高数(2-3) 下学期期末试题 (A 卷)
专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”
一, 填空题 (每题4分, 共32分)
1.
若平面x +2y -kx =1与平面y -z =3成
t
π
4
角, 则k =______ 1/4
u 2t 2. 曲线x =⎰0e cos udu , y =sin t +cos t , z =1+e
x -0y -1z -2
==112在t = 0处的切线方程为
∂z yz =z
∂z ∂x e -xy z
3. 方程确定隐函数z = f(x,y ) 则为____________
e =xyz
1
∂x
4.
交换⎰dy f (
x , y )dx 的积分次序为_________________________
5．已知L 是圆周x 2+y 2=1, 则⎰L (x -y 2)ds = _________-π
级数6. ∑ sin 2 ____________ 收敛
n =1∞
1
n +n +1
n
2n +1a x a x 7. 设幂级数∑n 的收敛半径是2, 则幂级数∑n 的收敛半径是
∞∞
n =0n =0
8. 微分方程(1+x 2)y ''=1的通解是
1
y =arctan x -ln (x 2+1)+c 1x +c 2_______________________
2
二．计算题 (每题7分, 共63分)
1
, 221．讨论函数 f ( x, y ) = 22 x +y ≠0, f ( 0 , 0 ) = 0
x +y
在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330
222
u =x +y +2z 2．求函数在点P 0(1, 1, 1) 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐
标原点。
n ⎫
3．判别级数∑2n ⎛ ⎪的敛散性. P ．544
1+n
n =1
∞
n 2
⎝⎭
''''f 1⋅y dx +⎛ f 1x +f 2⎫⎪dy +f 2dz
⎝⎭4．设u=f (xy , y +z ) ，f (s , t ) 可微，求du .
5．
欲造一无盖长方形容器, 已知其底部造价为3元/m2, 側面造价为1元/m2, 现想用36元造一容积最大的容器, 求它的尺寸.
答：长宽为2M ，高为3M 。
6. 计算I =⎰
+⎡4x 2+2y ln x ⎤dy
⎢⎥⎣⎦2
(x 2y 2
曲线c 是从点A (a ,0)沿椭圆2+2=1的第一象限部分到点B (0, b )的弧段.
a b
解：
将积分路径家直线段Bo 与oA , 构成正向的闭曲线, 由格林公式得,
I =
⎰⎰8xdxdy -⎰-⎰
D
Bo
b
oA 0
=⎰dy 0
8b 5
xdx -⎰2y ln Rdy =2+b 2ln R
b 3a
ln (x 2+y 2)dxdy
1
2
7．计算极限lim ⎰⎰
ε→0
2π
ε2≤x 2+y 2≤1
解:原式=lim ⎰d θ⎰ln (r 2)rdr =lim ⎰2ln udu =πlim (u ln u -u )|1ε2=-π
ε→0∞1
ε
ε→0
ε
ε→0
8．试求幂函数
∑(-1)
n +1
2nx 2n -1
(2n -1) 的收敛域及和函数。
2x '''y -2y +y =8(1+e ) 的通解。 9．求微分方程
2
特征方程r -2r +1=0的根为：
r 1=r 2=1
对应的齐次方程的通解为
x
y =(C +C x ) e C 12
*2x
代入方程确定A =8, B =8y *=8+8e 2x 设特解为y =A +Be
故所求通解为
y =(C 1+C 2x ) e x +8+8e 2x
三．（本题5分） 已知曲线积分ϕ(π) =1，求ϕ(x ) 。
⎰L [sin x -ϕ(x ) ]d x +ϕ(x ) d y
y x
与路径无关，其中ϕ(x ) 可导，且
解：由积分与路径无关，故
∂Q ∂P
=∂x ∂y
Φ'(x ) =
sin x -Φ(x ) 1sin x
即Φ'－Φ=
x x x
-
dx dx
⎫1sin x ⎰x ⎛⎰x ⎰⎪=(-cos x +c )一阶线性微分方程通解为：Φ=e e dx +c x ⎪x
⎝⎭
代初始条件：ϕ(π) =1 得
c =π-1 特解为：Φ(x ) =
1
(-cos x +π-1) x
A B 的闭区域D 上，2． 设平面上有三个点O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) ，在∆O 求出点M ，
使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。
解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：
d =x 2+y 2+(x -1) 2+y 2+x 2+(y -1) 2(0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ) 在区域内部求驻点： ∂d 1∂d 1⎛11⎫=6x -2=0解出x ==6y -2=0解出y = , ⎪∂x 3∂y 3⎝33⎭ 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，
