第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，适用于各种运动 形态。不同形式的能量可以相互转换，同一形式的能量可 以在不同物体之间相互传递，在上述转换和传递过程中， 能量总是守恒的。 能量的基本特性： 1．运动状态的单值函数。能量所反映的是物质在一 定运动状态下所具有的特性，因此它必定是状态的单值函 数。 2．能量是相对的，但能量差却是绝对的。 3．通过作功来表示能量。作功是能量转换和传递的 一种形式。 在物理学中，常通过作功来引入能量的定义(在第一 章中我们已经这样做过)。
静电能----对一个带电体系而言，其带电过程总伴随 着电荷相对运动。在这个过程中，外力必须克服电荷间的 相互作用而作功，外界作功所消耗的能量转换为带电系统 的能量，就称作该带电体系的静电能，其由系统的电荷分 布所决定。 本章我们将对带电系统的静电能作进一步分析 1．讨论点电荷组和连续带电体的静电能、有电介质 存在时的损耗、电荷体系在外电场中的静电能、电场的能 量和能量密度等； 2．介绍由静电能求静电力的方法（虚功原理法） 。
§1. 真空中点电荷间的相互作用能
一. 两个点电荷的情形 将两个相距无限远的点电荷 q1和q 2 分别移到指定位 置 r1和r2，可通过两种方式来实行。
O
r1
q1
r2
q2
P 1
r12
P2
1． 先将 q1移到r1 。在搬运q1时因无其它电荷和电 场，因而不作功。然后将 q 2 移到r2 。搬运q2时，它已经 处在q1的电场 E1中，因而需抵抗电场力作功 F12 = q2 E1 ：
W12 = − ∫ F12 ⋅ dl = −q 2 ∫
∞
P2
P2
∞
q1 q 2 E1 ⋅ dl = q 2 u12 = 4πε 0 r12
P2 ∞
其中
u12 = u1 ( P2 ) = − ∫ E1 ⋅ dl =
4πε 0 r12
q1
代表点电荷q1在P2点产生的电势，以∝为电势零点。
2．先将 q 2 移到r2 将 q1移到r1 ，外界作功：
这时同样不需作功。然后
q1q2 W21 = q1u21 = 4πε 0 r12
u21代表点电荷q2在P1点产生的电势。 W 由以上可以看出： 12 = W21，这说明外界作功与q1、q2 移入的次序无关。因此我们把W12 或W21 定义为点电荷q1 和q2的相互作用能。为方便起见，我们将它们写成另外一 种对称形式：
1 W12 = (q1u 21 + q 2 u12 ) = W互 2
在上式中，右边的项交换下标1、2时不变。这种关 于下标的对称性恰好表明外界作功与点电荷移入次序无关 。这一手法后面还要用上。
二. 多个点电荷 q 设有N个点电荷，电量分别为： 1 , q 2 ,.....q N ，位置矢 量分别为： r1 , r2 ,.....rN ，取 rij = ri − r j = r ji 表示i个点电 荷和第j个点电荷之间的距离，全部rij 决定了各点电荷之 间的相对位置。我们设想，把这N个点电荷 q1 , q 2 ,.....q N 依次由无限远的地方搬到它们应在的位置 P , P2 ,.....PN 1
上去，根据场强或电势叠加原理不难看出，搬运各电荷 的功分别是：
W1 = 0,
…..
W2 = q 2 u12 ,
W3 = q3 (u13 + u 23 ),
W N = q N (u1N + u 2 N + ......u N −1, N )
用通式来表示，则有：
Wi = qi ∑ u ji
j =1
i −1
(i = 1,2,......N )
Pi
其中
u ji = u j ( Pi ) = − ∫ E j ⋅ dl =
∞
qj 4πε 0 rij
代表第j个电荷在第i个电荷Pi处产生的电势，因此建 立这带电体系的总功为：
W = W1 + W2 + ...... + W N = ∑ Wi
i =1
N
= ∑ qi ∑ u ji =
i =1 j =1
N
i −1
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功W 也是与搬运电荷的顺序无关的，为此只需证明W的表达式 可以写成对电荷标号i、j完全对称的形式。 由于： q j qi
q i u ji = q j u ij =
4πε 0 rij
而且其中距离rij显然等于rji，所以
1 W中的q i u ji 可以用 ( qi u ji + q j u ij ) 代替。 2 N 1 N 1 N N qi q j W = ∑ qi ∑ u ji = ∑∑ r = W互 2 i =1 j =1 8πε 0 i =1 j =1 ij
i≠ j i≠ j
这个公式显然已对标号i、j对称了，表明外界作功 与电荷移入次序无关。
小结：W互可以表示成几种不同的形式： （1）
W互 =
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
物理意义为： 除qi以外的其余各点电荷在qi的位置Pi上产生的电势 。若从N个点电荷中不重复地选出各种可能的配对qiqj 来 1 qi q j ，则总静电能是所有这些配对能量 之和。
4πε 0 rij
（2）
W互 =
1 8πε 0
∑∑
i =1 j =1 i≠ j
N
N
qi q j rij
相当于先选出某个特点的点电荷qi，求它与所有其 余各点电荷之间的相互作用能之和，然后对i求和。这样 一来，每对电荷之间的能量被重复地考虑了两次。故对结 果应该除以2。 （3） N
1 W互 = ∑ q i u i 2 i =1
ui表示除qi以外其余所有点电荷在 ri 处产生的电势。 在《结晶化学》，《固体物理学》等课程中，经常要 遇到这种运算，比如计算氯化钠晶体等的静电相互作用能 等。
P(267) 例15
P(267) 例16
§2. 连续电荷分布的静电能
一. 一个带电体(自能) 空间只有自由电荷(即在导体中或介电系数恒等于1的 物体及真空中)。 1．体电荷分布 设电荷密度为 ρ e (r ) ，将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理， 则：
1 N W互 = ∑ q i u i 2 i =1
1 变成了： W互 = ∫∫∫ ρ e ( r )u1 ( r ) dV 2 V
式中体积分遍及全部带电体的空间V，u1 (r ) 表示除 ρ e (r )dV 外其余所有电荷在 r 处产生的电势。
下面来讨论 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的关系，我们可以 得到： u1 (r ) ≈ u ( r ) 证明： 设dV为一球体元，半径为a，则可求得电荷密度为 ρ e 的均匀带电球体在球内产生的电势为：
