的角频率，“
是技术指标要求的通带外最小衰减，即当角频率大于叫，时工作衰减大于“．Ｏ－ｔｏ是传输零点对应的角频率．鸭是通带外衰减函数极小值对应的传输极值点角频率，对应的衰减值是玩．∞ｆ是通带外最小衰减‰对应的带
外最小角频率．根据通带内最大衰减“，可以确定￡
万
方数据￡＝￣／１０一“ｍ一１
（６）
传统Ｃｈｅｂｙｒｓｈｅｖ低通原型滤波器的工作衰减：
厶（（￡Ｊ）＝一１０ｌｏｇＩＳ２１１２
＝１０ｌｏｇ（１＋Ｅ：２品（ｃＵ））
＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃｏｓｈ２（Ｎｃｏｓｈ一１ｃｏ）））
（７）
传统滤波器阶数为：
Ⅳ≥—ｃｏｓｈ—－ｌ（—＇，／ｌｉＯＬ』＇／—ｌＯ－五１／Ｖ广／１０一Ｌ＊／ＩＯ－１）
（７）
当∞＝１时，式（５）和式（７）都等于“，所以，广义Ｃｈｅｂｙ．
ｓｈｅｖ低通原型滤波器与传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型滤波器具有相同的通带衰减特性．
根据吡处工作衰减的极值特性，有
丝掣ｌ
：ｏ
鳓１∞＝ｑ
通过式（５）推出
＿ａＣＮ（ｃＯ）Ｉ：ｏ
渤
Ｉ∞＝叶
令以ｃｃＪ）＝∑ｃｏｓｈ一１（规）＋ｍｃｏｓｈ一１（∞），有：
掣Ｌ“ｎｈＥＡ训×掣Ｌ－０（８）
因为（ｔｔ＝魄时，ｓｉｎｈＥｆ（峨）］＝０，所以
学蚪｛
：０
ｃｔｏ
Ｉ∞＝吐
即
Ｉ刍——ｒ＋ｍ——广川…。．（蜜掣＋ｍ掣）Ｌ
＝＊筹×南）＋鬲ｍ…９，
由式（９）得：
砉需＝ｍ
㈣，
由式（１０）可得到传输极值点频率关于传输零点的
表达式，将其代入式（５），可以得到一组关于传输零点和带外最小衰减的非线性方程组，解该方程组就能确定传输零点．
以下分别讨论一个至多个传输零点的情况．（１）当滤波器有一个传输零点，即ｋ＝１时：（Ｄ）当ｌ≤∞。ｌ≤峨ｌ时，由式（１０）得到传输极值点频率：
ＣＯ；１＝％＋亡￣／叫：１—１
（１１）
（ｂ）当鸭１＜甜。ｌ＜一１时，由式（１０）得到传输极值点频率：
％：％一圭厢１
∞ｓ１。叫ａｌ—ｉ￣／叫：ｌ一
（１２）（１２）
２５２
电子具有一个传输零点的极值处非线性方程如下：
“＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃ槲（ｃｏｓｈ～（１－ｔｏｓｌ．ｔｏ．０１）ｍｓｌ一Ｕ．，ｏｌ
＋ｍｃｏｓｈ。１（％１）））
（１３）
将式（１１）或式（１２）代入式（１３），解得ｔ００１．
（２）当滤波器有两个传输零点时，ｋ＝２，由式（１０）得到两个传输极值点频率：
峨ｌ，２２——■ｉ—峨ｌ。２：—－—ｂ＋—＇ｖ了／＇ｂ—２一－４ａｃ
（１４）ＬＨ’
式中：
（ａ）当１＜（Ｅ’。１＜ｔｏｓｌ＜叫。２＜叫，２时：
ｆ
ｎ２
ｍ
｛ｂ：一ｍ（叫。。＋叫以）一√‘丽一√‘和（１５）
【ｃ＝一砌。。叫以＋％∥石ｊ＋㈨∥石ｊ
（ｂ）当ＣＯｓｌ＜ｃ￡’０１＜一１，１＜ｃｏ。２＜ｃｃ，，２时：ｆ口２一ｍ
｛ｂ＝ｍ（％＋毗）＋／磊ｊ一∥石ｊ
（１６）
【ｃ：一砌。。∞以＋％以石ｊ一％∥瓦ｊ
（ｃ）当ｃｃＪｓ２＜ｔ００２＜（￡，。１＜∞。ｌ＜一１时：
，
｛６＝ｍ（％＋∞０２）＋厢＋厢（１７）
ｆ口２一ｍ
【。：，黝。。∞以一∞以√‘了ｉ＝１一∞。。√‘ｉ五ｊ
具有两个传输零点的极值处非线性方程组如下：
“。＝１０ｌｏｇ（１＋ｅ２ｃｏｓｈ２（ＣＯＳ－１（等等）
＋ｃｏｓｈ一１（＃辈）＋ｍｃｏｓｈ一１（％）））
ｌ＋ｃｏｓｈ一１（警）＋ｍｃｏｓｈ一１（ｔｏｓｌ））’
“：２
￡。，：：１０ｌｏｇ（１＋：＋ｅ２
≥ｃｏ一。ｈ∞２：‘１８）
ｃ循。１（哥＝’（循一。。！二垫，竺！，：
Ｌ
ｃｃ，ｓ１一∞０２
联解式（１４）和式（１８）得到叫。，和∞０２．
（３）当滤波器的传输零点个数大于两个，即ｋ≥３时，由式（１０）得到：
口∥！＋吼一ｌ∞：一１＋…＋０２∞：＋Ｄ１ｃ叱＋ａｏ＝０
（１９）
式中，ａｉ（ｉ＝０，１，…，Ｊ｜｝）为传输零点ｔＯｏｌ（ｉ：１，２，…，ｋ）的复合表达式．
具有多个传输零点的极值处非线性方程组如下：
Ｌ，ｂ１＝ｌＯｌｏｇ（１＋￡２ｃ础善汹。１（％掣）
＋ｍｃｏｓｈ．１（鸭１）））
｛
ｉ
（２０）
Ｉｋ“ｏｌｏｇ（１＋￡２蒯（蚤ｃｏｓｈ。１（艺等）
Ｌ
＋，ｎｃｏｓｈ一１（（ｕ止）））
万
方数据学报
２００８年