22
d =2y +(y -1) +1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y ≤1上
较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。
22
d =2x +(x -1) +1驻点(1/3，0), 与端点函数值比在边界y=0, 0≤x ≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。
222
d =3x +2(1-x ) +(x -1) 在边界y=1-x ,0≤x ≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。
比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。
中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 （2006年6月）
姓名： 专业： 学号： 成绩：
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予 学士学位。”
一. （每小题7分，共28分）
y 2∂z ∂2z 1. 设函数z (x , y ) = 。 +f (x y ) ，其中 f 二阶可微，求 ,
2x ∂x ∂x ∂y
2. 设函数=x y z i +3x 2y j +(y 2-x z 2) k ，求 d i v F , grad (d i v F ) 。
3. 设函数g (y ) =
4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分I =⎰⎰f (x , y ) dx dy 化
D
y 2⎰y
s i n (x y )
dx , (y >0) ，求g '(y ) 。 x
为累次积分，其中D 是由直线x =1, x =2, y =x , y =2x 所围成区域。
二. （10分）计算曲线积分I =
⎰
L
(e x c o s y -my ) dx -(e x s i n y -m ) dy (m >0为常
数），其中有向曲线L 是圆周
x 2+y 2=2ax (a >0) 从点A (2a , 0) 经
M (a , a ) 至O (0, 0) 的部分。
三（. 10分）利用高斯公式计算曲面积分I =
其中S 是由球面 y =侧。
2222
(xy +x ) dydz +yz dzdx +zx dxdy ，S
2z -z 2-x 2, 平面y =0 所围区域表面的外
四. （每小题7分，共14分）
1. 求微分方程： x
dy dx +y =xy dy dx
的通积分。
2. 求微分方程：y ''-5y '+6y =4-3e 2x 的通解。
五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1.
⎰1
sin x 0
d x ， 2.
x
5
⎰+∞
dx 1
x ⋅1+x
2
。
六. （9分） 求幂级数
n =2
∑
∞
(-1) n -12n
x 的收敛半径、收敛域以及和函数。
2n (n -1)
七. （7分）求函数f (x ) =ln x 在x =2 处的泰勒展开式，并求出收敛域。
八. （7分）证明级数
n =1
∑
∞
s i n nx () n
p
, (0
π
2
但对任意固定的x ∈[δ, π-δ]，该级数并不绝对收敛，其中 0
九. （5分）设级数
∞
n =1
∑a n
∞
收敛于S ，且
n →∞
lim n a n =0 ，证明级数
n =1
∑n (a n -a n +1) 也收敛于
S 。
高等数学（一）重修重考试题（B 卷）
（2005学年度第二学期）东校区
姓名： 专业： 学号： 成绩：
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”
一，（每小题7分，共28分）
∂z ∂2z x 21，设函数 z (x , y ) = 。 +f (xy ) ，其中函数f 二阶可微，求,
∂x ∂x ∂y 2y
2， 若隐函数y =y (x ) 由方程 x y =e x +y 确定，求y '。
y 3
3，设函数 g (y ) =cos(xy ) dx , y >0，求 g '(y ) 。
4， 计算积分：
x 22
I =⎰dy sin x
x -1
dx 。 1
⎰
y
二，（10分）求曲线积分 I =(1+y e x ) dx +(x +e x ) dy ，其中 是椭圆
x 2y 2
+=1 的上半周由点A (2, 0) 到点B (-2, 0) 。 49
三，（10分）计算曲面积分 I =⎰⎰+x dydz +(y +y 2) dzdx +z dxdy ，其中 S +为曲
S
面z =x 2+y 2，0≤z ≤1，取下侧。
四，（每小题7分，共14分）
⎧x y '+y =e x 1，求解微分方程初值问题：⎨ 。
⎩y (1) =1
2，求微分方程：y ''-4y '+3y =1+e 2x 的通解。
五，讨论如下广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）
+∞
（1）
⎰
1
dx
1
x -x +1
2
， (2) ⎰
sin x x
dx .