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
{或见胡友秋书P(50) ，在球壳上，
ρ e ⎛ 3 2 R13 r 2 ⎞ ⎜ R2 −
− ⎟ u2 = ⎜2 r 3ε 0 ⎝ 2⎟ ⎠
3ε 0 ⎝ 2 2
R1 ≤ r ≤ R2时
代入R1 = 0 和 R2 = a， 得： ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ } u2 = ⎜ a − r ⎟
⎠
讨论
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
（1） a不变时，在球边界， 即r → 0时，得最大值: 其中a为dV之半径，r为其余电荷到dV之距离。 ' （2）a → 0时，有u m → 0, 即 u ' → 0 ，这就意味着 电荷元取得很小很小，由此我们可以得出结论 ρ e (r )dV在r 处产生的电势将随dV → 0而趋于零。即 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的差别可以忽略。 1 所以体电荷分布的静电能为： W互 = 2 ∫∫∫V ρ e (r )u1 (r )dV
ρea u = 2ε 0
' m
2
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V 这时不再考虑扣除 ρ e ( r ) dV 的贡献。
2．面电荷分布 设面电荷密度为 σ e (r ) ，将该面电荷无限分割为面电 荷元 σ e (r )dS ，由胡友秋书P（48）的
σ ea 可以看出，它在自身产生的电势不会大于 2ε 0 ，其中a为
σe u( z) = 2ε 0
(R
2
+z − z
2
)
面元半径。当a → 0时，则dS → 0，所以u → 0。因此我 们可以忽略 u1 (r ) （从总电势中扣除面电荷元的贡献）和总 电势 u (r ) 的差别，相应求得面电荷分布的静电能为：
式中积分区域S代表所有带电面。这时不考虑扣除面 电荷元 σ e ( r )dS 的贡献
1 We = ∫∫ σ e (r )u ( r ) dS 2 S
3．线电荷分布 1 在 λe dl 处，电场 ∝ r ，所以其在自身所在处产生的 电势不仅不会趋于零，而且会按 ln r （r为离线元 dl 的距 离）趋于无穷，即: u 元 ∝ ln r
1 这时静电能既不能写成： W = e ∫L ηe (l )u1 (l )dl 2 也不能写成：
1 We = ∫ ηe (l )u (l )dl 2 L
因为是一维问题 , 所以u ( r )变成u (l )
物理意义：要把电荷从极端分散状态压缩到一条几 何 线 上 ， 外 界 需 要 作 无 穷 大 的 功，而这是不可能的。 线电荷自能→∝。
4．点电荷 同样，要把电荷从极端分散状态压缩到一个几何点 上，外界也需要作无穷大的功，这显然也是办不到的。这 和第一章引入点电荷模型是自洽的。因为点电荷只是一种 理想模型，它并非尺寸为零的几何点，而是尺寸有限但远 小于考察距离的带电体。在计算静电能时，我们必须计算 带电体上的电势，这使得考察距离和带电体的尺寸相当， 显然这时的带电体不能再看成是我们早先引入的点电荷。 点电荷自能→∝。 下面举两个例子。 例一．求体电荷密度为ρe，半径为R的均匀带电球体 的静电能（自能， εr=1）。
解: 以球心为坐标原点，取球坐标系 ( r ,θ , φ ) (电荷在球中 均匀分布)。利用前面的结果：
ρe u (r ) = (3R 2 − r 2 ) 6ε 0
代入
和 dV
= r sin θ drdθ dφ
2
ρe 1 We = ∫∫∫ ρ e (3R 2 − r 2 )r 2 sin θ drdθ dφ 2 r ≤ R 6ε 0
4πρ e2 R 5 3 ⎛ Q 2 ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ 4π
ε R ⎟ 15ε 0 5⎝ 0 ⎠
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V
得：
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
积分时请注意积分上下限， 即
∫
R
0
dr ∫ dθ ∫ dφ
0 0
π
2π
4πR 3 ρ e 和 Q= 3
讨论
4πρ R 3 ⎛ Q2 ⎞ = ⎜ We = ⎟ 15ε 0 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠
2 e 5
（1）当 ρ e 固定时，We 将随R→0而趋于零。这一点很 自然，R越小，带电量越少，则We越小。 （2）用 表示时，若固定Q，则R→0（ 这是点电荷的处理方法），则We→∝，说明点电荷的自能 是发散的，与前面的结论相符。
4πR 3 ρ e Q= 3
例二．一孤立带电导体球电量为q，半径为R，求其 1 N 静电能（自能）。 W互 = ∑ q i u i 2 i =1 解： q C = 4πε 0 R 对于孤立导体球，有： u = , C 3 ⎛ Q2 ⎞ 这时电荷只分布在球面上。 We = ⎜ ⎟ 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠ 2 所以 1 1 1⎛ q ⎞
We =
2
qu =
2C
q2 =
⎟ ⎜ 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟ ⎠ ⎝
1⎛ q ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎛ Q2 ⎞ ，但 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟（例二，这儿集中分布于球面）
与例一比较，对电量相同及半径相等的带电球体， q2 其静电自能与电荷分布有关，虽然都是 的量级 4πε 0 R 2
(例一, 均匀分布在整个球体)。
下面来深入讨论一个问题： 如果假设电子的能量W=mc2（由相对论得到的静止能 量）全部来自静电自能We，并取 e2 We ≈ 4πε 0 rc 则可求得电子的经典半径为：
rc =
e
2 2
4πε 0 mc
≈ 2.8 × 10
−15
m
实际情况是，电子的实际半径比rc要小得多，所以不 能做此假设，但是可以作为近似计算。 目前人们尚不能直接测量电子的半径。但是高能正 、负电子对撞实验表明，电子在10-18m的范围外，仍然可 以看成是点粒子。
二.