由于式（１９）和（２０）中各方程互不相关，所以求解过程一定收敛，即必可解得传输零点叫耐（ｉ＝１，２，…，ｋ）．
将所求传输零点代入式（２１），即可求得图１中所示
的带外最小衰减“对应的带外最小角频率∞ｌ’．
Ｉ
１
，
“＝１０１０９（１＋ｅ２ｃ槲（∑ｃｏｓｈ一（三争半）
ｌ＝１
…１…“
＋ｍｃｏｓｈ一１（（￡’ｌ’）））
（２１）
３滤波器阶数和传输零点确定过程
我们知道，广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数越高通带外
衰减特性越好，以及在阶数不变的情况下，引入传输零点的个数越多通带外衰减特性越好ｕ３｜．对于规范结构的Ⅳ阶滤波器，最多能有Ⅳ一２个有限传输零点ＨＪ．
滤波器设计技术指标是当角频率大于叫，时工作
衰减大于玩．图２比较了具有１个但位置不同的传输
零点的４阶广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器工作衰减特性，其中实线表示传输极值点频率处的工作衰减等于带外抑制
指标“的临界状况．如果此时不满足ｃｃ，１≥∞１’，可将传输零点向通带移动，直至满足ｃｃ，１≥ｃｃ，ｌ’，如图２中的虚线所示．但是，根据广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数特性，传输极值点频率处的工作衰减会随着传输零点向通带移动而减小，即小于带外抑制指标“的临界状况．所以此时为了满足指标，在不增加传输零点个数的条件下必须增加滤波器的阶数．
图２具有１个传输零点的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器比较（，ｒ－－－４）．
虚线表示传输零点纰，＝１．２的工作衰减曲线，实线表示传输零点‰２＝１．５的工作衰减曲线，ｔＯ’１１和（Ｏｉｌ２分别表示通带外最小衰减三。，对应的带外最小角频率
基于这三点，初始化滤波器阶数Ｎ＝３和传输零点
个数ｋ＝１，然后根据上节的方法求出传输零点和叫．’，判断是否满足．如果不满足ｃｃ，，≥Ｃ０１ｔ，增加一阶滤波器阶数，然后重新按照上节的方法求出传输零点和∞，’，判断是否满足ｃｃ，ｌ≥∞１’．如果不满足，为保证ｋ＝Ｎ一２的关系，所以必须增加一个传输零点，然后重新求传输零点和，判断是否满足．如果不满足，则按照前叙方法继续增大滤波器阶数和传输零点的个数，直至满足技
术指标要求ｔｏｌ≥ｔＯｉｔ，此时Ⅳ和传输零点既是满足指标要求的值．通过这样的方法确定的滤波器的阶数最少，传输零点的位置最佳．整个提取滤波器阶数和传输零点流程见图３．
第２期
涂治红：广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器传输零点的确定
２５３
图３提取滤波器阶数和传输零点流程图
４应用举例
下面通过三个例子说明本文方法的设计过程和在滤波器设计中的应用．三个例子首先给出的是传统Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型设计结果与本文方法低通原型计算结果的比较，然后通过频率变换，得到实际工作衰减特性曲线．
例子１：低通滤波器技术指标：截至频率１．５ＧＨｚ；
通带内最大衰减“＝０．５ｄＢ；
当厂≥１．８６ＧＨｚ时，通带外最小衰减“Ｉ＞２０ｄＢ．
表１给出了采用传统方法与本文方法设计的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ低通原型的结果比较．通过低通原型到低通滤波器的频率变换，图４给出本文方法与传统方法得到的工作衰减特性曲线比较，其中圆圈表示设计指标（甜１，玩）＝（１．８６ＧＨｚ，２０ｄＢ）．从图４中可以看出：通过本文方法引入１个传输零点，不仅满足技术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表１传统方法与本文方法比较（带内波纹系数ｅ＝ｏ．３４９３）
传统方法
舔艾ｈ≮ｋ
滤波器阶数Ｎ＝６
Ｎ＝３传输零点无零点
““＝１．３０６１传输极值点频率
（‘，，ｌ＝１．７２６２
，
叫ＩⅢ・’＝１．２３５６
∞１’＝１．２２７０
例子２：带通滤波器技术指标：中心频率ｆｏ＝３ＧＨｚ相对带宽ＦＢＷ＝０．０３５回波损耗ＲＬ＝３０ｄＢ
当，≥３．１２ＧＨｚ时，通带外最小衰减Ｌ‰＞ｔ４０ｄＢ