六, （每小题8分，共16分）
(-1) n n
(1)求幂级数 ∑的收敛半径，收敛区间和收敛域。 (x -3) n
n =1n 3
+∞
（2）求函数 f (x ) =
1
在点 x =1 处的幂级数展开式。 1+x
5
x 2sin x
七，（7分）讨论无穷积分 ⎰dx 的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对3
05+x 收敛还是条件收敛？
八，（5分）设序列 {n a n . } 收敛，级数 ∑n (a n -a n -1) 也收敛，求证：级数 ∑a n
n =1
n =1
+∞
+∞
+∞
收敛。
6
05级高数(一) 下学期期中考试试题
1∂2u ∂2u ∂2u 1. 设u (x , y , z )=
, r =≠0, 求2+2+2.
r ∂x ∂y ∂z
2. 若隐函数y =y (x )有方程xy =e x +y 确定, 求y '.
3. 求曲面e z -2z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 4. 计算 I =
⎰
2
1
dy ⎰
2y
sin x
. x -1
x 2y 2
5. 计算 I =⎰⎰|y |dxdy ， 其中 D :2+2≤1
a b D
6. 计算 I =7. 计算 I =
⎰(ye
L
x
-y 3)dx +(e x +x 3)dy , 其L 是单位圆周x 2+y 2=1的正向.
⎰⎰
S
+
xdydz +(y +y 2)dzdx +zdxdy ，其中S +为曲面
22
z =x +y , 0≤z ≤1的下側.
8. 若 G (t )=
x 2+y 2≤t 2
⎰⎰(x
2
+y 2)dxdy , 求G '(t ).
9. 设f (x , y )在有界闭区域D 上连续, (x i , y i )∈D , (i =1,2), 试证
在D 中至少存在一点(ξ, η), 使f (ξ, η)=
3f (x 1, y 1)+4f (x 2, y 2)
.
7
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高数(2-3) 下学期期末试题 (A 卷)
专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”
一, 填空题 (每题4分, 共32分)
1.
若平面x +2y -kx =1与平面y -z =3成
t
π
4
角, 则k =______ 1/4
u 2t 2. 曲线x =⎰0e cos udu , y =sin t +cos t , z =1+e
x -0y -1z -2
==112在t = 0处的切线方程为
∂z yz =z
∂z ∂x e -xy z
3. 方程确定隐函数z = f(x,y ) 则为____________
e =xyz
1
∂x
4.
交换⎰dy f (
x , y )dx 的积分次序为_________________________
5．已知L 是圆周x 2+y 2=1, 则⎰L (x -y 2)ds = _________-π
级数6. ∑ sin 2 ____________ 收敛
n =1∞
1
n +n +1
n
2n +1a x a x 7. 设幂级数∑n 的收敛半径是2, 则幂级数∑n 的收敛半径是
∞∞
n =0n =0
8. 微分方程(1+x 2)y ''=1的通解是
1
y =arctan x -ln (x 2+1)+c 1x +c 2_______________________
2
二．计算题 (每题7分, 共63分)
1
, 221．讨论函数 f ( x, y ) = 22 x +y ≠0, f ( 0 , 0 ) = 0
x +y
在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330
222
u =x +y +2z 2．求函数在点P 0(1, 1, 1) 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐
标原点。
n ⎫
3．判别级数∑2n ⎛ ⎪的敛散性. P ．544
1+n
n =1
∞
n 2
⎝⎭
''''f 1⋅y dx +⎛ f 1x +f 2⎫⎪dy +f 2dz
⎝⎭4．设u=f (xy , y +z ) ，f (s , t ) 可微，求du .
5．
欲造一无盖长方形容器, 已知其底部造价为3元/m2, 側面造价为1元/m2, 现想用36元造一容积最大的容器, 求它的尺寸.