N个带电体(自能+互能)（仍不存在极化电荷）
设有N个带电体，体积分别为：V1 , V2 ,.......V N 将空间的总电势能 u (r ) 分成两部分：
u (r ) = u i (r ) + u (r )
(i )
其中u i (r ) 表示第i个带电体外其余所有带电体在
r
处产生的电势； ( i ) (r ) 表示第i个带电体在 r 处产生的 u 电势；对任意指标i，均可按上式将总电势进行分解。
1 将上式代入 We = ∫∫∫ ρ e ( r )u ( r ) dV 2 V
得：
1 N 1 N We = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV = ∑ ∫∫∫ ρ e (r ) u i (r ) + u (i ) (r ) dV 2 i =1 Vi 2 i =1 Vi 1 N 1 N (i ) = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV + ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV = W自 + W互 2 i =1 Vi 2 i =1 Vi
[
]
其中：
W自 = ∑ W
i =1
N
(i ) 自
1 (i ) = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV Vi i =1 2
N
1 W互 = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV 2 Vi i =1
W自为自能, W 为第 i个 带电体的静电能（或自能）
( i) 自
N
；W互 称作带电体间的静电相互作用能，简称互能。
讨论
1 W互 = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV Vi i =1 2
N
（1） 关于自能的计算 对
于体、面电荷分布，可计算 W自 , 参阅前面的结果； 但对于线电荷分布和点电荷却不能计算 W自 , 因为这时 W自 →∝，自能变成无穷大，而失去了物理意义。因此这 时只需计算互能。 （2） 关于互能的计算 A．只要某个例如第i个带电体的尺寸远小于它和其它 带电体的距离，就可以当作点电荷处理。这时第i个带电 体的位置用 ri 表示。 W互 中的第i项积分中的 u i (r ) ≈ u i (ri ) = u i 则可以从积分号中提出。
在上式中，利用了 ri ≈ r ，并考虑了如果系统内的带 电体体积Vi非常小，以致于其它带电体在Vi内产生的电势 u i (r ) 在Vi内各点近似相等。 所以 1 1 1 ∫∫∫Vi ρ e (r )u i (r )dV ≈ 2 u i ∫∫∫Vi ρ e (r )dV = 2 qi u i 2 式中 qi 为第i个 带电体所带的电量，u i 为除第i个 带 电体之外，其它带电体在 r 处的电势。当所有带电体的 尺寸均小于它们之间的距离时，
i
1 W互 = ∑ q i u i i =1 2
N
该式和前面的表达式是一致的。以后我们就是用这 个结果。
上式就是N个点电荷间的相互作用能。 强调：这里的点电荷指的是尺寸远小于考察距离的 宏观带电体。 B．线电荷分布
1 W互 = ∑ ∫ ηe (l )ui (l )dl 2 Li i =1
N
在上式中，同样考虑了
因为是一维问题, 所以u (r )变成u (l )
三. 存在电介质时的情况(线性无损耗介质) 处理原则： 随着自由电荷的搬运和电场的建立，介质将会产生极 化并出现极化电荷。把极化电荷和自由电荷同等看待，将 ρ e (r ) 看成是总电荷，即自由电荷密度 ρ (r ) 和极化电荷密 e0 ' ' ρ e (r ) 之和： 度 ρ e (r ) = ρ e 0 (r ) + ρ e (r )
定义： W
e0
1 = 2
1 ∫∫∫V0 ρ e 0 ( r ) u ( r ) dV + 2
∫∫∫
V'
ρ e' ( r ) u ( r ) dV
1 （由 We = 2 ∫∫∫V ρ e (r )u (r )dV
可得上式）
其中We0称作系统的“宏观静电能”，为在建立宏观电 ' 荷分布 ρ e 0 (r ) 和 ρ e (r ) 过程中系统所贮存的静电能。式中 V0和V’分别表示自由电荷和极化电荷所在空间区域。 令： W = W + W
e e0 极
We为系统的静电能，其等于宏观静电能和介质的极 化能之和。因为We = A’, 表示系统的能量等于在建立该 指定状态过程中外界对系统所作的功。即： 外力对自由电荷作功 = 建立静电能 + 改变介质电性 的静电能
原因：在介质中建立电场时，外界不仅要克服宏观 电荷（包括自由电荷和极化电荷）之间的静电力作功，而 且要克服分子内部（对位移极化）或分子间（对取向极化 ）的相互作用作功。第一部分功转化为We0，第二部分转 化为极化功，它使介质极化。对线性无损耗介质，通过极 化功转换到介质的能量就称作极化能（W极）。 例三．求平行板电容器的静电能公式 已知极板间的均匀各向同性电介质的 介
电系数为εr，极板面积为S，两极板间 的间距为d。接通电源后，极板带电分别 为Q1，Q2，且 -Q1 = Q2 = Q。两极板电势 分别为 u1 , u 2 ,电势差u = u1 − u 2 解：
通过分析电容器充电过程中电源作功来推出平行板电 容器的静电能公式。 电子从电容器的一 个极板拉到电源正极 ，并由电源负极推到 另一个极板上，这样 便使电容器带正电的 极板的电量逐渐增加 至Q。在上述过程中， 电源对电容器作功， 使电源能量转换为电 容器的静电能。
εr
Q1 Q2
下面来推导We的表达式。 设在充电过程中，某一时刻电容器的电量为q，电压 为u。当电源将电荷-dq从电容器带正电的极板搬运到带负 dA' = udq 电的极板时，电源所作的功为: 在q由0增至Q的过程中，电源作功为：
A' = ∫ udq = ∫
0
Q
Q
0
1 2 q dq = Q 2C C
视为与q无关的常数（这儿要
积分时，电容 C =
ε 0ε r S
d