万
方数据当／≤２．９１ＧＨｚ时，通带外最小衰减玩，＞２６ｄＢ．
ＦｒｅｑｕｃｎｃｙｌＧＨｚ
图４工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示设计指标
（弧工。Ｊ＝（１．８６ＧＨｚ，２０ｄａ）
表２给出了采用传统方法与本文方法设计的低通原型的结果比较．通过低通原型到带通滤波器的频率变换，图５给出本文方法与传统方法得到的工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（∞１，“）＝（２．９１ＧＨｚ，２６ｄＢ）和（ｃｃ，１，￡如）＝（３．１２ＧＨｚ，４０ｄＢ）．从图５可以看出：通过本文方法在高低阻带各引入１个传输零点，不仅满足技
术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表２传统方法与本文方法比较（带内波纹系数Ｅ＝Ｏ．０３１６）传统方法
本文方法
滤波器阶数Ｎ＝７
Ｎ＝５“以＝一１．６１３２
传输零点
无零点
０）０２＝２．２７２９
峨ｌ＝一１．９７６９
传输极值点频率
ＯＪｊ２２
２．８９６１
“ｌ；＝一Ｉ．５６６７
“１ｉ＝一１．５３１４叫ｌ
“１２＝Ｉ．８８８８
∞１５＝２．１３１０
Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ／ＧＨｚ
图５工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（∞ｌ工・护《２．９１ＧＨｚ，
２６ｄＢ）和（ｍｌ工』沪（３．１２ＧＨｚ，４０ｒｉＢ）
例子３：带通滤波器技术指标如下：中心频率ｆｏ＝９５０ＭＨ相对带宽ＦＢＷ＝０．０４
通带内最大衰减“＝０．５ｄＢ
当ｆ，＞９７６．２ＭＨｚ时，带外最小衰减“ｔ＞５４ｄＢ当ｆ，＞９９４．２ＭＩ－Ｉｚ时，带外最小衰减“≥８０ｄＢ．
表３给出了采用传统方法与本文方法设计的低通原型的结果比较．通过低通原型到带通滤波器的频率变换，图６给ｍ本文方法与传统方法得到的工作衰减特
２５４
电子
学
报
２００８年
性曲线比较，其中圆圈表示设计指标（叫。，“）＝（９７６．２ＭＨｚ，５４ｄＢ）和（（￡’ｌ，气）＝（９９４ＭＨｚ，８０ｄＢ）．从图６中可以看出：通过本文方法在高阻带引入３个传输零点，满足技术指标要求，同时也降低滤波器阶数．
表３传统方法与本文方法比较（带内波纹系数￡＝０．３４９＂３）
传统方法
滤波器阶数
Ｎ＝ｔ０
１９８２．６：８３—９５．
［４］Ｒ
Ｊ
Ｑ咖删１．Ｇｅｎｅｒａｌ
ｃｏｕｐｌｉｎｇｍａｔｒｉｘｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒ
ｃｈｅｂｙｓｈｅｖｆｉｌｔｅｒＴｈｅｏｒｙ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅ
Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９９９，４７（３）：４３３—４４２．
ＤＲｈｏｄｅｓ．Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
［５］Ｒ
Ｊ
Ｑ蚰ｅ啪，Ｊ
ｏｆｄｕａｌ－
本文方法
Ｎ＝５““＝１．３９４８
ｍｏｄｅ
ｔｍｄｐａｓｓｆｉｌｔｅｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅ
ＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９８１，２９（１）：５１—５８．
［６］Ｒ
Ｊ
Ｃａｍｅｒｏｎ．Ｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｔｏｔｙｐｅｎｅｔｗｏｒｋｓｙｎｔｈｅｓｉｓｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒ
Ｊ，１９８２，６：１９３—２０６．
传输零点无零点
‘－００２＝２．３７９６
ｍｉｃｒｏｗａｖｅ
ｆｉｌｔｅｒ［Ｊ］．ＥＳＡ
ｓｉｎｇｌｅ
１．Ｏ。３＝３．８５０１∞“＝１．５５１０
［７］Ｒｋｖｙ．Ｆｒｆｌｔｅｒｓｗｉｔｈ
ｎａｒｙ
Ｉｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
ＺｅｒＯＳａｔ
ｒｅａｌａｎｄｉｍａｇｉ—
ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙ
传输极值点频率Ⅲ，２＝２．８１８５ｃ【，，３＝６．６８０５
Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，１９７６，２４（３）：１７２—１８１．
［８］ＲＬｅｖｙ．Ｄｉｒｅｃｔｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｃａｓｃａｄｅｄ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｑｕａｄｒｕｐｌｅｔ（ＣＱ）ｆｉｌｔｅｒｓ
，（ｃ’１
ｃ￡’ｌｉ＝１．３３４１“１ｉ＝１．６６２６
∞１；＝１．３５４９“１２＝２．１５３２
［Ｊ］．ＩＥＥＥ
ｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅＴｈｅｏｒｙＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｔｏｐｏｌｏｇｙ
ＡＪ．ＩＥＥＥ
１９９９，４３（１２）：２９４０—２９４４．
［９］ＷＡＡｒｉａ，ＫＡＺａｋｉ，ＡＥＡｒｉａ．Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｍｕｌｔｉｐｌｅｃｏｕｐｌｅｄ
ｒｅｓｏｎａｔｏｒ
ｆｉｌｔｅｒｓｂｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｌ
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ｏｆ
图６工作衰减特性曲线比较．其中圆圈表示（劬工√沪
（９７６．２ＭＩ－Ｉｚ，５４ｄＢ）和（幼工』０＝（９９４ＭＨｚ，８０ｄＢ）
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５结论
本文利用广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ函数的极值特性得到求解传输零点的方法，并利用该方法和滤波器阶数与传输零点最大值的关系，提出了一种根据滤波器特性指标同时确定广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数和传输零点位置的方法．这种方法实现的广义Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ滤波器阶数最少，传输零点位置最佳．三个例子显示了该方法的过程和在滤波器设计中的应用．
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作者简介：
涂治红女，１９７７年生于武汉，华南理工大学电子与信息学院博士生．研究方向：射频／微波滤波器综合．Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｚｈｗｉｎｄ＠静ｎａｉｌ．ｅｏｍ
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Ｃｉｒｃｕｉｔ
褚庆昕男，１９５８年生于陕两，华南理工大学电子与信息学院教授、博士生导师，射频与无线技术研究所所长．目前主要研究领域包括无线通信中的射频电路和天线、微波集成电路的全域建模、有源集
成天线与空间功率合成、计算电磁学等．Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｘｅｈｕ＠ｓｃｕｔ．ｅｄｕ．ｅｎ
Ｓｙｓｔｅｍ，１９７４，２１（９）：６４９—６５５．ａｓｙｎｍ跫ｔｒｉｃａｌｌｙ－ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ
ｚｅｒｏｓ［Ｊ］。ＥＳＡ
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ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
Ｊ，
ｗｉｔｈ
万方数据