答：长宽为2M ，高为3M 。
6. 计算I =⎰
+⎡4x 2+2y ln x ⎤dy
⎢⎥⎣⎦2
(x 2y 2
曲线c 是从点A (a ,0)沿椭圆2+2=1的第一象限部分到点B (0, b )的弧段.
a b
解：
将积分路径家直线段Bo 与oA , 构成正向的闭曲线, 由格林公式得,
I =
⎰⎰8xdxdy -⎰-⎰
D
Bo
b
oA 0
=⎰dy 0
8b 5
xdx -⎰2y ln Rdy =2+b 2ln R
b 3a
ln (x 2+y 2)dxdy
1
2
7．计算极限lim ⎰⎰
ε→0
2π
ε2≤x 2+y 2≤1
解:原式=lim ⎰d θ⎰ln (r 2)rdr =lim ⎰2ln udu =πlim (u ln u -u )|1ε2=-π
ε→0∞1
ε
ε→0
ε
ε→0
8．试求幂函数
∑(-1)
n +1
2nx 2n -1
(2n -1) 的收敛域及和函数。
2x '''y -2y +y =8(1+e ) 的通解。 9．求微分方程
2
特征方程r -2r +1=0的根为：
r 1=r 2=1
对应的齐次方程的通解为
x
y =(C +C x ) e C 12
*2x
代入方程确定A =8, B =8y *=8+8e 2x 设特解为y =A +Be
故所求通解为
y =(C 1+C 2x ) e x +8+8e 2x
三．（本题5分） 已知曲线积分ϕ(π) =1，求ϕ(x ) 。
⎰L [sin x -ϕ(x ) ]d x +ϕ(x ) d y
y x
与路径无关，其中ϕ(x ) 可导，且
解：由积分与路径无关，故
∂Q ∂P
=∂x ∂y
Φ'(x ) =
sin x -Φ(x ) 1sin x
即Φ'－Φ=
x x x
-
dx dx
⎫1sin x ⎰x ⎛⎰x ⎰⎪=(-cos x +c )一阶线性微分方程通解为：Φ=e e dx +c x ⎪x
⎝⎭
代初始条件：ϕ(π) =1 得
c =π-1 特解为：Φ(x ) =
1
(-cos x +π-1) x
A B 的闭区域D 上，2． 设平面上有三个点O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) ，在∆O 求出点M ，
使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。
解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：
d =x 2+y 2+(x -1) 2+y 2+x 2+(y -1) 2(0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ) 在区域内部求驻点： ∂d 1∂d 1⎛11⎫=6x -2=0解出x ==6y -2=0解出y = , ⎪∂x 3∂y 3⎝33⎭ 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，
22
d =2y +(y -1) +1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y ≤1上
较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。
22
d =2x +(x -1) +1驻点(1/3，0), 与端点函数值比在边界y=0, 0≤x ≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。
222
d =3x +2(1-x ) +(x -1) 在边界y=1-x ,0≤x ≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。
比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。
中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 （2006年6月）
姓名： 专业： 学号： 成绩：
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予 学士学位。”
一. （每小题7分，共28分）
y 2∂z ∂2z 1. 设函数z (x , y ) = 。 +f (x y ) ，其中 f 二阶可微，求 ,
2x ∂x ∂x ∂y
2. 设函数=x y z i +3x 2y j +(y 2-x z 2) k ，求 d i v F , grad (d i v F ) 。
3. 设函数g (y ) =
4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分I =⎰⎰f (x , y ) dx dy 化
D
y 2⎰y
s i n (x y )
dx , (y >0) ，求g '(y ) 。 x
为累次积分，其中D 是由直线x =1, x =2, y =x , y =2x 所围成区域。
二. （10分）计算曲线积分I =
⎰
L
(e x c o s y -my ) dx -(e x s i n y -m ) dy (m >0为常
数），其中有向曲线L 是圆周
x 2+y 2=2ax (a >0) 从点A (2a , 0) 经
M (a , a ) 至O (0, 0) 的部分。
三（. 10分）利用高斯公式计算曲面积分I =
其中S 是由球面 y =侧。
2222
(xy +x ) dydz +yz dzdx +zx dxdy ，S
2z -z 2-x 2, 平面y =0 所围区域表面的外
四. （每小题7分，共14分）
1. 求微分方程： x
dy dx +y =xy dy dx
的通积分。
2. 求微分方程：y ''-5y '+6y =4-3e 2x 的通解。
五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1.