求介质只能是线性介质，且可忽略介质损耗）。电容器的 静电能为： W = A' = 1 Q 2 = 1 Qu = 1 Q(u − u ) = 1 (Q u + Q u )
e
2C
2
2
2
1
2
1 1
2
2
这个例子告诉我们，系统的静电能可用自由电荷与总 电势来表示。
四. 有带电导体情况下的静电能 1 W 对于带电导体， e = 2 ∫∫S σ e (r )u (r )dS 可进一步简化。 导体的特点：只有σe，电荷分布在外表面，且是等势 体。当求N个带电导体组成的体系的静电能时，上式可写 成： W = 1 N ∑ ∫∫ σ e (r )ui (r )dS e
2
i =1 Si
1 N = ∑ u i ∫∫ σ e (r ))dS Si 2 i =1 1 N = ∑ u i qi 2 i =1
因为是等势体, 所以u i 相同
式中 qi 和ui 为第i个导体的电量和电势，其形式上与点 电荷相互作用能公式一致，但是这儿表示的是带电体系的 总静电能。例二也可以从这儿出发计算（相当于i=1）的 情况。本节重点掌握点电荷组时的静电能求法。
§3. 电荷体系在外电场中的静电能
在第一章中，我们曾定义过一个试探点电荷在外电 场中的电势能，即 We = qu 。下面我们把这个结果，在上 节讨论的基础上推广到外电场中电荷体系的情况，实质上 这种电势能是所考察的电荷体系和产生外电场的电荷体系 之间的互能。 一. 两个点电荷体系的静电能 所考察的电荷体系位于体积V1中，在 r1 处的电荷密度 为 ρ e1 (r1 ) ；外电场由位于体积V2中的电荷体系所产生，在 r2 处的电荷密度为 ρ e 2 (r2 ) 。 N 则可以将 W互 = ∑ 1 ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV 改写成：
i =1
2
Vi
1 1 W互 = ∫∫∫ ρ e1 ( r1 )u1 (r1 )dV1 + ∫∫∫ ρ e 2 ( r2 )u 2 (r2 ) dV2 2 V2 2 V1
其中：u1 (r1 ) = 1
u 2 (r2 ) = 1 4πε 0
4πε 0
∫∫∫
ρ e 2 (r2 )
r1 − r2
V2
dV2
这是外电场在 r1 处的电势
∫∫∫
ρ e1 (r1 )
V1
dV1 所考察的电荷体系在 r2 处的电势 r1 − r2
把 u1 (r1 )和u 2 (r2 ) 代入W互
中，则：
1 1 W互 = 2 4πε 0 1 1 + 2 4πε 0
∫∫∫ ∫∫∫
V1 V1
ρ e1 (r1 ) ρ e 2 (r2 )
r1 − r2 r1 − r2
V2
dV2 dV1
∫∫∫ ∫∫∫
V2
ρ e1 (r1 ) ρ e 2 (r2 )
dV1dV2
因为第一项和第二项相等，所以：
W互 = ∫∫∫ ρ e1 (r1 )u1 (r1 )dV1 = ∫∫∫ ρ e 2 (r2 )u2 (r2 )dV2
V1 V2
进一步可去掉下标1或2，将W互改写成We，则有：
We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV
V
We表示电荷体系 ρ e1 (r1 ) 和外电场 ρ e 2 (r2 ) 的静电相互作 u 用能，也是电荷体系在外电场中的静电能。 (r ) 是外电场 在 r 处的电势。 W自是恒量，条件是电荷分布不变。 这时电荷分布是固定的电荷体系在给定外电场中的 运动，只是改变它在外电场中的静电能。也就是说，这时 外界作功正好等于上述静电能的增加。 二. 点电荷组在外电场中的静电能 推广可以得到点电荷组在外电场中的静电能为（具体 N 做法与前面的讨论一样）： We = ∑ qi u (ri ) 式中 u (ri ) 为外电场在点电荷qi处的电势。 i =1
特例：i=1时， We = qu (r ) 这与第一章的定义是一样的。 例四．求电偶极子在外电场 中的静电能公式。 解： 因为电偶极子的电偶极矩为 N P = q l ，由 We = ∑ qi u (ri )
i =1
可得其在外电场 E 中的 静电能为：
We = −qu − + qu + = q(u + − u − )
= q[u (r+ ) − u (r− )] = q u (r− + l ) − u (r− )
[
]
利用微分学定理（ f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )h 可得：
），
We = q u (r− ) + (l ⋅ ∇)u (r− ) − qu (r− ) = q (l ⋅ ∇)u (r− ) = ql ⋅ ∇u (r− ) = P ⋅ ∇u (r− ) = − P ⋅ E (r− )
进一步忽略
[
]
We = − P ⋅ E
这就是电偶极子在外电场中的静电能。将来讨论磁 偶极子在外磁场中的静磁能也有类似形式。
r− 和r
的区别，则可得：
第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，适用于各种运动 形态。不同形式的能量可以相互转换，同一形式的能量可 以在不同物体之间相互传递，在上述转换和传递过程中， 能量总是守恒的。 能量的基本特性： 1．运动状态的单值函数。能量所反映的是物质在一 定运动状态下所具有的特性，因此它必定是状态的单值函 数。 2．能量是相对的，但能量差却是绝对的。 3．通过作功来表示能量。作功是能量转换和传递的 一种形式。 在物理学中，常通过作功来引入能量的定义(在第一 章中我们已经这样做过)。
静电能----对一个带电体系而言，其带电过程总伴随 着电荷相对运动。在这个过程中，外力必须克服电荷间的 相互作用而作功，外界作功所消耗的能量转换为带电系统 的能量，就称作该带电体系的静电能，其由系统的电荷分 布所决定。 本章我们将对带电系统的静电能作进一步分析 1．讨论点电荷组和连续带电体的静电能、有电介质 存在时的损耗、电荷体系在外电场中的静电能、电场的能 量和能量密度等； 2．介绍由静电能求静电力的方法（虚功原理法） 。
§1. 真空中点电荷间的相互作用能
一. 两个点电荷的情形 将两个相距无限远的点电荷 q1和q 2 分别移到指定位 置 r1和r2，可通过两种方式来实行。
O
r1
q1
r2
q2
P 1
r12
P2
1． 先将 q1移到r1 。在搬运q1时因无其它电荷和电 场，因而不作功。然后将 q 2 移到r2 。搬运q2时，它已经 处在q1的电场 E1中，因而需抵抗电场力作功 F12 = q2 E1 ：
W12 = − ∫ F12 ⋅ dl = −q 2 ∫
∞
P2
P2
∞
q1 q 2 E1 ⋅ dl = q 2 u12 = 4πε 0 r12
P2 ∞
其中
u12 = u1 ( P2 ) = − ∫ E1 ⋅ dl =
4πε 0 r12
q1
代表点电荷q1在P2点产生的电势，以∝为电势零点。
2．先将 q 2 移到r2 将 q1移到r1 ，外界作功：
这时同样不需作功。然后
q1q2 W21 = q1u21 = 4πε 0 r12
u21代表点电荷q2在P1点产生的电势。 W 由以上可以看出： 12 = W21，这说明外界作功与q1、q2 移入的次序无关。因此我们把W12 或W21 定义为点电荷q1 和q2的相互作用能。为方便起见，我们将它们写成另外一 种对称形式：
1 W12 = (q1u 21 + q 2 u12 ) = W互 2
在上式中，右边的项交换下标1、2时不变。这种关 于下标的对称性恰好表明外界作功与点电荷移入次序无关 。这一手法后面还要用上。
二. 多个点电荷 q 设有N个点电荷，电量分别为： 1 , q 2 ,.....q N ，位置矢 量分别为： r1 , r2 ,.....rN ，取 rij = ri − r j = r ji 表示i个点电 荷和第j个点电荷之间的距离，全部rij 决定了各点电荷之 间的相对位置。我们设想，把这N个点电荷 q1 , q 2 ,.....q N 依次由无限远的地方搬到它们应在的位置 P , P2 ,.....PN 1
上去，根据场强或电势叠加原理不难看出，搬运各电荷 的功分别是：
W1 = 0,
…..
W2 = q 2 u12 ,
W3 = q3 (u13 + u 23 ),
W N = q N (u1N + u 2 N + ......u N −1, N )
用通式来表示，则有：
Wi = qi ∑ u ji
j =1
i −1
(i = 1,2,......N )
Pi
其中
u ji = u j ( Pi ) = − ∫ E j ⋅ dl =
∞
qj 4πε 0 rij
代表第j个电荷在第i个电荷Pi处产生的电势，因此建 立这带电体系的总功为：
W = W1 + W2 + ...... + W N = ∑ Wi
i =1
N
= ∑ qi ∑ u ji =
i =1 j =1
N
i −1
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功W 也是与搬运电荷的顺序无关的，为此只需证明W的表达式 可以写成对电荷标号i、j完全对称的形式。 由于： q j qi
q i u ji = q j u ij =
4πε 0 rij
而且其中距离rij显然等于rji，所以
1 W中的q i u ji 可以用 ( qi u ji + q j u ij ) 代替。 2 N 1 N 1 N N qi q j W = ∑ qi ∑ u ji = ∑∑ r = W互 2 i =1 j =1 8πε 0 i =1 j =1 ij
i≠ j i≠ j
这个公式显然已对标号i、j对称了，表明外界作功 与电荷移入次序无关。
小结：W互可以表示成几种不同的形式： （1）
W互 =
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
物理意义为： 除qi以外的其余各点电荷在qi的位置Pi上产生的电势 。若从N个点电荷中不重复地选出各种可能的配对qiqj 来 1 qi q j ，则总静电能是所有这些配对能量 之和。
4πε 0 rij
（2）
W互 =
1 8πε 0
∑∑
i =1 j =1 i≠ j
N
N
qi q j rij
相当于先选出某个特点的点电荷qi，求它与所有其 余各点电荷之间的相互作用能之和，然后对i求和。这样 一来，每对电荷之间的能量被重复地考虑了两次。故对结 果应该除以2。 （3） N
1 W互 = ∑ q i u i 2 i =1
ui表示除qi以外其余所有点电荷在 ri 处产生的电势。 在《结晶化学》，《固体物理学》等课程中，经常要 遇到这种运算，比如计算氯化钠晶体等的静电相互作用能 等。
P(267) 例15
P(267) 例16
§2. 连续电荷分布的静电能
一. 一个带电体(自能) 空间只有自由电荷(即在导体中或介电系数恒等于1的 物体及真空中)。 1．体电荷分布 设电荷密度为 ρ e (r ) ，将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理， 则：
1 N W互 = ∑ q i u i 2 i =1
1 变成了： W互 = ∫∫∫ ρ e ( r )u1 ( r ) dV 2 V
式中体积分遍及全部带电体的空间V，u1 (r ) 表示除 ρ e (r )dV 外其余所有电荷在 r 处产生的电势。
下面来讨论 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的关系，我们可以 得到： u1 (r ) ≈ u ( r ) 证明： 设dV为一球体元，半径为a，则可求得电荷密度为 ρ e 的均匀带电球体在球内产生的电势为：
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
{或见胡友秋书P(50) ，在球壳上，
ρ e ⎛ 3 2 R13 r 2 ⎞ ⎜ R2 −
− ⎟ u2 = ⎜2 r 3ε 0 ⎝ 2⎟ ⎠
3ε 0 ⎝ 2 2
R1 ≤ r ≤ R2时
代入R1 = 0 和 R2 = a， 得： ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ } u2 = ⎜ a − r ⎟
⎠