⎰1
sin x 0
d x ， 2.
x
5
⎰+∞
dx 1
x ⋅1+x
2
。
六. （9分） 求幂级数
n =2
∑
∞
(-1) n -12n
x 的收敛半径、收敛域以及和函数。
2n (n -1)
七. （7分）求函数f (x ) =ln x 在x =2 处的泰勒展开式，并求出收敛域。
八. （7分）证明级数
n =1
∑
∞
s i n nx () n
p
, (0
π
2
但对任意固定的x ∈[δ, π-δ]，该级数并不绝对收敛，其中 0
九. （5分）设级数
∞
n =1
∑a n
∞
收敛于S ，且
n →∞
lim n a n =0 ，证明级数
n =1
∑n (a n -a n +1) 也收敛于
S 。
高等数学（一）重修重考试题（B 卷）
（2005学年度第二学期）东校区
姓名： 专业： 学号： 成绩：
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”
一，（每小题7分，共28分）
∂z ∂2z x 21，设函数 z (x , y ) = 。 +f (xy ) ，其中函数f 二阶可微，求,
∂x ∂x ∂y 2y
2， 若隐函数y =y (x ) 由方程 x y =e x +y 确定，求y '。
y 3
3，设函数 g (y ) =cos(xy ) dx , y >0，求 g '(y ) 。
4， 计算积分：
x 22
I =⎰dy sin x
x -1
dx 。 1
⎰
y
二，（10分）求曲线积分 I =(1+y e x ) dx +(x +e x ) dy ，其中 是椭圆
x 2y 2
+=1 的上半周由点A (2, 0) 到点B (-2, 0) 。 49
三，（10分）计算曲面积分 I =⎰⎰+x dydz +(y +y 2) dzdx +z dxdy ，其中 S +为曲
S
面z =x 2+y 2，0≤z ≤1，取下侧。
四，（每小题7分，共14分）
⎧x y '+y =e x 1，求解微分方程初值问题：⎨ 。
⎩y (1) =1
2，求微分方程：y ''-4y '+3y =1+e 2x 的通解。
五，讨论如下广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）
+∞
（1）
⎰
1
dx
1
x -x +1
2
， (2) ⎰
sin x x
dx .
六, （每小题8分，共16分）
(-1) n n
(1)求幂级数 ∑的收敛半径，收敛区间和收敛域。 (x -3) n
n =1n 3
+∞
（2）求函数 f (x ) =
1
在点 x =1 处的幂级数展开式。 1+x
5
x 2sin x
七，（7分）讨论无穷积分 ⎰dx 的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对3
05+x 收敛还是条件收敛？
八，（5分）设序列 {n a n . } 收敛，级数 ∑n (a n -a n -1) 也收敛，求证：级数 ∑a n
n =1
n =1
+∞
+∞
+∞
收敛。
6
05级高数(一) 下学期期中考试试题
1∂2u ∂2u ∂2u 1. 设u (x , y , z )=
, r =≠0, 求2+2+2.
r ∂x ∂y ∂z
2. 若隐函数y =y (x )有方程xy =e x +y 确定, 求y '.
3. 求曲面e z -2z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 4. 计算 I =
⎰
2
1
dy ⎰
2y
sin x
. x -1
x 2y 2
5. 计算 I =⎰⎰|y |dxdy ， 其中 D :2+2≤1
a b D
6. 计算 I =7. 计算 I =
⎰(ye
L
x
-y 3)dx +(e x +x 3)dy , 其L 是单位圆周x 2+y 2=1的正向.
⎰⎰
S
+
xdydz +(y +y 2)dzdx +zdxdy ，其中S +为曲面
22
z =x +y , 0≤z ≤1的下側.
8. 若 G (t )=
x 2+y 2≤t 2
⎰⎰(x
2
+y 2)dxdy , 求G '(t ).
9. 设f (x , y )在有界闭区域D 上连续, (x i , y i )∈D , (i =1,2), 试证
在D 中至少存在一点(ξ, η), 使f (ξ, η)=
3f (x 1, y 1)+4f (x 2, y 2)
.
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