讨论
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
（1） a不变时，在球边界， 即r → 0时，得最大值: 其中a为dV之半径，r为其余电荷到dV之距离。 ' （2）a → 0时，有u m → 0, 即 u ' → 0 ，这就意味着 电荷元取得很小很小，由此我们可以得出结论 ρ e (r )dV在r 处产生的电势将随dV → 0而趋于零。即 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的差别可以忽略。 1 所以体电荷分布的静电能为： W互 = 2 ∫∫∫V ρ e (r )u1 (r )dV
ρea u = 2ε 0
' m
2
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V 这时不再考虑扣除 ρ e ( r ) dV 的贡献。
2．面电荷分布 设面电荷密度为 σ e (r ) ，将该面电荷无限分割为面电 荷元 σ e (r )dS ，由胡友秋书P（48）的
σ ea 可以看出，它在自身产生的电势不会大于 2ε 0 ，其中a为
σe u( z) = 2ε 0
(R
2
+z − z
2
)
面元半径。当a → 0时，则dS → 0，所以u → 0。因此我 们可以忽略 u1 (r ) （从总电势中扣除面电荷元的贡献）和总 电势 u (r ) 的差别，相应求得面电荷分布的静电能为：
式中积分区域S代表所有带电面。这时不考虑扣除面 电荷元 σ e ( r )dS 的贡献
1 We = ∫∫ σ e (r )u ( r ) dS 2 S
3．线电荷分布 1 在 λe dl 处，电场 ∝ r ，所以其在自身所在处产生的 电势不仅不会趋于零，而且会按 ln r （r为离线元 dl 的距 离）趋于无穷，即: u 元 ∝ ln r
1 这时静电能既不能写成： W = e ∫L ηe (l )u1 (l )dl 2 也不能写成：
1 We = ∫ ηe (l )u (l )dl 2 L
因为是一维问题 , 所以u ( r )变成u (l )
物理意义：要把电荷从极端分散状态压缩到一条几 何 线 上 ， 外 界 需 要 作 无 穷 大 的 功，而这是不可能的。 线电荷自能→∝。
4．点电荷 同样，要把电荷从极端分散状态压缩到一个几何点 上，外界也需要作无穷大的功，这显然也是办不到的。这 和第一章引入点电荷模型是自洽的。因为点电荷只是一种 理想模型，它并非尺寸为零的几何点，而是尺寸有限但远 小于考察距离的带电体。在计算静电能时，我们必须计算 带电体上的电势，这使得考察距离和带电体的尺寸相当， 显然这时的带电体不能再看成是我们早先引入的点电荷。 点电荷自能→∝。 下面举两个例子。 例一．求体电荷密度为ρe，半径为R的均匀带电球体 的静电能（自能， εr=1）。
解: 以球心为坐标原点，取球坐标系 ( r ,θ , φ ) (电荷在球中 均匀分布)。利用前面的结果：
ρe u (r ) = (3R 2 − r 2 ) 6ε 0
代入
和 dV
= r sin θ drdθ dφ
2
ρe 1 We = ∫∫∫ ρ e (3R 2 − r 2 )r 2 sin θ drdθ dφ 2 r ≤ R 6ε 0
4πρ e2 R 5 3 ⎛ Q 2 ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ 4π
ε R ⎟ 15ε 0 5⎝ 0 ⎠
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V
得：
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
积分时请注意积分上下限， 即
∫
R
0
dr ∫ dθ ∫ dφ
0 0
π
2π
4πR 3 ρ e 和 Q= 3
讨论
4πρ R 3 ⎛ Q2 ⎞ = ⎜ We = ⎟ 15ε 0 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠
2 e 5
（1）当 ρ e 固定时，We 将随R→0而趋于零。这一点很 自然，R越小，带电量越少，则We越小。 （2）用 表示时，若固定Q，则R→0（ 这是点电荷的处理方法），则We→∝，说明点电荷的自能 是发散的，与前面的结论相符。
4πR 3 ρ e Q= 3
例二．一孤立带电导体球电量为q，半径为R，求其 1 N 静电能（自能）。 W互 = ∑ q i u i 2 i =1 解： q C = 4πε 0 R 对于孤立导体球，有： u = , C 3 ⎛ Q2 ⎞ 这时电荷只分布在球面上。 We = ⎜ ⎟ 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠ 2 所以 1 1 1⎛ q ⎞
We =
2
qu =
2C
q2 =
⎟ ⎜ 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟ ⎠ ⎝
1⎛ q ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎛ Q2 ⎞ ，但 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟（例二，这儿集中分布于球面）
与例一比较，对电量相同及半径相等的带电球体， q2 其静电自能与电荷分布有关，虽然都是 的量级 4πε 0 R 2
(例一, 均匀分布在整个球体)。
下面来深入讨论一个问题： 如果假设电子的能量W=mc2（由相对论得到的静止能 量）全部来自静电自能We，并取 e2 We ≈ 4πε 0 rc 则可求得电子的经典半径为：
rc =
e
2 2
4πε 0 mc
≈ 2.8 × 10
−15
m
实际情况是，电子的实际半径比rc要小得多，所以不 能做此假设，但是可以作为近似计算。 目前人们尚不能直接测量电子的半径。但是高能正 、负电子对撞实验表明，电子在10-18m的范围外，仍然可 以看成是点粒子。
二.
N个带电体(自能+互能)（仍不存在极化电荷）
设有N个带电体，体积分别为：V1 , V2 ,.......V N 将空间的总电势能 u (r ) 分成两部分：
u (r ) = u i (r ) + u (r )
(i )
其中u i (r ) 表示第i个带电体外其余所有带电体在
r
处产生的电势； ( i ) (r ) 表示第i个带电体在 r 处产生的 u 电势；对任意指标i，均可按上式将总电势进行分解。
1 将上式代入 We = ∫∫∫ ρ e ( r )u ( r ) dV 2 V
得：
1 N 1 N We = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV = ∑ ∫∫∫ ρ e (r ) u i (r ) + u (i ) (r ) dV 2 i =1 Vi 2 i =1 Vi 1 N 1 N (i ) = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV + ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV = W自 + W互 2 i =1 Vi 2 i =1 Vi
[
]
其中：
W自 = ∑ W
i =1
N
(i ) 自
1 (i ) = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV Vi i =1 2
N
1 W互 = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV 2 Vi i =1
W自为自能, W 为第 i个 带电体的静电能（或自能）
( i) 自
N
；W互 称作带电体间的静电相互作用能，简称互能。
讨论
1 W互 = ∑ ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV Vi i =1 2
N
（1） 关于自能的计算 对
于体、面电荷分布，可计算 W自 , 参阅前面的结果； 但对于线电荷分布和点电荷却不能计算 W自 , 因为这时 W自 →∝，自能变成无穷大，而失去了物理意义。因此这 时只需计算互能。 （2） 关于互能的计算 A．只要某个例如第i个带电体的尺寸远小于它和其它 带电体的距离，就可以当作点电荷处理。这时第i个带电 体的位置用 ri 表示。 W互 中的第i项积分中的 u i (r ) ≈ u i (ri ) = u i 则可以从积分号中提出。
在上式中，利用了 ri ≈ r ，并考虑了如果系统内的带 电体体积Vi非常小，以致于其它带电体在Vi内产生的电势 u i (r ) 在Vi内各点近似相等。 所以 1 1 1 ∫∫∫Vi ρ e (r )u i (r )dV ≈ 2 u i ∫∫∫Vi ρ e (r )dV = 2 qi u i 2 式中 qi 为第i个 带电体所带的电量，u i 为除第i个 带 电体之外，其它带电体在 r 处的电势。当所有带电体的 尺寸均小于它们之间的距离时，
i
1 W互 = ∑ q i u i i =1 2
N
该式和前面的表达式是一致的。以后我们就是用这 个结果。
上式就是N个点电荷间的相互作用能。 强调：这里的点电荷指的是尺寸远小于考察距离的 宏观带电体。 B．线电荷分布
1 W互 = ∑ ∫ ηe (l )ui (l )dl 2 Li i =1
N
在上式中，同样考虑了
因为是一维问题, 所以u (r )变成u (l )
三. 存在电介质时的情况(线性无损耗介质) 处理原则： 随着自由电荷的搬运和电场的建立，介质将会产生极 化并出现极化电荷。把极化电荷和自由电荷同等看待，将 ρ e (r ) 看成是总电荷，即自由电荷密度 ρ (r ) 和极化电荷密 e0 ' ' ρ e (r ) 之和： 度 ρ e (r ) = ρ e 0 (r ) + ρ e (r )
定义： W
e0
1 = 2
1 ∫∫∫V0 ρ e 0 ( r ) u ( r ) dV + 2
∫∫∫
V'
ρ e' ( r ) u ( r ) dV
1 （由 We = 2 ∫∫∫V ρ e (r )u (r )dV
可得上式）
其中We0称作系统的“宏观静电能”，为在建立宏观电 ' 荷分布 ρ e 0 (r ) 和 ρ e (r ) 过程中系统所贮存的静电能。式中 V0和V’分别表示自由电荷和极化电荷所在空间区域。 令： W = W + W
e e0 极
We为系统的静电能，其等于宏观静电能和介质的极 化能之和。因为We = A’, 表示系统的能量等于在建立该 指定状态过程中外界对系统所作的功。即： 外力对自由电荷作功 = 建立静电能 + 改变介质电性 的静电能
原因：在介质中建立电场时，外界不仅要克服宏观 电荷（包括自由电荷和极化电荷）之间的静电力作功，而 且要克服分子内部（对位移极化）或分子间（对取向极化 ）的相互作用作功。第一部分功转化为We0，第二部分转 化为极化功，它使介质极化。对线性无损耗介质，通过极 化功转换到介质的能量就称作极化能（W极）。 例三．求平行板电容器的静电能公式 已知极板间的均匀各向同性电介质的 介
电系数为εr，极板面积为S，两极板间 的间距为d。接通电源后，极板带电分别 为Q1，Q2，且 -Q1 = Q2 = Q。两极板电势 分别为 u1 , u 2 ,电势差u = u1 − u 2 解：
通过分析电容器充电过程中电源作功来推出平行板电 容器的静电能公式。 电子从电容器的一 个极板拉到电源正极 ，并由电源负极推到 另一个极板上，这样 便使电容器带正电的 极板的电量逐渐增加 至Q。在上述过程中， 电源对电容器作功， 使电源能量转换为电 容器的静电能。
εr
Q1 Q2
下面来推导We的表达式。 设在充电过程中，某一时刻电容器的电量为q，电压 为u。当电源将电荷-dq从电容器带正电的极板搬运到带负 dA' = udq 电的极板时，电源所作的功为: 在q由0增至Q的过程中，电源作功为：
A' = ∫ udq = ∫
0
Q
Q
0
1 2 q dq = Q 2C C
视为与q无关的常数（这儿要
积分时，电容 C =
ε 0ε r S
d
求介质只能是线性介质，且可忽略介质损耗）。电容器的 静电能为： W = A' = 1 Q 2 = 1 Qu = 1 Q(u − u ) = 1 (Q u + Q u )
e
2C
2
2
2
1
2
1 1
2
2
这个例子告诉我们，系统的静电能可用自由电荷与总 电势来表示。
四. 有带电导体情况下的静电能 1 W 对于带电导体， e = 2 ∫∫S σ e (r )u (r )dS 可进一步简化。 导体的特点：只有σe，电荷分布在外表面，且是等势 体。当求N个带电导体组成的体系的静电能时，上式可写 成： W = 1 N ∑ ∫∫ σ e (r )ui (r )dS e
2
i =1 Si
1 N = ∑ u i ∫∫ σ e (r ))dS Si 2 i =1 1 N = ∑ u i qi 2 i =1
因为是等势体, 所以u i 相同
式中 qi 和ui 为第i个导体的电量和电势，其形式上与点 电荷相互作用能公式一致，但是这儿表示的是带电体系的 总静电能。例二也可以从这儿出发计算（相当于i=1）的 情况。本节重点掌握点电荷组时的静电能求法。
§3. 电荷体系在外电场中的静电能
在第一章中，我们曾定义过一个试探点电荷在外电 场中的电势能，即 We = qu 。下面我们把这个结果，在上 节讨论的基础上推广到外电场中电荷体系的情况，实质上 这种电势能是所考察的电荷体系和产生外电场的电荷体系 之间的互能。 一. 两个点电荷体系的静电能 所考察的电荷体系位于体积V1中，在 r1 处的电荷密度 为 ρ e1 (r1 ) ；外电场由位于体积V2中的电荷体系所产生，在 r2 处的电荷密度为 ρ e 2 (r2 ) 。 N 则可以将 W互 = ∑ 1 ∫∫∫ ρ e (r )u i (r )dV 改写成：
i =1
2
Vi
1 1 W互 = ∫∫∫ ρ e1 ( r1 )u1 (r1 )dV1 + ∫∫∫ ρ e 2 ( r2 )u 2 (r2 ) dV2 2 V2 2 V1
其中：u1 (r1 ) = 1
u 2 (r2 ) = 1 4πε 0
4πε 0
∫∫∫
ρ e 2 (r2 )
r1 − r2
V2
dV2
这是外电场在 r1 处的电势
∫∫∫
ρ e1 (r1 )
V1
dV1 所考察的电荷体系在 r2 处的电势 r1 − r2
把 u1 (r1 )和u 2 (r2 ) 代入W互
中，则：
1 1 W互 = 2 4πε 0 1 1 + 2 4πε 0
∫∫∫ ∫∫∫
V1 V1
ρ e1 (r1 ) ρ e 2 (r2 )
r1 − r2 r1 − r2
V2
dV2 dV1
∫∫∫ ∫∫∫
V2
ρ e1 (r1 ) ρ e 2 (r2 )
dV1dV2
因为第一项和第二项相等，所以：
W互 = ∫∫∫ ρ e1 (r1 )u1 (r1 )dV1 = ∫∫∫ ρ e 2 (r2 )u2 (r2 )dV2
V1 V2
进一步可去掉下标1或2，将W互改写成We，则有：
We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV
V
We表示电荷体系 ρ e1 (r1 ) 和外电场 ρ e 2 (r2 ) 的静电相互作 u 用能，也是电荷体系在外电场中的静电能。 (r ) 是外电场 在 r 处的电势。 W自是恒量，条件是电荷分布不变。 这时电荷分布是固定的电荷体系在给定外电场中的 运动，只是改变它在外电场中的静电能。也就是说，这时 外界作功正好等于上述静电能的增加。 二. 点电荷组在外电场中的静电能 推广可以得到点电荷组在外电场中的静电能为（具体 N 做法与前面的讨论一样）： We = ∑ qi u (ri ) 式中 u (ri ) 为外电场在点电荷qi处的电势。 i =1
特例：i=1时， We = qu (r ) 这与第一章的定义是一样的。 例四．求电偶极子在外电场 中的静电能公式。 解： 因为电偶极子的电偶极矩为 N P = q l ，由 We = ∑ qi u (ri )
i =1
可得其在外电场 E 中的 静电能为：
We = −qu − + qu + = q(u + − u − )
= q[u (r+ ) − u (r− )] = q u (r− + l ) − u (r− )
[
]
利用微分学定理（ f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )h 可得：
），
We = q u (r− ) + (l ⋅ ∇)u (r− ) − qu (r− ) = q (l ⋅ ∇)u (r− ) = ql ⋅ ∇u (r− ) = P ⋅ ∇u (r− ) = − P ⋅ E (r− )
进一步忽略
[
]
We = − P ⋅ E
这就是电偶极子在外电场中的静电能。将来讨论磁 偶极子在外磁场中的静磁能也有类似形式。
r− 和r
的区别，则可得：